A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait."

Andrea Vörös
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz, amelyben értelmezett egy V V V, (a,b) a+b összeadásnak, továbbá egy K V V, (k,a) ka skalárral való szorzásnak nevezett mővelet. A V halmazt e rajta értelmezett mőveletekkel K test feletti vektortérnek nevezzük, ha eleget tesz az alábbi axiómáknak: Az összeadás axiómái: (A.1) Az összeadás kommutatív: minden a,b V elempárra teljesül a+b=b+a. (A.2) Az összeadás asszociatív: minden a,b,c V elemhármasra fennáll (a+b)+c=a+(b+c). (A.3) Létezik olyan n V elem, amelyre minden a V esetén n+a=a+n=a. (A.4) Minden a V elemhez létezik olyan a' V elem, hogy érvényes a+a'=a'+a=n. A skalárral való szorzás axiómái: (M.1) Minden k,l K skalárpárra és minden a V elemre teljesül (k+l)a=ka+la. (M.2) Minden k K skalárra és minden a,b V elempárra érvényes k(a+b)=ka+kb. (M.3) Minden k,l K skalárpárra és minden a V elemre fennáll (kl)a=k(la). (M.4) Az 1 K egységelemre és minden a V elemre fennáll 1a=a. A csoport fogalmának felhasználásával az összeadás axiómái helyettesíthetık azzal a kijelentéssel, hogy a (V,+) struktúra egy Abel csoport. A V halmaz elemeit vektoroknak nevezzük, s ha ki akarjuk hangsúlyozni, hogy V a K test feletti vektortér, akkor a (K,V) jelölést alkalmazzuk. Megjegyezzük, hogy a vektortér helyett gyakran használják a lineáris tér elnevezést is. A matematika nagyon sok területén találkozhatunk vektorterekkel. Néhány ilyen példát mutatunk be a következıkben. 17

A V halmazt e rajta értelmezett mőveletekkel K test feletti vektortérnek nevezzük, ha eleget tesz az alábbi axiómáknak: Az összeadás axiómái: (A.

2 2.1. Példa: Az euklideszi sík (tér) geometriai vektorai a szokásos vektorösszeadás és a valós számmal való szorzással a valós számok R teste feletti vektorteret alkotnak, amelyet G 2 (G 3 ) jelöl a továbbiakban Példa: Legyen K egy test és K n a test rendezett elem n-eseinek halmaza. Ha (a 1,...,a n ), (b 1,...,b n ) K n, akkor az összeadást az (a 1,...,a n )+(b 1,...,b n ) (a 1 +b 1,...,a n +b n ), a k K skalárral való szorzást a k(a 1,...,a n ) (ka 1,...,ka n ) módon értelmezve egy K test feletti vektortérhez jutunk Példa: Legyen K egy test, s jelölje K[x] a K feletti 1-határozatlanú polinomok halmazát. A K[x] a szokásos polinomösszeadás és polinomnak K-beli elemmel való szorzásával egy K test feletti vektorteret alkot Példa: Ha F jelöli az [a,b] R intervallumon értelmezett valós értékő függvények halmazát, s az összeadást, illetve a valós számmal való szorzást az (f+g)(x) f(x)+g(x) és (cf)(x) c f(x) módon definiáljuk (c R, f,g F), akkor F az R test felett vektorteret alkot Példa: A komplex számok C halmaza a komplex számok közötti szokásos összeadás és komplex számnak valós számmal való szorzásával a valós számok R teste feletti vektorteret alkot. A fenti példák részletes kidolgozását az olvasóra bízzuk. További példákat a fejezet végén levı feladatok között találhatunk. Ezután a (K,V) vektorteret értelmezı axiómákból levezethetı egyszerő tulajdonságokkal foglalkozunk. Az (A.2), illetve az (A.1) axiómákból az általános asszociativitás tétele, illetve az általános kommutativitás tétele alapján könnyen adódik a 2.6. Tulajdonság: A V vektortérben tetszıleges véges számú vektoron végrehajtott összeadás eredménye független a zárójelek elhelyezésétıl és a vektorok sorrendjétıl is. 18

..,a n +b n ), a k K skalárral való szorzást a k(a 1,...,a n ) (ka 1,...,ka n ) módon értelmezve egy K test feletti vektortérhez jutunk. 2.3.

3 Most az (A.3) axiómában szereplı n V vektorral foglalkozunk Tulajdonság: Egyetlen olyan n V vektor létezik, amelyre minden a V mellett n+a=a+n=a teljesül. Ha n' V olyan vektor, amelyre minden a V esetén n'+a=a+n'=a teljesül, akkor az a=n helyettesítéssel n'+n=n+n'=n, az (A.3) axiómából pedig az a=n' helyettesítéssel n+n'=n'+n=n' adódik, ami az elızıvel összevetve éppen az n=n' eredményt szolgáltatja. Az (A.3) axiómának eleget tevı, s a 2.7. tulajdonság szerint egyértelmően meghatározott elemet zérusvektornak, vagy nullvektornak nevezzük és a 0 szimbólummal jelöljük Tulajdonság: Minden a V vektorhoz egyetlen olyan a' V vektor létezik, amelyre a+a'=a'+a=0 teljesül. Ha a'* V olyan vektor, hogy valamely a V vektorral a+a'*=a'*+a=0, akkor az (A.2) és az (A.4) axiómák alapján a'=0+a'=(a'*+a)+a'=a'*+(a+a')= =a'*+0=a'* adódik. Az (A.4) axiómában szereplı, továbbá a 2.8. tulajdonság szerint minden a V vektorhoz egyértelmően meghatározott vektort az a V ellentett vektorának nevezzük és a (-a) szimbólummal jelöljük. Most már értelmezhetjük a vektorok kivonását a következıképpen: ha a,b V, akkor az a vektorból a b vektor kivonását az a-b a+(-b) összefüggéssel definiáljuk Tulajdonság: Minden a V vektorra -(-a)=a, továbbá minden a,b V vektorpárra -(a+b)= =-a-b teljesül. Az (A.2) axióma, valamint a 2.7. és a 2.8. tulajdonságok szerint -(-a)=0+ +[-(-a)]=[a+(-a)]+[-(-a)]=a+[(-a)+(-(-a))]=a+0=a adódik. Az (A.1), (A.2) axiómák, illetve a 2.7. és 2.8. tulajdonságok felhasználásával (a+b)+ 19

3) axiómából pedig az a=n' helyettesítéssel n+n'=n'+n=n' adódik, ami az elızıvel összevetve éppen az n=n' eredményt szolgáltatja. Az (A.3) axiómának eleget tevı, s a 2.7.

4 +(-b-a)=a+[b+(-b)]+(-a)=a+0+(-a)=a+(-a)=0, s az ellentett vektor egyértelmősége miatt ebbıl azonnal következik állításunk helyessége. A vektorok összeadására is teljesül az egyszerősítési szabály Tulajdonság: Minden a,b,c V vektorhármasra a+b=a+c maga után vonja b=c teljesülését. Az (A.2) axióma és a 2.8. tulajdonság alapján b=0+b=[(-a)+a]+b= =(-a)+(a+b)=(-a)+(a+c)=[(-a)+a]+c=0+c=c adódik Tulajdonság: Legyen V egy K test feletti vektortér, ha k K és a V, akkor ka=0 akkor és csakis akkor áll fenn, ha k=0 vagy a=0. Ha k=0, akkor az (M.1) axióma felhasználásával 0a=(0+0)a=0a+0a, amibıl a tulajdonság szerint 0=0a, ha pedig a=0, akkor az (M.2) axióma miatt k0=k(0+0)=k0+k0, ahonnan a tulajdonság alapján 0=k0 következik. Megfordítva, legyen ka=0. Ha k=0, akkor készen vagyunk, ha pedig k 0, akkor az 1.4. tulajdonság szerint létezik és egyértelmően meghatározott a k -1 K, amelynek felhasználásával 0=k -1 0=k -1 (ka)=(k -1 k)a=1a=a következik az (M.3) és az (M.4) axiómák figyelembevételével Tulajdonság: Legyen V egy K test feletti vektortér, ekkor minden k K és a V esetén (-k)a=k(-a)=-(ka). Az (M.1) axióma, az 1.4. és a tulajdonságok szerint ka+(-k)a= =[k+(-k)]a=0a=0, amibıl az ellentett vektor egyértelmősége miatt (-k)a=-(ka) következik. Az (M.2) axióma, a 2.8. és a tulajdonságok felhasználásával ka+ +k(-a)=k[a+(-a)]=k0=0, ebbıl szintén az ellentett vektor egyértelmősége szerint k(-a)=-(ka) következik Tulajdonság: Ha V egy K test feletti vektortér, akkor minden k,l K és a,b V esetén fennáll k(a-b)=ka-kb és (k-l)a=ka-la. 20

2.11. Tulajdonság: Legyen V egy K test feletti vektortér, ha k K és a V, akkor ka=0 akkor és csakis akkor áll fenn, ha k=0 vagy a=0. Ha k=0, akkor az (M.

5 Az (M.2) axióma és a tulajdonság szerint k(a-b)=k[a+(-b)]=ka+ +k(-b)=ka+[-(kb)]=ka-kb, az (M.1) axióma és a tulajdonság alapján pedig (k-l)a=[k+(-l)]a=ka+(-l)a=ka+[-(la)]=ka-la következik Tulajdonság: Ha V egy K test feletti vektortér, akkor minden k 1,k 2,...,k n K és minden a V esetén érvényes a (k 1 +k k n )a=k 1 a+k 2 a+...+k n a összefüggés. Az (M.1) axióma szerint n=2 esetén igaz az állítás. Tegyük most fel, hogy állításunk minden k n-1 esetén igaz. Ekkor az (M.1) axióma és az indukciós feltevés alapján (k 1 +k k n )a=[(k 1 +k k n-1 )+k n ]a=(k k n-1 )a+k n a= =(k 1 a+...+k n-1 a)+k n a=k 1 a+...+k n a adódik Tulajdonság: Ha V egy K test feletti vektortér, akkor minden k K és minden a 1,a 2,...,a m V esetén igaz a k(a 1 +a a m )=ka 1 +ka ka m összefüggés. Az (M.2) axióma szerint m=2 esetén igaz az állítás. Tegyük fel, hogy állításunk minden l m-1 esetén igaz. Ekkor az (M.2) axióma, s az indukciós feltétel alapján k(a 1 +a a m )=k[(a a m-1 )+a m ]=k(a a m-1 )+ka m = =(ka ka m-1 )+ka m =ka ka m következik Tulajdonság: Ha V egy K test feletti vektortér, akkor minden k 1,k 2,...,k n K és minden a 1,a 2,...,a m V esetén érvényes a (k k n )(a a m )=k 1 a k 1 a m k n a k n a m. A és a tulajdonságok felhasználásával (k k n ) (a a m )= =k 1 (a a m )+...+k n (a a m )=(k 1 a k 1 a m )+...+(k n a k n a m )=k 1 a k n a m. Ez utóbbi tulajdonság úgy fogalmazható meg, hogy skalárok többtagú összegét vektorok többtagú összegével úgy szorozzuk meg, hogy minden skalárt minden vektorral megszorzunk, majd az így kapott vektorokat összegezzük. 21

1) axióma szerint n=2 esetén igaz az állítás. Tegyük most fel, hogy állításunk minden k n-1 esetén igaz. Ekkor az (M.1) axióma és az indukciós feltevés alapján (k 1 +k 2 +...+k n )a=[(k 1 +k 2 +.

6 A vektorok összeadása és az elsı fejezetben vizsgált skalárok összeadása azért rendelkezik azonos mőveleti tulajdonságokkal, mert a (V,+) és a (K,+) egyaránt Abel csoport, ahogyan azt a vektortér értelmezésével kapcsolatban már korábban is említettük. Feladatok: 1. Mutassuk meg, hogy minden K test egy önmaga, azaz K feletti vektorteret alkot, ha az összeadás azonos a K-beli összeadással, A k K skalárnak az a K vektorral való szorzata pedig a K-beli szorzással elıálló ka K vektorral egyenlı. 2. Bizonyítsuk be, hogy a valós számok R halmaza a racionális számok Q teste felett vektorteret alkot, amelyben az összeadást a valós számok közötti összeadás, a racionális számmal, mint skalárral való szorzást a valós számok közötti szokásos szorzás jelenti. 3. Igazoljuk, hogy a K test feletti legfeljebb n-ed fokú polinomok K n [x] halmaza a polinomok szokásos összeadásával és polinomnak K-beli skalárral való szorzásával a K test felett vektorteret alkot. 4. Legyen K egy tetszıleges test, H egy tetszıleges halmaz és H K {f f:h K} a H halmaznak a K halmazba való összes leképezései. Ha f,g H K és c K, akkor az f+g H K, és a c f H K leképezéseket minden x H esetén az (f+g)(x) f(x)+g(x) és a (c f)(x) c f(x) összefüggésekkel értelmezzük. Bizonyítsuk be, hogy H K egy K test feletti vektortér. 5. Legyen K egy test és {x} egy tetszıleges, egy elemő halmaz. Ha az összeadást az x+x x, a skalárral való szorzást pedig a kx x értelmezi minden k K esetén, akkor bizonyítsuk be, hogy {x} a fenti mőveletekkel egy K feletti vektortér. 6. Bizonyítsuk be, hogy ha V egy K test feletti vektortér, akkor minden k K és a V esetén érvényes a (-k)(-a)=ka összefüggés. 22

Mutassuk meg, hogy minden K test egy önmaga, azaz K feletti vektorteret alkot, ha az összeadás azonos a K-beli összeadással, A k K skalárnak az a K vektorral való szorzata pedig a K-beli szorzással

Hasonló dokumentumok

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz