Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid
|
|
- Zita Tóth
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid
2 I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános peremértékfeladata
3 I. Bevezető ismeretek 1. Feladat 1.1. Tenzoralgebrai alapműveletek Adott an alábbi három vektor: a = 8e x + 6e y, b = 3e x e z, c = e x + 2e y + 3e z. Végezze el az alábbi műveleteket: (a) (b) (c) a vektor és b vektor skalár szorzata: a b; a vektor és b vektor vektoriális szorzata: a b; a vektor és b vektor diadikus szorzata: a b = A; (d) A tenzor transzponáltja, mint b a = B = A T ; (e) jobb skalár szorzat: a b c; (f) bal skalár szorzat: c a b ; (g) A tenzor additív felbontása.
4 I. Bevezető ismeretek 2. Feladat 1.2. Tenzoralgebrai alapműveletek Tekintsük az alábbi három vektort: a = 4e x + 6e y e z, b = 3e x + e y e z, c = 2e y 5e z. Számítsa ki az alábbi mennyiségeket: (a) (b) a és b vektorok skaláris és vektoriális szorzata: a b és a b; a b = A; (c) A tenzor transzponáltja: b a = B = A T ; (d) ellenőrizze, hogy a következő azonosság teljesül: a b c = a b c ; (e) (f) ellenőrizze, hogy c a b = c a b; A tenzor additív felbontása; (g) A aszim tenzor vektorinvariánsa.
5 I. Bevezető ismeretek 3. Feladat 1.3. Tenzoralgebrai alapműveletek Adott az alábbi u vektormező u = u x (x, y, z)e x + u y (x, y, z)e y + u z (x, y, z)e z Állítsa elő az alábbi mennyiségeket: (a) (b) (c) (d) (e) (f) a vektor divergenciáját: u ; a vektor gradiensét: u ; u mátrixát; és ( ) u mátrixait; u rotációját! Mia kapcsolat a u és u divergenciája között?
6 I. Bevezető ismeretek 4. Feladat 1.4. Tenzorok Azt az esetet vizsgáljuk, amikor az a vektort z tengely körül (I.2/b pontjához hasonlóan) a pozitív irányba φ szöggel elforgatjuk ( a rot ). Az elmozdulásvektor b ebben az esetben b = a rot a. y a rot φ b a x (a) (b) Határozza meg annak a leképezésnek (tenzornak) a Q disp mátrixát, amely a b elmozdulásvektort rendeli egy tetszőleges a vektorhoz! Mi a kapcsolat az I.2/b pontban tárgyalt forgatótenzor és az imént számított Q disp tenzorok között?
7 I. Bevezető ismeretek 5. Feladat 1.5. Elméleti kérdés, indexes jelölésmód (a) (b) (c) (d) Igazolja, hogy a forgatótenzor ortogonális tenzor! (Ajánlatos az I.2/b. pontban kiszámított tenzoralakot használni) Indexes jelölésmód segítségével írja fel a lineáris rugalmasságtan következő alapegyenleteit: - kinematikai egyenlet - anyagegyenlet anizotrop esetre (negyedrendű tenzorral), - egyensúlyi egyenlet, - dinamikai peremfeltétel. Indexes jelölésmód segítségével bizonyítsa az alábbi azonosságokat: a b c = a b c ; c a b = c a b. Indexes jelölésmód felhasználásával határozza meg a B and D tenzorok B ij és D ij koordinátáit: B = A ; D = A.
8 II. Elmozdulási és alakváltozási állapot II.1 A deformáció kinematikája II.2 Nyúlásmértékek II.3 Alakváltozási tenzorok II.4 Kis alakváltozás II.5 Nyúlásmérés
9 II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 1. Feladat 2.1 Egy-dimenziós, nagy alakváltozás problémája: Az x tengellyel párhuzamos, egyik végén befogott, l 0 = 100 mm hosszúságú rugalmas szál koordinátáit x 0 jelöli 0 x 0 l 0. A szálat a háromszorosára nyújtjuk, az egyenletesen megnyúlt rugalmas szál pontjainak koordinátáit x jelöli, 0 x l, ahol l a szál megnyúlt hossza. (a) Írja fel az alakváltozást leíró x x 0, x 0 (x) függvényeket! (b) Határozza meg a rugalmas szál végpontjának megnyúlását, majd írja fel az u x 0, u(x) elmozdulás függvényeket! (c) Határozza meg a du dx du és dx0 deriváltak értékeit, majd döntse el, hogy a szál alakváltozása kis vagy nagy mértékű! (d) Adja meg a nyúlás (vonalelem arány) függvényét x 0 és x koordináták függvényében! Íja fel az elmozdulás és a nyúlás kapcsolatát a rugalmas szál esetére! (e) Számítsa ki a mérnöki nyúlást, valódi nyúlást, a Lagrange- és Euler-féle, valamint a logaritmikus fajlagos nyúlásokat!
10 II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 2. Feladat 2.2 Egy-dimenziós, kis alakváltozási probléma: Az x tengellyel párhuzamos, egyik végén befogott, l 0 = 100 mm hosszúságú rugalmas acélszál koordinátáit x 0 jelöli 0 x 0 l 0. Az acélszálat az szorosára nyújtjuk, az egyenletesen megnyúlt szál pontjainak koordinátáit x jelöli, 0 x l, ahol l a szál megnyúlt hossza. (a) Írja fel az alakváltozást x x 0, x 0 (x) függvényeket! (b) Határozza meg az acélszál végpontjának megnyúlását, majd írja fel az u x 0, u(x) elmozdulás függvényeket! (c) Határozza meg a du dx du és dx0 deriváltak értékeit, majd döntse el, hogy a szál alakváltozása kis vagy nagy mértékű! (d) Adja meg a nyúlás (vonalelem arány) függvényét x 0 és x koordináták függvényében! Íja fel az elmozdulás és a nyúlás kapcsolatát a vizsgált acélszál esetére! (e) Számítsa ki a mérnöki nyúlást, valódi nyúlást, a Lagrange- és Euler-féle, valamint a logaritmikus fajlagos nyúlásokat!
11 II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 3. Feladat 2.3 Két-dimenziós, nagy alakváltozási probléma: Egy szilárd test Q jelű pontjának alakváltozás előtti koordinátáit x 0 és y 0 jelöli (kezdeti konfiguráció), alakváltozás utáni (pillanatnyi konfigurációban vett) koordinátái x és y. A kezdeti konfigurációban az e x és e y bázisvektorok egy egységnyi oldalú négyzetet feszítenek ki, amely az alakváltozás után a e x g x = 3e x és e y g y = 0.5e y vektorok által kifeszített téglalappá deformálódik. (a) Írja fel az alakváltozást jellemző alakváltozási gradiens tenzor mátrixát, és adja meg invariáns alakban is! (b) Határozza meg az elmozdulási gradiens tenzort, majd döntse el, hogy az adott pontban az alakváltozás kis vagy nagy mértékű! (c) Számítsa ki a Q jelű pontbeli x 0 és y 0 anyagi vonalak λ x, λ y nyúlásait, majd határozza meg a kezdeti hosszra vonatkoztatott fajlagos nyúlásokat (ε 0 x, ε 0 y )! Határozza meg az x 0 és y 0 anyagi vonalak γ xy szögtorzulásának értékét! (d) Írja fel a Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzort! (e) Határozza meg a Q jelű pontbeli n 0 és m 0 anyagi vonalak e n = 0.6e x + 0.8e y és e m = 0.8e x + 0.6e y iránykijelölő egységvektorainak képeit, azaz a Q pontbeli deformálódott anyagi vonalak g n és g m vektorait! (f) Számítsa ki az n 0 és m 0 anyagi vonalak ε 0 n, ε 0 m mérnöki nyúlásait, majd a γ mn szögtorzulás értékét! (g) Ábrázolja az e n és e m irányú anyagi vonalak deformációját, jelölje be a γ mn szögtorzulást! Mi változott a vizsgált anyagi vonal párok alakváltozási mértékei, tenzorai kapcsán?
12 II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 4. Feladat 2.4. Három-dimenziós, nagy alakváltozási probléma: Egy szilárd test az alábbi függvénnyel leírható alakváltozáson megy keresztül: r x 0, y 0, z 0 = 4y 0 2z 0 e x + 2y 0 e y + 2x 0 + 6y 0 + 2z 0 e z, ahol x 0, y 0, z 0 materiális koordináták (azaz a test pontjainak koordintái a kezdeti konfigurációban). (a) Írja fel az alakváltozási gradiens tenzor mátrixát! Határozza meg a pillanatnyi konfiguráció anyagi vonalainak g x, g y, g z érintővektorait! (b) Határozza meg az x 0, y 0, z 0 anyagi vonalak nyúlásait, továbbá a valódi, mérnöki és Lagrange-féle fajlagos nyúlásait! (c) Számítsa ki az n 0 anyagi vonal nyúlását és Lagrang-féle fajlagos nyúlását, amennyiben az n 0 anyagi vonal iránykijelölő egységvektora: e n = 0.6e x + 0.4e y e z. (d) Írja fel a Cauchy-Green-féle deformációs tenzort, majd határozza meg a (b) és (c) feladatokban számított nyúlásértékeket! (e) Határozza meg a Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzor mátrixát! (f) Számítsa ki a z 0 és x 0 anyagi vonalak szögtorzulását!
13 II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 5. Feladat 2.5 Két-dimenziós, kis alakváltozási probléma: Egy rugalmas test Q jelű pontjának alakváltozását vizsgáljuk. A kezdeti konfigurációban az e x és e y bázisvektorok egy egységnyi oldalú négyzetet feszítenek ki, amely az alakváltozás után az e x g x = e x e y és e y g y = e x e y vektorok által kifeszített paralelogrammává deformálódik. (a) Írja fel az alakváltozást jellemző alakváltozási gradiens tenzor mátrixát! Homogén deformációt feltételezve írja fel a r x 0, y 0, z 0, r x, y, z és az u x 0, y 0, z 0 vektorokat! (b) Határozza meg az elmozdulási gradiens tenzort, majd döntse el, hogy az adott pontban az alakváltozás kis vagy nagy mértékű! (c) Számítsa ki a Q jelű pontbeli x 0 és y 0 anyagi vonalak nyúlásait, majd határozza meg a kezdeti hosszra vonatkoztatott fajlagos nyúlásokat (ε 0 x, ε 0 y )! Számítsa ki az x 0 és y 0 anyagi vonalak γ xy szögtorzulásának értékét! (d) Írja fel a Cauchy-Green-féle deformációs és a Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzorokat! (e) Határozza meg a Q jelű pontbeli n 0 és m 0 anyagi vonalak e n = 0.6e x + 0.8e y és e m = 0.8e x + 0.6e y iránykijelölő egységvektorainak γ mn szögtorzulását, majd az anyagi vonalak mérnöki nyúlásait! (f) Kis alakváltozást feltételezve határozza meg a ψ forgató tenzort és az A alakváltozási tenzort! Számítsa ki a szögelfordulás-vektort (φ) a vizsgált pontban! (g) A kis alakváltozás során levezetett képletekkel ellenőrizze a γ mn szögtorzulás (c) pontban számított értékét! (h) Vesse össze a kapott eredményeket!
14 II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 6. Feladat 2.6 Három-dimenziós, kis alakváltozási probléma: Egy Q jelű pont elemi környezetének deformációja az x 0, y 0 és z 0 irányú anyagi vonalak deformálódótt, pillanatnyi konfigurációbeli érintő vektoraival adott: g x = 1.002e x e z, g y = 1.002e y 0.002e z, g z = 0.002e x 0.996e z. (a) Határozza meg az alakváltozási gradiens tenzort! (b) Írja fel az elmozdulási gradiens tenzort és döntse el (indoklással), hogy az alakváltozás nagy vagy kis mértékű! Szemléltesse a tenzor koordinátáit és oszlopvektorait az elemi triéderen! (c) Írja fel az alakváltozási tenzor mátrixát és nevezze meg a benne szereplő koordinátákat! (d) Határozza meg a ψ forgató tenzor mátrixát és adja meg a vektor invariánsát (φ)! (e) Számítsa ki az e n = 2 e 2 y 2 e 2 z és e m = 2 e 2 y + 2 e 2 z irányú anyagi vonalak szögtorzulását, adja meg az ε n fajlagos nyúlás értékét! (Megjegyzés: használja a (c) feladatban számított alakváltozási tenzort!)
15 II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 7. Feladat 2.7 Három-dimenziós, nagy alakváltozási probléma: Egy szilárd test elmozdulásmezője az alábbi függvény segítségével adott: u x 0, y 0, z 0 = x 0 + 4y 0 2z 0 e x + 3y 0 e y + 2x 0 + 6y 0 + z 0 e z ahol x 0, y 0, z 0 materiális koordináták. (a) Írja fel az elmozdulási gradiens tenzor mátrixát, majd számítsa ki az alakváltozási gradiens tenzort! (b) Mi az alakváltozás kapcsolata a 2.4 példában számolt deformációval (igazolja is)! (c) Számítsa ki az elmozdulási gradiens tenzorból kiindulva a Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzor koordinátáit! (d) Írja fel a r x, y, z leképezést, ahol x, y és z térbeli koordináták! (e) Határozza meg az inverz alakváltozási gradiens tenzort! (f) Ismert g n = 0.204e x 0.8e y e z, ami a pillanatnyi konfiguráció egy deformálódott n 0 anyagi vonalának érintő vektora. Számítsa ki az n 0 anyagi vonal érintő egységvektorát a kezdeti konfigurációban!
16 II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 8. Feladat 2.8 Három dimenziós alakváltozás, kinematikai egyenlet: Egy gépalkatrész vizsgált tartományának elmozdulásmezője az u vektorral adott: u = θze z r, ahol r = xe x + ye y mm, θ = mm _ 1. A vizsgált tartomány egyik kitüntett pontja P, amelynek helyvektora: r P = 2e x mm. (a) Írja fel az elmozdulási gradiens tenzor mátrixát, majd számítsa ki az alakváltozási gradiens tenzort a vizsgált tartományon! Határozza meg az elmozdulási gradiens tenzor mátrixát a P jelű pontban, majd döntse el, hogy a pont környezetének alakváltozása kis vagy nagy mértékű! (b) Határozza meg a test A alakváltozási gradiens tenzorát, majd számítsa ki azt a P jelű pontban! (c) Írja fel a forgató tenzor mátrixát a P jelű pontban (ψ P ), majd adja meg a szögelfordulás-vektort (vagy forgásvektort)! (d) Számítsa ki az e n = 0.6e y + 0.8e z irányba vett mérnöki nyúlást!
17 II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 9. Feladat 2.9 Három dimenziós alakváltozás, kinematikai egyenlet: Egy szerkezeti elem vizsgált tartományának u elmozdulásmezője ismert, amelyen a P és Q pontokat vizsgáljuk. u = Cxy 2 e x + Cyz 2 e y + Czx 2 e z, r P = 2e x + 3e y + 4e z cm, r Q = r P + e x = 19e x + 30e y + 40e z mm és C = 10 5 mm. (a) Írja fel az elmozdulási gradiens tenzor mátrixát, majd számítsa ki az alakváltozási gradiens tenzort a vizsgált tartományon! Határozza meg az elmozdulási gradiens tenzor mátrixát a P jelű pontban, majd döntse el, hogy a pont környezetének alakváltozása kis vagy nagy mértékű! (b) Határozza meg a vizsgált tartományon az A alakváltozási gradiens tenzort, majd számítsa ki azt a P jelű pontban! (c) Írja fel a forgató tenzor mátrixát a P jelű pontban (ψ P ), majd adja meg a forgásvektort! (d) Számítsa ki P és Q pontok pontos elmozdulásvektorait! (e) Közelítse a Q pont elmozdulásvektorát az elmozdulási gradiens tenzor segítségével, majd számítsa ki a közelítés hibáját!
18 II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 10. Feladat 2.10 Nyúlásmérés nyúlásmérő bélyegekkel: Egy szerkezeti elem kéttengelyű feszültségi állapotban van. A megfelelő pozícióba felhelyeztünk három nyúlásmérő bélyeget az ábrán látható módon. (a) Határozza meg az ábrán vázolt téglalap elrendezés esetén (3) y (2) φ 2 =45 az ε x, ε y, γ xy értékek számítására alkalmas képleteket! (1) x (b) Írja fel az alakváltozási tenzor mátrixát xy koordináta-rendszerben abban az esetben, ha a következő értékeket mértük a bélyegekkel: ε 1 = 0.005, ε 2 = 0.005, ε 3 = (c) Számítsa ki ebben az esetben az e n = 0.6e y + 0.8e x irányú anyagi vonal nyúlását!
19 II. Elmozdulási és alakváltozási állapot 11. Feladat 2.11 Nyúlásmérés nyúlásmérő bélyegekkel: Egy szerkezeti elem kéttengelyű feszültségi állapotban van. A megfelelő pozícióba felhelyeztünk három nyúlásmérő bélyeget az ábrán látható módon. y (a) Határozza meg az ábrán vázolt elrendezés esetén az ε x, ε y, γ xy értékek számítására alkalmas képleteket! (3) (2) φ 2 =60 φ 3 =120 (1) x (b) Írja fel az alakváltozási tenzor mátrixát xy koordináta-rendszerben abban az esetben, ha a következő értékeket mértük a bélyegekkel: ε 1 = 0.002, ε 2 = 0.009, ε 3 = (c) Számítsa ki ebben az esetben az e n = 0.6e x + 0.8e y és e m = 0.8e x + 0.6e y irányú anyagi vonalak szögtorzulását!
20 III. Feszültségi állapot és egyensúly III.1 Feszültségi állapot III.2 Feszültség tenzorok III.3 Egyensúlyi egyenlet
21 III. Feszültségi állapot és egyensúly 1. Feladat 3.1 Feszültségi állapot Egy rugalmas szerkezeti elem varratát vizsgáljuk. A kritikus pontban a feszültségi állapotot az ábrán látható elemi kocka (értékek MPa-ban értendő) szemlélteti. A varrat belső felületének normálisa e n = 0.6e x + 0.8e z x 60 (a) Írja fel a feszültségi tenzor mátrixát a vázolt xyz koordináta-rendszerben, majd nevezze meg a feszültségi tenzor koordinátáit! (b) Határozza meg az e n normálisú felületen ébredő feszültségi vektort! (c) Ellenőrizze a szerkezetet, ha a varrat belső felültének megengedett maximális normálfeszültsége 50 MPa! (d) Ellenőrizze a megadott pontot, haa megengedett maximális csúsztatófeszültség 99.5 MPa! (e) Írja fel a feszültségi tenzor koordinátáit (paraméteresen) abban az esetben, amikor a koordináta-rendszert az y tengely körül, pozitív irányba, φ szögel elfordítjuk! 30 z 60 y
22 III. Feszültségi állapot és egyensúly 2. Feladat 3.2 Feszültségi állapot Az ábrán látható ragasztott szerkezeti elemeket vizsgáljuk (a) Határozza meg a kötés terhelhetőségét, ha a ragasztásra megengedett csúsztatófeszültség maximális értéke 0.95 MPa! 30 mm mm (b) Számítsa ki a kötés l minimális hosszát, ha a kötés szélessége b = 50mm, h = 20mm, p = 2250kPa, a ragasztott kötésre megengedett átlagos nyírófeszültség 0.5 MPa! l h h p
23 III. Feszültségi állapot és egyensúly 3. Feladat 3.3 Egyensúlyi egyenlet Egy rugalmas szerkezeti elem egyensúlyban van, térfogati terhelése zérus. Adott a T feszültségi tenzorának mátrixa derékszögű koordináta-rendszerben. (a) Háromdimenziós eset: x 2 2xy + cz y 2 xy xz [T] = y 2 xy y 2 yz ; xz yz cz (b) Kétdimenziós eset: [T] = 2a2 yx + by 2cx a 2 y 2 2cx a 2 y 2 2(x c 2 y) A megadott feszültségi tenzor kielégíti-e az egyensúlyi egyenletet? Ha nem, megadható olyan nemzérus c paraméter, amellyel egyensúlyba kerül? (c) Az alábbi kétdimenziós feszültségi tenzor kielégíti az egyensúlyi egyenletet? [T] = 3x + 2y 2x 3y 2x 3y x + 2y
24 III. Feszültségi állapot és egyensúly 4. Feladat 3.4 Egyensúlyi egyenlet Egy rugalmas test feszültségi állapota a T feszültségi tenzorával adott. Határozza meg a q térfogati terhelést az alábbi esetekben: (a) y 2 x 3 3z + 2y 2 y(3 4z) [T] = 3z + 2y 2 α 2 (2y + x) 0 y(3 4z) 0 gz ahol g és α terhelési paraméterek; (b) T = 2zx 2 0 x z y 2 3y 2 xz x z y 2 xz 0.
25 III. Feszültségi állapot és egyensúly 5. Feladat 3.5 Feszültségi tenzorok kapcsolata Az anyag az alábbi deformációt szenvedi el: r x 0, y 0, z 0 = 3ax 0 e x + ax 0 + y 0 e y + z 0 e z, továbbá a Cauchy-féle feszültségi tenzor mátrixa: T = b 2b 0 2b b , (a) Adja meg az y normálisú síkon ébredő csúsztatófeszültséget, majd az e k = 0.8e x + 0.6e x normálisú síkon ébredő normál- és csúsztatófeszültség nagyságát! (b) Határozza meg az első Piola-Kirchoff-féle feszültségi tenzor mátrixát! (c) Írja fel a második Piola-Kirchoff-féle feszültségi tenzor mátrixát! Ellenőrizze a tenzor szimmetriáját!
Pere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
RészletesebbenVégeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
RészletesebbenFrissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort!
1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1 / 20 2. példa: Rajzoljuk fel az adott feszültségtenzorhoz tartozó kockát! 2 / 20 3. példa: Feszültségvektor számítása. Egy alkatrész egy
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenBME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (112A) Név: 1 Műszaki Mechanikai Tanszék január 11. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3
BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (2A) Név: Műszaki Mechanikai Tanszék 2. január. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3. feladat (2 pont) A vázolt befogott tartót a p intenzitású megoszló erőrendszer, az F
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenMECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája
Egészségügyi mérnökképzés MECHNIK I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert Igénybevételek térben I. z alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
RészletesebbenGEOTECHNIKA I. LGB-SE TALAJOK SZILÁRDSÁGI JELLEMZŐI
GEOTECHNIKA I. LGB-SE005-01 TALAJOK SZILÁRDSÁGI JELLEMZŐI Wolf Ákos Mechanikai állapotjellemzők és egyenletek 2 X A X 3 normál- és 3 nyírófeszültség a hasáb oldalain Y A x y z xy yz zx Z A Y Z ZX YZ A
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
RészletesebbenO ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenLemez- és gerendaalapok méretezése
Lemez- és gerendaalapok méretezése Az alapmerevség hatása az alap hajlékony merev a talpfeszültség egyenletes széleken nagyobb a süllyedés teknıszerő egyenletes Terhelés hatása hajlékony alapok esetén
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenRugalmasságtan és FEM, 2005/2006. II. félév, I. ZÁRTHELYI, A
Rugalmasságtan és FEM, 5/6. II. félév, I. ZÁRTHELYI, A 6. április., 7 5 8 Név: NEP T UN kod :. feladat Adott az elmozdulásmez½o: u = ( ax z i + bxz k) ; a = [mm ] ; b = [mm ].a., Írja fel az alakváltozási
RészletesebbenBudapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
Részletesebben1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)
Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 )
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenSegédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával
Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 212. október 16. Frissítve: 215. január
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
RészletesebbenSzilárdságtani alapfogalmak
2. FEJEZET Szilárdságtani alapfogalmak 2.1. Mi a szilárdságtan 2.1.1. műszaki mechanika tudományának egy részterületét nevezzük szilárdságtannak. Maga a mechanika az anyagi világban lejátszódó folyamatok
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05
RészletesebbenV É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I
ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki Tudományi Doktori Iskola hallgatói számára
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.
Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,
RészletesebbenVasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet
Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet 2. előadás A rugalmas lemezelmélet alapfeltevései A lemez anyaga homogén, izotróp, lineárisan rugalmas (Hooke törvény); A terheletlen állapotban
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenSkalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után -
1 ALAPFOGALMAK Vektoranalízis 1. Alapfogalmak Skalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után - összehasonlíthatóak
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenRugalmasságtan. Műszaki Mechanikai Intézet Miskolci Egyetem 2015
Rugalmasságtan Műszaki Mechanikai Intézet attila.baksa@uni-miskolc.hu Miskolci Egyetem 05 Példák (folyt.) 5. feladat Fajlagos térfogatváltozás DDKR-ben és HKR-ben. dv = [ e x e y e z]dxdydz dv = [( a x
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenDiszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (
FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.
RészletesebbenEnergiatételek - Példák
9. Előadás Húzott rúd potenciális energiája: Hooke-modell: σ = Eε Geom. hetséges Geometriai egyenlet: + geom. peremfeltételek: u εx = ε = x u(0) = 0 ul () = 0 du dx Energiatételek Példák = k l 0 pudx l
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően
RészletesebbenDenavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenTUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT. Magas nyomású ipari tartály feszültségi analízise az ADINA végeselemes programrendszerrel
MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT Magas nyomású ipari tartály feszültségi analízise az ADINA végeselemes programrendszerrel Bodó Lajos I. éves MSc. gépészmérnök
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenAz R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész
Az R forgató mátri [ ] - beli képleteinek levezetése: I rész Az [ ] forrás kötetében a ( 49 ), ( 50 ) képletek nyilván mint közismertek nem lettek levezetve Minthogy az ottani további számítások miatt
RészletesebbenAz elméleti fizika alapjai házi feladat
Az elméleti fizika alapjai házi feladat A jellel ellátott feladatok opcionálisak és plusz pontot érnek. A határidőn túl leadott házi feladatok is pontot érnek, még ha kevesebbet is. Pl. az 1. házi feladat
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenA= a keresztmetszeti felület cm 2 ɣ = biztonsági tényező
Statika méretezés Húzás nyomás: Amennyiben a keresztmetszetre húzó-, vagy nyomóerő hat, akkor normálfeszültség (húzó-, vagy nyomó feszültség) keletkezik. Jele: σ. A feszültség: = ɣ Fajlagos alakváltozás:
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Részletesebben{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek
1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és
RészletesebbenSzámítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenNavier-formula. Frissítve: Egyenes hajlítás
Navier-formula Akkor beszélünk egyenes hajlításról, ha a nyomatékvektor egybeesik valamelyik fő-másodrendű nyomatéki tengellyel. A hajlítást mindig súlyponti koordinátarendszerben értelmezzük. Ez még a
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf81 2018-09-04
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenMODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ
Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenRugalmasságtan. Műszaki Mechanikai Intézet Miskolci Egyetem 2015
Rugalmasságtan Műszaki Mechanikai Intézet attila.baksa@uni-miskolc.hu Miskolci Egyetem 2015 Egyenletek a hengerkoordináta-rendszerben (HKR) SP = OQ = r z QP = z e r = cos ϕ e x + sin ϕ e y e ϕ = sin ϕ
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
RészletesebbenFizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat
Fizika i, 08 őszi félév,. gyakorlat Szükséges előismeretek: vektorok, műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat és vektoriális szorzat, abszolút érték), vektorok
Részletesebben