Kvantum marginális probléma és összefonódási politópok

Átírás

1 Kvantum marginális probléma és összefonódási politópok Vrana Péter Budapesti műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Geometria Tanszék 04. október. /

2 Összetett rendszerek Jelölések k darab részrendszer H, H,..., H k a részek Hilbert-tere H = H H H k az összetett rendszer Hilbert-tere állapotok: S(H) = {ϱ B(H) ϱ 0, Tr ϱ = } tiszta állapotok: P(H) = {ϱ S(H) ϱ = ϱ} Összefont állapotok ϱ = ϱ ϱ k neve szorzatállapot (ϱ i S(H i )) ezek konvex kombinációit szeparáltnak nevezzük a többi állapot összefont tiszta állapot szeparált szorzat /

3 Összefont állapotok transzformációi Lokális operációk és klasszikus kommunikáció összefonódás: nem klasszikus korreláció lokális transzformációk nem növelhetik T T k ahol T i tetszőleges csatornák (esetleg nyomnemnövelő is lehet) klasszikus kommunikáció nem növelheti ahol ϱ S(C ) cc ij (ϱ i ) = ( 0 ϱ j + ϱ j ) ilyenek tenzorszorzatainak, kompozícióinak osztálya LOCC 3/

4 Összefont állapotok transzformációi Determinisztikus transzformációk ϱ LOCC σ, ha létezik Λ LOCC, amire Λ(ϱ) = σ ilyenkor ϱ erősebben összefont mint σ ha ϱ LOCC σ és σ LOCC ϱ, akkor ekvivalensek ha ϱ = ψ ψ, σ = ϕ ϕ : pontosan akkor ekvivalensek, ha U,..., U k unitérek, amire (U U k ) ψ = ϕ Sztochasztikus transzformációk ϱ SLOCC σ, ha létezik Λ LOCC és α > 0, amire Λ(ϱ) = ασ ϱ SLOCC σ és σ SLOCC ϱ gyengébb ekvivalenciareláció ha ϱ = ψ ψ, σ = ϕ ϕ : pontosan akkor ekvivalensek, ha A,..., A k invertálhatók, amire (A A k ) ψ = ϕ 4/

5 Összefonódási osztályok Példa: két részrendszer tiszta állapotai k =, H = H = C n kanonikus alak (szinguláris érték dekompozíció) ψ = ij ψ ψ n ψ ij ij..... = U DU T ψ n ψ nn ahol D diagonális nemnegatív elemekkel, csökkenő sorrendben D diagonális elemei λ, λ,..., λ n, ahol λ i a Tr ( ψ ψ ) sajátértékei λ,..., λ n meghatározza a LOCC-osztályt, rendezés: majorálás {i {,..., n} λ i 0} meghatározza a SLOCC-osztályt, rendezés: > 5/

6 Összefonódási osztályok Példa: három qubit k = 3, H = H = H 3 = C, 6 SLOCC-osztály: S = 000 B = ( ) B 3 = ( ) B 3 = ( ) W = 3 ( ) GHZ = ( ) LOCC-osztályok: 6 valós paraméter 6/

7 SLOCC - másik megfogalmazás Tiszta állapotok tere ϱ = ψ ψ állapot, ha ψ = ψ és ϕ ugyanazt az állapotot határozza meg ϕ = e iα ψ tiszta állapotok tere azonosítható P(H)-val Transzformációk H = C n C n k ha A,..., A k, amire (A A k ) ψ = ϕ, akkor B i = ( A i k (B n i B k ) ψ = det Ai i= n i det Ai SL(n, C) SL(n k, C) hatását is tekinthetjük P(H)-n ) ϕ 7/

8 Marginális probléma Több részrendszer n, n,..., n k N ϱ S(C n C n k ) állapot marginálisainak sorozata (ϱ,..., ϱ k ), ahol ϱ i = Tr,,...,i,i+,...,k ϱ Marginális probléma S S(C n C n k ) állapotok egy halmaza kérdés: mi a {(ϱ,..., ϱ k ) ϱ S} halmaz? ha S invariáns az U(n ) U(n k ) csoport hatására, akkor csak a marginálisok spektruma számít (multiplicitással) például a tiszta állapotok halmaza ilyen bármely SLOCC-osztály is ilyen 8/

9 Tiszta marginális probléma Megoldás (Klyachko) a (ϱ,..., ϱ k ) állapotok sajátértékeit rendezzük csökkenő sorrendbe: (λ,..., λn, λ,..., λn k k ) Rn +...+n k a kapott pontok halmaza véges sok féltér metszete a lineáris egyenlőtlenségek meghatározására algoritmus adható Példák Λ k = a két spektrum megegyezik, más feltétel nincs k = 3, n = n = n 3 =, normáltság miatt a független változók λ, λ, λ 3 Λ 3 Λ 9/

10 Lie-csoportok szimplektikus hatásai Szimplektikus sokaságok M sokaság, ω zárt nemelfajuló -forma, ekkor (M, ω) szimplektikus sokaság minden H C (M) megad egy X H vektormezőt, amire dh = ι XH ω azaz dh(y ) = ω(x H, Y ) Szimplektikus hatások G Lie-csoport, egy Φ : G M M, (g, x) Φ g (x) leképezés szimplektikus hatás, ha sima csoporthatás és g G-re Φ gω = ω az A g által meghatározott A M : x d dt Φ exp ta(x) t=0 vektormezőre: d(ι AM ω) = L(A M )ω = 0 0/

11 Hamilton-féle hatások Momentum-leképezés tegyük fel, hogy ι AM ω egzakt is, és létezik µ : M g ekvivariáns leképezés, amire ι AM ω = d(µ(a)) ekkor a hatás Hamilton-féle, µ neve momentum-leképezés Példa: sík forgatása M = R, ω = dx dy ( ) cos θ sin θ G = S forgatásokkal hat: = exp(θj) sin θ cos θ J M = y x x y és ι JM (ω) = ydy + xdx µ(x, y)(j) = (x + y ) momentum-leképezés /

12 Momentum-leképezés Példa: impulzus M = T R 3 R 3 R 3, koordináták: q, q, q 3, p, p, p 3 ω = dq dp + dq dp + dq 3 dp 3 eltolások: G = R 3, (x, x, x 3 )(q, q, q 3, p, p, p 3 ) = (q + x, q + x, q 3 + x 3, p, p, p 3 ) µ : M g µ(q, q, q 3, p, p, p 3 )(ξ, ξ, ξ 3 ) = p ξ + p ξ + p 3 ξ 3 momentum leképezés, mert ξ dp + ξ dp + ξ 3 dp 3 = ι ξm ω, ha ξ M = ξ + ξ + ξ 3 q q q 3 /

13 Momentum-leképezés Példa: impulzusmomentum M = T R 3 R 3 R 3, koordináták: q, p ω = dq dp + dq dp + dq 3 dp 3 forgatások: G = SO(3), R(q, p) = (Rq, R T p) µ : M so(3) µ(q, p)(a) = p (Aq) momentum leképezés: A M = ( ) A i j q j q i,j i + p i p j d A i jp i q j = i,j i,j A i j ι AM ω = i,j A i j (p i dq j + q j dp i ) (q j dp i p i dp j ) 3/

14 Momentum-leképezés Példa: komplex reprezentáció G komplex reduktív csoport, K G maximális kompakt részcsoport V komplex G-reprezentáció V -n rögzítünk egy K-invariáns skalárszorzatot, P(V )-t ellátjuk a Fubini-Study szimplektikus formával µ : P(V ) k µ([v])(a) = i v, Av v Speciális eset G = SL(C n ) SL(C n k ), K = SU(C n ) SU(C n k ), V = C n C n k µ([v]) éppen Cv projektorának a marginálisaival azonosítható! 4/

15 Konvexitási tételek Tétel (Kirwan; Guillemin, Sternberg; Atiyah) Legyen M kompakt szimplektikus sokaság, amin a K kompakt összefüggő csoport szimplektikusan hat, µ : M k momentum-leképezés, T K maximális tórusz. Ekkor µ(m) t + konvex politóp. Tétel (Brion) Legyen M kompakt Kähler-sokaság, amin adott a K kompakt összefüggő Lie-csoport egy Kähler-hatása. Ez kiterjed G = K C holomorf hatásává. Ekkor minden m M pontra µ(g m) t + konvex. Ha M projektív varietás, akkor ez a metszet politóp. 5/

16 Összefonódott állapotok marginálisai Összefonódottsági politópok (Walter, Doran, Gross, Christandl) G = SL(n, C) SL(n k, C) hat M = P(C n C n k )-n momentum-leképezés a marginálisokkal azonosítható, pozitív Weyl-kamra a rendezett sajátértékekkel lehetséges spektrum-k-asok: µ(m) t + politóp µ(g [v]) t + politóp fizikailag is érdekes: a marginálisok spektruma egyszerűbben mérhető mint a teljes állapot valós paraméterek száma n n... n k helyett csak n + + n k k 6/

17 Összefonódottsági politópok Példa: k = 3, n = n = n 3 =, ekkor 6 orbit van Λ Λ Λ Λ 3 Λ 3 Λ 3 Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 3 Λ 3 Λ 3 Λ Λ Λ 7/

18 Invariánselméleti karakterizáció G-invariáns projektív varietások G reduktív csoport, V reprezentáció, C V invariáns kúp R(C) = S(V )/I(C) reguláris függvények, R(C) = n N R n(c) tagjai is G-reprezentációk Legmagasabb súlyú vektorok P n (C) t + az Rn irreducibilis részeihez tartozó legmagasabb súlyok halmaza p(c) = n N P n(c) n véges sok pont Q feletti konvex burka Kirwan-Mumford konvexitási tétel: µ(p(c)) t Q,+ = p(c) S(V ) B egy generátorrendszerének ismeretében a csúcsok meghatározhatók generátorrendszert találni nehéz 8/

19 Politópok meghatározása gradiens-folyam segítségével Gradiens-folyam válasszunk k -n K-invariáns skalárszorzatot, ekkor µ : M R sima függvény Kirwan: egy G-orbitra megszorítva µ minden lokális minimuma egyben globális minimum ha M Riemann-sokaság is, a d dt m(t) = grad µ (m(t)) egyenletet numerikusan megoldva közelítőleg meghatározhatjuk a minimumot, m(t) egy orbitban van lim t m(t) nem mindig létezik, de lim t µ (m(t)) igen µ(m(t))-t K egy elemével a pozitív Weyl-kamrába forgatva a G m politópjának pontjait kapjuk, az origótól való távolság pontosan egy pontban minimális politóp origóhoz legközelebbi pontja lineáris egyenlőtlenség 9/

20 Gradiens-folyam más pontok felé Kibővített folyam V λ irreducibilis G-reprezentáció λ t legmagasabb súllyal, v Vλ legmagasabb súlyú vektor, k N B stabilizálja v-t, ezért O λ = K v G-tér m P(V ), G hat G m O λ P(S k (V ) V λ )-n megmutatható, hogy ennek gradiens-folyama a µ(g m) t politóp λ k -hoz legközelebbi pontjához tart Módszer politópok numerikus meghatározására kiindulás: ψ C n C n k kvantum marginális probléma megoldása: p,..., p r pontok konvex burka (Klyachko) gradiens folyam ψ-ből p i felé lineáris egyenlőtlenségek az új p-k az ezek által meghatározott politóp csúcsai 0/

21 Kérdések Milyen egyéb módszerekkel lehet konkrét állapotok orbitjának összefonódási politópját meghatározni? Mi a k részrendszer feletti r szintű GHZ állapot orbitjának összefonódási politópja? Ha ismert G ψ és G ϕ összefonódási politópja, mit mondhatunk G (ψ ϕ) politópjáról? Ha ismert G ψ és G ϕ összefonódási politópja, mit mondhatunk G (ψ ϕ) politópjáról? /

22 M. Walter, B. Doran, D. Gross, M. Christandl, Entanglement Polytopes: Multiparticle Entanglement from Single-Particle Information, Science, 340 (637): A. Klyachko, Quantum marginal problem and representations of the symmetric group, arxiv:quant-ph/04093 F. Kirwan, The cohomology of quotient spaces in symplectic and algebraic geometry, Thesis, Oxford M. Atiyah, Convexity and commuting Hamiltonians, Bull. London Math. Soc. 4, 5 V. Guillemin, S. Sternberg, Convexity properties of the moment mapping, I-II Invent. Math. 67, 49 53, F. Kirwan, Convexity properties of the moment mapping, III, Invent. Math. 77, 547 M. Brion, Sur l image de l application moment in Séminaire d Algèbre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin (Springer, 987) pp /