Lagrange és Hamilton mechanika

Átírás

1 Lagrange és október 17. Lagrange és

2 Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája Lagrange és

3 Variációszámítás Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek Görbék terén értelmezett funkcionál széls értékének keresésére. Görbe: γ = {(t, x) : x = x(t), t 0 t t 1 }. Görbe variációja: γ = {(t, x) : x = x(t) + h(t), t 0 t t 1 }. Például: Egy görbe hossza Φ(γ) = t 1 t ẋ 2 dt. Figure: görbe variálása Lagrange és

4 Dierenciálhatóság Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek Def Φ dierenciálható, ha Φ(γ + h) Φ(γ) = F + R alakban írható, ahol F lineárisan függ h-tól, R(h, γ) = O(h 2 ). Például: γ = {(t, x) : x = x(t), t 0 t t 1 } és Φ(γ) = t 1 t 0 L(x, ẋ, t)dt Ekkor Φ(γ) dierenciálható és F (h) = t1 t 0 [ ] x d dt ẋ [ ] t1 hdt + ẋ h t 0 Lagrange és

5 Széls érték Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek Def Φ(γ) dierenciálható funkcionál széls értéke: olyan γ-nál, amire F (h) = 0 h. Tétel x(t 0 ) = x 0 és x(t 1 ) = x 1. γ : x = x(t) görbére a Φ(γ) = t 1 t 0 L(x, ẋ, t)dt funkcionálnak széls értéke van ha x d dt ẋ = 0. Például: görbehossz széls értéke, ha γ egy egyenes. L = 1 + ẋ 2, x = 0, ẋ = ẋ d 1 + ẋ 2 dt ẋ = 0. Lagrange és

6 Euler-Lagrange egyenlet Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek Def Φ(γ) = t 1 t 0 L(x, ẋ, t)dt funkcionálhoz tartozó Euler-Lagrange egyenlet: x d dt ẋ = 0. Tétel Azon görbék közül, melyek átmennek a (t 0, x 0 ) és (t 1, x 1 ) pontokon a Φ(γ) = t 1 t 0 L(x, ẋ, t)dt funkcionál az esetén veszi fel a széls értékét, mely kielégíti az Euler-Lagrange egyenletet. Lagrange és

7 Legkisebb hatás elve Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek Tétel Newtoni rendszer mozgásegyenlete: A hozzá tartozó funkcionál: d dt (m i ṙ i ) + U = 0 i = 1... n r i Φ(γ) = t1 t 0 Ldt, ahol L=T-U, T a rendszer kinetikus és U a potenciális energiája. Bizonyítás U = U(r), T = m i ṙ 2 i ṙ i = T ṙ i = m i ṙ i r i = U r i Lagrange és

8 Legkisebb hatás elve Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek Következmény (q 1,..., q 3n ) az n tömegpontot tartalmazó rendszer kongurációs térbeli koordinátái. q fejl dése az Euler-Lagrange egyenlet alapján történik, ahol L=T-U. Deníciók t Hatás: 1 t 0 L(q, q, t)dt Lagrange függvény: L(q, q, t) = T U Általánosított koordináták: q i Általánosított impulzusok: Általánosított er k: Lagrange egyenlet: q i q i = K i = p i x d dt ẋ = 0 Lagrange és

9 Deníció Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek Legyen y = f (x) konvex függvény (f"(x)>0). x = x(p) pontban van a függvény a legtávolabb az y = px egyenest l. Vagyis F (p, x) = px f (x) függvény maximumhelye x = x(p). Deníció f(x) Legendre transzformáltja: g(p) = F (p, x(p)) Következmény x=x(p) = 0 f (x) x(p) = p. F x Lagrange és

10 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája Tétel A Lagrange egyenletrendszer ekvivalens egy 2n egyenletb l álló els fokú egyenletrendszerrel. ṗ = H q, H q =, ahol H(p, q, t) = p q L(q, q, t). p Bizonyítás dh = H p dp + H q dq + H t dt = qdp dq q t dt Tétel Legyen L = T U, T = 1 2 i,j a ij q i q j, ahol a ij = a ij (q, t) és U = U(q). Ekkor H = T + U a teljes energia. Lagrange és

11 Jelölés. M sima sokaság. folytonos funkcionál, folytonos, h : TM TM indukált leképezés. Deníció. Egy Lagrange rendszer (M,L) invariáns a h-ra, ha bármely Példa vektorra: ez nem igaz és, ekkor a rendszer invariáns a eltolással szemben, azonban x 2 és x 3 irányra Lagrange és

12 Tétel. : ha (M,L) invariáns a h s : M M (s R) egyparaméteres dieomorzmus csoportra, akkor létezik els integrálja:. Lokális koordinátákkal: Megjegyzés: koordinátarendszer-független Lagrange és

13 q(t) megoldás Φ(s, t) = h s q(t) megoldás: ( d 0 = dt 0 = d dt ( q 0 = (Φ, Φ) s ) q q + q ) (Φ, Φ) ( d (Φ, Φ) q = q Φ + Φ q dt q ) = d dt ( q q ) = d dt I Lagrange és

14 Példa: nem kölcsönható tömegpontok Lagrange-fv: i. tkp. koordintája. Kényszer: f j (x) = 0 Tfh. eltolás minden i-re lehetséges, tehát a kényszerek megengedik a rendszer e 1 mentén történ mozgását, a potenciális energia megváltozása nélkül. Noether: a rendszerünk tkp mozgásának vetülete e 1 -re egyenletes. Lagrange és

15 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája Szimplektikus sokaság Szimplektikus sokaság (M, Ω) pár, M: dierenciálható sokaság, Ω: nem elfajuló zárt 2-forma. Állítás. dimm = 2n Ha Ω = A ij dx i dx j, akkor det(a) = det(a T ) = det( A) = ( 1) dimm det(a) Állítás. Ω segítségével TM p TM p Injekció: X TM p esetén X (Y ) := Ω(X, Y ), Ω nem elfajuló Véges dimenzió: dimtm p = dimtm p, izomorzmus. Jelölés. Ha X = ω akkor ω := X. Azaz ω(y ) = X (Y ) = Ω(X, Y ) = Ω( ω, Y ). Lagrange és

16 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája Hamilton mez Hamilton mez X, ha H: X = dh. H: Hamilton-függvény. Deníció. f els integrál, ha Xf = 0. Állítás. H els integrál. X (f ) = df (X ) = Ω(df, dh) = 0, ha f = H. Legyen σ t (p) a dh által indukált fázisfolyam: σ t (p) = dh. Ekkor ḟ df (σ t(p 0 )) dt = df ( σ t ) = df (dh) = Ω(df, dh) Lagrange és

17 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája Példa Legyenek (q i, p i ) koordinátázás M páros dimenziós sokaságon, Ω = 2dq i dp i = dq i dp i dp i dq i. Állítás. Ω zárt. dω = 2d 2 q i dp i 2dq i d 2 p i = 0 Legyen X = ξ i + ξ q i j, Y p j = η i + η q i j, ekkor p j Ω(X, Y ) = (dq i dp i dp i dq i )(X, Y ) = ξ i η i ξ i η i Azaz X = ξ j dq j + ξ i dp i. Ha X hamiltoni, akkor X = dh = H p i Ha γ integrál görbe, akkor q i H q j p j dq i (γ(t)) dt = H p i dp j (γ(t)) dt = H q j Lagrange és

18 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája Hamilton és Lagrange M sokaság, TM = p TMp koordinátázható: ko-érint nyaláb (sokaság!) ω = p i d(q i ) q (q 1,..., q n, p 1,..., p n ) Természetes projekció: π : T M M : ω q, indukált leképzés: π : T ω (T M) T q M Kanonikus 1-forma: θ ω (X ω ) = ω(π X ω ) θ = p i dq i Ekkor Ω = 2dθ = 2dq i dp i szimplektikus struktúra. Lagrange és

19 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája Hamilton és Lagrange M Riemann sokaság, L lagrange függvény, g ij metrikus tenzor. ṗ i = g ij q j = q j Ekkor dh számolható természetes szimplektika mellett: dh = H p i dq i + H q i dp i = ṗ i dq i + q i dp i = q i dqi + d( q i p i ) p i dq i = d( q ( i p i ) q i dqi + ) ) q i d qi = d( q i p i L Lagrange és