Mit l kompatibilis az alakváltozás?
|
|
- Anna Szőke
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Mit l kompatibilis az alakváltozás? On the compatibility conditions of nite deformations PERE Balázs, PhD, egyetemi docens Széchenyi István Egyetem, 9026 Gy r, Egyetem tér 1., perebal@sze.hu Abstract This paper is trying to give a physical meaning to the well-known Saint-Venant compatibility condition. The linearized theory of deformations, where the Saint-Venant condition is valid, can be derived from the theory of nite deformations by series expansion and/or neglecting the higher order terms. This paper demonstrates how is possible to formulate the conditions of compatibility in the case of nite deformations, and how to linearize this in order to obtain the conditions of compatibility in the linear case. Összefoglaló A cikk arra a kérdésre keresi a választ, hogy milyen szemléletes jelentést lehet társítani az alakváltozások lineáris elméletéb l ismert Saint-Venant-féle kompatibilitási egyenletnek. A linearizált elmélet általában a nagy alakváltozások elméletében szerepl összefüggésekb l kapható elhanyagolva az ott el forduló magasabb fokú tagokat. Bemutatásra kerül, hogy hogyan lehet megfogalmazni a kompatibilitási feltételeket nagy alakváltozások esetére, és hogy hogyan származtatható ebb l a kis alakváltozások esetében ismert egyenlet. Kulcsszavak nagy alakváltozás, kompatibilitási feltétel 1. Bevezetés Lineáris rugalmasságtani feladatok analitikus és numerikus megoldásánál az esetek többségében az un. elmozdulás módszer használatos. Ebben a módszerben az els dleges ismeretlen az elmozdulásmez. A többi ismeretlen, úgy mint alakváltozási vagy feszültségi tenzormez, az alakváltozási vektormez b l deriválások és algebrai m veletek segítségével származtatható. Az elmozdulámez vel kapcsolatban nincs semmilyen el követelmény, tetsz leges elmozdulásmez b l mind az alakváltozási-, mind a feszültségi állapot egyértelm en meghatározható. Egy másik lehetséges módszer rugalmasságtani feladatok megoldására az un. er módszer, ahol ismeretlenként éppen a feszültségeket kell els ként meghatározni. Itt a feladat megoldásának nehézsége többek között abban rejlik, hogy feszültségi mez b l kapott alakváltozásnak ki kell elégítenie az un. kompatibilitási feltételt, különben az elmozdulásmez nem határozható meg egyértelm en [1, 3]. A kis alakváltozások elméletében a kompatibilitási feltételt a A = 0 (1
2 Saint-Venant-féle kompatibilitási egyenlet teljesülése jelenti. Az (1 egyenletben A jelöli a vizsgált test tetsz leges pontjában lév alakváltozási állapotot leíró alakváltozási tenzort [1]. A mechanikában, mint más matematikát használó természettudományban az egyes összefüggések, egyenletek mindig valamilyen zikai jelentéssel bírnak, esetleg levezethet k egy magasabb szint természeti törvényb l. Vajon mi lehet az (1 egyenlet zikai jelentése? A szakirodalomban a témáról fellelhet nem túl nagy számú publikáció közül is csak néhány foglalkozik a magyarázattal [4, 2]. Ezen cikk célja a kérdést kicsit körbejárni, és szemléletes választ találni a kérdésre. 2. A kompatibilitási feltétel megfogalmazása Tekintsünk egy alakváltozásra képes testet az euklideszi térben. A test egy egyszeresen összefügg résztartományának térfogata egy adott t 0 id pillanatban legyen V. A test t 0 id pontbeli helyzetét nevezzük kezdeti kongurációnak. A V térfogat egy tetsz leges pontjába mutató helyvektor az R = X I G I alakban adható meg, ahol X I jelöli a vektor görbevonalú kontravariáns koordinátáit és G I pedig a bázisvektorait. A felírásnál alkalmaztuk az Einstein-féle összegzési konvenciót [5], azaz a kétszer el forduló indexekre összegzést hajtottunk végre egyt l háromig. A nagy bet s indexek arra utalnak, hogy a koordináta és a bázisvektor is a kezdeti kongurációban értelmezett. Legyen A és B a V térfogatban elhelyezked két pont, melyeket egy tetsz leges (sima térgörbe köt össze. Az A pontból a B pontba mutató R AB vektort úgy is megkaphatjuk, mint a térgörbe elemi irányított szakaszainak vektori összegét, ami az R AB = B A dr (2 vonal menti integrállal fejezhet ki. Könnyen belátható, hogy az R AB vektor független az A és B pontokat összeköt térgörbe alakjától és helyzetét l. Vegyünk két tetsz leges, A és B pontokat összeköt L 1 és L 2 görbét. Ha a (2 összefüggésnek megfelel módon kiszámítjuk az R AB vektort az L 1 görbe mentén és az R BA vektort az L 2 görbe mentén, akkor a két vektor összege nullát kell hogy adjon, azaz R AB + R BA = B A A dr + dr = B (L dr = 0, (3 ahol L az L 1 L 2 térgörbét jelöli (lásd 1. ábra. Az eddig felírt egyenletekben a kezdeti konguráción értelmezett vektorok szerepeltek. Most deformáljuk el a testet úgy, hogy a kezdeti V térfogat a t 1 > t 0 id pillanatban a v térfogatba menjen át. A t 1 id pillanatnak megfelel állapotot nevezzük el pillanatnyi kongurációnak. A könnyebb megkülönböztetés végett a kezdeti kongurációban deniált mennyiségeket nagy-, míg a pillanatnyi kongurációban deniált mennyiséget kisbet kkel fogjuk jelölni. Ennek megfelel en a dr elemi vektorból dr vektor lesz, és a deformáció során az L térgörbe követve a testet alkotó anyagi pontok elmozdulását a l görbébe megy át úgy, hogy mind az L, mind az l görbék ugyanazokon az anyagi pontokon haladnak keresztül. Így a kezdeti kongurációban felírt (3 összefüggést a pillanatnyi kongurációban az dr = 0 (4 (l
3 d R d r G 3 g 3 g 1 G 1 G2 g 2 1. ábra. A deformálatlan és deformált testeken egy zárt görbe mentén vett elemi vektorok összege nulla. alakban írhatjuk. A deformáció során minden kezdetben R helyvektorú pont az r = r (R leképezéssel megadott új helyre kerül. Az r (R vektor-vektor függvényt sorba fejtve és megtartva a lineáris tagokat a (4 egyenlet átalakítható. r (R dr = dr = 0. (5 R (l (L Az (5 egyenlet jobb oldalán szerepl parciális deriváltat szokás deformáció-gradiensnek is nevezni. A kés bbi számítások jobb érthet sége kedvéért a deformáció-gradiensre az F = r (R R = r (R 0 jelölést fogjuk használni, ahol a 0 a kezdeti kongurációban értelmezett nabla operátort jelenti, a m velet pedig a diadikus vagy tenzoriális szorzást. A kés bbiekben látni fogjuk, hogy a (4 egyenlet tulajdonképpen maga a kompatibilitási egyenlet nagy alakváltozásokra megfogalmazva, és ebb l a magasabb fokú tagokat elhagyva a linearizált elmélet (1 kompatibilitási egyenlete megkapható. 3. A kompatibilitás és a Christoel-Riemann görbületi tenzor kapcsolata A (4 vagy az (5 egyenlet úgy is felfogható, mint a kompatibilitási egyenlet integrál alakja. Alkalmazzuk rá a Stokes-tételt [6] dr = r (R 0 dr = r (R 0 0 da = 0, (6 (l (L (A ahol A egy L peremmel rendelkez tetsz leges felületet jelent a V térfogatban. Alakítsuk át a (6 egyenletben a Stokes-tétel alkalmazása után kapott integrandust. El ször írjuk ki a dierenciál operátorok pontos jelentését. r (R 0 0 = ( ( x i X K X J g i G J G K = 0, ahol az r = x i g i a deformált alakon az anyagi pontokba mutató helyvektor, x i az r vektor kontravariáns koordinátája, g i pedig a bázisvektorait jelöli 1. A kijelölt deriválások elvégzésénél 1 Általában gi F G I, mivel g i és G I egymástól független bázisok.
4 gyelemmel kell lenni arra, hogy a görbevonalú koordinátarendszer bázisvektorai is függhetnek a helyt l, vagyis a bázisvektorokat is deriválni kell az X K koordináták szerint. A deriválások elvégzése után kapható a [ 2 x i ( X K X J δi m + x l Γ m li + xi X J + xi X N ( δ m i x p ( X K Γ m ip + Γ m pi + x l Γm li x p + x l Γ m li ] + xl Γ n li Γm np g m G J G K + Γ N KJg m G J G K = 0 (7 összefüggés, amelyben δi m a Kronecker-szimbólumot jelenti, aminek értéke egy ha i = m, és nulla ha i m. A bázisvektorok deriváltjainak jelölésére a másodfajú Christoel szimbólumok használatosak. Itt Γ m li = g l x i gm és Γ N KJ = G K X J GN. Most vizsgáljuk meg, a (6 jobb oldali integráljában a da elemi felület vektort. Legyen d R = d X I G I és d R = d X J G J két közös pontból induló és nem egy egyenesbe es érint vektora a felületnek. Ezek vektoriális szorzata megadja az elemi felület da vektorát. da = (d X I G I (d X J G J = d X I d X J G I G J. (8 Visszahelyettesítve a (7 és (8 összefüggéseket a (6 egyenletbe, majd elvégezve a szükséges egyszer sítéseket a kompatibilitási feltételre egy új összefüggés kapható. (A r (R 0 0 da = (a ( Γ x l m li x p Γm lp x i + Γ n li Γm np Γ n lp Γm ni g m d x i dx p = 0. (9 }{{} Rlpi m A (9 egyenlet egy vektoregyenlet, azaz három skaláregyenletként írható fel. Az integrálási tartományt jelöl a felület a (6 Stokes-tételben szerepl A felület pillanatnyi kongurációba áttranszformált megfelel je, az x l koordináták egy tetsz leges, a felületen lév pont koordinátái, Rlpi m pedig a Christoel-Riemann-féle görbületi tenzor koordinátáit jelöli [5, 4, 2]. Alakítsuk át a (9 egyenletet úgy, hogy minden koordináta mellé odaírjuk a hozzá tartozó bázisvektorokat is. x l Rlpi m g md x p dx i = Rlpi m g m g l (g q x q g p (g r d x r g i (g s dx s = 0. (a (a Látható, hogy a Christoel-Riemann-féle görbületi tenzor kovariáns koordinátáit szorozzuk a d r, d r és r vektorokkal. Ismert, hogy a görbületi tenzor az utolsó két indexében ferdén szimmetrikus (lásd pl. [5], vagyis a d r és d r elemi vektorokkal történ szorzás tulajdonképpen egy elemi da felülettel történ szorzást jelent. Mivel az a felület tetsz leges volta miatt da a v térfogaton belül bárhol elhelyezkedhet, ezzel együtt a hozzá mutató r vektor is tetsz leges lehet, a (9 integrál értéke csak akkor lehet nulla, ha a Christoel-Riemann-féle görbületi tenzor azonosan nulla. R m lpi g m g l g p g i = 0 (10 Ez utóbbi összefüggést nevezhetjük a kompatibilitási egyenlet dierenciális alakjának is. 4. Kompatibilitási feltétel a kis alakváltozások elméletében Vizsgáljuk meg, hogy a (10 kompatibilitási egyenlet hogyan nézne ki a kis alakváltozások elméletében. Célszer lenne a görbületi tenzor helyett áttérni olyan mennyiségekre, amelyekkel az
5 alakváltozások könnyebben leírhatók. Ehhez el ször a Christoel-szimbólumokat kell máshogy felírni. Ismert a következ azonosság [5] Γ k ij = 1 ( gil 2 x j + g jl x i g ij x l g lk, (11 ahol g il = g i g l és g lk = g l g k a metrikus tenzor kovariáns és kontravariáns koordinátáit jelentik. A metrikus tenzor alkalmazásával lehet például két egymáshoz közeli pont távolságát meghatározni [5]. Fejezzük ki a (11 azonosságot felhasználva az R görbületi tenzor koordinátáit a metrikus tenzor koordinátáinak segítségével R m lpi = 1 2 [( ( 2 g iq x l x p 2 g pq x l x i x i + g iq x l g li g qm x q x p + 1 ( 4 x i + g iq x l g ( li gnr x q x p 1 ( 4 x p + g pq x l g ( lp gnr x q x i 2 g li x q x p + 2 g lp x q x i g qm + ( x p + g pq x l g lp x q + g pr x n g np x r + g ir x n g ni x r g qm x i g qn g rm ] + g qn g rm. (12 Kis alakváltozások esetén feltételezhet, hogy g li 1 és g pq 1. A pontok távolsága csak kis mértékben változik meg, vagyis a metrikus tenzor koordinátáinak deriváltjai egynél jóval kisebb értékek lesznek. Emiatt a (12 második, harmadik és negyedik tagját elhanyagolhatjuk, mivel ezekben a metrikus tenzor koordinátáinak deriváltjai a második hatványon szerepelnek. R m lpi 1 2 ( 2 g iq x l x p 2 g pq x l x i 2 g li x q x p + 2 g lp x q x i g qm = 0. (13 Meggyelhet, hogy a (13 egyenlet zárójeles kifejezése az i és p valamint az l és q indexek felcserélésével el jelet vált. Továbbá meggyelhet, hogy amennyiben az i és p valamint l és q indexek értékei megegyeznek, a zárójeles kifejezés értéke azonosan nulla lesz. Kihasználva a fenti észrevételeket a (13 egyenlet a g = 0 (14 alakban írható, ahol g = g ij g i g j a metrikus tenzor. A g metrikus tenzor a pillanatnyi kongurációban értelmezett mennyiség. Térjünk vissza a metrikus tenzornak a fejezet elején említett jelentésre, ami szerint két közeli pont távolságának meghatározására lehet használni. Legyen dr a pillanatnyi kongurációban, azaz a deformált alakon egy pontból egy hozzá közel lév másik pontba mutató elemi vektor, melynek hossza, azaz a pontok távolsága a pillanatnyi kongurációban dl. A dl távolság négyzete a dl 2 = dr g dr = dr F T g F dr = dr Ḡ dr összefüggéssel számítható, ahol felhasználtuk, hogy dr = F dr. Az egyenletben szerepl Ḡ szintén egy metrikus tenzor, azonban ezzel a kezdeti kongurációban értelmezett dr vektornak a pillanatnyi kongurációban lév dl hosszát határozhatjuk meg. Ha a pillanatnyi kongurációban egyenesvonalú, derékszög és egységbázisú koordinátarendszert használunk, akkor g = I, ahol I az egységtenzor. Ezt a metrikus tenzort az alakváltozásra jellemz deformáció gradienssel ki lehet fejezni. Ḡ = F T g F = F T F = C,
6 ahol a C a jobboldali Cauchy-Green alakváltozási tenzor. Hasonló gondolatmenettel számítható ki a kezdeti kongurációban adott dr elemi vektor dl hossza a deformálatlan alakon ahol dr = F 1 dr. dl 2 = dr G dr = dr F T G F 1 dr = dr ḡ dr, ḡ = F T G F 1. Ha a kezdeti kongurációban egyenesvonalú, derékszög és egységbázisú koordinátarendszert használunk, akkor G = I. ḡ = F T G F 1 = F T F 1 = ( F F T 1 = b 1, ahol b a baloldali Cauchy-Green alakváltozási tenzor. A fent bemutatott metrikus tenzorok közül a (14 egyenletben szerepl g a jobboldali Cauchy- Green alakváltozási tenzornak felel meg, mivel a test deformált alakját írja le (lásd (5 egyenlet. Ezek alapján a (14 kompatibilitási egyenlet a g = C = 0 alakú lesz. Felhasználva azt, hogy egy konstans mennyiség deriváltja nullát ad, a C jobboldali Cauchy-Green alakváltozási tenzor helyett használható az E = 1 2 (C I Green-Lagrange alakváltozási tenzor is. 1 (C I = E = 0 2 A Green-Lagrange alakváltozási tenzor kis alakváltozások esetén jó közelítéssel egyezik a kis alakváltozásoknál használt A alakváltozási tenzorral, azaz E A [1]. Ezzel eljutottunk az cikk elején bemutatott, kis alakváltozások esetén érvényes Saint-Vanant-féle kompatibilitási egyenlethez. 5. Összefoglalás A = 0 A cikkben a kompatibilitási feltételek egy szemléletes jelentése került bemutatásra. Nagy alakváltozások esetén a kompatibilitási feltétel globális alakját egy zárt görbére vett integrál segítségével lehet megfogalmazni. Ennek felhasználásával bizonyítható volt, hogy a test alakváltozott geometriájára vonatkozó Christoel-Riemann-féle görbületi tenzor a test minden pontjában nulla értéket vesz fel. A magasabb rend tagok elhanyagolásával visszakapható az alakváltozások lineáris elméletére vonatkozó Saint-Venant-féle kompatibilitási feltétel. Hivatkozások [1] Kozák I., Béda Gy.: Rugalmas testek mechanikája, M szaki Könyvkiadó, Budapest, 1987 [2] Haupt, P.: Continuum Mechanics and Theory of Materials, Springer Verlag, Berlin, 2002 [3] Kozák I.: Principle of complementary virtual work and the Riemann-Christoel curvature tensor as compatibility condition, Journal of Computational and Applied Mechanics, Vol. 1., No. 1., (2000, pp [4] Kozák I.: Megjegyzések Lámer G.: A szükséges és elégséges összeférhet ségi peremfeltételek meghatározása cím cikkéhez, Alkalmazott Matematikai Lapok, 17 (1993, old. [5] Jánossy L., Tasnádi P.: Vektorszámítás II., Tankönyvkiadó, Budapest, 1982 [6] Jánossy L., Gnädig P., Tasnádi P.: Vektorszámítás III., Tankönyvkiadó, Budapest, 1983
Végeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
RészletesebbenBevezetés a görbe vonalú geometriába
Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
RészletesebbenPere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
RészletesebbenKontinuummechanika (óravázlat)
Kontinuummechanika óravázlat Készítette: Dr. Pere Balázs Széchenyi István Egyetem Alkalmazott Mechanika Tanszék 0. augusztus. Copyright 0 Dr. Pere Balázs. Minden jog fenntartva. Ez a dokumentum szabadon
RészletesebbenHajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)
Részletesebben2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenL'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.
L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.
RészletesebbenV É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I
ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki Tudományi Doktori Iskola hallgatói számára
RészletesebbenRiemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések
A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések Az R m euklideszi tér természetes bázisának az e 1 = (1, 0,..., 0),..., e m = (0,..., 0, 1) vektorokból álló bázist mondjuk. Legyen M egy összefügg nyílt
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenGyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid
Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenAz elméleti fizika alapjai házi feladat
Az elméleti fizika alapjai házi feladat A jellel ellátott feladatok opcionálisak és plusz pontot érnek. A határidőn túl leadott házi feladatok is pontot érnek, még ha kevesebbet is. Pl. az 1. házi feladat
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Részletesebben5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség
5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenSkalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.
1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége
RészletesebbenDenavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
RészletesebbenSztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
Részletesebben9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában
9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának
RészletesebbenSzámítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2012-09-20 Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2012-09-20 1 / 16 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont távolsága 2 Sík Sík
RészletesebbenA dierenciálszámítás alapjai és az érint
A dierenciálszámítás alapjai és az érint 205. november 7.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az fx) x 2 3 x függvény deriváltját! Megoldás: Deriválás el tt célszer átalakítani a függvényt. A gyök
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
Részletesebben: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenA bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása
A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása Geometriai alapok. A kúpszeletek polárkoordinátás egyenlete A síkbeli másodrend görbék közül az ellipszist, a hiperbolát és a parabolát mondjuk
RészletesebbenKomplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
Részletesebben= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s
3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy
RészletesebbenFizika A2 Alapkérdések
Fizika A2 Alapkérdések Az elektromágnesség elméletében a vektorok és skalárok (számok) megkülönböztetése nagyon fontos. A következ szövegben a vektorokat a kézírásban is jól használható nyíllal jelöljük
RészletesebbenA kémiai kötés eredete; viriál tétel 1
A kémiai kötés ereete; viriál tétel 1 Probléma felvetés Ha egy molekula atommagjai közötti távolság csökken, akkor a közöttük fellép elektrosztatikus taszításhoz tartozó energia n. Ugyanez igaz az elektronokra
RészletesebbenGibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén
Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert
Részletesebben{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek
1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és
RészletesebbenLagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenMatematikai statisztika 1.
Matematikai statisztika 1 segédanyag Daróczi Gergely Szociológia Intézet 2010 Matematikai statisztika 1 01 Mátrixok A mátrix vízszintes vonalban elhelyezked elemei sorokat, függ leges vonalban elhelyezked
RészletesebbenA térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?
Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]
RészletesebbenA térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?
Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenMBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenA Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy
8 Görbevonalú koordináták A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy tetsz½oleges pont helyvektora ebben a bázisban r =xi+yj+zk ahol x; y; z a pont ún. Descartes-féle
RészletesebbenPermutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben1. Algebra Elemek Műveletek. Tenzor algebra és analízis Einstein-féle konvencióval
Indexes deriválás Tenzor algebra és analízis Einstein-féle konvencióval Készítette: Kómár Péter, 200 Az indexes írásmód ill. deriválás egy eszköz, amely tenzorok analízisét teszi egyszerűbbé a fizikai
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
Részletesebbenrank(a) == rank([a b])
Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása a Matlabban Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Matlabban igen egyszer en oldhatók meg. Legyen A az egyenletrendszer m-szer n-es együtthatómátrixa, és
RészletesebbenNormák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenTENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN
Kozák Imre Szeidl György TENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN Második, bővített kiadás MISKOLC 2013 Kozák Imre Szeidl György TENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN Második, bővített kiadás MISKOLC 2013
RészletesebbenEgy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása
1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -
RészletesebbenMátrixaritmetika. Tartalom:
Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenFrissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort!
1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1 / 20 2. példa: Rajzoljuk fel az adott feszültségtenzorhoz tartozó kockát! 2 / 20 3. példa: Feszültségvektor számítása. Egy alkatrész egy
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21
NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán
Részletesebben0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
RészletesebbenPélda: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög
RészletesebbenLINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenGyors fejszámolási tippek, trükkök és ötletek (II. rész)
Gyors fejszámolási tippek, trükkök és ötletek (II. rész) Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Az előző részben bemutatott trükkök után, most következzenek sajátos alakú kétjegyű számok szorzása, és hatványozása:
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenValószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
RészletesebbenMECHANIZMUSOK KINEMATIKAI VIZSGÁLATA
Multidiszciplináris tudományok 3. kötet (2013) 1. sz. pp. 21-26. MECHANIZMUSOK KINEMATIKAI VIZSGÁLATA Nándoriné Tóth Mária egyetemi docens, ME GÉIK Ábrázoló Geometriai tanszék 3515 Miskolc-Egyetemváros,
Részletesebbenn m db. szám a i R Lehet a k, vagy a α. i, α szabad index a ij két indexű mennyiség (i sor index, j oszlop index) a ib j
a R 1 db. szám a 1, a 2,..., a n {a i} i=1,n a i R Lehet a k, vagy a α. i, α szabad index a 11 a 12... a 1m a 21 a 22... a 2m........ a n1 a n2... a nm {a ij} i=1,n,j=1,m R a ij két indexű mennyiség (i
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Részletesebben