A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

Átírás

1 A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

2 6 A valós számok halmaza

3 A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja a valós számokat A valós számok halmazát -rel (a reális = valós szó kezdőbetűjével) jelöljük és ismertnek tekintjük A valós számok halmazával azonban nem csupán mint halmazzal lesz dolgunk, hiszen elemei között ismét valós számokat eredményező műveleteket értelmezünk, rendezzük őket, stb Elöljáróban felhívjuk a figyelmet arra, hogy a valós számok halmaza a matematika eléggé bonyolult építménye, amely a tudomány sok évszázados fejlődése során jött létre Az igazi felépítése voltaképpen annak az útnak a következetes véghezvitele lenne, amelyet az iskolai tanulmányok során minden diák érint, és amely legalább részben követi a tudomány fejlődéstörténetét Előbb a természetes számok halmazában, intuitív módon értelmezünk két műveletet, az összeadást és a szorzást, valamint nagyságrendi viszonyokat (<, =,>) A természetes számok halmazának elégtelensége azonban hamar kiderült, a két említett művelet megfordítottja (inverze), a kivonás és az osztás nem volt mindig elvégezhető köztük, pedig ezekre már nagyon egyszerű mérések során is szükség mutatkozott A számoknak ezt a viszonylag egyszerű modelljét tehát bővíteni kellett Az egész számok és a racionális számok halmazának a bevezetése, a műveletek és a rendezés kiterjesztése megoldotta ugyan ezt a problémát, de továbbra is lényeges megválaszolatlan kérdések maradtak Vegyük például a távolságmérés feladatát Jelöljünk ki valamely egyenesen (tetszés szerint) két pontot: a 0-t és az -et Ezzel voltaképpen megadtunk egy távolság-mértékegységet és egy haladási (0-tól felé pozitív, fordítva pedig negatív ) irányt: 0 ábra Ha a szakasz osztásánál és összeadásánál úgy járunk el, ahogyan a geometriában szokás, akkor minden racionális számnak nyilvánvalóan megfelel egy szakasz Állapodjunk meg abban, hogy pozitív racionális szám esetében a megfelelő szakasz pozitív, negatív racionális szám esetében pedig negatív irányban mérjük fel a 0 pontból kiindulva, és a szóban forgó racionális számot a szakasz másik végpontjával szemléltetjük Például: ábra y Nyilvánvaló, hogy ilyen módon az egyenesen minden racionális számnak pontosan egy pont felel meg 3 ábra Fordítva a dolog nem áll: az egyenesnek végtelen sok olyan pontja van, amelynek a fent vázolt eljárás során 0 x nem felel meg racionális szám Könnyen belátható, hogy ilyen tulajdonságú az (egység) oldalhosszúságú négyzet átlójának megfelelő pont E négyzet átlójának mérőszáma Pitágorász tétele szerint olyan szám, amelynek a négyzete -vel egyenlő, ilyen pedig, ahogy azt

4 8 A valós számok halmaza korábbi tanulmányaitok során láthattátok, a racionális számok között nincs Ilyen és hasonló meggondolások tették szükségessé a racionális számok halmazának bővítését és a valós szám fogalmának megalkotását A bővítésben szereplő új számok az irracionális számok Az irracionális és racionális számok halmazának egyesítése adja a valós számok halmazát Ennek igazi felépítése tehát valami olyasfélét jelentene, hogy kiindulunk a természetes számok halmazának ismeretéből és néhány axiómából, majd ezek segítségével értelmeznénk az egész, a racionális és a valós számok halmazát, az említett műveleteket, a rendezést Sajnos, a valós számok fogalmának erre az igazi megalapozására annak hosszadalmas volta miatt nincs lehetőség a középiskolában Kénytelenek vagyunk megelégedni a következő félmegoldással: nem definiáljuk az halmazt, és így természetesen nem adjuk meg a szokásos műveletek és rendezés értelmezését sem, hanem axiómák segítségével pontosan megfogalmazzuk, hogy mi végezhető el, illetve érvényes a valós számok halmazában Nagyjából olyan helyzetben leszünk tehát, mintha lenne egy gépünk, amelynek a konstrukciójával nem lennénk teljesen tisztában, pontosan tudnánk viszont, hogy a gép mire használható, milyen műveletek elvégzésére képes A mindennapi életben sok ilyen géppel van dolgunk, és eredményesen használjuk őket Az összeadás és a szorzás axiómái (a test axiómái) A Minden a, b számhoz (egyértelműen) hozzá van rendelve azok (szintén -beli) a + b összege; A a + b = b + a, ab, (kommutativitás); A3 ( a + b) + c = a + ( b + c), abc,, (asszociativitás); A4 Létezik pontosan egy olyan -beli szám (jelöljük a 0 szimbólummal), hogy minden a esetén a + 0 = a; A5 Minden a -hoz létezik pontosan egy olyan x, amelyre a + x = 0 (x - et az a szám ellentettjének nevezzük és a -val jelöljük) A következő öt axióma hasonlít a felsoroltakhoz, de a szorzásra vonatkozik: M Minden a, b számhoz (egyértelműen) hozzá van rendelve azok (szintén -beli) a b szorzata; M a b = b a, ab, (kommutativitás); M3 ( ab) c = a ( bc), abc,, (asszociativitás); M4 Létezik pontosan egy olyan \{ 0} -beli szám (jelöljük az szimbólummal), hogy minden a -ra a = a ; M5 Minden 0-tól különböző a-hoz létezik egy olyan x, amelyre a x = ( x -et az a szám inverzének vagy reciprokának nevezzük és -val jelöljük) a Az alábbi axióma kapcsolatot teremt a fent értelmezett két művelet között: D ( a + b) c = a c + b c, abc,, (disztributivitás) Megjegyzés Az A,, A5, M,, M5, D axiómákat testaxiómáknak is nevezzük

5 A valós számok halmaza 9 Rendezési axiómák A következő négy axióma valós számok rendezésére vonatkozik: R Bármely két a, b számra az alábbi relációk közül pontosan egy érvényes: a > b, a = b, b > a (trichotómia); R Ha a > b és b > c, akkor a > c (tranzitivitás); R3 Ha a > b, c, akkor a + c > b + c; R4 Ha a > b és c > 0, akkor ac > bc R5 Bármely két különböző valós szám között van racionális szám (ha ab,, a < b, akkor létezik r úgy, hogy a < r < b) Megjegyzés R5-ből következik, hogy bármely két különböző valós szám között végtelen sok racionális szám van Valóban, ha a, b, a< b és létezik r úgy, hogy a < r < b, akkor létezik r úgy, hogy a < r <, stb r Értelmezések Az a > b relációt szóban így fejezzük ki: a nagyobb b -nél (b kisebb a -nál), az a > b és b < a írásmód ugyanazt jelenti Az a b szimbólum jelentése: az a > b, a = b relációk közül fennáll az egyik Ha a > 0, akkor a -t pozitív, ha a < 0, akkor a -t negatív számnak nevezzük Ha a 0, akkor a -t nemnegatív, ha a 0, akkor a -t nempozitív számnak mondjuk Ha A és A, akkor A -t (valós) számhalmaznak nevezzük Értelmezés a) Ha az A halmaz tartalmaz olyan elemet, amely A egyetlen eleménél sem kisebb, akkor ezt az elemet az A halmaz legnagyobb elemének vagy maximumának nevezzük és max A -val jelöljük b) Ha az A halmaz tartalmaz olyan elemet, amely A egyetlen eleménél sem nagyobb, akkor ezt az elemet az A halmaz legkisebb elemének vagy minimumának nevezzük és min A-val jelöljük Tehát érvényesek a következő ekvivalenciák: M = max A a M, a A; m = min A m a, a A Nem minden halmaznak van legkisebb, illetve legnagyobb eleme Például az (, ) intervallumnak nincs sem legkisebb sem legnagyobb eleme, az [, ) intervallum legkisebb eleme az és nincs legnagyobb eleme, míg az (, ] intervallumnak a a legnagyobb elem és nincs legkisebb eleme 3 A felső határ axiómája Értelmezés Valamely A számhalmazt felülről (alulról) korlátosnak mondunk, ha létezik olyan K () k valós szám, hogy minden x A esetén fennáll az x K ( x k) egyenlőtlenség Ekkor a K () k számot az A számhalmaz egy felső (alsó) korlátjának nevezzük Korlátos számhalmazon alulról is és felülről is korlátos számhalmazt értünk

6 0 A valós számok halmaza Felülről korlátos számhalmazokra vonatkozik a következő axióma: F Ha A felülről korlátos számhalmaz, akkor létezik olyan H valós szám, hogy minden x A esetén x H ; ha K az A halmaz egy felső korlátja, akkor H K Először is vegyük észre, hogy az F axióma egyértelműen meghatározza a H számot Tegyük fel ugyanis, hogy a H és H számokra igaz az axiómában szereplő és tulajdonság Ekkor szerint mind H, mind pedig H felső korlátja az A számhalmaznak, amiből szerint következik egyrészt a H H, másrészt pedig a H H egyenlőtlenség, vagyis H = H Az F axióma biztosította H számot a felülről korlátos A halmaz legkisebb felső korlátjának, felső határának vagy szuprémumának nevezzük és a következőképpen jelöljük: sup A= H Az F axiómából közvetlenül adódik alulról korlátos számhalmazokra a következő állítás: Ha A alulról korlátos számhalmaz, akkor létezik olyan h valós szám, hogy minden x A esetén x h ; ha k az A halmaz egy alsó korlátja, akkor k h Megjegyezzük, hogy az állításban szereplő h számot az alulról korlátos A halmaz legnagyobb alsó korlátjának, alsó határának vagy infimumának nevezzük és így jelöljük: inf A= h Térjünk rá most állításunk bizonyítására Ennek érdekében legyen { } B = x x A Nyilvánvaló, hogy ha k alsó korlátja az A halmaznak, akkor K = k felső korlátja a B halmaznak és fordítva Mivel A alulról korlátos, ezért B felülről korlátos számhalmaz Legyen H = sup B Ez azt jelenti, hogy minden y B esetén y H, amiből az A és B halmaz közti kapcsolat alapján a h = H jelölés mellett adódik, hogy minden x A esetén k x () Legyen most k az A tetszés szerint választott alsó korlátja Mivel ekkor K = k felső korlátja a B halmaznak, ezért F szerint H K, vagyis K H, ahonnan következik, hogy k h () Az () és a () egyenlőtlenség fennállása azt jelenti, hogy állításunkat igazoltuk Felülről korlátos A számhalmaz esetében F voltaképpen azt mondja ki, hogy a felső korlátok között van legkisebb, a felső határ Más szóval, ez azt jelenti, hogy felülről korlátos számhalmazok esetén létezik olyan szám (a felső határ), amelynél nagyobb nincs a számhalmazban, azonban bármely nála kisebb számnál nagyobb szám már van a számhalmazban Hasonló megállapítások tehetők alulról korlátos számhalmaz és annak alsó határa közti kapcsolatáról Korlátos számhalmaznak természetesen létezik mind alsó, mind felső határa A következő két jellemzés fontos az alkalmazásokban: a) Legyen az A számhalmaz felülről korlátos, és legyen H = sup A A H értelmezéséből következik, hogy H-nál nagyobb szám nincs az A halmazban Tetszés Lásd a X osztályos tankönyvben

7 A valós számok halmaza szerinti ε > 0 szám esetében viszont a H ε szám nem felső korlátja A-nak, tehát létezik olyan x A elem, amelyre x > H ε b) Az alulról korlátos B számhalmaz esetében nincs B-ben a h = inf B számnál kisebb elem, viszont tetszőleges ε > 0 számhoz létezik olyan y B, amelyre fennáll az y < h +ε egyenlőtlenség Vezessük be a következő jelöléseket: = { x + x 0} { x + x 0} = { x x 0} = { x x < 0}, Az és számhalmazok felülről korlátosak Könnyen belátható, hogy mind a kettőnek 0 a szuprémuma: sup = sup = 0 Az halmaz tartalmazza a szuprémumát, míg az halmaz nem Példák ) Az A = (, ) halmaz alulról korlátos és felülről nem 0 x, x A, tehát a 0 egy alsó korlátja A -nak Az A alsó korlátjainak halmaza a (, ] intervallum, tehát a legnagyobb alsó korlát az Az A halmazban nincs sem legnagyobb, sem legkisebb elem ) A B = [5,00) halmaz alulról is és felülről is korlátos mert 5 x 00, x B Az alsó korlátok halmaza (,5] és a felső korlátok halmaza [ 00, ) Így a B halmaz szuprémuma 00 és infimuma 5, ugyanakkor a halmaz legkisebb eleme 5 és nincs legnagyobb eleme 3) Az halmaz alulról korlátos, felülről nem A halmaz legkisebb eleme a 0, ez egyben az alsó határa is 4 Az Arkhimédész féle axióma Sokszor alkalmazzuk majd a következő, úgynevezett Arkhimédész féle axiómát: A Minden a és b pozitív valós számhoz található olyan n természetes szám, amelyre n a > b Megjegyzés a = esetén következik, hogy bármely b valós számnál van nagyobb n természetes szám Az A és F axiómák következménye, hogy x esetén létezik egyetlen olyan n szám, amelyre teljesülnek az n x < n + egyenlőtlenségek Az így kapott n számot az x valós szám egészrészének nevezzük és [ x ]-szel jelöljük Tehát [ x] x < [ x] +, x A valós szám egészrészének segítségével értelmezhetjük a törtrészét is, mint a szám és az egészrészének különbsége Az x valós szám törtrészét { x} -szel jelöljük és értelmezés alapján: {} x = x [ x], x A fentiekből látható, hogy 0 { x} <, x

8 A valós számok halmaza Példák ) Az x =, 3 szám egészrésze [, 3] = és a törtrésze {,3} = 0,3 Pozitív számok esetén a tizedes reprezentáció vessző előtti rész a szám egészrésze és a tizedesvessző utáni rész a szám törtrésze ) Az x = 5, 8 szám egészrésze [ 5, 8] = 6, mert 6 5,8 < 5 Így a törtrésze { 5,8} = 5,8+ 6= 0, A következő pontokban az ismertetett axiómák néhány lényeges következményével, nevezetes részhalmazaival és néhány fontos, -rel kapcsolatos fogalommal ismerkedhetünk meg 5 A testaxiómák néhány következménye Műveletek valós számokkal Igaz a következő állítás: bármely a, b, c \ { 0 }, d esetén pontosan egy olyan x létezik, amelyre a + x = b (illetve c x = d ), mégpedig az x = b + ( a) (illetve az x = d ) c A fenti x számot a b és a számok különbségének (a második esetben pedig a d és c d számok hányadosának) nevezzük és b a -val ( -vel) jelöljük c Igazoljuk a különbség egyértelmű létezését Kiindulva az a és b valós számokból, legyen x = b + ( a) Ekkor, felhasználva az A és A5 axiómákat, a+ x = a+ ( b+ ( a) ) = a+ (( a) + b) Most felhasználjuk az A axiómát, és kapjuk, hogy a+ x = ( a+ ( a) ) + b= 0+ b=b Tehát a -hoz x-et hozzáadva tényleg b-t kapunk Tegyük fel, hogy valamely x esetében a + x = b Adjuk hozzá mind az a + x, mind a b számhoz a ( a ) számot: ( a + x) + ( a) = b + ( a) A és A alkalmazásával, a fenti egyenlőségből következik, hogy ( x+ a) + ( a) = b+ ( a), valamint x + ( a + ( a) ) = b + ( a) Rendre alkalmazva az A3, A5 és A4 axiómákat, kapjuk, hogy x + 0 = b + ( a ), x = b + ( a) Tehát valóban csak egy x létezik amelyre a + x = b, ez az x = b + ( a) szám Állításunknak az osztásra vonatkozó része hasonlóan igazolható Megjegyzések Az A,, A5, M,, M5, D axiómákból könnyen levezethetők a valós számokra vonatkozó, ismert és a középiskolában használt összefüggések Az A3 axióma szerint ( a + b) + c = a + ( b + c), a, b, c, vagyis mindegy, hogy hol állnak a tagok csoportosítását kijelző zárójelek Ezért el is hagyhatjuk őket, ha megállapodunk abban, hogy a + b + c = ( a + b) + c = a + ( b + c) () Az () alatti értelmezésből az A és A3 axióma szerint következik, hogy közömbös a bal oldalon szereplő tagok sorrendje is Például b + c + a = a + b + c

9 A valós számok halmaza 3 Valóban, b + c + a = ( b + c) + a = a + ( b + c) = a + b + c, ahol az axiómákat és az előbbi értelmezést használtuk Eredményünkre úgy is hivatkozhatunk, hogy három tag esetében az összeg független a tagok sorrendjétől Teljesen hasonlóan, az M3 axióma alapján, ab c = ( ab) c = a ( bc), és itt is igaz a megfelelő eredmény, vagyis három tényező esetében a szorzat független a tényezők sorrendjétől Megoldott feladat Határozzuk meg az n n A = halmaz + minimumát, maximumát, infimumát és szuprémumát Mivel 0 <, n, az A halmaz alulról is és felülről is korlátos, tehát n + létezik alsó és felső határa A halmaz legnagyobb eleme, ez tehát egyúttal a szuprémuma is Bizonyítjuk, hogy a halmaz alsó határa a 0 Az értelmezés alapján a következő két állítást kell igazolnunk: 0 <, n - ezt már beláttuk, hogy igaz; n + ε > 0 esetén n úgy, hogy < ε n + Az utóbbi egyenlőtlenség ekvivalens az < n egyenlőtlenséggel, tehát ε n > + De + = és mivel a keresett n szám nem lehet nulla, ε ε ε ezért az n = max, ε értékre biztosan teljesül a kért egyenlőtlenség Így a 0 teljesíti az infimum értelmezésében szereplő feltételeket, tehát inf A = 0 Mivel 0 A, a halmazban nincs legkisebb elem Gyakorlatok Határozd meg a következő halmazok alsó és felső határát, legnagyobb és legkisebb elemét (amikor ezek léteznek): a) A = ; b) A = ; c) A = (,5); d) A = (,0] ; e) A = (7, ); f) A = [000, ); g) A = ( 3,00) ; h) A = [ 8,3) ; i) ( 3,5] { } ; j) A = (,] (3, ) ; k) (,5] (6,03]; l) n = n n A ; m) A= n ; n + n + = x A= x x + 3 x ; n) A { x }; o) { } x 5x + 4 p) A= x > 0 ; r) = { x x > } x + 3 A x

10 4 A valós számok halmaza Határozd meg a következő számok egészrészét és törtrészét: 7 35 n 3n a) a = ; b) a = ; c) a =, n ; d) a =, n 5 3 n + 3 n + 3 Oldd meg a következő egyenleteket: x + a) = x ; b) x + = ; c) 4 x + 3 x = 3 3x 5 ; d) { x + 3 } = ; e) { x + } = [ x ] Feladatok Bizonyítsd be, hogy ha az alábbi egyenlőségekben szereplő kifejezések léteznek, akkor az egyenlőségek igazak (A, B ): a) inf ( A B) inf A inf B, ahol A+ B = a + b a Ab, B ; + = + { } b) su p( A+ B) = sup A+ sup B ; c) inf ( λ A) λ inf A, ahol λ A= λ a a A és ; = { } λ + d) sup( λ A) = λ sup A, ahol λ + Hasonló egyenlőségek igazak akkor is, ha az infimum és szuprémum helyett minimum illetve maximumot írunk Bizonyítsd be, hogy ha f, g : a, b és az alábbi egyenlőtlenségekben szereplő kifejezések léteznek, akkor az egyenlőtlenségek igazak: a) max ( f ( x) + g( x) ) max f( x) + max g( x) ; x a, b x a, b x a, b b) min ( f ( x) + g( x) ) min f( x) + min g( x) ; x a, b x a, b x a, b c) max ( f ( x) g( x) ) max f( x) max g( x), ha f, g : a, b + x a, b x a, b x a, b Hasonló egyenlőségek igazak akkor is, ha a minimum illetve maximum helyett infimumot és szuprémumot írunk 3 Bizonyítsd be, hogy ha a b, a A és b B esetén (A, B ), akkor sup A inf B 4 Számítsd ki a következő kifejezések egészrészét és törtrészét: 00 nn+ ( ) a) ( + 3) ; b) n + n, n ; c), n 6 5 Számítsd ki a következő összegeket: n a) k + k + ; b) 003 n kk ( + ) k= k= 6 ; c) { ( ) k 3+ } k= 6 Számítsd ki a min { max { x + y + z, y + z + x, z + x + y} } xyz,, kifejezés értékét!