Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak
|
|
- Ignác Kozma
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Matematikai Modellalkotás Szeminárium szeptember 4.
2 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4
3 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4
4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf
5 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Egy X t ; t [0, ) folyamat folytonos idejű Markov lánc, ha t-re X t V, és egy α(x, y) rátafüggvénnyel P(X t+dt = x X t = x) = 1 α(x)dt + o(dt) P(X t+dt = y X t = x) = α(x, y)dt + o(dt) α(x) = y x α(x, y).
6 Folytonos idejű Markov láncok II Az előzőekből, ha p x (t) = P(X t = x), p(t) = (p 1 (t), p 2 (t),..., p V (t)),
7 Folytonos idejű Markov láncok II Az előzőekből, ha p x (t) = P(X t = x), p(t) = (p 1 (t), p 2 (t),..., p V (t)), kapjuk ṗ x (t) = α(x)p x (t) + y x α(y, x)p y (t),
8 Folytonos idejű Markov láncok II Az előzőekből, ha p x (t) = P(X t = x), p(t) = (p 1 (t), p 2 (t),..., p V (t)), kapjuk azaz ṗ x (t) = α(x)p x (t) + y x α(y, x)p y (t), ṗ(t) = p(t)a, (1)
9 Folytonos idejű Markov láncok II Az előzőekből, ha p x (t) = P(X t = x), p(t) = (p 1 (t), p 2 (t),..., p V (t)), kapjuk ṗ x (t) = α(x)p x (t) + y x α(y, x)p y (t), azaz ṗ(t) = p(t)a, (1) ahol A x,y = α(x, y), ha x y, és α(x), ha x = y.
10 Mátrixexponenciális függvény Az (1) egyenlet megoldása: p(t) = p(0)e ta.
11 Mátrixexponenciális függvény Az (1) egyenlet megoldása: p(t) = p(0)e ta. De mit is jelent egy mátrix exponenciális függvénye?
12 Mátrixexponenciális függvény Az (1) egyenlet megoldása: p(t) = p(0)e ta. De mit is jelent egy mátrix exponenciális függvénye? e ta (ta) n =. n! n=0
13 Mátrixexponenciális függvény Az (1) egyenlet megoldása: p(t) = p(0)e ta. De mit is jelent egy mátrix exponenciális függvénye? e ta (ta) n =. n! n=0 Például legyen A = ( ).
14 Mátrixexponenciális függvény - példa Ekkor A = QDQ 1, ahol ( ) ( Q =, D = ) (, Q 1 2/3 1/3 = 1/3 1/3 ).
15 Mátrixexponenciális függvény - példa Ekkor A = QDQ 1, ahol ( ) ( Q =, D = ) (, Q 1 2/3 1/3 = 1/3 1/3 ). Tehát e ta = Q(tD) n Q 1 n=0 n! ( 1 0 = Q 0 e 3t ( 2/3 1/3 = 2/3 1/3 ) Q 1 ) + e 3t ( 1/3 1/3 2/3 2/3 ).
16 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4
17 béta-eloszlás I ξ legyen 7 db [0, 1]-en egyenletes eloszlású független véletlen szám közül a 5. legnagyobb:
18 béta-eloszlás I ξ legyen 7 db [0, 1]-en egyenletes eloszlású független véletlen szám közül a 5. legnagyobb:
19 béta-eloszlás I ξ legyen 7 db [0, 1]-en egyenletes eloszlású független véletlen szám közül a 5. legnagyobb:
20 béta-eloszlás I ξ legyen 7 db [0, 1]-en egyenletes eloszlású független véletlen szám közül a 5. legnagyobb: x
21 béta-eloszlás I ξ legyen 7 db [0, 1]-en egyenletes eloszlású független véletlen szám közül a 5. legnagyobb: x P(ξ [x, x + dx]) = 7! 2!4! x 2 dx(1 x dx) 4 + o(dx),
22 béta-eloszlás I ξ legyen 7 db [0, 1]-en egyenletes eloszlású független véletlen szám közül a 5. legnagyobb: x P(ξ [x, x + dx]) = 7! 2!4! x 2 dx(1 x dx) 4 + o(dx), így ξ sűrűsége az x [0, 1] helyen: f (x) = 7! 2!4! x 2 (1 x) 4
23 béta-eloszlás II Általában β(a, b) eloszlás sűrűsége a [0, 1] intervallumon: f (x) = Γ(a + b) Γ(a)Γ(b) x a 1 (1 x) b 1.
24 béta-eloszlás II Általában β(a, b) eloszlás sűrűsége a [0, 1] intervallumon: f (x) = Γ(a + b) Γ(a)Γ(b) x a 1 (1 x) b 1. Itt a, b pozitív, nem feltétlenül egész számok, és Γ(a) = 0 t a 1 e t dt Γ(n) = (n 1)!, n N
25 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4
26 - szemléletes definíció Egy M 1, M 2,... valószínűségi változó sorozat martingál, ha E( M k ) < és M k feltételes várható értéke "M 1,..., M k 1 ismeretében" épp M k 1 minden k-ra.
27 - szemléletes definíció Egy M 1, M 2,... valószínűségi változó sorozat martingál, ha E( M k ) < és M k feltételes várható értéke "M 1,..., M k 1 ismeretében" épp M k 1 minden k-ra. 1. Példa: Érmedobás játékban addig duplázom a tétet, míg először nem nyerek, utána kiszállok.
28 - szemléletes definíció Egy M 1, M 2,... valószínűségi változó sorozat martingál, ha E( M k ) < és M k feltételes várható értéke "M 1,..., M k 1 ismeretében" épp M k 1 minden k-ra. 1. Példa: Érmedobás játékban addig duplázom a tétet, míg először nem nyerek, utána kiszállok. A nyereményem: M 0 = 0, ha M k 1 = ( k 2 ) = 2 k 1 + 1, akkor P(M k = 1) = P(M k = 2 k + 1) = 1/2.
29 - szemléletes definíció Egy M 1, M 2,... valószínűségi változó sorozat martingál, ha E( M k ) < és M k feltételes várható értéke "M 1,..., M k 1 ismeretében" épp M k 1 minden k-ra. 1. Példa: Érmedobás játékban addig duplázom a tétet, míg először nem nyerek, utána kiszállok. A nyereményem: M 0 = 0, ha M k 1 = ( k 2 ) = 2 k 1 + 1, akkor P(M k = 1) = P(M k = 2 k + 1) = 1/2. Ha pedig M k 1 = 1, akkor M k = 1.
30 - szemléletes definíció Egy M 1, M 2,... valószínűségi változó sorozat martingál, ha E( M k ) < és M k feltételes várható értéke "M 1,..., M k 1 ismeretében" épp M k 1 minden k-ra. 1. Példa: Érmedobás játékban addig duplázom a tétet, míg először nem nyerek, utána kiszállok. A nyereményem: M 0 = 0, ha M k 1 = ( k 2 ) = 2 k 1 + 1, akkor P(M k = 1) = P(M k = 2 k + 1) = 1/2. Ha pedig M k 1 = 1, akkor M k = 1. Tehát E(M k M 1,..., M k 1 ) = M k.
31 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van.
32 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van. Egy lépésben kiveszek egy golyót, majd azt visszateszem egy másik, ugyanolyan színű golyóval együtt.
33 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van. Egy lépésben kiveszek egy golyót, majd azt visszateszem egy másik, ugyanolyan színű golyóval együtt. Be lehet látni, hogy a piros golyók aránya martingál.
34 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van. Egy lépésben kiveszek egy golyót, majd azt visszateszem egy másik, ugyanolyan színű golyóval együtt. Be lehet látni, hogy a piros golyók aránya martingál. Kérdés: Sok lépés után vajon konvergens-e a piros golyók aránya? Ha igen, mihez tart? Függ a limesz a véletlentől?
35 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van. Egy lépésben kiveszek egy golyót, majd azt visszateszem egy másik, ugyanolyan színű golyóval együtt. Be lehet látni, hogy a piros golyók aránya martingál. Kérdés: Sok lépés után vajon konvergens-e a piros golyók aránya? Ha igen, mihez tart? Függ a limesz a véletlentől? A választ (egyelőre) nem tudjuk, ezért szimulálunk!
36 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van. Egy lépésben kiveszek egy golyót, majd azt visszateszem egy másik, ugyanolyan színű golyóval együtt. Be lehet látni, hogy a piros golyók aránya martingál. Kérdés: Sok lépés után vajon konvergens-e a piros golyók aránya? Ha igen, mihez tart? Függ a limesz a véletlentől? A választ (egyelőre) nem tudjuk, ezért szimulálunk!
37 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van. Egy lépésben kiveszek egy golyót, majd azt visszateszem egy másik, ugyanolyan színű golyóval együtt. Be lehet látni, hogy a piros golyók aránya martingál. Kérdés: Sok lépés után vajon konvergens-e a piros golyók aránya? Ha igen, mihez tart? Függ a limesz a véletlentől? A választ (egyelőre) nem tudjuk, ezért szimulálunk!
38 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van. Egy lépésben kiveszek egy golyót, majd azt visszateszem egy másik, ugyanolyan színű golyóval együtt. Be lehet látni, hogy a piros golyók aránya martingál. Kérdés: Sok lépés után vajon konvergens-e a piros golyók aránya? Ha igen, mihez tart? Függ a limesz a véletlentől? A választ (egyelőre) nem tudjuk, ezért szimulálunk!
39 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van. Egy lépésben kiveszek egy golyót, majd azt visszateszem egy másik, ugyanolyan színű golyóval együtt. Be lehet látni, hogy a piros golyók aránya martingál. Kérdés: Sok lépés után vajon konvergens-e a piros golyók aránya? Ha igen, mihez tart? Függ a limesz a véletlentől? A választ (egyelőre) nem tudjuk, ezért szimulálunk!
40 Monte Carlo szimuláció I ábra: 1000 szimuláció, 50 lépés
41 Monte Carlo szimuláció II ábra: szimuláció, 70 lépés
42 Monte Carlo szimuláció II ábra: szimuláció, 70 lépés A tényleges limesz a β(3, 5) eloszlás!
43 Brown mozgás 3. Példa: Brown mozgás ábra: Véletlen bolyongás, 100 lépés
44 Brown mozgás 3. Példa: Brown mozgás ábra: Véletlen bolyongás, 1000 lépés
45 Brown mozgás 3. Példa: Brown mozgás ábra: Véletlen bolyongás, lépés
46 Brown mozgás II A limeszben kapott folyamat a Brown mozgás.
47 Brown mozgás II A limeszben kapott folyamat a Brown mozgás. Definíció: X t Brown mozgás, ha X 0 = 0 minden s 1 t 1 s 2 t 2... t n esetén X t1 X s1,... X tn X sn függetlenek minden s t esetén X t X s N ( 0, σ 2 = t s ) t X t majdnem biztosan folytonos.
48 Orstein-Uhlenbeck folyamat I. Brown mozgás alkalmazása: SDE
49 Orstein-Uhlenbeck folyamat I. Brown mozgás alkalmazása: SDE Formálisan legyen dx t = θ(µ X t )dt + σdw t, ahol W t Brown mozgás. Ekkor X t Orstein-Uhlenbeck folyamat.
50 Orstein-Uhlenbeck folyamat I. Brown mozgás alkalmazása: SDE Formálisan legyen dx t = θ(µ X t )dt + σdw t, ahol W t Brown mozgás. Ekkor X t Orstein-Uhlenbeck folyamat. Ekkor d(x t e θt ) dt Végül t szerint integrálva = θx t e θt + e θt dx t dt = e θt θµ + σe θt dw t dt. X t = X 0 e θt + µ(1 e θt ) + t 0 σe θ(s t) dw s
51 Orstein-Uhlenbeck folyamat II. Az Orstein-Uhlenbeck folyamat további tulajdonságai:
52 Orstein-Uhlenbeck folyamat II. Az Orstein-Uhlenbeck folyamat további tulajdonságai: Nem martingál, de stacionárius, Gauss, Markov folyamat. Stacionárius eloszlás: N (µ, σ 2 /(2θ))
53 Orstein-Uhlenbeck folyamat II. Az Orstein-Uhlenbeck folyamat további tulajdonságai: Nem martingál, de stacionárius, Gauss, Markov folyamat. Stacionárius eloszlás: N (µ, σ 2 /(2θ)) Urna modell: Legyen egy urnában n zöld és n piros golyó. Egy lépésben kiveszünk egy véletlen golyót, és azt ellenkezö színűre cseréljük. Ha Y k a piros golyók száma k lépés után. Ekkor ( ) Y[nt] n (X t ) 0 t 1 n 0 t 1
54 Orstein-Uhlenbeck folyamat III. ábra: Orstein-Uhlenbeck folyamat realizációi (forrás: Wikipedia)
55 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4
56 Poisson folyamat Legyenek T 1, T 2,... iid Exp(λ) valószínűségi változók.
57 Poisson folyamat Legyenek T 1, T 2,... iid Exp(λ) valószínűségi változók. 0
58 Poisson folyamat Legyenek T 1, T 2,... iid Exp(λ) valószínűségi változók. 0 T 1
59 Poisson folyamat Legyenek T 1, T 2,... iid Exp(λ) valószínűségi változók. 0 T 1 T 1 + T 2
60 Poisson folyamat Legyenek T 1, T 2,... iid Exp(λ) valószínűségi változók. 0 T 1 T 1 + T 2 T 1 + T 2 + T 3
61 Poisson folyamat Legyenek T 1, T 2,... iid Exp(λ) valószínűségi változók. 0 T 1 T 1 + T 2 T 1 + T 2 + T 3 A félegyenesen kapott pontok: homogén 1 dimenziós Poisson folyamat
62 Poisson folyamat Legyenek T 1, T 2,... iid Exp(λ) valószínűségi változók. 0 A félegyenesen kapott pontok: homogén 1 dimenziós Poisson folyamat Egy I intervallumba eső pontok száma: POI (λ I ) eloszlású.
63 Többdimenziós Poisson folyamat Az előző észrevétel alapján több dimenzióban is definiálhatjuk: Poisson folyamat: Olyan véletlen térbeli pontok, hogy minden halmazba Poisson eloszlású pont esik, és diszjunkt halmazokra ezek függetlenek.
64 Többdimenziós Poisson folyamat Az előző észrevétel alapján több dimenzióban is definiálhatjuk: Poisson folyamat: Olyan véletlen térbeli pontok, hogy minden halmazba Poisson eloszlású pont esik, és diszjunkt halmazokra ezek függetlenek.
65 Többdimenziós Poisson folyamat Az előző észrevétel alapján több dimenzióban is definiálhatjuk: Poisson folyamat: Olyan véletlen térbeli pontok, hogy minden halmazba Poisson eloszlású pont esik, és diszjunkt halmazokra ezek függetlenek.
66 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek.
67 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az egyetlen eladó µ paraméterű exponenciális eloszlású idő alatt szolgál ki egy vevőt.
68 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az egyetlen eladó µ paraméterű exponenciális eloszlású idő alatt szolgál ki egy vevőt. érkezés kiszolgálás
69 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az egyetlen eladó µ paraméterű exponenciális eloszlású idő alatt szolgál ki egy vevőt. érkezés kiszolgálás 0
70 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az egyetlen eladó µ paraméterű exponenciális eloszlású idő alatt szolgál ki egy vevőt. érkezés kiszolgálás 0 1
71 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az egyetlen eladó µ paraméterű exponenciális eloszlású idő alatt szolgál ki egy vevőt. érkezés kiszolgálás 0 1 2
72 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az egyetlen eladó µ paraméterű exponenciális eloszlású idő alatt szolgál ki egy vevőt. érkezés kiszolgálás
73 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az egyetlen eladó µ paraméterű exponenciális eloszlású idő alatt szolgál ki egy vevőt. érkezés kiszolgálás
74 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az egyetlen eladó µ paraméterű exponenciális eloszlású idő alatt szolgál ki egy vevőt. érkezés kiszolgálás
75 M/M/1 sorbanállási modell II Belátható, hogy ha λ > µ, akkor "túl sok vevő érkezik", a várakozók száma tart a végtelenhez.
76 M/M/1 sorbanállási modell II Belátható, hogy ha λ > µ, akkor "túl sok vevő érkezik", a várakozók száma tart a végtelenhez. Ha λ < µ, akkor a sorhossz nem tart a végtelenhez, és sok idő múlva kb. geometriai eloszlású.
77 M/M/1 sorbanállási modell II Belátható, hogy ha λ > µ, akkor "túl sok vevő érkezik", a várakozók száma tart a végtelenhez. Ha λ < µ, akkor a sorhossz nem tart a végtelenhez, és sok idő múlva kb. geometriai eloszlású. Általánosítási lehetőségek: nem csak egy kiszolgáló (könnyű), nem Poisson folyamat az érkezési idő (nehéz).
78 Köszönöm a figyelmet!
egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás
13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét
e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =
E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével.
E.4 Markov-láncok Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével. Egy Markov-láncot (MC) meghatároznak az alapját adó sorbanállási hálózat állapotai és az ezek
Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
Markov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
Diszkrét idejű felújítási paradoxon
Magda Gábor Szaller Dávid Tóvári Endre 2009. 11. 18. X 1, X 2,... független és X-szel azonos eloszlású, pozitív egész értékeket felvevő valószínűségi változó (felújítási idők) P(X M) = 1 valamilyen M N
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
Valószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!
1. Név:......................... Egy szabályos pénzérmét feldobunk, ha az els½o FEJ az i-edik dobásra jön, akkor a játékos nyereménye ( 1) i i forint. Vizsgálja szimulációval a játékot, különböz½o induló
Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
Matematikai statisztika szorgalmi feladatok
Matematikai statisztika szorgalmi feladatok 1. Feltételes várható érték és konvolúció 1. Legyen X és Y független és azonos eloszlású valószín ségi változó véges második momentummal. Mutassuk meg, hogy
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák
1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt
1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó
Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
A valószínűségszámítás elemei
Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet
vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az
1. Név:......................... Egy ABC-ben délután (5-t½ol 9 óráig) a vásárlók száma óránként 200 várható érték½u Poisson eloszlású valószín½uségi változó. A pénztáros egy vásárlót átlag 2 perc alatt
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
A valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
Feladatok és megoldások a 13. hétre
Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A. Az alábbi függvények melyike lehet eloszlásfüggvény? + e x, ha x >, (a F(x =, ha x, (b F(x = x + e x, ha x, (c F(x =, ha x, x (d F(x = (4 x, ha
Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika
Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra
Lagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
Véletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.
2. rész 2012. december 10. Határeloszlás tételek a bolyongás funkcionáljaira 1 A bolygó pont helyzete: EX i = 0, D 2 X i = EX 2 = 1 miatt i ES n = 0, D 2 S n = n, és a centrális határeloszlás tétel (CHT)
Valószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
Gyakorló feladatok a Valószín ségelmélet kurzushoz
Gyakorló feladatok a Valószín ségelmélet kurzushoz 1 Mértékelméleti ismétlés 2 2 Generált σ-algebrák, függetlenség 3 3 A Kolmogorov 01 törvény és a BorelCantelli-lemmák 5 4 Folytonos eloszlások konvolúciója
Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok.
Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok. Láttuk, hogy a Wiener-folyamat teljesíti az úgynevezett funkcionális centrális határeloszlástételt. Ez az eredmény durván szólva azt fejezi
Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév
Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek
Barczy Mátyás és Pap Gyula
Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák könyvtár Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Iván Barczy Mátyás és Pap Gyula Debreceni Egyetem Oktatási segédanyag mobidiák könyvtár
Gyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás
SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.
Centrális határeloszlás-tétel
13. fejezet Centrális határeloszlás-tétel A valószínűségszámítás legfontosabb állításai azok, amelyek független valószínűségi változók normalizált összegeire vonatkoznak. A legfontosabb ilyen tételek a
Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz
Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:
Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 5. : Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP
TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Operációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés)
Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.
12. előadás - Markov-láncok I.
12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R
A maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
Valószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
Yule és Galton-Watson folyamatok
Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 1 / 36 Yule és ok Dr. Márkus László 2015. március 9. Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 2 / 36 A független stacionárius növekmény
Pontfolyamatok definíciója. 5. előadás, március 10. Példák pontfolyamatokra. Pontfolyamatok gyenge konvergenciája
Pontfolyamatok definíciója 5. előadás, 2016. március 10. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Hasznos eszköz,
Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel. a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli
Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Mutassuk meg, hogy tetszőleges A és B eseményekre PA B PA+PB. Mutassuk
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 013/14. tavaszi félév 1. Folytonos eloszlások Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Egy valószínűségi változó, illetve egy eloszlás eloszlásfüggvényének egy
Legfontosabb bizonyítandó tételek
Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős
Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november
Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony
5. Feladat. Mennyi a valószínűsége annak, hogy 52 lapos franciakártya-pakliból 5 lapot húzva a következő kombinációkat kapjuk?
Valószínűségszámítás feladatsor 1. hét 1. Feladat. Bizonyítsuk be a következőket tetszőleges A és B eseményekre: P(A B) P(A)+P(B) Ha P(A B) = 0, akkor P(A) = P(B) P(A C) P(A B)+P(B C) P(A B) P(A)P(B) 1
Sztochasztikus folyamatok
Sztochasztikus folyamatok Benke János és Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet 2016. tavaszi félév Sztochasztikus folyamatok Deníció, példák Sztochasztikus folyamatok A továbbiakban legyen
1 Feltételes várható érték. Példák E[X Y]-ra. 3 feltételes várható érték. 4 Martingálok. 5 Hivatkozások. F X Y (x y) P(X < x Y [y, y + y))
Feltételes várható érték Sztochasztikus folyamatok Simon Károly Ez az előadás Rick Durrett Essentials of Stochastic processes könyvére épül Department of Stochastics Institute of Mathematics Technical
A Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában
A Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában Horváth Gábor ghorvath@hit.bme.hu (Horváth András, Telek Miklós) - p. 1 Motiváció, problémafelvetés
Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Eloszlások jellemzése. Momentumok. Medián és kvantilis. Karakterisztikus függvény
Karakterisztikus függvény Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Hogyan lehetne általánosítani a generátorfüggvényt folytonos okra? Karakterisztikus
[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
4. Előadás: Sorbanállási modellek, I.
4. Előadás: Sorbanállási modellek, I. Wayne L. Winston: Operációkutatás, módszerek és alkalmazások, Aula Kiadó, Budapest, 2003 könyvének 20. fejezete alapján... A sorbanállási elmélet alapfogalmai A sorbanállási
Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
KÖZELÍTŐ INFERENCIA II.
STATISZTIKAI TANULÁS AZ IDEGRENDSZERBEN KÖZELÍTŐ INFERENCIA II. MONTE CARLO MÓDSZEREK ISMÉTLÉS Egy valószínűségi modellben a következtetéseinket a látensek vagy a paraméterek fölötti poszterior írja le.
KÖZELÍTŐ INFERENCIA II.
STATISZTIKAI TANULÁS AZ IDEGRENDSZERBEN KÖZELÍTŐ INFERENCIA II. MONTE CARLO MÓDSZEREK ISMÉTLÉS Egy valószínűségi modellben a következtetéseinket a látensek vagy a paraméterek fölötti poszterior írja le.
Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
0,9268. Valószín ségszámítás és matematikai statisztika NGB_MA001_3, NGB_MA002_3 zárthelyi dolgozat
A 1. A feln ttkorú munkaképes lakosság 24%-a beszél legalább egy idegen nyelvet, 76%-a nem beszél idegen nyelven. Az idegen nyelvet beszél k 2,5%-a, az idegen nyelvet nem beszél k 10%-a munkanélküli. Véletlenszer
Közlemény. Biostatisztika és informatika alapjai. Alapsokaság és minta
Közlemény Biostatisztika és informatika alajai. előadás: Az orvostudományban előforduló nevezetes eloszlások 6. szetember 9. Veres Dániel Statisztika és Informatika tankönyv (Herényi Levente) már kaható
2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
Differenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség
TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:
Bemenet modellezése (III.), forgalommodellezés
Bemenet modellezése (III.), forgalommodellezés Vidács Attila 2007. október 31. Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 1 Modellválasztás A modellezés kedvez esetben leegyszer södik a megfelel eloszlás
1. Kombinatorikai bevezetés
1. Kombinatorikai bevezetés 1.1. Permutációk Adott n különböző elem ismétlés nélküli permutációján az elemek egy meghatározott sorrendjét értjük. Az n különböző elem összes permutációinak számát P n -nel
Valószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny
Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Szűk elméleti összefoglaló Valószínűségi változó: egy függvény, ami az eseményteret a valós számok halmazára tudja vetíteni. A val.
i p i p 0 p 1 p 2... i p i
. vizsga, 06--9, Feladatok és megoldások. (a) Adja meg az diszkrét eloszlás várható értékének a definícióját! i 0... p i p 0 p p... i p i (b) Tegyük fel, hogy a rigófészkekben található tojások X száma
Szám. szim. labor ea. Tőke Csaba U(0,1) GSL. Adott eloszlás. Brown-mozgás. Hivatkozások. BME Fizika Intézet október 7.
Számítógépes szimulációk 4. Véletlen számok BME Fizika Intézet 2015. október 7. Vázlat Egyenletes eloszlású pszeudovéletlen számok Véletlen számok generálása -lel szerinti véletlen számok generálása Véletlenszám-generátorok
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
Sztochasztikus modellek vizsgálata. Baran Sándor
Sztochasztikus modellek vizsgálata Habilitációs értekezés tézisei Baran Sándor Debreceni Egyetem Debrecen, 2005 Tartalomjegyzék Bevezetés 1 1. Regressziós modellek paraméterbecslései 3 1.1. Klasszikus
Matematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
Együ ttes e s vetü leti eloszlá s, sü rü se gfü ggve ny, eloszlá sfü ggve ny
Együ ttes e s vetü leti eloszlá s, sü rü se gfü ggve ny, eloszlá sfü ggve ny Szűk elméleti összefoglaló Együttes és vetületi eloszlásfüggvény: X = (X, X, X n ) valószínűségi vektorváltozónak hívjuk. X
biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás
Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
Sztochasztikus temporális logikák
Sztochasztikus temporális logikák Teljesítmény és szolgáltatásbiztonság jellemzők formalizálása és ellenőrzése Majzik István Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs
4. rész. Nevezetes eloszlások és generálásuk. Játék a véletlennel. Komputerstatisztika kurzus
Valós és generálásuk Játék a véletlennel Komputerstatisztika kurzus diszkrét folytonos Box Muller Barczy Mátyás Informatikai Kar Debreceni Egyetem Marsaglia 1 A témái Valós diszkrét 1 Valós folytonos 2
1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
Biomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
Barczy Mátyás és Pap Gyula. Sztochasztikus folyamatok. (Gauss-folyamatok, Poisson-folyamat)
Barczy Mátyás és Pap Gyula Sztochasztikus folyamatok Példatár és elméleti kiegészítések I. Rész (Gauss-folyamatok, Poisson-folyamat mobidiák könyvtár Barczy Mátyás és Pap Gyula Sztochasztikus folyamatok
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés
SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre