Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Átírás

1 Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális δx i, s holonom kötés f = 3N s darab független változó: q 1, q 2,..., q f általános koordináták r i = r i (q 1, q 2,..., q f, t), i = 1, N δx i = x i δq r, i = 1, 3N, r = 1, f Einstein-féle összegzési konvenció érvényben (r-re.)

2 δw = i F i δx i = F i x i δq r = Q r δq r (2) ahol Q r = i F i x i, r = 1, f az ún. általános erők. A statikus rendszerekre alkalmazott virtuális munka elvéből (δw = 0, δq r ): Q r = 0

3 Az (1) egyenletből a D Alembert elv megfelelő egyenlete: Használjunk kizárólag általános koordinátákat i ṗ i x i Q r = 0. (3) ẋ i = dx i dt = x i q r ẋ i q r x i ṗ i = d dt ( ) d x i p i = d dt dt ( ) d xi p i = p i dt ( x i p i Behelyettesítések: (6), (7) (5) (3) ) d p i dt = x i. (4) ( ) xi ) = d ( mi ) dt q r 2 ẋ i 2 ( ẋ i m i ẋ i q r d dt x ẋ i i = m i ẋ i = ( mi ) 2 ẋ i 2 (5) (6) (7) Lagrange-féle másodfajú egyenlet ( ) d T T dt q r = Q r. r = 1, f (8)

4 Lagrange-féle másodfajú egyenlet ( ) d T T dt q r = Q r. r = 1, f (9) Sikerült kiküszöbölni a kényszereket. A Lagrange-egyenletek másodrendű differenciálegyenletei a q r (t) függvényeknek q() = q 0, q() = q 0 alakú kezdeti feltételek.

5 Az munka, erő és potenciális energia között fennálló kapcsolatokat alkalmazzuk a δq r virtuális elmozdulás, δw virtuális munka és a Q r általánosított erő esetére. Virtuálisan konzervatív U(q, t) erőtér (a tér által végzett munka zárt görbe mentén nulla, ha végtelenül rövid idő alatt járjuk be azt) tetszőleges δq r -re, tehát δw = Q r δq r = δu = U δq r. Q r = U. (10) Lagrange egyenlet ( ) d L L dt q r = 0, r = 1, f ; L(q, q, t) = T (q, q, t) U(q, t). (11) Az L = T U függvényt Lagrange-függvénynek nevezzük. (a mozgásegyenletek fenti alakja konzervatív kölcsönhatás és holonom kötések esetén érvényes)

6 Minimális hatás elve A Lagrange-egyenletet olyan formába írjuk át, hogy a virtuális elmozdulások tényleges szerephez jussanak. δq(t) a q(t) valós pálya és a q(t) + δq(t) virtuális pályák közötti eltérés. (sima) d δqr (t) = δ qr (t), (12) dt azaz a virtuális elmozdulás idő szerinti deriváltja megegyezik a sebességben történő virtuális változással. Egy tetszőleges f (q, q, t) mennyiség megfelelő virtuális változása elsőrendben: δf (q, q, t) = f (q + δq, q + δ q, t) f (q, q, t) = = f δq r + f δ q r = q r (12) = f ( f δq r + d dt ( f δq r q r = d dt ) + δq r q r [ f d dt ) d ( f dt q r ( f q r ) δq r = )] δq r

7 Vezessük be a I [q;, t 1] = t1 f (q, q, t)dt integráltat. I függvénye a és t 1 integrálási határoknak és funkcionálja a q(t) pályának. q 0 = q() és q 1 = q(t 1) pontot összekötő pályához az f = 3N s dimenziós térben egyértelműen megfeleltet egy valós értéket. Elsőrendben δi [q;, t 1] = I [q + δq;, t 1] I [q;, t 1] = = változás az I értékében. t1 [f (q + δq, q + δ q, t) f (q, q, t)]dt = t1 = δf (q, q, t) = = f t 1 t1 [ δq r f q r d ( )] f δq r dt dt q r +

8 Tekintsük a virtuális pályák egy olyan osztályát, melyben a q 0 és q 1 végpontok rögzítettek, azaz formálisan: δq 0 = δq 1 = 0. Ebben az esetben a fenti egyenlet jobboldalán megjelenő első tag eltűnik és: δi [q;, t 1] = t1 [ f d dt ( f q r )] δq r dt Tétel: Ha egy f (x) folytonos valós függvényre fennáll, hogy x1 x 0 f (x)η(x)dx = 0 minden olyan η(x) folytonosan differenciálható valós függvényre, mely kielégíti a η(x 0) = η(x 1) = 0 peremfeltételeket, akkor az f (x) függvény azonosan nulla az [x 0, x 1] szakaszon. A fenti tétel kiterjeszthető többváltozós függvényekre. Ez esetben, ha m i=1 x1 x 0 f i (x)η i (x)dx = 0, η i (x 0) = η i (x 1) = 0, és η 1(x), η 2(x),... η m(x) egymástól függetlenek, akkor fennáll, hogy f 1(x) = f 2(x) = = f m(x) = 0, x [x 0, x 1]

9 t1 [ f δi [q;, t 1] = d ( )] f δq r dt dt q r Az előbbi tétel értelmében: δq(t) tetszőleges függvény az integrál eltűnésének szükséges és elégséges feltétele a f d ( ) f = 0 (13) dt q r (13) I [q;, t 1] elsőrendben nem változik a funkcionál stacionárius q(t)-ben.

10 A Lagrange-féle mozgásegyenletek esetén a rendszer mozgását az alábbi elv formájában is megfogalmazhatjuk: Minimális hatás elve (Hamilton elv) Egy f szabadsági fokú rendszer egy olyan q(t) = (q 1(t), q 2(t),..., q f (t)) pályán mozog a és t 1 időpontok között a q() pontból a q(t 1) pontba, hogy az S[q;, t 1] = t1 hatásfüggvény, vagy másnéven hatásintegrál, minimális. L(q, q, t)dt (14) Newton általános érvényű mozgástörvényéből vezettük le konzervatív rendszerekre kizárólag holonom kötésekre A mechanikában kevésbé általános érvényű mint a Newton második törvényét képező másodrendű differenciálegyenlet. Ennek ellenére univerzális elv.

11 Egyváltozós függvények szélsőértéke A derivált zérushelyeiben tan α = y (x) = 0, tehát az érintő vízszintes. Ezeket stacionárius pontoknak nevezzük. A függvénynek szélsőértéke van x 0-ban, ha y(x) y(x 0) különbség előjeltartó x 0 tetszőlegesen kis környezetében. Ellenkező esetben x 0 áthajlási (inflexiós) pont. A stacionárius pont típusát szélsőérték vagy áthajlási pont az a legkisebb rendű derivált adja meg, mely nem eltűnő. Ha ez m, akkor a T m(x) y(x 0) = y (m)(x 0) (x x 0) m m 2 m! polinom páros m esetén szélsőértéket, páratlan esetén pedig áthajlást eredményez x 0-ban. Amennyiben az y (x 0) másodrendű derivált nem nulla, a T 2(x) másodrendű megközeĺıtés egy parabola, melynek csúcsa az (x 0, y(x 0)) pontban helyezkedik el. Ha y (x) < 0, akkor a szélsőérték egy maximum ellenkező esetben minimum.

12 Többváltozós függvények szélsőértéke. Sylvester tétele Legyen u : D R n R egy többváltozós függvény. x 0 a D tartomány belső pontja és x D egy elég kis környezetében levő tetszőleges pont. u megközeĺıthető másodrendű Taylor polinomjával: u(x) T 2(x) = u(x 0 ) + n u xi (x 0 ) x i + 1 2! i=1 n u xi x j (x 0 ) x i x j, Elég kis környezet az a tartomány értjük melyen belül a másodrendű tag sokkal kisebb mint az elsőrendű. A szélsőérték feltétele, hogy n u xi (x 0 ) x i + 1 2! i=1 n i,j=1 előjeltartó. Az elsőrendű tag előjeltartása kizárt: i,j=1 u xi x j (x 0 ) x i x j, x i = x i x 0 i (15) u xi (x 0 ) = 0, i = 1, n u stacionárius az x 0 -ban az (x 0, y 0 )-ban az érintő sík xoy n u xi x j (x 0 ) x i x j i,j=1 előjeltartó.

13 Ha u xi x j (P 0) = 0 minden i és j-re, akkor magasabbrendű megközeĺıtésekre is szükség van. A fenti négyzetes alak pozitív definit, ha a u x1 x 1 u x1 x 2... u x1 x n D 1 = u x1 x 1, D 2 = ux 1x 1 u x1 x 2 u x2 x 1 u x2 x 2,... Dn = u x2 x 1 u x2 x 2... u x2 x n u xnx1 u xnx2... u xnx n determinánsok mindegyike pozitív és negatív definit, ha D 1 < 0, D 2 > 0,..., ( 1) n D n > 0

14 Példa Tanulmányozzuk az u(x, y) = x 2 + my 2 függvény szélsőértékét az m paraméter függvényében.