[Biomatematika 2] Orvosi biometria

Átírás

1 [Biomatematika 2] Orvosi biometria Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x = {1,2,3,4,5,6}) Eloszlási függvényükalapján( = < ) Diszkrét valószínűségi változó A lehetséges értékek száma véges, megszámlálható (pl. kockadobás eredménye, újszülöttek neme) Eloszlási függvényük diszkrét értékeket vehet fel (lépcsős eloszlási függgvény) Binomiális eloszlás, Poisson eloszlás, Hipergeometrikus eloszlás, Polinomiális eloszlás A diszkrét valószínüségi változókat számoljuk Folytonos valószínűségi változó A lehetséges értékek száma végtelen (bármely érték egy intervallumon belül) (pl. testhőmérséklet, vérnyomás) Eloszlási függvényük folytonos Normál eloszlás, Exponenciális eloszlás, Egyenletes eloszlás a folytonos valószínüségi változókat mérjük 1

2 Binomiális eloszlás nevezetes diszkrét eloszlás a valószínűségi változók egyedi mintázatot követnek Binomiális = két nevű, két részből álló,két tagú két diszkrét kimenetel kapcsolható egy eseményhez: sikerül valami vagy nem? (pl. balra vagy jobbra fordulok egy kereszteződésben, átmegyek a piroson vagy nem, egy gyógyszernek van mellékhatása vagy nincs) A binomiális eloszlás kialakulásának feltételei Az elvégzet vizsgálat (kísérlet) száma (n) rögzített (nemasikervagy akudarcszáma!). Minden kísérlethez két kimenetel társítható: siker vagy kudarc. Minden kísérlet esetén a siker valószínűsége azonos (a siker és a kudarc valószínűsége nem kell, hogy azonos legyen). Az elvégzett kísérletek függetlenek egymástól (egy kísérlet kimenetele nem befolyásolja egy másik alakulását). 2

3 Binomiális együttható n k = n! k! n k! kombináció ismétlés nélkül: hányféle úton lehet n próbából k-t kiválasztani ( n alatt a k ) Pl. hányféle képpen tudok 4 kártyát kiválasztani az 52 db-os Francia kártyából? 52 4 = 52! 4! 52 4! = 52! 4!48! = = tablettát kell beadnom a betegnek 5-ből. Hányféle kombináció lehetséges? Egy valószínűségi változó kialakulásának valószínűsége binomiális eloszlás esetén = (1 ) =!!! (1 ) P: annak valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó (x) értéke n alkalommal elvégzett kísérlet esetén k esetben valósul meg x: valószínűségi változó (pl. a fejek számának alakulása pénzérme többszöri feldobása után) : binomiális együttható n: az elvégzett kísérlet teljes száma k: a sikeres esetek száma n-k: a sikertelen esetek száma p: a siker valószínűsége 1-p: a kudarc (komplementer esemény) valószínűsége 3

4 Binomiális eloszlás jellemzői Átlag ( várható érték ): = Variancia: =(1 ) Szórás: = (1 ) Példa a binomiális eloszlásra Egy érme 10x feldobva egymás után. Mi a valószínűsége annak, hogy: 3 írástdobunk = P x =!!! (1 ) 10! 3! 10 3! 0.5# $%# =0.12 4

5 Példa a binomiális eloszlásra Egy érme 10x feldobva egymás után. Mi a valószínűsége annak, hogy: Kevesebb mint 3 írást dobunk Több mint 3 írást dobunk hogy írást dobunk nem dobunk írást egyáltalán x P(x) kumulatív P(x) P(X) Példa a binomiális eloszlásra x valószínűségi változó ELOSZLÁSA x P(x) kumulatív P(x) x 5

6 Példa a binomiális eloszlásra 1.2 x valószínűségi változó ELOSZLÁSFÜGGVÉNYE () = (X < x) x 0.83 x P(x) kumulatív P(x) Kísérlet 2 Egy orvosnak 1 év alatt a kezelt 2080 betegből 728-at sikerült meggyógyítania. Mi a valószínűsége annak, hogy a következő héten: Nem gyógyít meg egy beteget sem. Pontosan 4 beteget fog meggyógyítani. Kevesebb mint 4 beteget fog meggyógyítani. Több mint 4 beteget fog meggyógyítani. 6

7 Poisson eloszlás Simeon Denis Poisson (19 századi ökológus) nevezetes diszkrét eloszlás a valószínűségi változók egyedi mintázatot követnek egy modell arra, hogy megtaláljuk egy diszkrét valószínűségi változó kialakulásának valószínűségét egy perióduson (szakasz, intervallum) belül (időben vagy térben). A Poisson eloszlás feltételei egy esemény előfordulása megszámlálható egy bizonyos időbeli vagy térbeli időszakon belül. x felvehet bármilyen értéket 0 és a (megszámlálhatóan) végtelen között. Az események függetlenek egymástól. Egy időben csak egy esemény valósulhat meg. 7

8 Egy valószínűségi változó kialakulásának valószínűsége Poisson eloszlás esetén = &λ λ ' P: egy valószínűségi változó kialakulásának valószínűsége x: valószínűségi változó, a kialakuló események száma e: a természetes alapú logaritmus alapszáma (2.718 ) λ: az esemény kialakulásának átlagos gyakorisága! A Poisson eloszlás jellemzői átlag: = λ variancia: =λ szórás: = λ 8

9 Példa a Poisson eloszlásra Egy gyógyszertárban 5 vásárlót szolgálnak ki óránként (λ) Mi a valószínűsége annak, hogy x személyt szolgálnak ki a következő órában? = &λ λ '! Példa a Poisson eloszlásra Egy gyógyszertárban 5 vásárlót szolgálnak ki óránként (λ) Mi a valószínűsége annak, hogy x személyt szolgálnak ki a következő órában? x P(x) Kumulatív P(x)

10 Példa a Poisson eloszlásra X valószínűségi változó ELOSZLÁSA P(x) x Példa a Poisson eloszlásra X valószínűségi változó ELOSZLÁSFÜGGVÉNYE () = (X < x) 0.83 x P(x) Kumulatív P(x) x

11 Folytonos valószínűségi változó Az eloszlásfüggvény alapján: A lehetséges értékek száma megszámlálhatatlanul végtelen (bármely érték előfordulhat egy intervallumon belül) (pl. testhőmérséklet, vérnyomás) eloszlásfüggvényük folytonos Normális eloszlás, Exponenciális eloszlás, Egyenletes eloszlás ()=(( <) Ez a függvény minden x értékre megadja annak a valószínűségét, hogy a valószínűségi változó (X) x-nél kisebb értéket vesz fel. A folytonos valószínűségi változó értéke egy bizonyos x pontban 0 (Formálisan minden értéknek végtelenül kicsi a valószínűsége, mely statisztikusan ekvivalens a zéróval.) Sűrűségfüggvény Folytonos valószínűségi változó esetén a sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriválásával álítható elő: ) =* Folytonos valószínűségi változó esetén az eloszlásfüggvény a sűrűségfüggvény integrálásával álítható elő: =+ *, ' - 11

12 A sűrűségfüggvény jellemzői * 0,&0 1&2&3 &453í *, =1 - ; 8 *, =(5 :) < az [a,b]-beli integrál megadja az X valószínűségi változó [a,b]-be esésének valószínűségét. Normális eloszlás (Gauss-eloszlás) Az eloszlási függvénye folytonos. ()=( <) A sűrűség függvénye harang alakú. * = 1 2= & $ µ: várható érték, σ: szórás a görbe alatti terület a valószínűségi változó megvalósulásának valószínűségével arányos f(x) nem a valószínűséget jelenti 12

13 Gauss-eloszlás sűrűségfüggvénye P(X<x) f(x) Gauss-eloszlás eloszlásfüggvénye Normális eloszlás: sűrűségfüggvény 0.25 ϕ(x) µ: 0 σ: 3 µ: 0 σ: 2 µ: 3 σ: x µ: várható érték, σ: szórás 13

14 Standard normális eloszlás Ha µ=0 és σ=1, akkor a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye: A = 1 2= &'@ Eloszlásfüggvény: ϕ(x) x Φ = 1 2= + &B@,3 ' - A normális eloszlás standardizálása C = normális eloszlás standard normális eloszlás 14

15 0.9 Standard normális eloszlás C = µ: 6 σ: µ: 0 σ: C = =

16 Z-táblázat Normális eloszlás 16

17 Normális eloszlás P=0.841-( )= =0.682 Vége! 17