Nemlineáris programozás 2.

Átírás

1 Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: , 8-10 Winston: 10.7,8 Csató László BCE Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék laszlo.csato@uni-corvinus.hu március 25.

2 18.1: Két változó, egy egyenlőségi feltétel max(min) z = f (x, y) f.h. g(x, y) = c Optimum esetén a g(x, y) görbe (x, y)-beli érintőjének meredeksége megegyezik az f (x, y) e pontbeli szintvonalát érintő egyenes meredekségével. Vagyis: f 1 (x, y) f 2 (x, y) = g 1 (x, y) g 2 (x, y) Feladat 615. o.: 18.1 Keresse meg az alábbi feladat egyetlen lehetséges megoldását: max f.h. xy 2x + y = m Megjegyzés: behelyettesítés után egyváltozós függvényt kapunk

3 18.2: A Lagrange-szorzók módszere max(min) z = f (x, y) f.h. g(x, y) = c Legyen a Lagrange-függvény a következő: L(x, y) = f (x, y) λ(g(x, y) c) Ezt x és y szerint differenciálva a következő egyenleteket kapjuk: f 1(x, y) λg 1(x, y) = 0 és f 2(x, y) λg 2(x, y) = 0. A g(x, y) = c feltétellel együtt 3 egyenletünk lesz 3 ismeretlenre... Figyelmeztetés A Lagrange-módszer a feladat megoldására szükséges, de nem elégséges feltételeket ad!

4 18.2: A Lagrange-szorzók módszere Ezek alapján a max(min) z = f (x, y) f.h. g(x, y) = c optimalizálási feladat megoldásának menete: 1. Képezzük az L(x, y) = f (x, y) λ(g(x, y) c) Lagrange-függvényt, ahol λ egy paraméter. 2. Differenciáljuk a Lagrange-függvényt x és y szerint, a parciális deriváltakat tegyük egyenlővé 0-val. 3. Az előző pontból kapott két egyenlet és a korlátozó feltétel az alábbi egyenletrendszert adja: f 1(x, y) = λg 1(x, y) f 2(x, y) = λg 2(x, y) g(x, y) = c 4. Oldjuk meg az egyenletrendszert az x, y és λ ismeretlenekre.

5 18.2: A Lagrange-szorzók módszere Feladat 618. o.: 18.3 Használja a Lagrange-módszert a max f.h. xy 2x + y = m feladat megoldására! Feladat 618. o.: 18.4 Oldja meg az alábbi feladatot! max(min) x 2 + y 2 f.h. x 2 + xy + y 2 = 3 Honnan lehet tudni, hogy létezik maximum és minimum is? Megoldás A Weierstarss-tétel következtében létezik maximum és minimum is. A Lagrange-szorzók módszerével kapott megoldások: (1, 1), ( 1, 1), ( 3, 3), ( 3, 3).

6 18.2: A Lagrange-szorzó közgazdasági értelmezése Ha f * (c) jelöli az f függvény optimumértékét a c konstans függvényében, akkor (bizonyos feltételek teljesülése esetén) df * (c) dc = λ(c), vagyis λ Lagrange-szorzó az a szám, amellyel a célfüggvény optimumértéke változik a c konstans változásának hatására (árnyékár!). Feladat 618. o.: 18.5 Tekintse a max f.h. xy 2x + y = m feladatot. Vegye az m = 100 értéket, és határozza meg, mi történik az értékfüggvénnyel, ha a konstans eggyel növekszik. Közeĺıtse a Lagrange-szorzó segítségével!

7 18.3: A Lagrange-módszer igazolása Lagrange tétele Tegyük fel, hogy f (x, y) és g(x, y) függvényeknek léteznek a folytonos parciális deriváltjai az xy-sík egy A tartományában, továbbá azt, hogy (x 0, y 0 ) az A belső pontja és az f (x, y)-nak a g(x, y) = c feltétel melletti lokális szélsőértéke. Tegyük fel, hogy a g 1 (x 0, y 0 ) és g 2 (x 0, y 0 ) közül legalább az egyik nem 0. Ekkor létezik pontosan egy olyan λ szám, hogy az L(x, y) = f (x, y) λ(g(x, y) c) Lagrange függvénynek az (x 0, y 0 ) pontban stacionárius pontja van. Feladat 626. o.: 18.3/3 Definiáljuk az f és a g függvényeket a következőképpen: f (x, y) = (x + 2) 2 + y 2 és g(x, y) = y 2 x(x + 1) 2. Határozza meg az f (x, y) függvény g(x, y) = 0 feltétel melletti minimumát (rajzoljon ábrát)!

8 18.4: Elégséges feltételek Globális elégségesség Tegyük fel, hogy f (x, y) és g(x, y) folytonos differenciálhatók az R 2 egy nyílt, konvex A halmazán. Legyen (x 0, y 0 ) az L(x, y) = f (x, y) λ(g(x, y) c) Lagrange-függvény stacionárius pontja, és g(x 0, y 0 ) = c. Ekkor L(x, y) konkáv (x 0, y 0 ) optimális megoldása a maximum feladatnak L(x, y) konvex (x 0, y 0 ) optimális megoldása a minimum feladatnak Megjegyzés L(x, y) konkáv, ha f (x, y) konkáv és g(x, y) konvex.

9 18.4: Globális elégségesség Feladat Winston, 585. o.: 22 Egy cég dollárt akar reklámra költeni. Percenként 3000 dollárba kerül a hirdetés a televízióban, míg percenként 1000 dollárba a rádióban. Ha a cég x perc televíziós és y perc rádiós reklámidőt vesz, akkor f (x, y) = 2x 2 y 2 + xy + 8x + 3y bevétele lesz (ezer dollárban). Hogyan tudja a cég maximalizálni a bevételét? Megoldás 1. Lagrange-függvény feĺırása 2. Egyenletrendszer megoldása: x = 73 28, y = 69 28, λ = Elégségesség ellenőrzése: f konkáv (a Hesse-mátrixból) 4. Általánosan: ha a dollár áll rendelkezésre hirdetésre, akkor újabb egy dollár reklámra költése közeĺıtőleg 11 a 4 dollárral növeli a bevételt

10 18.4: Lokális elégséges feltételek d 2 z dx 2 = f 11+f 12y (f 21+f max z = f (x, y) f.h. g(x, y) = c dz dx = f 1(x, y) f 2(x, y) g 1 (x, y) (x, y) 22y ) g 1 g 2 g 2 f 2 (g 11 + g 12 y )g 2 (g 21 + g 22 y )g 1 (g 2, )2 ahol f 12 = f 21 és g 12 = g 21 a Young-tétel miatt, továbbá y = g 1 /g 2, és az elsőrendű feltétel szerint f 1 = λg 1 és f 2 = λg 2. Így d 2 z dx 2 = 1 (g 2 [(f 11 λg 11)(g 2) 2 2(f 12 λg 12)g 1g 2+(f 22 λg 22)(g 1) 2 ]. )2

11 18.4: Lokális elégséges feltételek Ha D(x, y) = g 1 g 2 0 g 1 (x, y) g 2 (x, y) (x, y) f 11 λg 11 (x, y) f 12 λg 12 (x, y) (x, y) f 21 λg 21 (x, y) f 22 λg 22 (x, y), akkor d 2 z dx 2 = 1 D(x, y). (x, y)]2 [g 2 Theorem Ha egy (x 0, y 0 ) kielégíti az elsőrendű feltételeket, valamint D(x 0, y 0 ) > 0 (lokális másodrendű feltétel), akkor (x 0, y 0 ) megoldása a fenti feladatnak. Megjegyzés Minimumfeladatnál a lokális másodrendű feltétel D(x 0, y 0 ) < 0.

12 18.4: Lokális elégséges feltételek Feladat 629. o.: 18.9 Tekintse a következő feladatot: max(min) x 2 + y 2 f.h. x 2 + xy + y 2 = 3 Az elsőrendű feltételekből kapott pontok: (1, 1), ( 1, 1), ( 3, 3), ( 3, 3). Ellenőrizze a másodrendű feltételeket! Teljesül-e a globális elégségességi feltétel? Miért nem? Feladat 629. o.: 18.4/2 Tekintse a következő feladatot: min x 2 + y 2 f.h. x + 2y = a Oldja meg a feladatot úgy, hogy a korlátozó feltétel felhasználásával kiküszöböli y-t! Igazolja, hogy a kapott szélsőérték valóban minimum. Oldja meg a feladatot a Lagrange-módszerrel is! Ellenőrizze a lokális elégségességi feltételeket.

13 18.5: Általánosabb Lagrange-feladatok A Lagrange-függvény: max z = f (x 1, x 2,..., x n ) f.h. g(x 1, x 2..., x n ) = c L(x 1,..., x n ) = f (x 1,..., x n ) λ(g(x 1,..., x n ) c) Ekkor az elsőrendű feltételek a következők: f 1(x 1,..., x n ) λg 1(x 1,... x n ) = 0. f n(x 1,..., x n ) λg n(x 1,... x n ) = 0, ami n + 1 egyenletet ad az n + 1 ismeretlen meghatározásához...

14 18.5: Általánosabb Lagrange-feladatok Feladat 630. o.: Határozza meg a következő feladat egyetlen lehetséges megoldását: max x 2 y 3 z f.h. x + y + z = 12 Megoldás Az egyetlen lehetséges megoldás: (x, y, z) = (4, 6, 2). Feladat 630. o.: 18.5/1 Határozza meg a következő feladat egyetlen lehetséges megoldását: min x 2 + y 2 + z 2 f.h. x + y + z = 1 Bizonyítsa be, hogy a kapott megoldás globális minimum. Megoldás Az egyetlen lehetséges megoldás: (x, y, z) = (1/3, 1/3, 1/3). A Lagrange-függvény konvex, tehát ez globális minimumhely.

15 18.5: Általánosabb Lagrange-feladatok A Lagrange-függvény: max z = f (x 1, x 2,..., x n ) f.h. g 1 (x 1, x 2..., x n ) = c 1 g 2 (x 1, x 2..., x n ) = c 2 L(x 1,..., x n ) = f (x 1,..., x n ). g m (x 1, x 2..., x n ) = c m m λ j (g j (x 1,..., x n ) c j ) Az elsőrendű feltételek az x i szerinti parciális deriváltak alapján: L f (x) m g j (x) = λ j = 0 (i = 1,..., n), x i x i x i j=1 ami az m egyenlőségi feltétel mellett n egyenletet ad az n + m ismeretlen meghatározásához... j=1

16 18.5: Általánosabb Lagrange-feladatok Feladat 632. o.: Oldja meg a következő feladatot: max(min) x 2 + y 2 + z 2 f.h. x + 2y + z = 1 2x y 3z = 4 Mutassa meg, hogy teljesül a globális elégségesség feltétele is. Maximumot vagy minimumot kapott? Feladat 634. o.: 18.5/9 Oldja meg a következő feladatot: min (y + z 3) 2 f.h. x 2 + y + z = 2 x + y 2 + 2z = 2 A lehetséges szélsőértékhelyek: (1, 1, 0) és ( 1/2, 1, 3/4). A kettő közül az egyik a feladat megoldása. Melyik? Lássa be, hogy a másik nem a maximum feladat megoldása. Mi következik ebből?

17 18.8: Két változó, egy egyenlőtlenségi feltétel max f (x, y) f.h. g(x, y) c Az optimalizálási feladat megoldásának menete: 1. Rendeljünk hozzá egy konstans λ Lagrange-szorzót a g(x, y) c feltételhez és definiáljuk az L(x, y) = f (x, y) λ(g(x, y) c) Lagrange-függvényt. 2. Differenciáljuk a Lagrange-függvényt x és y szerint, a parciális deriváltakat tegyük egyenlővé 0-val: L 1(x, y) = f 1(x, y) λg 1(x, y) = 0 L 2(x, y) = f 2(x, y) λg 2(x, y) = 0 3. Vezessük be a komplementaritási feltételt: 4. Írjuk elő a korlátozó feltételt: λ 0 és λ = 0, ha g(x, y) < c g(x, y) c.

18 18.8: Két változó, egy egyenlőtlenségi feltétel Feladat 643. o.: Oldja meg az alábbi feladatot: max x 2 + y 2 + y 1 f.h. x 2 + y 2 1 Megoldás Három lehetséges optimumhely van: (0, 1) és λ = 3/2. Itt f (0, 1) = 1. (0, 1) és λ = 1/2. Itt f (0, 1) = 1. (0, 1/2) és λ = 0. Itt f (0, 1/2) = 5/4. Egy folytonos függvényt maximalizálunk korlátos és zárt halmazon, ezért a Weierstrass-tétel értelmében létezik megoldás, ami csak a (0, 1) lehet. Egyben megkaptuk a minimumfeladat megoldását is: (0, 1).

19 18.8: Általános nemlineáris programozási feladat 1. Írjuk fel a Lagrange-függvényt: max z = f (x 1, x 2,..., x n ) f.h. g 1 (x 1, x 2..., x n ) c 1 g 2 (x 1, x 2..., x n ) c 2. g m (x 1, x 2..., x n ) c m L(x 1, x 2,..., x n) = f (x 1, x 2,..., x n) m λ j g j (x 1, x 2,..., x n) 2. Az L(x 1, x 2,..., x n) függvény parciális deriváltjait tegyük egyenlővé 0-val: L(x 1, x 2,..., x n) f (x1, x2,..., xn) m g j (x 1, x 2,..., x n) = λ j = 0 x i x i x i 3. Komplementaritási feltételek: (i = 1, 2,..., n) λ j 0 és λ j = 0, ha g j (x 1, x 2,..., x n) < c j (j = 1, 2,..., m) 4. Korlátozó feltételek: j=1 j=1 g j (x 1, x 2,..., x n) c j (j = 1, 2,..., m)

20 Kuhn-Tucker feltételek: maximumfeladat max z = f (x 1, x 2,..., x n ) f.h. g 1 (x 1, x 2..., x n ) c 1 g 2 (x 1, x 2..., x n ) c 2. g m (x 1, x 2..., x n ) c m Theorem Ha x a feladat optimális megoldása, akkor x eleget tesz a feladatban szereplő m feltételnek, és léteznek olyan λ j szorzók, melyekre: f (x) x i m j=1 λ j g j (x) x i = 0 (i = 1, 2,..., n) λ j [c j g j (x)] = 0 (j = 1, 2,..., m) λ j 0 (j = 1, 2,..., m)

21 18.8: Általános nemlineáris programozási feladat Feladat 648. o.: Oldja meg az alábbi feladatot: max 4z x 2 y 2 z 2 f.h. z xy x 2 + y 2 + z 2 3 Megoldás Három lehetséges optimumhely van: (0, 0, 0) és λ = 4, μ = 0. Itt f (0, 0, 0) = 0. (1, 1, 1) és λ = 2, μ = 0. Itt f (1, 1, 1) = 1. ( 1, 1, 1) és λ = 2, μ = 0. Itt f ( 1, 1, 1) = 1. Egy folytonos függvényt maximalizálunk korlátos és zárt halmazon, ezért a Weierstrass-tétel értelmében létezik megoldás, ami csak az (1, 1, 1) és a ( 1, 1, 1) lehet.

22 Kuhn-Tucker feltételek: minimumfeladat min z = f (x 1, x 2,..., x n ) f.h. g 1 (x 1, x 2..., x n ) c 1 g 2 (x 1, x 2..., x n ) c 2. g m (x 1, x 2..., x n ) c m Theorem Ha x a feladat optimális megoldása, akkor x eleget tesz a feladatban szereplő m feltételnek, és léteznek olyan λ j szorzók, melyekre: f (x) x i + m j=1 λ j g j (x) x i = 0 (i = 1, 2,..., n) λ j [c j g i (x)] = 0 (j = 1, 2,..., m) λ j 0 (j = 1, 2,..., m)

23 Kuhn-Tucker feltételek: nemnegatív változók max z = f (x 1, x 2,..., x n ) f.h. g 1 (x 1, x 2..., x n ) c 1 g 2 (x 1, x 2..., x n ) c 2. g m (x 1, x 2..., x n ) c m x 1 0,..., x n 0 Theorem Ha x a feladat optimális megoldása, akkor x eleget tesz a feladatban szereplő m + n feltételnek, és léteznek olyan λ j, μ i szorzók, melyekre: f (x) x i j=1 m j=1 λ j g j (x) x i + μ i = 0 (i = 1, 2,..., n) λ j [c j g j (x)] = 0 (j = 1, 2,..., m) [ ] f (x) m g j (x) λ j x i = μ i x i = 0 (i = 1, 2,..., n) x i x i λ j 0 (j = 1, 2,..., m) és μ i 0 (i = 1, 2,..., n)

24 18.9.: Nemnegativitási feltételek a változókra Feladat 573. o.: 17.6; 655. o.: 18.9/2 Egy tanulmányban az Európába Norvégiába és Szibériából importált gáz mennyiségét vizsgálták, jelölje ezeket rendre x és y. Feltették, hogy az elért hasznosságot az f (x, y) = 9x + 8y 6(x + y) 2 függvény írja le (a gáz világpiaci ára emelkedik, ha növekszik a teljes import). Mivel a kapacitás korlátos, x-nek és y-nak ki kell elégítenie a 0 x 5 és 0 y 3 feltételeket. Végül politikai okokból úgy érezték, hogy a norvég import nem lehet túl kicsi hányada a teljes behozatalnak, ezért feltették, hogy x 2(y 1). Rajzolja le a korlátozó feltételeknek eleget tevő pontok halmazát, majd oldja a feladatot, ha a cél a hasznosság maximalizálása! Megoldás A függvény maximuma f (3/4, 0) = 27/8.

25 18.10: Kuhn-Tucker feltételek, elégségesség max z = f (x 1, x 2,..., x n ) f.h. g 1 (x 1, x 2..., x n ) c 1 g 2 (x 1, x 2..., x n ) c 2. g m (x 1, x 2..., x n ) c m Theorem Ha f (x) konkáv és minden g j (x) konvex, akkor minden olyan x pont, amely eleget tesz a szükséges feltételeknek, a feladat optimális megoldása.

26 18.10: Kuhn-Tucker feltételek, elégségesség Feladat 650. o.: 18.8/5 Oldja meg az alábbi feladatot: max ln x + (y + z) f.h. x + y + z 1 x 1 x 2 + y 2 2 Megoldás A szükséges feltételeket teljesítő pontok halmaza: x = 1, y + z = 0, y 2 1 és λ = (1, 0, 0). Az előző tétel alapján teljesülnek az elégségesség feltételei is, ezért a feladatnak végtelen sok megoldása van.

27 18.10: Kuhn-Tucker feltételek, elégségesség Feladat Winston, 595. o.: 25 Egy monopolhelyzetben levő cég dekagramm mennyiségig vásárolhat egy kémiai anyagból 10 dolláros egységáron. Dekánként 3 dollár költséggel a kémiai anyag egy dekája egy deka 1. termékké, 5 dollár költséggel pedig egy deka 2. termékké dolgozható fel. Ha x dekát álĺıtunk elő az 1. termékből, azt 30 x egységáron lehet értékesíteni. Ha y dekát álĺıtunk elő az 2. termékből, azt 50 2y egységáron lehet értékesíteni. Miként tudja a cég maximalizálni a profitját? Megoldás A célfüggvény konkáv, a feltételek konvexek. x = 8.5, y = 8.75, z = 17.25, λ 1 = 10 és λ 2 = 0 eleget tesz a Kuhn-Tucker feltételeknek. Mi a λ szorzók közgazdasági jelentése? Milyen összefüggés érvényes közöttük?

28 18.10: Kuhn-Tucker feltételek, elégségesség max z = f (x 1, x 2,..., x n ) f.h. g 1 (x 1, x 2..., x n ) c 1 g 2 (x 1, x 2..., x n ) c 2. g m (x 1, x 2..., x n ) c m Theorem Ha f (x) kvázikonkáv és minden g j (x) kvázikonvex, x 0 teljesíti a Kuhn-Tucker szükséges feltételeket, valamint f (x 0 ) 0, akkor x 0 a feladat optimális megoldása. Megjegyzés A f (x 0 ) 0 kiegészítő feltétel lényeges, mert egy kvázikonkáv függvény stacionárius pontja nem feltétlenül lokális maximum.

29 18.10: Kuhn-Tucker feltételek, elégségesség Feladat 661. o.: 18.10/5 Oldja meg az alábbi feladatot: max (x 1) 3 f.h. x 0 x 2 Megoldás (x 1) 3 kvázikonkáv, x és x is kvázikonvex (de kvázikonkáv is!), ezért fennállnak az előző tétel alkalmazásának feltételei. A szükséges feltételeket teljesítő pontok halmaza: x = 1, λ 1 = 0, λ 2 = 0 és x = 2, λ 1 = 0, λ 2 = 3. Az első azonban stacionárius pontja f -nek.

30 18.10: Kuhn-Tucker feltételek, szükségesség Figyelmeztetés A feladat megoldása nem feltétlenül teljesíti a Kuhn-Tucker feltételeket, ehhez további (regularitási) feltevések szükségesek. Egy regularitási feltétel A g j (j = 1, 2,..., m) függvények közül az x 0 pontban aktívak x 0 -beli gradiensei lineárisan függetlenek. Ha x 0 a feladat optimális megoldása, f és g 1, g 2,..., g m folytonosan differenciálható függvények, valamint x 0 -ban teljesül a regularitási feltétel, akkor léteznek olyan λ j szorzók, melyekre: f (x) x i m j=1 λ j g j (x) x i = 0 (i = 1, 2,..., n) λ j [c j g j (x)] = 0 (j = 1, 2,..., m) λ j 0 (j = 1, 2,..., m)

31 18.10: regularitási feltétel Feladat 659. o.: Oldja meg az alábbi feladatot: max xy f.h. (x + y 2) 2 0 Megoldás Az optimális megoldás (1, 1), ez azonban nem teljesíti a Kuhn-Tucker feltételeket. Feladat 660. o.: 18.10/1 Oldja meg az alábbi feladatot: ahol a egy pozitív konstans. max 2 (x 1)2 e y 2 f.h. x 2 + y 2 a

32 18.10: regularitási feltétel Feladat Winston, 596. o.: 26 Oldja meg az alábbi feladatot: max x f.h. y (1 x) 3 0 x, y 0 Megoldás Az optimális megoldás (1, 0), mert lehetséges és x > 1 esetén y < 0 a feltételből. A Kuhn-Tucker feltételek: 1 + 3λ( 1x) 2 = μ 1 μ 1 0 Ez nem teljesül az (1, 0) pontban. Ugyanakkor az y (1 x) 3 0 és y 0 aktív feltételek gradiensei sem lineárisan függetlenek.