Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

Átírás

1 Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

2 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális dierenciálegyenletek Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

3 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális dierenciálegyenletek Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

4 K.É.P. Deníció (Explicit diegyenlethez tartozó kezdetiérték-probléma) Legyen f (n + 1)-változós valós függvény, P = (ξ, η 0, η 1,..., η n 1) az értelmezési tartományának egy pontja. Az y (n) = f (x, y, y,..., y (n 1) ) explicit diegyenlethez és a P ponthoz tartozó kezdetiérték-problémán olyan y függvény meghatározását értjük, mely (1) kielégíti a diegyenletet és (2) kielégíti az y(ξ) = η 0, y (ξ) = η 1,..., y (n 1) (ξ) = η n 1 kezdeti feltételeket. Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

5 Explicit diegyenlet megoldhatósága Tétel (CauchyPeano-féle egzisztenciatétel) Az y (n) = f (x, y, y,..., y (n 1) ) explicit diegyenlethez és a P = (ξ, η 0, η 1,..., η n 1) ponthoz tartozó kezdetiérték-probléma megoldható, ha az f (x, y 0, y 1,..., y n 1) függvény folytonos egy olyan R n+1 -beli tartományon, melynek P bels pontja! Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

6 Explicit diegyenlet megoldhatósága 2. Példa A következ kezdetiérték-probléma megoldható: y = 2 sin(y y 3 sin x + cos y ) y, y(0) = 1, y (0) = 5, y (0) = 3, 1 + y 2 mivel a P = (0, 1, 5, 3) pont egy környezetében folytonos az függvény. f : R 4 R; (x, y 0, y 1, y 2 ) 2 sin(y 1 y 2 ) y 3 0 sin x + cos y y 2 1 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

7 Explicit diegyenlet egyértelm megoldhatósága Tétel (PicardLindelöf-féle unicitástétel) Az y (n) = f (x, y, y,..., y (n 1) ) explicit diegyenlethez és a P = (ξ, η 0, η 1,..., η n 1) ponthoz tartozó kezdetiérték-probléma egyértelm en megoldható, ha 1 f folytonos egy olyan R n+1 -beli tartományon, melynek P bels pontja (ez eddig a CP-tétel), és 2 f második változójától kezdve mindegyik változója szerint parciálisan diható, és a derivált korlátos. E tétel második feltételét egy kicsit er sebb alakban szokás kimondani, melyet Lipschitz-feltételnek hívnak. E feltétel azt biztosítja, hogy a lehetséges megoldások terében legyen egy összehúzás, melynek mindig egyetlen xpontja van, ami itt épp a megoldást adja. Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

8 Explicit diegyenlet egyértelm megoldhatósága 2. Példa Az y = xy 2 + sin(y ), y(0) = 0, y (0) = 1 k.é.p. egyértelm en megoldható, mert 1 az f (x, y 0, y 1 ) = xy sin(y 1) függvény folytonos az R 3 minden pontjában, így a P = (0, 0, 1) pont egy környezetében is, 2 és a f f = 2xy 0, = cos y 1 függvények korlátosak a P pont y 0 y 1 bármely korlátos környezetében. Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

9 Sorozatos közelítés (szukcesszív approximáció) Tétel Az y = f (x, y), y(ξ) = η 0 dierenciálegyenlet ekvivalens az x y(x) = η 0 + f (t, y(t)) dt ξ egyenlettel. Bizonyítás. ( ) y (x) = f (x, y(x)) y = x ξ f (t, y(t)) dt + C, de y(ξ) = η 0 miatt C = η 0. ( ) y(x) = η 0 + x ξ f (t, y(t)) dt (változó fels határú integrál deriváltjára vonatkozó tétel) y = f (x, y); másrészt x = ξ helyen az integrál 0 y(ξ) = η 0. Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

10 Sorozatos közelítés (szukcesszív approximáció) 2. Tegyük fel, hogy f eleget tesz a PicardLindelöf-tétel két feltételének. Ekkor az y(x) η 0 + x ξ f (t, y(t)) dt leképezés összehúzás a függvények terén, és ekkor az y 0 = η 0, y k+1(x) = η 0 + x ξ f (t, y k (t)) dt rekurzív függvénysorozat a xponthoz konvergál, mely a megoldással megegyezik. Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

11 Sorozatos közelítés (szukcesszív approximáció) 3. Példa Oldjuk meg az y = x + y, y(0) = 1 k.é.p.-t fokozatos közelítéssel, vagy legalább adjunk a megoldásra egy közelítést. Megoldás: y (x) = y(x) + x, y(0) = 1, az összehúzás xpontját megadó sorozat: y 0 = 1, x x y k+1(x) = η 0 + f (t, y k (t)) dt = 1 + y k (t) + t dt. 0 ξ A sorozat: y 1 = 1 + x t dt = 1 + [ t t2] x 0 = 1 + x x 2 y 2 = 1 + x 0 (1 + t t2 ) + t dt = 1 + x + x ! x 3 y 3 = 1 + x 0 (1 + t + t ! t3 ) + t dt = 1 + x + x x ! x 4 E sorozat az y(x) = 2e x x 1 Maclaurin-sorához tart, ami a megoldása e diegyenletnek. Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

12 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális dierenciálegyenletek Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

13 Parciális diegyenletek Deníció (Parciális dierenciálegyenlet) Egy egyenletet parciális dierenciálegyenletnek nevezünk, ha az ismeretlen függvény többváltozós, és az egyenletben a parciális deriváltjai, valamint az adott változók egyéb függvényei szerepelnek. Az egyenlet n-edrend, ha a legmagasabb parciális derivált rendje n. Deníció (Másodrend parciális diegyenlet) Az x, y változóktól függ u függvényre felírt másodrend parciális diegyenlet általános alakja: F (x, y, u, u x, u y, u xx, u xy, u yx, u yy ) = 0. Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

14 Másodrend parciális diegyenletek osztályozása Deníció (Másodrend homogén lineáris parciális diegyenlet) Az x, y változóktól függ u függvényre felírt másodrend homogén lineáris parciális diegyenlet általános alakja: au xx + 2bu xy + cu yy + du x + eu y + fu = 0, ahol a, b, c, d, e, f az x és y változók függvényei, u-ról feltételezzük, hogy parciális deriváltjai folytonosak. Azt mondjuk, hogy a parc. de. hiperbolikus, ha ac b 2 < 0 (pl. rezg húr diegyenlete) parabolikus, ha ac b 2 = 0 (pl. h vezetés diegyenlete) elliptikus, ha ac b 2 > 0 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

15 A rezg húr diegyenlete (Részletesen lásd a régi Feladatgy jtemény III feladatait.) Tegyük az l hosszúságú tökéletesen rugalmas húrt, x-tengely [0, l] szakaszára. A húr minden pontja az x-tengelyre mer legesen mozog, pontjai helyzetét a t pillanatban az y(x, t) függvény írja le. A zikai levezetésb l az adódik, hogy a húr mozgását megadó u függvény kielégíti az y tt a 2 y xx = 0, egyenletet. Ha a húr két vége rögzítve van, akkor fönnállnak a következ peremfeltételek: y(0, t) = 0, y(l, t) = 0. A kezdeti feltételek: y(x, 0) = f (x) (a húr kezdeti helyzete), és y t (x, 0) = g(x) (a húr kezd sebessége). Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

16 A rezg húr diegyenlete 2: keressük a megoldást... Keressük a megoldást y(x, t) = X (x)t (t) alakban: y tt (x, t) = X (x)t (t), y xx (x, t) = X (x)t (t) X (x)t (t) = a 2 X (x)t (t) 1 T (t) a 2 T (t) = X (x) X (x) = λ hisz a bal oldal t-t l, a jobb x-t l függ, így mindkett csak konstans lehet. Ha λ = 0, akkor T = 0 és X = 0 diegyenletek megoldásaiból X = Ax + B, T = Ct + D, azaz u(x, t) = (Ax + B)(Ct + D). Ez ellentmond a peremfeltételünknek. Ha λ = k 2 > 0, akkor T a 2 k 2 T = 0 és X k 2 X = 0 diegyenletek megoldásai X (x) = Ae kx + Be kx, T (t) = Ce akt + De akt, azaz y(x, t) = (Ae kx + Be kx )(Ce akt + De akt ). Peremfeltételünknek ez is ellentmond. Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

17 A rezg húr diegyenlete 3 Ha λ = k 2 < 0, akkor T + a 2 k 2 T = 0 és X + k 2 X = 0 diegyenletek megoldásai X (x) = A cos kx + B sin kx, T (t) = C cos akt + D sin akt, azaz y(x, t) = (A cos kx + B sin kx)(c cos akt + D sin akt). Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

18 A rezg húr diegyenlete 4: a peremfeltételek 0 = y(0, t) = A(C cos akt + D sin akt) feltételb l A = 0. 0 = y(l, t) = B sin kl(c cos akt + D sin akt) feltételb l B 0 miatt sin kl = 0 kl = nπ k = nπ l ( y n (x, t) = a n cos nπat + b n sin nπat ) sin nπx l l l tehát y(x, t) = n=1 ( a n cos nπat l + b n sin nπat ) sin nπx l l feltéve, hogy a sor konvergens az x [0, l], t [0, ) tartományon. Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

19 A rezg húr diegyenlete 5: a kezdeti feltételek y(x, 0) = f (x) y(x, 0) = n=1 a n sin nπx l = f (x) azaz a n az f -b l képzett 2l szerint periodikus páratlan függvény Fourier-együtthatója. y t(x, t) = n=1 ( nπa a n sin nπat nπa + b n l l l amib l y t(x, 0) = g(x) y t(x, 0) = n=1 nπab n l cos nπat ) sin nπx l l sin nπx l így g-b l képzett 2l szerint periodikus páratlan függvény Fourier-együtthatójából megkapható. = g(x), Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

20 A rezg húr diegyenlete 6: a megoldás ahol y(x, t) = n=1 ( a n cos nπat l + b n sin nπat ) sin nπx l l a n = 2 l l 0 f (x) sin nπx l dx, b n = 2 nπa l 0 g(x) sin nπx l dx Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20