Differenciálegyenlet rendszerek

Átírás

1 Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján Differenciálegyenleteknek 2 típusa van: 1. Közönséges diff.egyenletek (az ismeretlen egyváltozós függvény) explicit elsőrendű diff.egyenlet implicit elsőrendű diff.egyenlet magasabb rendű diff.egyenlet diff.egyenlet rendszer 2. Parciális diff.egyenletek (az ismeretlen többváltozós függvény) (ezekkel nem foglalkoztunk) A kezdeti érték probléma Feladat: Adott (Kezdeti érték probléma, vagy Cauchy feladat): n=1,2, ; (egyenletek száma) D RxR n tartomány (összefüggő, nyílt halmaz) f:d R n folytonos Keresünk olyan I R nyílt intervallumot és ϕ: I R n differenciálható (ezután: diffható) függvényt, hogy: 1) (t,ϕ(t)) D RxR n ( t I) 2) ϕ (t)=f(t,ϕ(t)) ( t I) Def.: A fenti feladatot explicit, elsőrendű közönséges diff.egyenletnek nevezzük. Az ilyen ϕ függvény a diff.egyenletrendszer megoldása az I intervallumon. Jelölések a feladatra: x (t) = f(t,x(t)) x = f o(id,x) (id:r R, t t f: a diff.egyenlet jobb oldala) Def.: Kezdeti-érték probléma Legyen [τ,ξ] D RxR n. Azt mondjuk, hogy a ϕ: I R n függvény az x = f o(id,x), x(τ)=ξ kezdeti-érték probléma megoldása, ha 1) az x = f o(id,x), diff.egyenletet megoldja I-n 2) ϕ(τ) = ξ (ϕ átmegy a (τ,ξ) ponton) (Ezután kezdeti érték probléma rövidítve: k.é.p.) - 1 -

2 K.é.p. megoldására vonatkozó legfontosabb kérdések: 1) A megoldás létezése 2) A megoldások egyértelműsége 3) A megoldások előállítása: pontos megoldás (megoldóképlet) közelítő megoldás 4) A megoldások függése (pl.) a kezdeti értéktől 5) Minőségi vizsgálatok: A megoldások bizonyos tulajdonságainak (pl.: periodicitás) vizsgálata a diff.egyenlet ismerete nélkül. 1. A megoldás létezése Tétel: Cauchy-Peano tétel f: D R n (D R R n tartomány), f folytonos (τ,ξ) D esetén x = f o(id,x), x(τ)=ξ k.é.p.-nak van megoldása. Lokális tétel: I R intervallum (τ I), hogy a diff.egyenletnek van megoldása I-n. 2. A megoldás egyértelműsége Def.: A k.é.p. megoldás globálisan egyértelmű, ha ϕ,ψ megoldásra: ϕ(t) = ψ(t) ( t (D ϕ D ψ ) 0) Tétel: A k.é.p. megoldása globálisan egyértelmű Ĩ R nyílt intervallum és ϕ:ĩ R n függvény, úgy hogy 1) ϕ megoldása a k.é.p.-nak 2) minden más megoldás ennek a leszűkítése Def.: Ha a x = f o(id,x), x(τ)=ξ k.é.p. megoldása globálisan egyértelmű, akkor a fenti tételben szereplő ϕ függvényt a k.é.p. teljes megoldásának nevezzük. Def.: A k.é.p. egy ϕ*: I* R n megoldás maximális megoldás, ha nincs olyan ϕ*-től különböző megoldás, amelyiknek a leszűkítése ϕ* lenne. Megjegyzés: Ha ϕ teljes megoldás ϕ maximális megoldás is. (fordítva nem igaz) Def.: Az x = f o(id,x), x(τ)=ξ k.é.p. lokálisan egyértelműen oldható meg, ha k(τ,ξ) D f ( R R n ), amelyre leszűkítve a k.é.p.-t az már globálisan egyértelmű oldható meg, azaz: k(τ,ξ) D f ( R R n ) x = F o(id,x), x(τ)=ξ k.é.p. globálisan egyértelműen oldható meg, ahol F:= f k(τ,ξ) - 2 -

3 Tétel: A k.é.p. megoldása lokálisan egyértelmű τ-t tartalmazó I R n nyílt intervallum, hogy ϕ,ψ megoldásra: I D f D ψ ϕ(t) = ψ(t) ( t I) Tétel: Tegyük fel hogy (τ,ξ) D f esetén az x = f o(id,x), x(τ)=ξ k.é.p. lokálisan egyértelműen oldható meg. Ekkor (τ,ξ) D f kezdeti-érték esetén a k.é.p. globálisan is egyértelműen adható meg. Def.: Lipschitz-féle feltétel (a k.é.p. létezésére és lokális egyértelműségére) Tegyük fel, hogy az f: D R n (D f R R n tartomány). Az f függvény a (τ,ξ) D pontban a második változójában lokális Lipschitz-féle feltételnek tesz eleget, ha k(τ,ξ) D f és L τ,ξ >0: f(t,u)-f(t,ū) L τ,ξ u- ū ( (t,u), (t,ū) k(τ,ξ),. tetszőleges norma R n -en) Tétel: Elégséges feltétel a lokális Lipschitz-féle feltételre Tegyük fel, hogy: f: D R n (D f R R n tartomány). D konvex (= bármely két pontot összekötő szakaszt is tartalamazza D) f C 1 Ekkor (τ,ξ) D f -ben teljesül a lokális Lipschitz-féle feltétel. Alaptétel: Picard-Lindelöf Legyen f: D R n (D f R R n tartomány) és tegyük fel, hogy a. f folytonos b. (τ,ξ) D pontban f a második változójában lokális Lipschitz-féle feltételnek tesz eleget. Ekkor (τ,ξ) D esetén az x = f o(id,x), x(τ)=ξ k.é.p. lokálisan egyértelműen oldható meg. Következésképpen: minden k.é.p. globálisan is egyértelműen oldható meg. Megjegyzés: 1) Bizonyítás alapja a Banach-féle fixpont-tétellel 2) Létezést is állít a tétel (nem kell a Cauchy-Peano-ra hivatkozni) Lineáris differenciálegyenlet rendszerek Feladat: Adott: n N, I R nyílt intervallum A: R n n matrix értékű folytonos függvény b: R n vektor értékű folytonos függvény Keresünk olyan J I nyílt intervallumot és ϕ: J R n diff.ható. ϕ (t)= A(t) ϕ(t)+b(t) (t J) Lineáris diff.egyenletrendszer típusai: o Homogén egyenlet: x =Ax (b 0) o Inhomogén egyenlet: x =Ax+b Röviden: x (t)=a(t) x(t)+b(t) - 3 -

4 x 1 (t) a 11 (t) a 1n (t) x 1 (t) + b 1 (t) = x n (t) a n1 (t) a nn (t) x n (t) + b n (t) x 1 (t) = a 11 (t) x 1 (t) a 1n (t) x 1 (t) + b 1 (t) x n (t) = a n1 (t) x n (t) a nn (t) x n (t) + b n (t) K.é.p.: (τ,ξ) I R n x (t)=a(t)x(t)+b(t) x(τ)=ξ Tétel: Tegyük fel, hogy a fenti feltételek teljesülnek. Ekkor (τ,ξ) I R n esetén az x =Ax+b, x(τ)=ξ k.é.p. a) globálisan egyértelműen oldható meg b) a teljes megoldás értelmezési tartománya a teljes I intervallum 3. A megoldás előállítása 1. eset: homogén egyenlet: Az x =Ax homogén egyenlet megoldásai A tételből következik, hogy minden k.é.p.-re globálisan egyértelmű a megoldása és az értelmezési tartomány (ÉT) = I. M h : a teljes megoldások halmaza C(I, R n ) (I-n értelmezett R n beli folytonos függvények lineáris altere) Segédtétel: A {ϕ (i) i=1,2,,m} M h függvényrendszer lineárisan független t o I, hogy a {ϕ (i) (t o ) i=1,2,,m} R n vektorok lineárisan függetlenek. Tétel: M h altér C(I, R n ) lineáris térben és dim M h = n. Biz.: Altér, ugyanis ϕ (1), ϕ (2) megoldás, (ϕ (i) ) =Aϕ (i) (i=1,2) λ 1 ϕ (i) λ 2 ϕ (i) is megoldás. M h n dimenziós (τ I) (i=1,2,,n) x =Ax, x(τ)=e(i)= 0 0 i az n db teljes megoldás lineárisan független és minden megoldás előállítható ezek lineáris kombinációjából

5 Def.: 1) x =Ax homogén egyenlet egy alaprendszerén az M h altér egy bázisát értjük. 2) Ha ϕ (1),, ϕ (n) a homogén egyenlet egy alaprendszere, akkor ϕ 1 (1) ϕ n (n) Φ :=... : I R n n ϕ n (1) ϕ n (n) mátrix értékű függvényt az x =Ax egyenlet alapmátrixának nevezzük. Megjegyzés: A ϕ (1),, ϕ (i) alaprendszer 1) ha lineárisan függetlenek 2) minden megoldás előáll ezek lineáris kombinációjából Állítás: Ha Φ az x =Ax homogén egyenlet alapmátrxa, akkor Φ (t)=a(t) Φ(t) matrix diff.egyenletet Φ kiegészíti. Tétel: A homogén egyenlet általános megoldása Tegyük fel, hogy ϕ (1), ϕ (2),, ϕ (n) az x =Ax egyenlet egy alaprendszere. Ekkor M h = { c i ϕ (i) c i R, i= 1,2,3,,n}= c 1 ={Φ c c = c 2 R n } c n 2. eset: Az x =Ax+b inhomogén egyenlet megoldásai Tétel: Jelölje M IH = {ψ 0 +ϕ ϕ M h }, azaz inhomogén ált. meo. = hom. egy. ált. meo.-a + inhom. egy. part. meo. ψ Φ c ψ 0 Biz.: ψ az inhomogén egyenlet tetszőleges megoldás: (ψ-ψ 0 ) =ψ -ψ 0 = Aψ+b (Aψ 0 +b) = A(ψ-ψ 0 ) azaz ψ-ψ 0 megoldása a homogén egyenletnek c R: ψ-ψ 0 = Φ c. Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának előállítása: az állandók variálásnak módszere: A Lagrange-féle alapötlet: keressük ψ 0 t a köv alakban: ψ 0 -t=φ(t) c(t) (c R n ) ψ 0 (t) = Φ (t)c(t)+φ(t)c (t)=a(t) Φ(t)c(t)+Φ(t)c (t)=a(t) ψ 0 (t)+b(t) Φ(t)c (t) = b(t) ( Φ -1 (t) t-re, uis Φ alaprendszer + segédtétel) c (t) = Φ -1 (t) b(t) t c(t) = Φ -1 (s)b(s)ds a (a I tetszőleges) t ψ 0 (t) = Φ(t) Φ -1 (s)b(s)ds (t I) megoldása az inhomogén egyenletnek. a - 5 -

6 Tétel: Cauchy-formula, az inhomogén diff.egyenlet megoldóképlete Legyen Φ az x =Ax+b inhomogén egyenlet egy alapmátrixa. Ekkor (τ,ξ) I R n esetén x =Ax+b, x(τ)=ξ k.é.p. globálisan egyértelműen oldható meg. A teljes megoldás: ψ(t) =Φ(t) Φ -1 (τ) ξ+φ(t) = Φ -1 (s)b(s)ds t τ (t I) Megjegyzés: Változó együtthatós módszer a Φ alapmátrix előállítására. (azaz Ax nem állandó) esetben nincs általános Magasabb szintű lineáris egyenletek Feladat: Adott n N, h R R n R 1 folytonos (D h taromány) Keresünk: olyan I R nyílt intervallumot és ϕ:i R n-szer folytonosan deriválható függvényt, hogy: a) (t,ϕ(t),ϕ (t),, ϕ (n-1) (t)) D h (t I) b) ϕ (n) (t)=h(t,ϕ(t),ϕ (t),, ϕ (n-1) (t)) (t I) Def.: Ezt a feladatot n-edrendű explicit diff.egyenletnek nevezzük. Jelölés: y (n) (t) = h(t, y(t),, y (n-1) (t)) K.é.p. ezekre: (τ,ξ) R R n, (τ,ξ) D h y (n) (t) = h(t, y(t),, y (n-1) (t)) y(τ)=ξ 1, y (τ)=ξ 2,, y (n-1) (τ) =ξ n, ahol ξ:= (ξ 1,,ξ n ) Tétel: Átviteli elv y (n) (t) = h(t, y(t),, y (n-1) (t)) x (t)=f(t,x(t)), ahol f(t, u 1, u 2,, u n ) M Magasabbrendű R Rendszer ϕ 1 a) ha ϕ megoldása M-nek, akkor ψ = ϕ megoldása R-nek, és ϕ (n-1) ψ 1 b) ha ψ = megoldása R-nek az első komponense ψ 1 ( R R) megoldása M- nek. ψ n Ezért igaz: Tétel: Ha h R R n R 1 folytonos függvény, és a 2. változójában lokális Lipschitz-féle feltételnek tesz eleget, akkor (τ,ξ) D h esetén y (n) (t) = h(t, y(t),, y (n-1) (t)) y(τ)=ξ 1, y (τ)=ξ 2,, y (n-1) (τ) =ξ n, ahol ξ:= (ξ 1,,ξ n ) k.é.p. lokálisan és globálisan is egyértelműen oldható meg és minden teljes megoldás határtól határig halad. Általános alak: y (n) (t) + a n-1 y (n-1) (t)+ +a 1 y +a 0 y=b, ahol a i,b : I R adott folytonos függvények. Az egyenlet itt is lehet homogén (b 0) és inhomogén

7 Állandó együtthatós n-edrendű homogén, lineáris diff.egyenlet alaprendszerének előállítása Tétel: A homogén egyenlet alaprendszerének explicit előállítása 1) Ha a p(λ) karakterisztikus polinom gyökei valósak és különbozőek: λ 1, λ 2, λ n, akkor ϕ i (t) = e λit (t R, i=1,2,,n) alaprendszere a homogén egyenletnek. 2) Ha a λ a p(λ) karakterisztikus polinom s-szeres valós gyöke ϕ 1 (t) = e λt, ϕ 2 (t) =t e λt, ϕ 3 (t) =t 3 e λt,, ϕ s (t) =t s-1 e λt s db lineárisan független megoldása van 3) Ha λ=α+iβ C (β 0) komplex gyöke a karakterisztikus polinomnak, akkor ϕ 1 (t) = e αt cos βt ϕ 2 (t) = e αt sin βt a homogén egyenlet két lineárisan független megoldása. 4) Többszörös komplex gyök esetén is hasonlóan kezelhető: ha λ s-szeres komplex gyök 2s db lineárisan független valós megoldása adható meg Inhomogén egyenletek: Tétel: Állandók variálása n Legyen ϕ 1, ϕ 2,, ϕ n a homogén egyenlet egy alaprendszere. A ψ 0 (t)= c n (t)ϕ n (t) k=1 c 1 (t) függvény az inhomogén egyenlet egy megoldása, ha a c (t):= függvényre: 0 c n (t) Φ(t) c (t)= 0 teljesül, ahol 0 b(t) ϕ 1 (t) ϕ n (t) ϕ 1 (t) ϕ n (t) Φ(t) = Wronski-féle mátrix ϕ (n-1) 1(t) ϕ (n-1) n(t) Speciális jobb oldal: b(t)=p(t) e αt (c 1 sin βt+c 2 cosβt) az ilyen alakú függvényeket kvázipolinomoknak szokás nevezni Megjegyzés: Kvázipolinom deriváltja is kvázipolinom. Tétel: Próbafüggvény módszer polinom Tekintsük a következő egyenletet: y (n) (t) + a n-1 y (n-1) (t)+ +a 1 y +a 0 y= P(t) e αt (c 1 sin βt+c 2 cosβt) a i R, i=0,1, n-1, α,β R, P(t):polinom - 7 -

8 Legyen: µ:=α+iβ C 0, ha µ nem gyöke a homogén egyenlet karakterisztikus polinomjának k:= k, ha µ k-szoros gyök (k 1). Ez az ún. rezonancia eset. Ekkor az inhomogén egyenletnek van ilyen alakú megoldása: ψ 0 (t)= {G(t) e αt sinβt+h(t)e αt cosβt} t k G(t), H(t) polinomok; grad G, grad H gradp Tétel: Szuperpozíció elve Tegyük fel, hogy ψ 1 megoldása: y (n) (t) + a n-1 y (n-1) (t)+ +a 1 y +a 0 y=b 1 ψ 2 megoldása: y (n) (t) + a n-1 y (n-1) (t)+ +a 1 y +a 0 y=b 2 (ψ 1 +ψ 2 ) megoldja a y (n) (t) + a n-1 y (n-1) (t)+ +a 1 y +a 0 y= b 1 + b 2 Kapcsolat az alaprendszer előállítása és a sajátérték probléma között Tétel: Ha az A R n n mátrixnak van n db lineárisan független valós sajátvektora: s (1), s (2),, s (n) R n λ 1,λ 2, λ n valós (nem feltétlenül különböző) sajátértékek ϕ (k) (t) : s (k) e α kt (t R, k =1,2,,n) függvények az x =Ax egyenlet egy alaprendszere