VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

Átírás

1 VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok

2 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után. A játék addig tart, amíg egyikük kosarat nem dob, de legfeljebb 4 alkalommal dobnak fejenként. A ξ valószínűségi változó jelentse az A játékos dobásainak számát! Határozza meg: a) A ξ eloszlását! b) Az eloszlásfüggvényt! c) A ξ várható értékét és szórását! d) Móduszt, mediánt! e) Számítsa ki az alábbi valószínűségeket: P(ξ<3), P(1<ξ), P(1 ξ<4)!

3 2. Feladat (Ismétléses mintavétel) Budapesten a háztartások 75%-a rendelkezik kávéfőzővel. Ismétléses mintavételi módszerrel kiválasztunk 20 háztartást Mennyi annak valószínűsége, hogy a) A megkérdezett háztartások mindegyike rendelkezik kávéfőzővel? b) A megkérdezettek között 3-nál kevesebbnek van kávéfőzője? c) A megkérdezettek között legalább 4-nek van kávéfőzője?

4 3. Feladat (Ismétlés nélküli mintavétel = Hipergeometriai eloszlás) Számítsuk ki annak valószínűségét, hogy egy szelvénnyel játszva, az ötös LOTTÓ-n a) 5 találatunk, b) 4 találatunk c) 3 találatunk d) 2 találatunk e) 1 találatunk lesz? f) Nem lesz találatunk?

5 4. Feladat (Binomiális eloszlás) A főiskolai valószínűségszámítás-msc kurzus 50 hallgatója egymástól függetlenül 2/3 valószínűséggel jár be az órákra. Válaszoljon az alábbi kérdésekre: a) Átlagosan hányan vannak jelen az órákon? b) Mi a valószínűsége, hogy az órán mindenki jelen van? c) Mi a valószínűsége, hogy a jelenlevők száma legalább egy tarokkpartira (4 fő) elegendő?

6 5. Feladat (Poisson eloszlás) Tegyük fel, hogy egy telefonközpontba egy perc alatt átlagosan 4 hívás fut be. Mennyi annak valószínűsége, hogy a) 1 percig figyelve a hívásokat, pontosan 6 hívást regisztrálnak? b) 3 perc alatt legfeljebb 2 hívás érkezik? c) 2 perc alatt legalább 3 a beérkező hívások száma?

7 6. Feladat (Folytonos eloszlás) Egy R sugarú kör alakú céltáblára lövünk egy puskával. Tegyük fel, hogy minden lövés eltalálja a céltáblát, és a találatok eloszlása a céltáblán egyenletes, azaz a tábla minden pontját azonos valószínűséggel találjuk el. Legyen a ξ valószínűségi változó a találat távolsága a céltábla középpontjától. a) Határozza meg a ξ eloszlásfüggvényét! b) Határozza meg a ξ sűrűségfüggvényét! c) Számítsa ki a várható értéket és a szórást! d) Határozza meg a P(ξ<0,5 R); P(0,25 R<ξ); P(0,1 R<ξ<0,9 R) valószínűségeket! e) Számítsa ki az eloszlás móduszát és mediánját!

8 7. Feladat (Folytonos eloszlás) Egy folytonos eloszlású, ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az alábbi: f(x) = x A cos, ha 0 < 2 0, különben x < π Határozza meg az alábbiakat: a) A =? b) ξ eloszlásfüggvényét! c) A várható értéket és a szórást! d) Móduszt, mediánt! e) Számítsa ki a következő valószínűségeket: P(ξ< 2 π )=, P(ξ 2 π )=, P( 4 π <ξ)=, P(-1<ξ< 3 π )=,

9 8. Feladat (Folytonos egyenletes eloszlás) Reggel 8:00 és délután 13:00 óra között egy fontos telefonhívást várunk. A hívás ebben az időintervallumban bármikor, azonos valószínűséggel beérkezhet. a) Adja meg a sűrűségfüggvényt és az eloszlásfüggvényt. b) Számítsa ki annak valószínűségét, hogy a hívás fél 10 és 12:00 között érkezik be!

10 9. Feladat (Folytonos eloszlás) Egy folytonos eloszlású, ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az alábbi: f(x) = A, ha 1< x 4 x 0, különben Határozza meg az alábbiakat: a) A =? b) ξ eloszlásfüggvényét! c) A várható értéket és a szórást! d) Móduszt, mediánt! e) Számítsa ki a következő valószínűségeket: P(ξ<3)=, P(ξ 4)=, P(2<ξ)=, P(0<ξ<5)=,

11 10. Feladat (Exponenciális eloszlás) A tapasztalatok szerint egy benzinkútnál az üzemanyagot tankolók 10%-a várakozik 6 percnél többet. Mi a valószínűsége annak, hogy véletlenszerűen a kúthoz érkezve a) 3 percen belül sorra kerülünk? b) Legalább 5 percet kell várni? c) A várakozási idő egy 2 és 4 perc közötti időtartam?

12 11. Feladat (Normális eloszlás) Egy automata gép által csomagolt vaj tömege normális eloszlású valószínűségi változó. A tömeg átlagértéke 100g, az átlagtól való átlagos eltérés mértéke 2g. Mekkora annak valószínűsége, hogy a) A vaj tömege 97g és 104g közé esik? b) A vaj tömege több, mint 103g? c) A vaj tömege kevesebb, mint 95g? d) A vaj tömege nem tér el az átlagértéktől a szórásnál jobban? e) Milyen pontosságot biztosíthatunk a vaj tömegére 90% valószínűséggel?

13 12. Feladat (Normális eloszlás és binomiális eloszlás) Egy műszaki cikk élettartama a tapasztalatok szerint normális eloszlású valószínűségi változó 1200 óra várható értékkel és 50 óra szórással. a) Hány működési órára szóló garanciaidőt adjon a gyártó cég, ha az eladott szerkezeteknek legfeljebb 5%-át szeretné garanciálisan cserélni? b) Ha rendelkezünk 5 db ilyen szerkezettel, mi a valószínűsége, hogy közülük pontosan egy lesz garanciálisan kicserélve?

14 13. Feladat (Normális eloszlás és teljes valószínűség tétele) Egy pincészetben az üvegek töltését két automata gép végzi. Egy-egy üvegbe töltött bor mennyisége normális eloszlású valószínűségi változó. A palackokba töltött bor mennyisége mindkét gépnél átlagosan 7dl. A szórás az egyik gépnél 0,15dl a másiknál 0,1dl. A palackok közül véletlenszerűen kiválasztva egyet, mi annak valószínűsége, hogy abban a bor mennyisége kevesebb, mint 6,8dl, ha az első automata szolgáltatja a termelés 70%-át?

15 14. Feladat (Exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága) Egy bizonyos típusú televízió képcső élettartama exponenciális eloszlást követ 5000 óra várható értékkel. a) Mi a valószínűsége, hogy a televíziónk legalább 1000 órát működik? b) Ha mi a televíziónkat már 6000 órát működtettük, mi a valószínűsége, hogy még további 1000 órát működik?

16 15. Feladat (Folytonos eloszlás) Mutassuk meg, hogy az f(x) = A 1 + x 0, 2, ha 0 < különben x sűrűségfüggvénnyel megadott folytonos eloszlású ξ valószínűségi változónak nem létezik várható értéke!

17 16. Feladat (Folytonos eloszlás) Mutassuk meg, hogy az f(x) = A, ha 0 < x 3 x 0, különben sűrűségfüggvénnyel megadott folytonos eloszlású ξ valószínűségi változónak létezik várható értéke de nem létezik szórása!

18 17. Feladat (Kétdimenziós diszkrét eloszlás) Egy autószalonban kétféle modellt árusítanak (sportkocsit és családi autót) háromféle színben (fehér, ezüst és piros színekben). A tapasztalatok szerint a vásárlók 40%-a vásárol sportkocsit, a többiek családi autót. A sportkocsit vásárlók fele ezüst színt választ, fehér és piros sportkocsit egyenlő arányban vásárolnak. A családi autót vásárlók 50%-a fehér modellt vesz, a többi családi autó 1:2 arányban fogy ezüst és piros színekben. Definiáljunk két valószínűségi változót! Legyen ξ=1 ha a vásárló sportkocsit vesz és ξ=2 ha családi autót, továbbá vegye fel η az 1, 2, 3 értékeket, ha a választott szín rendre fehér, ezüst illetve piros. Határozza meg az alábbiakat: a) A (ξ, η) vektorváltozó együttes eloszlását! b) A peremeloszlásokat! c) A peremeloszlás-függvényeket! d) Az együttes eloszlásfüggvényt! e) Az alábbi jellemzőket: M(ξ), D(ξ), M(η), D(η)! f) M(ξ η), M(ξ + η)! g) Függetlenség, korrelálatlanság! h) Kovariancia! i) Korrelációs együttható!

19 18. Feladat (Kétdimenziós diszkrét eloszlás) Vizsgálja meg hogy az alábbi táblázatokkal megadott kétdimenziós eloszlások függetlenek- illetve korrelálatlanok-e! a) ξ \ η ,25 0,15 0,1 2 0,25 0,15 0,1 b) ξ \ η , ,25 0 0, ,25 0

20 19. Feladat (Polihipergeometriai eloszlás) Egy 1000 elemű termékhalmazt vizsgálnak minőségellenőrök. A tapasztalatok alapján ismert, hogy a termékek 70%-a hibátlan (I. osztályú), 28%-a kishibás, tehát javítható (II. osztályú), és 2% selejtes. Az ellenőrök megvizsgálnak egy 50 elemű mintát (visszatevés nélkül). Határozza meg annak valószínűségét, hogy a) A mintában legalább 2 db selejtes termék van! b) A mintában pontosan 40 db I. osztályú, 9db javítható és 1 db selejtes termék van!

21 20. Feladat (Polinomiális eloszlás) Tapasztalatok szerint egy átlagos nyári napon egy forgalmas belvárosi étteremben a sört fogyasztó vendégek 70%-a iszik világos sört, 20% -uk fogyaszt búzasört és 10 % barna sört. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a) Legalább 15-en isznak világos sört! b) 20 sört fogyasztó vendég közül pontosan 10 vendég kér világos, 6-an fogyasztanak búza- és 4-en barna sört!

22 21. Feladat (Binomiális eloszlás közelítése Poisson-eloszlással) Egy elektronikus hálózaton 1000 jelet továbbítanak másodpercenként. Egy jel eltorzulásának valószínűsége 0,005. Tegyük fel, hogy a jelek torzulása egymástól független. Mi a valószínűsége annak, hogy az egy másodperc alatt továbbított jelek között a) Legfeljebb 100 jel torzul? b) Legalább 500 jel eltorzul? c) A torzult jelek száma 400 és 600 között lesz?

23 22. Feladat (Csebisev egyenlőtlenség) Egy üzletben levő pénzkiadó automata élettartamának átlagértéke 5 év, az élettartam szórása 0,5 év. Legfeljebb mennyi annak a valószínűsége, hogy az automata tényleges élettartama legalább 1 évvel eltér az átlagos élettartamtól?

24 23. Feladat (Csebisev egyenlőtlenség) Egy színházban az egy estére eladott jegyek száma a tapasztalatok szerint átlagosan 500 db, az eladott jegyek számának átlagtól való átlagos eltérése 50 db. Legalább mennyi annak a valószínűsége, hogy az eladott jegyek száma legfeljebb 120-szal tér el az átlagos jegyforgalomtól?

25 24. Feladat (Nagy számok törvénye) Valamely társadalmi rétegben meg akarjuk határozni a színházba járók arányát. Hány megfigyelést kell végeznünk ahhoz, hogy a megfigyelésből adódó arány a valódi aránytól legalább 95% valószínűséggel 0,01-nál kisebb hibával térjen el?

26 25. Feladat (Nagy számok törvénye) Annak valószínűsége, hogy egy sorsjeggyel nyerünk 0,01. Milyen határok között mozog 90% valószínűséggel a nyerő sorsjegyek száma, ha 2000 db sorsjegyet vásárolunk?

27 26. Feladat (Kombinatorika- Leszámlálási feladatok)) a) Egy tárgyaláson 4 elitéltet 5 fegyőr kísér a vádlottak padjához. Hányféleképpen foglalhatnak helyet, ha két elitélt nem ülhet egymás mellett? b) Hányféleképpen olvasható el az IGAZGATÁS szó az alábbi sémából, ha a bal felső sarokból indulva minden lépésben vagy jobbra, vagy lefelé léphetünk? I G A Z G A G A Z G A T A Z G A T Á Z G A T Á S c) Egy cég 15 különböző munkahelyre keres alkalmazottakat. A munkahelyekre 20 jelentkező van. Hányféleképpen tölthető be a 15 álláshely? d) Hány különböző rendszám képezhető Magyarországon, ha ezek készítéséhez 26 betűt és 10 számjegyet használhatunk fel? e1) Hányféle módon oszthatunk ki 32 kártyát 4 személy között úgy, hogy mindenki 8 lapot kapjon? e2) Egy társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Összesen 66 kézfogás történt. Hányan vannak a társaságban?