x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

Átírás

1 Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó:

2 Valószínűségi változó Eloszlás függvénye: Eloszlás függvény tulajdonságai: Diszkrét valószínűségi változó: Diszkrét valószínűségi változó eloszlása:

3 Geometriai eloszlás örökifjú tulajdonságú: Folytonos valószínűségi változó:

4 Folytonos valószínűségi változó Sűrűség függvény tulajdonságai: Exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága: eloszlás függvény tulajdonságai: Vektor valószínűségi változó:

5 Valószínűségi változók együttes eloszlás függvény és tulajdomsága: Perem vagy Vetületi eloszlás függvénye:

6 Diszkrét valószínűségi változó együttes eloszlása: Tulajdonsága:

7 Diszkrét valószínűségi változó függetlensége: Folytonos valószínűségi változó együttes sűrűség függvénye:

8 Várható érték: Valószínűségi változó várható érték momentumai: Szórás: Szórásnégyzet:

9 Steiner formula: Valószínüségi vált kovaranciája Valószínűségi vált standardizáltja Valószínűségi vált korrelációs eggyüttható Valószínűségi vált korrelálatlanok Markov egyenlőtlenség Csebisev egyenlőtlenség

10 Centrális határeloszlás:

11 Moivre Laplace Tétel Statisztikai Minta, elemszáma, eloszlás fv Statisztikai fv

12 Minta Átlag v empirikus közép statisztikája Statisztikai Minta Empirikus szórás négyzet: Minta Korrigált Empirikus szórás négyzet: Rendezett mintaelem statisztika: Statisztikai minta Empirikus eloszlás függvény

13 Statisztikai minta terjedelme: Minta empirikus kovarianciája: Valószínűségi mező: Legyen (Ω,F,P) valószínűségi mező, B ϵ F, P(B) >0, Jelölje F B azon AXB alakú események halmazát, melyekre AϵF P B (C) := P(C B), Cϵ F B Ekkor(B, F B, P B ) is valószínűségi mező

14 Események függetlensége: Párontként független esemény: Teljesen független esemény: A normális eloszlás definíciója 3.1. Definíció. Azt mondjuk,hogy a valószínűségi változót normális eloszlású µ σ 2 paraméterekkel, ha sűrűségfüggvénye (3.1) ahol m ϵ R,. Jelölése:. A központi határeloszlás-tétel az általános esetben Def.: Azt mondjuk, hogy a x 1, x 2 v.v-k végtelen sorozata eloszlásban konvergál a x v.v-hoz, ha az eloszlásfüggvények sorozata konvergál a x eloszlásfüggvényéhez.

15 2.14. Tétel. Legyenek független, azonos eloszlású valószínűségi változók,. Tegyük fel, hogy véges és pozitív, és legyen. Ekkor Az eseménytér Tekintsünk egy véletlen kísérletet. A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az elemi esemény karakterisztikus tulajdonsága, hogy csak egyféleképp következhet be. Az elemi eseményeket ω, ω 1, ω 2, szimbólumokkal jelöljük. Az adott kísérlethez tartozó összes elemi esemény halmazát eseménytérnek (mintatérnek) nevezzük és -val jelöljük. Az elemi eseményekből álló halmazokat (azaz részhalmazait) eseményeknek nevezzük. Egy esemény bekövetkezése éppen azt jelenti, hogy az őt alkotó elemi események valamelyike bekövetkezik. Az egyes eseményeket A,B,C, betűkkel, míg az összes esemény halmazát F-fel jelöljük. A khi-négyzet eloszlás definíciója Definíció. Az valószínűségi változót szabadsági fokú khi-négyzet eloszlásúnak ( -eloszlásúnak vagy -eloszlásúnak) nevezzük, ha sűrűségfüggvénye: (7.1) A khi-négyzet eloszlást szokták Pearson-féle eloszlásnak, ill. Helmert-féle eloszlásnak is nevezni.

16 A Student-eloszlás definíciója 8.1. Definíció. Az valószínűségi változót szabadsági fokú Studenteloszlásúnak (t-eloszlásúnak vagy t n -eloszlásúnak) nevezzük, ha sűrűségfüggvénye: (8.1) xϵr ábra: A Student-eloszlás sűrűségfüggvénye

17 Azonnal látható, hogy fenti sűrűségfüggvény a 0-ra szimmetrikus. n=1 szabadsági fok esetén a Student-eloszlás a (λ=1,µ=0 paraméterű) Cauchy-eloszlás. Glivenko Contelli a statisztika alaptétele: Ha F n (x) az F(x) eloszlásából származó minta tapasztalati eloszlás függvénye, akkor lim sup F n (x) - F(x) ->0 1 valószínűséggel n-> xϵr Hipotézisvizsgálat: X v.v. tételezzük fel, hogy Fx(x,T), T ismeretében t-re hipotézist fogalmazunk meg, döntünk a hipotézis igazságáról Azt az eljárást amelynek a segítségével döntünk statisztikai próbának nevezzük. 1. null hipotézis: az az állítás,amelyet az ismeretlen paraméterre megfogalmazunk jele : Ho 2 ellenhipotézis: a Ho-val szemben állított állítható jele: H1 A próba szintje (döntési szint): azt az 1-hez közeli valségét jelenti amellyel a döntésemet meghozom. jele 1-a U-proba x ~ N(m,s ) m ismeretlen, s ismert

18 Konvolúció: Legyen két független, diszkrét valószínűségi változó, értékeik és eloszlásuk pedig és.. Legyen. eloszlása a eloszlásának a konvolúciója. Megjegyzés: változók, azaz független geometriai eloszlású valószínűségi, k=0, 1, 2,. Ekkor eloszlása.