Végeselem analízis. 1. el adás
|
|
- Judit Varga
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék szeptember 7.
2 Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek) közelít megoldására szolgálló numerikus módszer.
3 Mi az a VégesElem Analízis (VEA)?
4 Mi az a VégesElem Analízis (VEA)?
5 Mi az a VégesElem Analízis (VEA)?
6 Mi az a VégesElem Analízis (VEA)?
7 Mi az a VégesElem Analízis (VEA)?
8 Mi az a VégesElem Analízis (VEA)?
9 Mi az a VégesElem Analízis (VEA)?
10 Rugalmasságtani alapok Dinamika Anyagtörvények Rugalmasságtani peremérték feladat megfogalmazása (er s alak) Rugalmasságtani peremérték feladat közelít megoldása Virtuális munka elve Virtuális elmozdulás elve (gyenge alak) Potenciális energia minimuma elv Lagrange-féle variációs elv Ritz-módszer
11 A végeselem módszer felépítése 3D-s feladatra Tetraéder, pentaéder és hexaéder végeselemek Elmozdulások, alakváltozások és feszültségek közelítése egy végeselemen A gyenge alak végeselemes diszkretizálása Teljes szerkezet merevségi mátrixa és tehervektora i peremfeltételek gyelembevétele Megoldás: elmozdulás-, alakváltozás- és feszültségmez el állítása Speciális terhelések i terhelés Rugalmas ágyazás Kiegészítések a végeselem módszerhez Numerikus integrálás: Gauss kvadratúra
12 Mechanikai modellek a végeselem módszerben Rúd-modellek Bernoulli-féle rúdelmélet Timoshenko-féle rúdelmélet 2D-s feladatok Általánosított síkfeszültség feladat Síkalakváltozási feladat Forgásszimmetrikus feladat Lemez- és héj-modellek Mebrán elmélet Kirchho-Love elmélet Reissner-Mindlin elmélet
13 : A kinematika a testek mozgását, alakváltozását írja le, és nem keresi a mozgást vagy alakváltozást létrehozó okokat.
14 : A kinematika a testek mozgását, alakváltozását írja le, és nem keresi a mozgást vagy alakváltozást létrehozó okokat. A kinematika szó eredete: κινε ιν (kinein), jelentése: mozogni.
15 Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r r e z e x O e y
16 Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r r e z e x O e y r a deformálatlan test pontjaiba mutató vektor r = x e x + y e y + z e z
17 Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r r e z e x O e y r a deformált test pontjaiba mutató vektor r = x e x + ỹ e y + z e z ahol x = x (x, y, z) ỹ = ỹ (x, y, z) z = z (x, y, z)
18 Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r e z r e x O e y u = r r = ( x x) e x + (ỹ y) e y + ( z z) e z = u e x + v e y + w e z ahol u = u (x, y, z) v = v (x, y, z) w = w (x, y, z)
19 Elmozdulások kezdeti helyzet χ( r) pillanatnyi helyzet Q u Q r e z r e x O e y χ ( r) egy vektor-vektor függvény, amely megadja a deformálatlan test pontjainak leképezését a deformált test pontjaira. Ez a függvény nem feltétlenül lineáris! χ ( r) = χ (x, y, z) = r
20 Elmozdulások
21 Elmozdulások
22 χ( r) P Q r u + u u Q P r r e z r e x O e y vagy ugyan ez másként χ ( r P ) = r P χ ( r Q + r) = r Q + r
23 χ( r) P Q r u + u u Q P r r e z r e x O e y Kérdés: Mekkora a u, ha r és r tetsz leges?
24 χ( r) P Q r u + u u Q P r r e z r e x O e y r + r + ( u + u) = r + r
25 χ( r) P Q r u + u u Q P r r ez r r + r + ( u + u) = r + r ex O ey
26 χ( r) P Q r u + u u Q P r r ez r r + r + ( u + u) = r + r ex O ey r + r + ( u + u) = χ ( r) + [ χ ( r + r) χ ( r)] }{{}}{{} r r
27 χ( r) P Q r u + u u Q P r r ez r r + r + ( u + u) = r + r ex O ey r + r + ( u + u) = χ ( r) + [ χ ( r + r) χ ( r)] }{{}}{{} r r r }{{ + u } + r + u = χ ( r + r) r
28 Sorfejtés a lineáris tagokig bezárólag χ ( r + r) χ ( r) }{{} r + χ x χ χ x + y + y z z +
29 Sorfejtés a lineáris tagokig bezárólag χ ( r + r) χ ( r) }{{} r + χ x χ χ x + y + y z z + r + r + u = r + χ χ χ x + y + x y z z
30 Sorfejtés a lineáris tagokig bezárólag χ ( r + r) χ ( r) }{{} r + χ x χ χ x + y + y z z + r + r + u = r + χ χ χ x + y + x y z z r + u = χ χ χ x + y + x y z z
31 r + u = χ χ χ x + y + x y z z =
32 r + u = χ χ χ x + y + x y z z = = χ x ( e x e x ) x + χ y ( e y e y ) y + χ z ( e z e z ) z =
33 Azonosság ( ) ( a b c = a ) b c
34 = r + u = χ χ χ x + y + x y z z = = χ x ( e x e x ) x + χ y ( e y e y ) y + χ z ( e z e z ) z = ( ) ( ) ( ) χ χ χ x e x e x x + y e y e y y + z e z e z z
35 ( ) ( ) ( ) χ χ χ x e x e x x + y e y e y y + z e z e z z =
36 ( ) ( ) ( ) χ χ χ x e x e x x + y e y e y y + z e z e z z = ( ) χ = x e x ( χ + y e y ( χ + z e z ( ) ( ) χ χ e x x + x e x e y y + x e x e z z+ ) e x x + ) e x x + ( χ y e y ( χ z e z ) e y y + ) e y y + ( χ y e y ( χ z e z ) e z z+ ) e z z =
37 ( ) χ = x e x ( e x x + e y y + e z z) + ( ) χ + y e y ( e x x + e y y + e z z) + ( ) χ + z e z ( e x x + e y y + e z z) =
38 = ( ) χ = x e x ( e x x + e y y + e z z) + ( ) χ + y e y ( e x x + e y y + e z z) + ( ) χ + z e z ( e x x + e y y + e z z) = ( χ x e x + χ y e y + χ ) z e z ( x e x + y e y + z e z )
39 = r + u = ( χ x e x + χ y e y + χ ) z e z ( x e x + y e y + z e z ) =
40 = r + u = ( χ x e x + χ y e y + χ ) z e z ( x e x + y e y + z e z ) = = χ ( ) x e x + y e y + z e z }{{} ( x e x + y e y + z e z ) = }{{} r
41 = r + u = ( χ x e x + χ y e y + χ ) z e z ( x e x + y e y + z e z ) = = χ ( ) x e x + y e y + z e z }{{} ( x e x + y e y + z e z ) = }{{} r = χ r
42 Mivel χ ( r) = r és r = r + u
43 Mivel χ ( r) = r és r = r + u r + u = r r = r r r = ( r + u) r = r
44 Mivel χ ( r) = r és r = r + u = r + u = ( r r + u ) r r r = r r r = ( r + u) r = r r = r r }{{} I r + u u r = r + r r r
45 r + u = r + u r r u = u r r
46 Deníció Az elmozdulás függvény gradiensét deriválttenzornak nevezzük. u r = u = D
47 Deníció Az elmozdulás függvény gradiensét deriválttenzornak nevezzük. u r = u = D D = u x e x + u y e y + u z e z
48 Deníció Az elmozdulás függvény gradiensét deriválttenzornak nevezzük. u r = u = D D = u x e x + u y e y + u z e z (xyz) [ ] D = u x v x w x u y v y w y u z v z w z
49 A deriválttenzor felbontása szimmetrikus és ferdén szimmetrikus részekre D = 1 ( D + D T ) + 1 ( D D T ) } 2 {{}} 2 {{} A Ψ
50 Tétel Ha az u, v és w deriváltjai sokkal kisebbek mint egy, akkor az A jó közelítéssel az alakváltozást írja le, a Ψ pedig a tengely körüli szögelfordulást. A az alakváltozási tenzor, Ψ a forgató tenzor.
51 Tétel Ha az u, v és w deriváltjai sokkal kisebbek mint egy, akkor az A jó közelítéssel az alakváltozást írja le, a Ψ pedig a tengely körüli szögelfordulást. A az alakváltozási tenzor, Ψ a forgató tenzor. Ezzel feltételeztük, hogy a vizsgált alakváltozások kicsik.
52 Deníció Az A = 1 ( D + D T ) = 1 ( u + u) 2 2 egyenletet kinematikai egyenletnek nevezzük.
53 Deníció Az A = 1 ( D + D T ) = 1 ( u + u) 2 2 egyenletet kinematikai egyenletnek nevezzük. A kinematikai egyenlet kapcsolatot teremt az elmozdulások és az alakváltozások között.
54 Elemi triéder e z Q e x e y
55 A deriválttenzor szemléltetése u = D r = A r + Ψ r Ha r = e x u x = A e x + Ψ e x = α x + β x r = e y u y = A e y + Ψ e y = α y + β y r = e z u z = A e z + Ψ e z = α z + β z
56 Deriválttenzor szemléltetése α z βz u z e z β x e y α y Q u x u y β y e x α x
57 szemléltetése u [ ] ( x ) A 1 = v 2 x + u y (xyz) ( 1 w 2 x + u ) z ( 1 u 2 y + v 1 2 v y ( w y + v z 1 ( u x) 2 z + w x ) 1 2 ( v z + w y w z ) ) vagy tömörebben A = 1 ( u + u) 2
58 Alakváltozás szemléltetése w z ( 1 u + ) w 2 z x α z ( 1 v + ) w 2 z y e z ( 1 w + ) u 2 x z Q ( 1 w + ) v 2 y z α x ( 1 v + ) u u x 2 x y e x e y v y α y ( 1 u + ) v 2 y x
59 Ha a kezdetben egységnyi hosszúságú szakaszok hossza csak kis mértékben változik meg és a koordináta-tengelyek kezdetben kilencven fokos szöge csak kis mértékben csökken vagy növekszik, azaz u x 1 v y 1 w z 1 és 1 2 ( u y + v ) 1 x ( 1 v 2 z + w ) 1 y ( 1 w 2 x + u ) 1 z
60 akkor a fajlagos nyúlások az ε x u x ε y v y ε z w z összefüggésekkel, a szögtorzulások pedig a 1 2 γ xy = 1 ( ( 1 u 2 γ yx = arc tg 2 y + v )) 1 ( u x 2 y + v ) x 1 2 γ yz = 1 ( ( 1 v 2 γ zy = arc tg 2 z + w )) 1 ( v y 2 z + w ) y 1 2 γ zx = 1 ( ( 1 w 2 γ xz = arc tg 2 x + u )) 1 ( w z 2 x + u ) z összefüggésekkel kaphatók.
61 [ ] A = (xyz) u ( x v x + u y ( w x + u z ) ) ( 1 u 2 y + v 1 2 v y ( w y + v z 1 ε x 2 γ xy 1 1 ( u x) 2 z + w x ) 1 2 γ xz 2 γ 1 yx ε y 1 2 γ 1 zx 2 γ zy ε z 2 γ yz 1 2 ( v z + w y w z ) )
62 Alakváltozás szemléltetése ε y 1 2 γ xz α z 1 2 γ yz e z α x 1 2 γ zx e x Q e y 1 2 γ zy α y 1 2 γ xy 1 2 γ yx ε x ε y
63
64
65
66
67 i egyenlet Skalár egyenletek ε x = u x, ε y = v y, γ xy = u y + v x γ yz = v z + w y γ zx = w x + u z ε z = w z
68 / A = 1 ( u + u) / 2
69 / A = 1 ( u + u) / 2 ( ) 1 A = ( u + u) = 2
70 / A = 1 ( u + u) / 2 ( ) 1 A = ( u + u) = 2 = 1 u 2( }{{} + }{{ } u ) = 0 0 0
71 i egyenlet Az A = 0 egyenletet kompatibilitási egyenletnek nevezzük.
72 Ellen rz kérdések Mit nevezünk deriválttenzornak? Hogy számítható ki a deriválttenzor az u elmozdulásmez ismeretében? (Írja fel a képletet!) Írja fel a deriválttenzor mátrixát az xyz koordináta-rendszerben! Hogyan bontható fel a deriválttenzor szimmetrikus és ferdén szimmetrikus részekre? A deriválttenzor additív felbontása esetén mi a szimmetrikus és a ferdén szimmetrikus rész jelentése? Milyen további feltételezésekkel kell még élnünk? Írja fel a kinematikai egyenletet tenzor egyenlet formájában! Írja fel a kinematikai egyenletet skalár egyenletek formájában! Írja fel az alakváltozási tenzorra vonatkozó kompatibilitási egyenletet!
Pere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
RészletesebbenV É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I
ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki Tudományi Doktori Iskola hallgatói számára
RészletesebbenGyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid
Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános
RészletesebbenA V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I
GÉPÉSZMÉRNÖKI, INFORMATIKAI ÉS VILLAMOSMÉRNÖKI KAR ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK A V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki
RészletesebbenLemez- és gerendaalapok méretezése
Lemez- és gerendaalapok méretezése Az alapmerevség hatása az alap hajlékony merev a talpfeszültség egyenletes széleken nagyobb a süllyedés teknıszerő egyenletes Terhelés hatása hajlékony alapok esetén
RészletesebbenTartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés
1_5. Bevezetés Végeselem-módszer Végeselem-módszer 1. A geometriai tartomány (szerkezet) felosztása (véges)elemekre.. Lokális koordináta-rendszer felvétele, kapcsolat a lokális és globális koordinátarendszerek
RészletesebbenTERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI. 1. Bevezetés
TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI Dr. Goda Tibor egyetemi docens Gép- és Terméktervezés Tanszék 1. Bevezetés 1.1. A végeselem módszer alapjai - diszkretizáció, - szerkezet felbontása kicsi szabályos elemekre
RészletesebbenA végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok
A végeselem módszer alapjai Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor 2. Alapvető elemtípusok - A 3D-s szerkezeteket vagy szerkezeti elemeket gyakran egyszerűsített formában modellezzük rúd, gerenda, 2D-s elemek,
RészletesebbenHajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenEnergiatételek - Példák
9. Előadás Húzott rúd potenciális energiája: Hooke-modell: σ = Eε Geom. hetséges Geometriai egyenlet: + geom. peremfeltételek: u εx = ε = x u(0) = 0 ul () = 0 du dx Energiatételek Példák = k l 0 pudx l
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenRugalmasságtan. Műszaki Mechanikai Intézet Miskolci Egyetem 2015
Rugalmasságtan Műszaki Mechanikai Intézet attila.baksa@uni-miskolc.hu Miskolci Egyetem 05 Példák (folyt.) 5. feladat Fajlagos térfogatváltozás DDKR-ben és HKR-ben. dv = [ e x e y e z]dxdydz dv = [( a x
RészletesebbenTERMÉKSZIMULÁCIÓ. Dr. Kovács Zsolt. Végeselem módszer. Elıadó: egyetemi tanár. Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás március 22.
TERMÉKZIMULÁCIÓ Végeselem módszer Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás 211. március 22. Elıadó: Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár A végeselem módszer lényege A vizsgált, tetszıleges geometriai kialakítású
RészletesebbenMECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája
Egészségügyi mérnökképzés MECHNIK I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert Igénybevételek térben I. z alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre
RészletesebbenMUNKA- ÉS ENERGIATÉTELEK
MUNKA- ÉS ENERGIAÉELEK 1. előadás: Alapfogalmak; A virtuális elmozdulások tétele 2. előadás: Alapfogalmak; A virtuális erők tétele Elmozdulások számítása a virtuális erők tétele alapján 3. előadás: Az
RészletesebbenDr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT MECHANIKA
Dr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT MECHANIKA UNIVERSITAS-GYŐR Nonprofit Kft. Győr, 2010 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK ALKALMAZOTT
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenGEOTECHNIKA I. LGB-SE TALAJOK SZILÁRDSÁGI JELLEMZŐI
GEOTECHNIKA I. LGB-SE005-01 TALAJOK SZILÁRDSÁGI JELLEMZŐI Wolf Ákos Mechanikai állapotjellemzők és egyenletek 2 X A X 3 normál- és 3 nyírófeszültség a hasáb oldalain Y A x y z xy yz zx Z A Y Z ZX YZ A
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően
RészletesebbenRugalmasságtan és FEM, 2005/2006. II. félév, I. ZÁRTHELYI, A
Rugalmasságtan és FEM, 5/6. II. félév, I. ZÁRTHELYI, A 6. április., 7 5 8 Név: NEP T UN kod :. feladat Adott az elmozdulásmez½o: u = ( ax z i + bxz k) ; a = [mm ] ; b = [mm ].a., Írja fel az alakváltozási
RészletesebbenFrissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort!
1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1 / 20 2. példa: Rajzoljuk fel az adott feszültségtenzorhoz tartozó kockát! 2 / 20 3. példa: Feszültségvektor számítása. Egy alkatrész egy
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenBME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (112A) Név: 1 Műszaki Mechanikai Tanszék január 11. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3
BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (2A) Név: Műszaki Mechanikai Tanszék 2. január. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3. feladat (2 pont) A vázolt befogott tartót a p intenzitású megoszló erőrendszer, az F
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk
RészletesebbenDenavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
RészletesebbenVasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet
Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet 2. előadás A rugalmas lemezelmélet alapfeltevései A lemez anyaga homogén, izotróp, lineárisan rugalmas (Hooke törvény); A terheletlen állapotban
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenSzilárdságtani alapfogalmak
2. FEJEZET Szilárdságtani alapfogalmak 2.1. Mi a szilárdságtan 2.1.1. műszaki mechanika tudományának egy részterületét nevezzük szilárdságtannak. Maga a mechanika az anyagi világban lejátszódó folyamatok
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenSzélsőérték-számítás
Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenSegédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával
Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 212. október 16. Frissítve: 215. január
RészletesebbenAlkalmazott Mechanika Tanszék. Széchenyi István Egyetem
Széchenyi István Egyetem Szerkezetek dinamikája Alkalmazott Mechanika Tanszék Elméleti kérdések egyetemi mesterképzésben (MSc) résztvev járm mérnöki szakos hallgatók számára 2013. szeptember 6. 1. Folytonos
RészletesebbenStatikailag határozatlan tartó vizsgálata
Statikailag határozatlan tartó vizsgálata Készítette: Hénap Gábor henapg@mm.bme.hu E E P MT A y F D E E d B MT p C x a b c Adatok: a = m, p = 1 N, b = 3 m, F = 5 N, c = 4 m, d = 5 mm. m A kés bbikekben
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
RészletesebbenMODELLEZÉS ÉS SZIMULÁCIÓ (A LINEÁRIS RUGALMASSÁGTAN ÉS A VÉGESELEM-MÓDSZER)
MODELLEZÉS ÉS SZIMULÁCIÓ (A LINEÁRIS RUGALMASSÁGTAN ÉS A VÉGESELEM-MÓDSZER) MODELLEZÉS ÉS SZIMULÁCIÓ (A LINEÁRIS RUGALMASSÁGTAN ÉS A VÉGESELEM-MÓDSZER) Szerzők: Dr. Mankovits Tamás Huri Dávid Lektor: Dr.
RészletesebbenMit l kompatibilis az alakváltozás?
Mit l kompatibilis az alakváltozás? On the compatibility conditions of nite deformations PERE Balázs, PhD, egyetemi docens Széchenyi István Egyetem, 9026 Gy r, Egyetem tér 1., e-mail: perebal@sze.hu Abstract
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2013. szeptember 23. Javítva: 2013.10.09.
RészletesebbenDINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)
DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) Dinamika Pontszám 1. A mechanikai mozgás fogalma (1) 2. Az anyagi pont pályája (1) 3. A mozgástörvény
RészletesebbenTárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
RészletesebbenMODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ
Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)
RészletesebbenSzámítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
RészletesebbenGÉPÉSZETI ALKALMAZOTT SZÁMÍTÁSTECHNIKA f iskolai mérnökhallgatók számára. A 4. gyakorlat anyaga. Adott: Geometriai méretek:
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM KÖZLEKEDÉSI ÉS GÉPÉSZMÉRNÖKI INTÉZET ÁLTALÁNOS GÉPÉSZETI TANSZÉK GÉPÉSZETI ALKALMAZOTT SZÁMÍTÁSTECHNIKA f iskolai mérnökhallgatók számára A 4. gyakorlat anyaga Feladat: Saját síkjában
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Merev test mozgása Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011 TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések............................
Részletesebben0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika
0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika Mechanika (ismétlés) statika, kinematika Dinamika, energia Áramlástan Reológia Optika find x Teszt: 30 perc, 30 kérdés Matek alapfogalmak: Adattípusok: Természetes,
RészletesebbenCsuklós mechanizmus tervezése és analízise
Csuklós mechanizmus tervezése és analízise Burmeister Dániel 1. Feladatkitűzés Megtervezendő egy többláncú csuklós mechanizmus, melynek ABCD láncában található hajtórúd (2-es tag) mozgása során három előírt
RészletesebbenMechanika. Kinematika
Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebben1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)
Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 )
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenTERMÉKSZIMULÁCIÓ I. 9. elıadás
TERMÉKSZIMULÁCIÓ I. 9. elıadás Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár Végeselem típusok Elemtípusok a COSMOSWorks Designer-ben: Lineáris térfogatelem (tetraéder) Kvadratikus térfogatelem (tetraéder) Lineáris
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebbena térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.
2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3
RészletesebbenNemlineáris anyagviselkedés peridinamikus modellezése
Nemlineáris anyagviselkedés peridinamikus modellezése Ladányi Gábor, PhD hallgató ladanyi@uniduna.hu Témvezető: Dr. Gonda Viktor Kutatási beszámoló 2018.06.22. Tartalom Bevezetés Motiváció A peridinamikus
Részletesebben2. sillabusz a Többváltozós függvények kurzushoz
Az implicitfüggvény-tétel 2. sillabusz a Többváltozós függvények kurzushoz Mi az hogy sillabusz? Ez egy olyan iromány ami segédanyagnak készült. Vázlatos pontatlan (szándékoltan) hiányos. Segíti a tanulást
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
RészletesebbenDierenciálgeometria feladatsor
Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
Részletesebben2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
2. (b) Hővezetési problémák Utolsó módosítás: 2013. február25. A változók szétválasztásának módszere (5) 1 Az Y(t)-re vonakozó megoldás: Így: A probléma megoldása n-re összegzés után: A peremfeltételeknek
Részletesebben7. GRAVITÁCIÓS ALAPFOGALMAK
7. GRAVITÁCIÓS ALAPFOGALMAK A földi nehézségi erőtérnek alapvetően fontos szerepe van a geodéziában és a geofizikában. A geofizikában a Föld szerkezetének tanulmányozásában és különféle ásványi nyersanyagok
RészletesebbenA mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.
A mechanika alapjai A pontszerű testek kinematikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29. 2 / 35 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? 3 /
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenGeometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy
RészletesebbenVégeselemes analízisen alapuló méretezési elvek az Eurocode 3 alapján. Dr. Dunai László egyetemi tanár BME, Hidak és Szerkezetek Tanszéke
Végeselemes analízisen alapuló méretezési elvek az Eurocode 3 alapján Dr. Dunai László egyetemi tanár BME, Hidak és Szerkezetek Tanszéke 1 Tartalom Méretezési alapelvek Numerikus modellezés Analízis és
RészletesebbenPélda: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög
RészletesebbenFöldstatikai feladatok megoldási módszerei
Földstatikai feladatok megoldási módszerei Földstatikai alapfeladatok Földnyomások számítása Általános állékonyság vizsgálata Alaptörés parciális terhelés alatt Süllyedésszámítások Komplex terhelési esetek
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenA szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása
3. FEJEZET A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása 3.1. Az alapkísérletek célja Hétköznapi megfigyelés, hogy ugyanazon szilárd test alakváltozásainak mértéke függ a testet
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
Részletesebben1. Az előző előadás anyaga
. Az előző előadás anyaga Egy fiú áll az A pontban és azt látja, hogy a barátnője fuldoklik a B pontban egy tóban. Milyen plyán kell a fiúnak mozognia, hogy a leggyorsabban a barátnőjéhez érjen, ha a parton
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenTUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT. Magas nyomású ipari tartály feszültségi analízise az ADINA végeselemes programrendszerrel
MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT Magas nyomású ipari tartály feszültségi analízise az ADINA végeselemes programrendszerrel Bodó Lajos I. éves MSc. gépészmérnök
RészletesebbenMiskolci Egyetem. Pere Balázs okleveles középiskolai fizika tanár. Sályi István Gépészeti Tudományok Doktori Iskola,
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Csatolt termo-mechanikai kopási folyamatok vizsgálata hp-verziós végeselem módszerrel Ph.D. értekezés Készítette: Pere Balázs okleveles középiskolai fizika tanár Sályi
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
RészletesebbenRugalmasságtan. Műszaki Mechanikai Intézet Miskolci Egyetem 2015
Rugalmasságtan Műszaki Mechanikai Intézet attila.baksa@uni-miskolc.hu Miskolci Egyetem 2015 Egyenletek a hengerkoordináta-rendszerben (HKR) SP = OQ = r z QP = z e r = cos ϕ e x + sin ϕ e y e ϕ = sin ϕ
RészletesebbenTartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010
Tartalomjegyzék 15. Elliptikus egyenletek 7 15.1. Bevezetés: Elliptikus egyenletek alkalmazott feladatokban... 7 15.2. Elméleti háttér.......................... 9 15.3. Véges dierencia eljárások II...................
Részletesebben6. A Lagrange-formalizmus
Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 6. rész 1 6. A Lagrange-formalizmus A Lagrange-formalizmus alkalmazásával bizonyos fizikai rendszerek mozgásegyenleteit írhatjuk fel egyszerű módon. Az alapvető
RészletesebbenPÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE
PÉLÁ ERŐTÖRVÉNYERE Szabad erők: erőtörvénnyel megadhatók, általában nem függenek a test mozgásállapotától (sebességtől, gyorsulástól) Példák: nehézségi erő, súrlódási erők, rugalmas erők, felhajtóerők,
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenIpari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
RészletesebbenTartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév
Tartalom Pont Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Egyenes Sík Háromszög Gömb 2010/2011. tavaszi félév Descartes-koordináták Geometriai értelmezés
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
Részletesebben