Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Átírás

1 Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma a) Határozza meg az átlagos teljesítmény % értékét és az átlag körüli szórás nagyságát! b) Számítsa ki a szórási együtthatót! c) Ábrázolja a tapasztalati sőrőségfüggvényt és a tapasztalati eloszlásfüggvényt!. Automata gép zöldbabot tölt tasakokba. Mintavétel során az alábbi értékeket kapták a tömegre (g): 478, 503, 508, 487, 500, 513, 513, 504, 49, 515, 500, 486, 497, 509, 499, 487, 500, 516, 516, 500, 500, 49, 497, 510, 508, 495, 509, 498, 500, 498. a) Határozza meg a minta mediánját, a móduszt és a minta terjedelmét! b) Számítsa ki a mintaátlagot és a korrigált tapasztalati szórást! c) Határozza meg a szórási együtthatót és a standard hibát! d) Adjon megbízhatósági intervallumot a várható értékre 99%-os valószínőségi szinten! 3. Egy üzemben elıírt átmérıjő alkatrészeket gyártanak. Az egy hónap alatt legyártott több ezres tételbıl 160 elemő mintát vettek. Az átmérıre vonatkozó adatokat osztályokba sorolva a következı gyakoriságokat kapták: Átmérı (mm) 1,35-1,355 1,355-1, ,385-1, ,415-1, , ,475-1,505 1,505-1, ,535-1, ,565-1, ,595-1,65 8 1,65-1, ,655-1, ,685-1,715 48

2 Ábrázolja a tapasztalati eloszlásfüggvényt és a tapasztalati sőrőségfüggvényt! 4. Palackozó automata gép által az üvegekbe töltött üdítıital térfogatát mérték 50 elemő minta alapján. A mintaátlag 494 cm 3 volt. Hosszabb idın át végzett megfigyelések azt mutatták, hogy a gép 9 cm 3 -es szórással dolgozik. Feltételezve, hogy az üvegekbe töltött ital mennyisége normális eloszlást követ, adja meg a konfidenciaintervallumot 90%-os valószínőségi szinten a palackokba töltött italmennyiség várható értékére. 5. Egy forgalmas útkeresztezıdésnél félórán át percenként feljegyezték az egyik irányban áthaladó gépkocsik számát. A megfigyelt adatok: 10, 0, 13, 18, 1, 3, 6, 1, 5, 1, 14, 15,, 4, 18, 16, 17, 18, 0, 3, 7, 8, 0, 5, 19, 3, 3, 30, 8, 17 a) Számítsa ki a mintaátlagot és a korrigált tapasztalati szórást! A szórás hány százaléka az átlagnak? b) Adja meg a konfidenciaintervallumot a várható értékre 99%-os valószínőségi szinten! 6. A dobozos margarin névleges tömege 50 g. Ellenırzéskor 60 doboz tömegét mérték, és a következı adatokat kapták: 48, 50, 40, 46, 51, 43, 47, 44, 48, 56, 53, 51, 50, 58, 48, 49, 49, 51, 53, 46, 53, 45, 4, 50, 44, 48, 46, 54, 45, 5, 50, 51, 49, 55, 48, 5, 55, 50, 58, 43, 54, 58, 59, 50, 51, 4, 38, 48, 50, 5. a) Határozza meg a minta mediánját és a mintaátlagot! b) Készítse el a tapasztalati sőrőségfüggvényt! 7. Egy fonal szakítószilárdságának átlaga 0 mérésbıl 35 N. Szabványelıírás alapján a szórás nem lehet több, mint 3, N. a) 99%-os valószínőségi szinten milyen konfidenciaintervallumba esik a várható érték? b) Hány mérést kell végezni, ha a szabvány a konfidenciaintervallum félszélességére legfeljebb N-t enged meg? 8. Automata töltıgép elıírt 1 kg tömegő gyümölcsöt tölt konzervdobozokba. 0 esetben mérték meg a gyümölcs tömegét és az elıírt tömegtıl való eltéréseket osztályokba sorolták: 1 Eltérés a szabványtól 100 kg (-4;-3] 1 (-3;-] (-;-1] 4 49

3 (-1;0] 8 (0;1] 5 (1;] 3 (;3] 1 a) Készítse el a tapasztalati sőrőségfüggvényt és a tapasztalati eloszlásfüggvényt! b) Számítsa ki a minta átlagát! c) 95%-os valószínőségi szinten elfogadható-e az az állítás, hogy az átlag eltérése a 0 várható értékétıl csak véletlen? 9. Egy adott típusú személygépkocsi átlagos fogyasztása a gyártó szerint 8,5 liter/100km. Húsz mérést végezve az átlagos fogyasztásra 9 liter/100km, a szórásra liter/100km értéket kaptunk. Elfogadható-e a gyári adat 99%-os valószínőségi szinten? 10. Egy csomag liszt névleges tömege 1 kg. Normális eloszlást feltételezve ellenırizni kívánták, hogy a csomagok átlagos tömege megfelel-e az elıírt értéknek. Véletlenszerően kiválasztott 30 db csomag tömegét megmérve az átlagérték 0,96 kg; a korrigált tapasztalati szórás 8 g volt. a) 95%-os valószínőségi szinten elfogadható-e az az állítás, hogy egy csomag liszt tömegének várható értéke 1 kg? b) Vizsgálja meg ugyanezt a hipotézist 99%-os valószínőségi szinten is! 11. Kétféle tápszert alkalmazva vizsgálták az állatok tömeggyarapodását. Az elsı esetben 6 elemő mintánál x = 1 61 és (s 1 ) = 19 ; a második esetben 1 elemő mintánál x = 64,5 és (s ) = értéket kaptak. 95%-os valószínőségi szinten véletlen-e a két szórás eltérése, illetve a két átlag eltérése? 1. Töltıgépet magasabb értékre állítva - feltételezve, hogy a szórás nem változik -, ellenırizni kívánjuk, hogy a várható érték valóban növekedett. A beavatkozás elıtt és után mintát véve az átlagra és a szórásra az alábbi eredményeket kapták: n 1 = 0 x 1 = 488 s1 = 4, 5 n = 0 x = 494 s = 3, 8. Döntsük el, hogy 95%-os valószínőségi szinten a várható érték növekedése szignifikánsnak minısíthetı-e? 13. Két üzemben ugyanazt a fajta mosóport gyártják. A névleges tömeg 500 g. A két üzemrész termékeibıl elemő mintánk van. Az elsı minta tapasztalati szórása l g, a másodiké 6 g. Az egyes üzemrészekben elıállított termékek tömege két, független, normális eloszlású valószínőségi változónak tekinthetı. Welch próbával kívánjuk ellenırizni azt a feltevést, hogy a két üzemrészbıl származó mosóporok tömegének várható értéke megegyezik. 95%-os valószínőségi szinten a két minta átlagának legfeljebb hány grammal kell eltérnie egymástól ahhoz, hogy a feltevést elfogadjuk? 50

4 14. Az alábbi két mintáról szórásaik és átlagaik alapján állapítsuk meg, hogy szignifikánsan különböznek-e? (p=0,05) I. (f i ) Tömeg (x 1 ) II. (f i ) Tömeg(x ) Búzaállományból 300 elemő mintát vettek, és a kalászhosszat mérve a következı adatokat kapták: Kalászhossz (cm) x i-1 -x i f i 3,5-4,5 4 4,5-5,5 10 5,5-6,5 3 6,5-7,5 4 7,5-8,5 81 8,5-9,5 61 9,5-10, ,5-11,5 5 11,5-1,5 11 χ próbával vizsgálja meg 95%-os valószínőségi szinten azt a feltevést, hogy az alapsokaság normális eloszlású! 16. Egy városban adott idıpontban 40 parkolóhelyen végeztek felmérést a parkoló helyeken található gépkocsik számára nézve: Gépkocsik száma x i-1 -x i Parkolóhely f i %-os valószínőségi szinten igaz-e, hogy normális eloszlású sokaságból származik a minta? 17. Egy textilüzemben a korábbi tapasztalok szerint a fonalszakadások száma Poisson 51

5 eloszlású λ= paraméterrel. Az alábbi adatok alapján vizsgáljuk meg, hogy igaz-e az állítás 95%-os valószínőségi szinten! Fonalszakadások száma x i f i Szalámi zsírtartalmának változását kísérték figyelemmel az érlelés idıtartama alatt. Vizsgálja meg az összefüggést a tárolási idı és a zsírtartalom között! a) Számítsa ki a korrelációs együttható értékét! b) Számítsa ki a regressziós függvény paramétereit! Tárolási idı (hét) x Zsírtartalom % y , , Egy vizsgálat során 15 állat szérum - koleszterolszintjét (y) és az artériafal kalciumtartalmát (x) mérték. Az alábbi eredmények alapján számítsa ki a korrelációs együttható értékét! x (mg/100ml) y(mg/100g szárazsúly) Ha erıs lineáris korreláció van, adja meg a becsült regressziós függvényt! 0. A szántás mélysége és a termésátlag kapcsolatát vizsgálva az alábbi eredményt kaptuk: 5

6 Szántás mélysége (cm) Termésátlag (t/ha) x i y i 7 3,5 8 3,7 9 3,9 10 4, 11 4,3 1 4,5 13 4,7 a) Ábrázolja az összetartozó értékeket korrelációs diagramon! b) Határozza meg a regressziós függvény paramétereit! 53