Statisztika I. 10. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Átírás

1 Statisztika I. 10. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre

2 Varianciaanalízis

3 A különböző tényezők okozta szórás illetőleg szórásnégyzet összetevőire bontásán alapszik Segítségével egyszerre több mintát hasonlíthatunk össze Alkalmazásával eldönthetjük, hogy a minták közötti különbséget az általunk előidézett tényező hozta-e létre, vagy a véletlennek köszönhető

4 Alkalmazásának feltételei: -mennyiségi ismérv, -a véletlen biztosítása a minták kiválasztásánál illetve a kísérlet elrendezésénél

5 Alkalmazási lehetőségek: a független és normális eloszlású valószínűségi változók additív tulajdonságából ered, azaz a valószínűségi változók általános szórásnégyzete egyenlő az egyes valószínűségi változók szórásnégyzetének összegével S S1 + S2 + S Sn A szórásnégyzetek összege a minták teljes varianciáját adja. Ismert, hogy: S S B + S K azaz, az általános szórásnégyzet egyenlő a mintán belüli és minták közötti szórásnégyzetek összegével

6 A szórásnégyzet összetevőkre bontása Szórásnégyzet forrása Külső SQ k Négyzetösszeg SQ v j 1 nj ( Xj X ) 2 Szabadságfok Szf v-1 Szórásnégyzet S 2 (MQ) S 2 K SQ K v 1 Belső SQ v nj ( Xij ) B X j j 1 i 1 2 n-v S 2 B SQB n v Teljes SQ T v nj ( Xij X ) j 1 i 1 2 n-1

7 ahol : A szórásnégyzet összetevőkre bontása Xij-a j-edik csoport i-edik eleme x - a teljes minta átlaga x j - a j-edik csoport átlaga n- a teljes minta elemszáma v a csoportok száma (j1,2,,v) nj a j-edik csoport elemszáma (i1,2,, nj)

8 A külső szórás négyzet a kezelés hatásának tulajdonítható Annak eldöntésére, hogy a külső és a belső szórásnégyzet különböznek-e egymástól az F próbát alkalmazzuk F MQ MQ K ; ha F FP % B a nullhipotézist elvetjük,

9 azaz a külső szórásnégyzet szignifikánsan nagyobb a belső szórásnégyzetnél A vizsgált ismérv csoportonkénti értékei között P% szinten statisztikailag igazolható eltérések vannak SZD t P % p % 2MQ n j B nj a csoportonkénti megfigyelések száma

10 A kísérletek egyik célja a különböző kezelések hatásainak összehasonlítása Kezelés: a vizsgált jelenségre általunk előidézett ható tényező A varianciaanalízis megmutatja, hogy több minta esetén a kezelések eredményei szignifikánsak-e, vagy a minták közötti különbséget a véletlen okozza

11 Egytényezős kísérletek: egyetlen tényező különböző változatainak hatását hasonlítjuk össze Többtényezős kísérletek: egyidejűleg kettő vagy több tényező változatait és ezek kombinációit hasonlítjuk össze

12 Egytényezős, teljesen véletlen elrendezésű kísérlet az ismétlődésből nem képezünk blokkokat (pl. állatok) azonos elemszámú mintákat, illetve csoportokat hasonlítunk össze a kiválasztott minták középértékeit hasonlítjuk össze

13 Egy tanár 4 tanítási módszert próbál ki. Minden csoportba öt diák kerül. Ugyanazt a vizsgafeladatot oldják meg. A kapott pontok a következők Kezelések Ismétlés Me.: pont Kezelés összeg V I. módszer II. módszer III. módszer IV. módszer Forrás: saját adatgyűjtés

14 Töltse ki a varianciatáblázatot! G x C G r v 5 4

15 Az alapadatok négyzete V 2 I. módszer II. módszer III. módszer IV. módszer

16 x V

17 A varianciatáblázat szerkezete Tényező SQ FG MQ SQ ö x 2 C n 1 Összes - Kezelés (csoportok között) SQ k V 2 C r v 1 SQ k v 1 Hiba (csoporton belül) SQ h SQ ö SQ k v ( r 1) SQ h v ( r 1)

18 A számítás menete SQ ö 2 x C SQ k 2 V C r ,8 SQ MQ h k MQ h SQö SQk SQ v 1 k SQ h v ( r 1) 837, , ,8 279,3 66,6 1065,2

19 Az alaptáblázat adataiból számított varianciaanalízis Tényező SQ FG MQ Összes Kezelés 837, ,3 Hiba 1065, ,6

20 MQ k F MQh F p 5 % F F p 5% 3,24 279,3 66,6 4,19 a számláló Szf3, a nevező Szf16 tehát az egyes kezelések közötti különbség nem a véletlennek köszönthető

21 Számítsa ki a szignifikáns differenciát P 5% -os szignifikancia szinten t p 5 % 2,12 Szf16 SZD p 5% t p 5% 2MQ r h 2, , ,2 SZD p 5 % 2,12 2,12 2,66 2,12 5,2 11 5

22 Eredménytáblázat Me.:pontszám Kezelés Tanítási módszerek átlagpontjai I. módszer 67,8 II. módszer 82,6 III. módszer 73,6 IV. módszer 66,0 SZD P5% 11,0 Ahol az átlagok közötti különbség nagyobb, mint az SZD p5%, ott az eltérő tanítási módszer eredménye ez a különbség

23 Egytényezős, véletlen blokk elrendezésű kísérlet kiértékelése előnyös kísérleti elrendezés bármilyen témakörben a blokkok száma az ismétlések számával azonos

24 Burgonya műtrágyázási kísérletben a különböző kálium adagok hatását vizsgálták egy adott fajta terméshozamára A kísérlet adatai Me.: t/ha Ismétlés Kezelés Kezelés összeg V Kontroll I. adag II. adag III. adag IV. adag V. adag Ismétlés összeg R Forrás: saját adatgyűjtés

25 Töltse ki a varianciatáblázatot G x C G r v

26 Az alapadatok négyzete V 2 Kontroll I. adag II. adag III. adag IV. adag V. adag R

27 x V R

28 A kísérlet varianciatáblázatának szerkezete Tényező SQ FG MQ Összes x 2 C r v 1 - Ismétlés Kezelés R 2 C r 1 v V C r 1 2 SQ k v 1 - v ) Hiba SQ SQ SQ ( r 1) ( v 1) ö i k SQ h ( r 1) ( v 1

29 A számítás menete SQ ö SQ i 2 x C 2 R C v , V SQ K C ,2 r 4 SQ SQ SQ SQ ,5 2560,2 h ö i K 540,3

30 A számítás menete MQ K v SQ K , MQ h ( r SQ 1)( h v 1) 540,

31 Az alaptáblázat adataiból számított varianciaanalízis Tényező SQ FG MQ Összes 3134, Ismétlés 33,5 3 - Kezelés 2560, Hiba 540,

32 F MQ K MQh ,22 36 Az F-próba táblázatból FG v-1 azaz FG 5, illetve FG (r-1)(v-1) azaz FG15 szabadságfokoknál adott P%-nak megfelelő értéket keressük F P5% 2,9 mivel a számított F-érték nagyobb, mint a táblázatbeli F-érték, a kezelések P5% szinten szignifikáns különbséget okoznak

33 Számítsa ki a szignifikáns differenciát P5%-os szignifikancia szinten FG (r-1)(v-1) -nél és P5% -nál a t értéke t p5% 2,131 2MQ 2 36 SZD 5 % t h p p 5% 2,131 r 4 9

34 Eredménytáblázat Me.:t/ha Kezelés Termés átlag Kontroll 24,0 I. adag 42,3 II. adag 48,0 III. adag 55,5 IV. adag 45,5 V. adag 53,5 SZD P5% 9,0 Amely kezelések átlaga között nagyobb a különbség mint 9 t/ha, azok a kezelések szignifikánsan különböznek