Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Átírás

1 Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei. Összetett esemény: legalább 2 tle különböz esemény összegeként állítható el. Ha A csak azokban az esetekben következhet be amikor a B esemény is bekövetkezik, akkor az A maga után vonja a B eseményt, azaz A B. A és B akkor azonos esemény, ha teljesül mind A B, mind B A, ekkor A = B. Egy kísérlettel kapcsolatos elemi események összessége a T eseményteret alkotja. Lehetetlen esemény: ( O ) amely soha nem következik be. Biztos esemény: ( I ) amely a kísérlet során mindig bekövetkezik. A ellentett eseménye az amely akkor, és csakis akkor következik be, amikor A nem következik be. = O, és = I. Mveletek eseményekkel: Összeadás: A és B események A + B összegén azt az eseményt értjük, mely pontosan akkor következik be ha A és B közül legalább az egyik bekövetkezik. Kommutatív és asszociatív : A + B = B + A és A + (B + C) = (A + B) + C Szorzás: A 1 A 2. A n pontosan akkor következik be, ha az összes tényez esemény bekövetkezik. Kommutatív és asszociatív: AB = BA és A(BC) = (AB)C Ha A és B szorzata lehetetlen esemény, azaz AB = O, akkor A és B kizárják egymást. Tetszleges A eseményre fennállnak az alábbiak: A + A = A AO = O AA = A A + I = I A + O = A AI = A A + = I A = O Tetszleges A, B, C eseményekre teljesül az alábbi két törvény: A(B + C) = AB + AC és A + (BC) = (A + B)(A + C) Az A és B események összegének ellentettjére és szorzatának ellentettjére fennállnak az alábbi de Morgan féle képletek:

2 A + B = A B és AB = A + B Kettnél több komponens esetén: A 1 + A A n = A 1 A 2 A n Illetve A 1 A 2 A n = A 1 + A A n Kivonás: B és A esemény különbsége az az esemény, mely akkor következik be, ha B teljesül de A nem, azaz: B A = B. A B 1, B 2,, B n események teljes eseményrendszert alkotnak, ha B 1 + B B n = I és B i B j = O, ha i j (i = 1, 2,, n; j = 1, 2,, n) Események valószínsége Valamely kísérlettel kapcsolatos esemény a kísérlet n-szeri ismétlése során észlelt bekövetkezéseinek k száma osztva a kísérletek n számával megadja az A eseménynek a kísérletsorozatra jellemz relatív gyakoriságát. A tapasztalat azt mutatja hogy ha egyre több kísérletsorozatból határozzuk meg az A relatív gyakoriságát, akkor a kapott relatív gyakoriságok egyre kisebb mértékben ingadoznak egy rögzített szám körül. Ezt a számot az A esemény valószínségének nevezzük és P(A)-val jelöljük. Események valószínségére fennállnak az alábbiak: I. 0 P(A) 1 II. P(O) = 0, P(I) = 1 III. Ha AB = O, akkor P(A + B) = P(A) + P(B), illetve általánosan IV. Ha az A 1, A 2,, A n, események páronként kizárják egymást, akkor P(A 1 + A A n + ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ) + ) A fentiekbl következnek az alábbiak: Ha az A B, akkor P(A) P(B). Ha A és B egy kísérlet 2 eseménye, akkor P(A + B) = P(A) + P(B) P(AB). Ha A 1, A 2,, A n teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P(A 1 + P(A 2 ) + + P(A n ) = 1. Ha A egy kísérlet egy eseménye, és ellentettje, akkor P(A) + P() = 1. Klasszikus valószínségi mez Ha egy kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes elemi eseményeknek azonos a valószínségük, akkor a kísérlettel kapcsolatos események és ezek valószínségei együtt un. klasszikus valószínségi mezt alkotnak. Ha az A esemény a kísérlet n elemi eseménye közül k különböz elemi esemény összegébl áll, akkor valószínsége: P(A) = k/n

3 A feltételes valószínség fogalma Legyen A és B egy kísérlettel kapcsolatos 2 esemény, és P(B) 0. Az A eseménynek B feltétel melletti P(A B) feltételes valószínsége az A esemény valószínségét jelenti, feltéve hogy a B esemény bekövetkezett, azaz P(A B) = P(AB) / P (B). Ebbl 2 esemény szorzatának valószínsége az alábbiak szerint adódik: P(AB) = P(A B) P(B). Legyenek A 1, A 2,, A n tetszleges események, ezek szorzatának valószínsége: P(A 1 A 2 A n ) = P(A n A 1,. A n 1 ) P(A n - 1 A 1 A n 2 ) P(A 2 A 1 ) P(A 1 ) A teljes valószínség tétele. Ha a B 1, B 2,, B n események teljes eseményrendszert alkotnak és P(B i 0) (i = 1, 2,, n), akkor tetszleges A esemény valószínségére érvényes az alábbi összefüggés: Bayes tétele P(A) = P(A B 1 )P(B 1 ) + P(A B 2 )P(B 2 ) + + P(A B n )P(B n ) = = i = 1 Σ n P(A B i )P(B i ) Ha a B 1, B 2,, B n események teljes eseményrendszert alkotnak és P(B i 0) (i = 1, 2,, n), továbbá tetszleges A eseményre melyre P(A) 0, akkor P(B i A) = P(A B i )P(B i ) / j = 1 Σ n P(A B j )P(B j ) Események függetlensége Az A eseményt a B eseménytl függetlennek nevezzük, ha teljesül hogy P(A B) = P(A). Ha az A esemény a B eseménytl, akkor B esemény is független A-tól. A és B egymástól való függetlenségét fejezi ki az alábbi összefüggés is: P(AB) = P(A)P(B) Az A 1, A 2,, A n események teljesen függetlenek, ha közülük bárhogyan kiválasztva k (k = 2, 3,, n) számú A i1, A i2,, A ik eseményeket, ezekre fennáll az alábbi összefüggés: P(A i1, A i2,, A ik ) = P(A i1 )P(A i2 ) P(A ik ) Kettnél több esemény függetlenségéhez nem elég ha páronként függetlenek, mert összességükben még fennállhat közöttük kapcsolat. Két vagy több kísérletet függetlennek nevezünk, ha mindegyik kísérlet egy egy tetszleges eseményét kiválasztva az így kapott események függetlenek. A és B események függetlensége azt jelenti hogy fennáll: P(AB) = P(A)P(B)

4 A valószínségi változó fogalma, diszkrét valószínségi változó és eloszlása. Egy T eseménytér elemi eseményeihez egy egy számértéket rendelve egy függvényt értelmezünk, melyet valószínségi változónak nevezünk és ξ-vel jelölünk. Ha a ξértékkészlete a véges, vagy végtelen x 1, x 2,, x k, sorozat, akkor ξ-t diszkrét eloszlású valószínségi változónak, vagy rövidebben diszkrét valószínségi változónak nevezzük. Legyen A k a T eseménytér azon elemi eseményeinek részhalmaza melyekhez ξ az x k értéket rendeli, akkor a p k = P(ξ = x k ) = P(A k ) valószínségeket a ξ változó eloszlásának nevezzük, és azt mondjuk hogy a ξ az x k értéket p k valószínséggel veszi fel. Az A k események teljes eseményrendszert alkotnak, ezért a megfelel valószínségek összege: p k = P(ξ = x k ) = Σ P(A k ) = 1 k = 1 k = 1 k = 1 Eloszlásfüggvény, folytonos valószínségi változó eloszlásfüggvénye. Egy ξ valószínségi változó F(x) eloszlásfüggvénye azt adja meg, hogy milyen valószínséggel veszi fel ξ az x-nél kisebb értékeket: F(x) = P(ξ < x). Az F(x) tulajdonságai: 1. monoton növekv, azaz F(x 2 ) F(x 1 ) ha x 2 > x 1 2. lim F(x) = 0 x - 3. lim F(x) = 1 x 4. lim F(x) = F(x 0 ) x x0 0 Jelentse az A esemény azt hogy ξ értékére fennáll a ξ < b, ekkor P(a) = P(a ξ < b) = F(b) F(a) Diszkrét valószínségi változó eloszlásfüggvénye lépcss függvény. Egy ξ valószínségi változó srségfüggvényének nevezzük az f(x) függvényt ha ezzel a ξ F(x) eloszlásfüggvénye az alábbiak szerint adható meg: x F(x) = f(t) dt. - Ha ξ-nek létezik srségfüggvénye, akkor F(x) folytonos, ilyenkor ξ-t folytonos (eloszlású) valószínségi változónak nevezzük. Ekkor fennáll: F (x) = f(x). A srségfüggvény tulajdonságai: f(x) 0 (nem negatív) f(x) dx = 1 -

5 Jelentse az A esemény hogy ξ felvett értékeire teljesül hogy a ξ < b. Legyen f(x) ξ srségfüggvénye, ekkor fennáll: b P(A) = P(a ξ < b) = f(x) dx. a A várható érték Ha egy valószínségi változóval kapcsolatban független kísérleteket hajtunk végre, akkor a ezek során valószínségi változó felvett értékei, - és számtani középértékük is, - általában egy meghatározott szám körül ingadoznak. Minél több kisérletet végzünk, az ingadozás annál kisebb mérték lesz. Azt az (elméleti) értéket, mely körül a tapasztalati értékek ingadoznak, várható értéknek nevezzük. Ha ξ diszkrét valószínségi változó, mely az x k (k = 1, 2,..) értéket p k (k = 1, 2, ) valószínséggel veszi fel, akkor ξ várható értéke M(ξ) = Σ p k x k. Ha ξ végtelen sok értéket vehet fel, akkor a várható értéket csak akkor értelmezzük ha a fenti sor abszolút konvergens, azaz Σ x k p k < k = 1 Ha ξ folytonos eloszlású val. Változó, melynek srségfüggvénye f(x), akkor várható értéke: M(ξ) = x f(x) dx, feltéve hogy x f(x) dx konvergens. - - A szórás A szórás a valószínségi változó várható értéke körüli szóródását méri. Négyzete az un. szórásnégyzet, ξ és M(ξ) eltérése négyzetének várható értéke, azaz D 2 (ξ) = M {[ξ - M(ξ)] 2 }. A szórást D(ξ)-vel jelöljük, ez a szórásnégyzet négyzetgyöke, mindkett csak akkor van értelmezve ha a fenti várható értékek léteznek. Az alábbi összefüggéssel a szórás egyszerbben számítható ki: D 2 (ξ) = M(ξ 2 ) [M(ξ)] 2 Ha ξ diszkrét valószínségi változó, szórásnégyzete, - amennyiben létezik, - az alábbiak szerint számítható ki: D 2 (ξ) = Σ x k 2 p k ( Σ x k p k ) 2 k = 1 k = 1 Ha ξ folytonos eloszlású valószínségi változó, melynek srségfüggvénye f(x), akkor szórásnégyzete amennyiben létezik, az alábbiak szerint adódik: D 2 (ξ) = x 2 f(x) dx [ x f(x) dx ] 2 - -

6 Diszkrét eloszlások Binomiális eloszlás Legyen egy kísérlet valamely A eseményének valószínsége P(A) = p, és az ellentett eseményé P() = 1 p = q. Ismételjük meg a kísérletet n-szer, egymástól függetlenül! Legyen a ξ valószínségi változó értéke az A esemény bekövetkezéseinek száma. Annak valószínsége hogy ξ az x k = k (k = 0, 1,, n) értéket veszi fel, n P k = P(ξ =k) = ( )p k q n k (k = 0, 1,, n) k A binomiális eloszlású valószínségi változó várható értéke és szórása: M(ξ) = np, D 2 (ξ) = npq Az eloszlás csak akkor szimmetrikus, ha p = 0,5 Poisson eloszlás Ha a ξ val. változó az x k = k (k = 0, 1, 2, ) értékeket veheti fel és eloszlásfüggvénye P(ξ = k) = p k = (λ k / k!) e -λ (k = 0, 1, 2, ), ahol λ > 0 tetszleges adott szám, ξ eloszlását λ paraméter Poisson eloszlásnak nevezzük. A Poisson eloszlású ξ valószínségi változó várható értéke és szórása: M(ξ) = λ, D(ξ) = (λ) 1/2 A Poisson eloszlás tagjai bizonyos esetekben megfelel paraméter választásával jól közelítik a binomiális eloszlás tagjait: ha nagy a binomiális eloszlásban n értéke k-hoz képest, és p értéke kicsi, akkor λ = np választva fennáll : n ( ) p k q n k [ (np) k /k! ] e np = (λ k /k!)e - λ k Legegyszerbben az alábbi rekurziós formulával számítható: P(0) = e - λ, és P(k + 1) = [λp(k)] / (k + 1) Folytonos eloszlások Egyenletes eloszlás Egy ξ folytonos eloszlású valószínségi változót az (a,b) intervallumon egyenletes eloszlásúnak mondunk, ha srségfüggvénye: 0, ha x a; f(x) = 1/ (b a), ha a < x b; 0, ha x > b. Ebbl következen eloszlásfüggvénye:

7 0, ha x a; F(x) = P(ξ < x) = (x a) / (b a), ha a < x b; 1, ha x > b. Annak valószínsége hogy ξ az (a, b ) részintervallumba (a a, b b) esik, egyenl a részintervallum hosszának és a teljes (a,b) intervallum hosszának hányadosával, vagyis: b P(a ξ < b ) = f(x) dx = (b a ) / (b a) a Várható értéke és szórásnégyzete: M(ξ) = (a + b) / 2 illetve D 2 (ξ) = (b a) 2 /12 Exponenciális eloszlás Egy ξ folytonos eloszlású változót exponenciális eloszlásúnak nevezünk, ha srségfüggvényének alakja: f(x) = 0, ha x 0, és f(x) = λe -λx paramétere. ξ eloszlásfüggvénye:, ha x > 0, λ tetszleges pozitív szám, az eloszlás 0, ha x 0; F(x) = P(ξ < x) = 1 e -λx, ha x > 0. A λ paraméter exponenciális eloszlású valószínségi változó várható értéke és szórása: M(ξ) = 1 / λ; illetve D(ξ) = 1 / λ. Ha a ξ valamilyen esemény bekövetkezéséig eltelt idtartamot jelöli és ξ olyan tulajdonságú hogy ha a kiinduló idponttól tetszleges T idpontig még nem következett be az esemény, akkor tekinthet ez a T idpont is kiinduló idpontnak, vagyis: P(ξ T + t ξ T) = P(ξ t), akkor ξ exponenciális eloszlású. Ez esetben kis t értékekre az esemény bekövetkezésének feltételes valószínsége, feltéve hogy a t szakasz kezdetéig az esemény nem következett be: P(ξ < T + t ξ T) = λ t. Vagyis az esemény bekövetkezésének esélye az id múlásával nem n, - az exponenciális eloszlású változó nem öregszik. Normális eloszlás Egy ξ valószínségi változót normális eloszlásúnak nevezünk, ha srségfüggvénye: f(x) = [1 / (2) 1/2 ]e u u = [(x m) 2 / 2 2 ]

8 ahol m tetszleges valós szám, tetszleges pozitív szám lehet; m és az eloszlás 2 paramétere. eloszlásfüggvénye: x F(x) = P( < x) = 1/ [ (2) 1/2 ] e -u dt ; u = [(t m) 2 /2 2 ] - várható értéke és szórása: M() = m; D() =. Ha m = 0 és = 1, akkor srségfüggvénye: (x) = 1/ (2) 1/2 e -v ; v = x 2 /2 x Az eloszlásfüggvénye pedig: (x) = 1 / (2) 1/2 e -v dt; v = t 2 /2 - Ezt standard normális eloszlásnak nevezzük. A (x) és (x) függvényekkel az m és paraméter normális eloszlású valószínségi változó srségfüggvénye és eloszlásfüggvénye az alábbiak szerint adható meg: f(x) = (1 /)[(x m)/ ], illetve F(x) = [(x m)/] A normális eloszlás srségfüggvénye szimmetrikus a várható értékre. Így fennállnak az alábbi összefüggések: (-x) = (x); (-x) = 1 (x) Ebbl következen a standard normális eloszlásra P( -x < x) = (x) (-x) = (x) [1 (x)] = 2(x) 1 χ 2 eloszlás Csak pozitív számokra értelmezzük. Legyenek x 1, x 2,, x n egymástól független standard normális eloszlású valószínségi változók. Ekkor a χ 2 = x x x n 2. χ 2 eloszlású valószínségi változó, n szabadsági fokkal. Paramétere n, várható értéke M(χ 2 ) = n, szórásnégyzete D 2 (χ 2 ) = 2n. Az eloszlás nem szimmetrikus. Student eloszlás

9 W. Gosset ír kémikustól származik. Legyenek Y, x 1, x 2,, x n független, standard normális eloszlású valószínségi változók. Képezzük az n szabadsági fokú χ 2 eloszlású valószínségi változót. Osszuk el ezt a szabadsági fokok számával, és vonjunk a hányadosból négyzetgyököt. Így (χ 2 /n) 1/2 hez jutunk. Ha az Y standard normális eloszlású valószínségi változót osztjuk a fenti kifejezéssel, az n szabadsági fokú Student eloszlású valószínségi változóhoz jutunk: t n = (n) 1/2 Y / (x x x n 2 ) 1/2 értelmezési tartománya - < x < +. Paramétere n, ahol n pozitív egész szám. n 20 esetén gyakorlatilag egybeesik a normális eloszlással. Fisher eloszlás (F eloszlás) Legyen 2 független χ 2 eloszlású n 1 és n 2 szabadsági fokú valószínségi változó, X 1 és X 2. A hányadosukból képzett F = (X 1 / n 1 ) / (X 2 / n 2 ) eloszlás. Két paramétere n 1 és n 2, várható értéke: valószínségi változó eloszlása a Fisher M(F) = n 2 / (n 2 2), feltéve hogy n 2 > 2. Szórásnégyzete: D 2 (F) = [2n 2 2 (n 1 + n 2 2)] / [n 1 (n 2 2) 2 (n 2 4)] Elssorban szórások összehasonlítására alkalmazzák. Megoldandó feladatok a gyakorlatra: 1. 2 játékos felváltva dob kosárra, ha egyikük dobása sikeres abbahagyják a játékot. 0,5 a valószínsége. hogy a kezd játékos talál, 0,6 a val. a másik sikeres dobásának. Írjuk fel annak a valószínségi változónak az eloszlását melynek értékei azon dobások száma, melyet a játékosok a sikeres dobással együtt végeznek 2. 2 pontot választunk találomra egy egységnyi hosszúságú szakaszon. Mennyi a 2 pont távolságának várható értéke?