Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI,

Átírás

1 Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus. KOKI,

2

3

4

5 Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze. Célja: - a sokaságot tudjuk kezelni, - tudjunk jellemzőivel számolni, - információt szerezni a sokaságról, - információt szolgáltatni a sokaságról.

6 Mi az információ? Olyan új ismeret, amely megszerzője számára szükséges, és korábbi tudása alapján értelmezhető. Olyan tény, amelynek megismerésekor olyan tudásra teszünk szert, ami addig nem volt a birtokunkban. (Úgy is fogalmazhatunk, hogy az információ valamely meglévő bizonytalanságot szüntet meg.)

7 Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás útján információkat, azaz új ismereteket nyerünk. A számítástechnikai eszközökkel rögzített, azokkal feldolgozható és megjeleníthető információt adatnak nevezzük. Az információ tehát értelmezett adat.

8 Az adat nagyon tág fogalom: gyakorlatilag bármilyen jel potenciálisan adatnak tekinthető. Adatnak nevezzük a számokkal leírható dolgokat, melyek számítástechnikai eszközökkel rögzíthetők, feldolgozhatóak, és megjeleníthetők. Az adat egy objektum egy meghatározott változójának (tulajdonságának, attribútumának, jellemzőjének, karakterének), értéke (karakterállapota, megvalósult formája). Egy konkrét adat tehát akkor tekinthető definiáltnak, ha meghatározzuk, hogy milyen objektum, melyik változója, milyen értéket vesz fel.

9 Adat osztályozása Az adatok jellegűk szerint lehetnek: minőségi / megállapítható / kvalitatív, mennyiségi / mérhető / kvantitatív adatok.

10 Az adatok értékük / értékkészletük szerint lehetnek: bináris, diszkrét, folytonos adatok.

11 Paraméter Adataink változókhoz, paraméterekhez tartoznak. Paraméternek a vizsgált objektum/jelenség mért, számszerű jellemzőjét, tulajdonságát nevezzük, amelynek az alábbiak a sajátosságai (Fábián-Zsidegh 1998): számszerű, mennyiségi jellegű, egyetlen számmal jellemezhető, egyértelmű, pontos, értelmezhető.

12 Az adat típusa (skálája) Nominális adat: amelynek lehetséges értékei között csak az azonos vagy nem azonos reláció van értelmezve (=, ). Ordinális adat: amelynek lehetséges értékei között a kisebb v. nagyobb (<,>) reláció is megengedett az előőbi relációk mellett. Intervallum adat: amelynél fentieken kívül az +, -, * műveleteket is tudjuk értelmezni. Arány skála adat: mind a négy alapművelet értelmezve van (/).

13 Stanley Smith Stevens ( ) (946: "On the Theory of Scales of Measurement" Science 103 (2684): p.

14 A statisztika legfontosabb fogalmai Sokaság Minta/Mintaelem Mintavétel Ismérv (változó) Statisztikai függvény (próbafüggvény) Statisztikai ítéletalkotás Hasznosítás (adaptálás)

15 Sokaság (populáció) Mindazon elemek halmaza (a vizsgálat tárgya), amelyre statisztikai következtetés irányul. A sokaság nem emberek (egyedek), hanem egy őket jellemző ismérv (változó) által felvett vagy felvehető értékek halmaza. Két típusa van: időpontban (álló sokaság) vagy időintervallumban (mozgó sokaság) vizsgáljuk-e.

16 Minta Egy adott véges számú sokaságból kiválasztott véges számú egységek összessége. A minta elemszáma mindig kisebb, mint maga az alapsokaság. Ha e kettő megegyezik, akkor cenzusról beszélünk (például népszámlálás). Mintaelem: a minta egyes elemei.

17 Véletlen minta A minták egy speciális esete. A véletlen kiválasztás esetében az alapsokaság minden egységéről megmondható, hogy milyen valószínűséggel kerülhet be a mintába. A társadalomkutatás módszertana, azaz a matematikai statisztika a véletlen mintavételre támaszkodik.

18 Reprezentativitás Egy minta bizonyos változók mentén akkor reprezentatív, ha a mintába került elemek (emberek) ugyan olyan arányban vannak jelen, mint az alapsokaságban. Tehát egy minta csak bizonyos szempontok alapján nevezhető reprezentatívnak. Ha más szempontokat veszünk figyelembe, akkor mintánk lehet, hogy nem reprezentatív.

19 Mintavételi hiba A mintavétel hibája abból adódik, hogy nem a teljes populációt kérdezzük meg, hanem annak csak egy részét. Így információink részlegesek lesznek a teljes alapsokaságról. A mintavételi hiba mértéke szoros összefüggésben van a minta elemszámával, valamint a mintavételi módszerrel. A mintavételi hiba mértéke akkor számolható ki érvényesen, ha véletlen mintát vettünk.

20 Nem mintavételi hiba A nem mintavételi hibák az adatfelvételhez kapcsolódnak, nincsenek kapcsolatban sem a mintavétel módszerével, sem a minta elemszámával. Nem mintavételi hibák összetevői az alábbiak lehetnek: - a kérdőív hibás megszerkesztése; - kérdezőbiztosok munkájának hibái; - hibás rögzítés; - a mintába bekerült válaszadó félreérthető vagy valós véleményét elfedő válasza, stb.

21 Változó Több értéket képes fölvenni, így nem kell egyenként behelyettesítenünk őket például egy függvénybe, hanem elegendő csak a változó. A változónk értékét külön tárolhatjuk, vagy más módon is megadhatjuk például intervallummal. Természetesen nem csak olyan változók léteznek, melyek számokat vehetnek fel.

22 Valószínűségi változó A valószínűségi változó a változók speciális esete. Ebben az esetben meg lehet mondani, hogy a változó milyen valószínűséggel veheti fel értékeit, tehát minden egyes általa fölvehető értékhez hozzá tudunk rendelni egy valószínűséget.

23 Hipotézis Hipotéziseknek nevezzük az alapsokaságra vonatkozó különféle feltevéseket. A hipotézisek a vizsgált sokaság eloszlására, vagy az adott eloszlás egy vagy több paraméterére vonatkozhatnak.

24 Próbafüggvény A nullhipotézis fennállásának eldöntését hivatott meghatározni. A próbafüggvény a nullhipotézis fennállását feltételezve, azaz H 0 feltétel mellett adja meg az adott valószínűségi változó eloszlását. Ahhoz, hogy a próbafüggvény eloszlása H 0 fennállását feltételezve pontosan ismert lehessen, a H 0 hipotézisnek egyszerű hipotézisnek kell lennie.

25 Küszöbérték A próbafüggvény lehetséges értéktartományának két részre való bontásának helyét határozza meg. Itt definiálódik, hogy hol lesz a határ az elfogadási tartomány és az elutasítási tartomány között.

26 Eloszlás A statisztika központi fogalma: valami vagy valamik hol vannak, hogyan oszlanak el, hogyan helyezkednek el. A sokaság eloszlását a változó típusától függően jellemezhetjük: - függvénnyel (valószínűségsűrűségfüggvény, kumulatív eloszlásfüggvény), - vagy paraméteresen (elméleti szórás, várható érték stb.).

27 Valószínűség Azt a számot, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az illető esemény valószínűségének nevezzük. Egy esemény bekövetkezésének vagy be nem következésének mértékbeli megadása. A valószínűség, mint mérték 0 és 1 közötti szám. A jelölés a latin probabilitas, valószínűség szó kezdőbetűjéből ered.

28 Eseménynek nevezünk mindent, amiről a kísérlet elvégzése után eldönthető, hogy bekövetkezett-e, vagy sem (elemi esemény). Valamely kísérlet összes kimenetele egy halmazt alkot. Ezt nevezzük eseménytérnek ( ). Biztos eseményről akkor beszélünk, ha a kísérlet során biztosan (minden kimenetelnél) bekövetkezik. Azt az eseményt, mely akkor és csak akkor következik be, ha az A esemény nem következik be, az A esemény ellentett eseményének nevezzük ( A).

29 Andrey Kolmogorov ( )

30 1. Valószínűség: Alapfogalmak Eseményeken értelmezett számértékű függvény (mérték). Jelölésben P(A)=p Kolmogorov axiómák: 0 P(A) 1 P(0)=0 és P(I)=1 Ha AB = 0 P(A+B) = P(A) + P(B) 2. Valószínűségszámítás és a statisztika kapcsolata (klasszikus modell) k kedvező esetek száma p = = n összes eset száma 3. Statisztikai próba (teszt): A mért adatokon értelmezett függvény. 4. Szignifikancia értelmezése : p < 0.05

31 Feltételes valószínűség P(AB) P(A B) = P(B) Teljes valószínűség tétele Ha B 1, B 2, B 3,., B n események teljes eseményrendszert alkotnak és P(B I ) 0, akkor az A esemény valószínűsége N P(A)= P(A B i ) P(B i ) i=1 Bayes elmélet Ha a B 1, B 2, B 3,., B n események teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi) 0, akkor tetszőleges A esemény mellett ( P(A) 0), igaz P(A B i ) P(B i ) P(B i A) = N P(A B k ) P(B k ) k=1

32 Thomas Bayes ( )

33 Valószínűségeloszlás Egy teljes eseményrendszer valószínűségeinek sorozatát valószínűségeloszlásnak, vagy röviden eloszlásnak nevezzük. Olyan függvény, mely leírja, hogy egy valószínűségi változó milyen valószínűséggel vehet fel egy bizonyos értéket. Eloszlásfüggvénye minden valószínűségi változónak létezik.

34 Diszkrét eloszlások Csak diszkrét, definiált értékeket vehet fel. 1. Véges tartományú diszkrét eloszlások: Bernoulli-eloszlás Binomiális eloszlás Hipergeometrikus eloszlás Poisson-féle binomiális eloszlás

35 2. Végtelen tartományú diszkrét eloszlások Béta-negatív binomiális eloszlás Geometriai eloszlás Logaritmikus eloszlás Negatív binomiális eloszlás Parabolikus fraktáleloszlás

36 Folytonos eloszlások A folytonos eloszlású valószínűségi változó végtelen sok értéket vehet fel. 1. Zárt intervallumú folytonos eloszlások: Logit normális eloszlás Folytonos egyenletes eloszlás Derékszögű eloszlás Csonkolt normális eloszlás

37 Félig végtelen intervallumú folytonos eloszlások [0, ) Khí-eloszlás Khí-négyzet eloszlás Dagum-eloszlás Exponenciális eloszlás F-eloszlás Nem centrális F-eloszlás Fisher-féle z-eloszlás Gamma-eloszlás Erlang-eloszlás Inverz Gamma-eloszlás Khí valószínűségsűrűség-függvény Valószínűség sűrűségfüggvény Kumulatív eloszlásfüggvény

38 A teljes valós tartományra érvényes eloszlások Normális eloszlás Normális exponenciális gammaeloszlás T-eloszlás

39 Valószínűségi változók Diszkrét Folytonos p k = P(A k ) = P( < x) Eloszlás függvény F(x) = P( < x) F(x) = f(x)

40 Diszkrét eloszlások Binomiális p k = P( = k) = ( )p k q n-k M( ) = n p D( ) = n p q Poisson k p k = P( = k) = e - M( ) = D( ) = n k k!

41 Legfontosabb folytonos eloszlások

42 f(x) Inflexiós pont ,1 % 34,1 % 13,6 % 13,6 % 2,2 % 2,2 % 0,1 % 0,1 % x Normális eloszlás tulajdonságai

43 Sűrűségfüggvény f x 1 ( x) e

44 Normáleloszlás eloszlásfüggvénye ; ; ;

45 Eloszlásfüggvény F x 1 ( x) e 2 2 x 2 2 dx

46 (x) 1 ~ 0,4 2 inflexiós pont inflexiós pont 34,1 % 34,1 % 13,6 % 13,6 % 2,2 % 2,2 % 0,1 % 0,1 % Standard normális eloszlás z x- z =

47 Standardizálás z i x i

48 Standard normáleloszlás sűrűségfüggvénye μ, medián, módusz

49 Standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye ( x) 1 e x 2 2 2

50 Standard normáleloszlás eloszlásfüggvénye ; ; ;

51 Standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye x 1 ( x) e 2 2 x 2 dx

52 Standard normáleloszlás 95%-os valószínűségei %