Rugalmasságtan. Műszaki Mechanikai Intézet Miskolci Egyetem 2015

Átírás

1 Rugalmasságtan Műszaki Mechanikai Intézet Miskolci Egyetem 2015

2 Egyenletek a hengerkoordináta-rendszerben (HKR) SP = OQ = r z QP = z e r = cos ϕ e x + sin ϕ e y e ϕ = sin ϕ e x + cos ϕ e y x O ϕ e z e ϕ P (r, ϕ, z) e r y Q d e r = e dϕ ϕ d e ϕ dϕ = e r Bázisvektorok és koordináták u = u e r + v e ϕ + w e z = r er + 1 r ϕ eϕ + ez U = u = u r er + 1 u u eϕ + r ϕ ez 2/26

3 Egyenletek a hengerkoordináta-rendszerben (HKR) lakváltozások u r u ϕ u = u v w er + eϕ + r r r ez = u v w er + u eϕ + eϕ v er + ϕ ϕ ϕ = u v w er + eϕ + ez U e r = u r [U] (r,ϕ,z) = U e ϕ = 1 u r ϕ ( u 1 u r r ( ϕ v) ) v 1 r r u + v ϕ w r 1 r w ϕ U e z = u u v w [] = (r,ϕ,z) = 1 ( ) U + U T = T szimmetrikus 2 ( u 1 v ) r 2 r = + 1 u r ϕ v r... 1 ε r 2 γrϕ 1 2 γrz 1 2 γϕr εϕ 1 2 γϕz 1 2 γzr 1 γzϕ εz 2 u r + 1 r v ϕ ( 1 w 2 ( r + u 1 v 2 + w ϕ w ) ) 3/26

4 Egyenletek a hengerkoordináta-rendszerben (HKR) Egyensúlyi egyenletek HKR-ben T = ρ r e r + ρ ϕ e ϕ + ρ z e z ρ r = σ r e r + τ ϕr e ϕ + τ zr e z, ρ ϕ = τ rϕ e r + σ ϕ e ϕ + τ zϕ e z, ρ z = τ rz e z + τ ϕz e ϕ + σ z e z, ( T = T r er + 1 r ϕ eϕ + ) ez = T r er + 1 T T eϕ + r ϕ ez = ρ r r + ρr r + 1 ρ ϕ r ϕ + ρz ρϕ (r ρr) + r ϕ + (r ρz) + r q = 0 τrϕ (rσr) + r ϕ σϕ + (rτrz) + rqr = 0 σϕ (rτϕr) + τϕr + r ϕ + (rτϕz) + rqϕ ϕ = 0 τzϕ (rτzr) + r ϕ + (rσz) + rqz = 0 4/26

5 Egyenletek a gömbikoordináta-rendszerben (GKR) d er = sin ϑ e dϕ ϕ d er = e dϑ ϑ d eϕ dϑ = 0 d eϑ = e dϑ r x z d eϑ = cos ϑ e dϕ ϕ O ϕ OP = r e ϕ e r P (r, ϕ, ϑ) ϑ e ϑ Q y x = r cos ϕ sin ϑ y = r sin ϕ sin ϑ z = r cos ϑ e r = {cos ϕ sin ϑ; sin ϕ sin ϑ; cos ϑ} e ϕ = { sin ϕ; cos ϕ; 0} e ϑ = {cos ϕ cos ϑ; sin ϕ cos ϑ; sin ϑ} Bázisvektorok és koordináták u = u e r + v e ϕ + w e ϑ = r er + 1 r sin ϑ ϕ eϕ + 1 r ϑ e ϑ U = u = u r er + 1 u r sin ϑ ϕ eϕ + 1 r u ϑ e ϑ 5/26

6 Egyenletek a gömbikoordináta-rendszerben (GKR) Tekintsük az alábbi gömbszimmetrikus alakváltozást u = u(r) e r u r = u r er, u u = u sin ϑ eϕ, ϕ ϑ = u e ϑ U = u r er er + u r eϕ eϕ + u r e ϑ e ϑ = U T = [ ] ε r = u r ε ϕ = ε ϑ = u r [ u 0 r u = 0 0 r u (r,ϕ,ϑ) 0 0 r γ ϑr = γ ϕr = γ ϑϕ = 0 z e r, e ϑ és e ϕ alakváltozási főirányok, a ε r, ε ϕ = ε ϑ főnyúlások, főtengelyek KR-ben az diagonális szerkezetű ] 6/26

7 Egyenletek a gömbikoordináta-rendszerben (GKR) Egyensúlyi egyenletek gömbszimmetrikus terhelésre T = σ r(r) e r e r + σ ϕ(r) e ϕ e ϕ + σ ϑ (r) e ϑ e ϑ T = T r er + 1 r sin ϑ 1 σ ϕ(r) T ϕ eϕ + 1 r T ϑ e ϑ = σr sin ϑ er + r r sin ϑ σr e r+ r sin ϑ ( sin ϑ er cos ϑ e ϑ) + σ ϑ (r) cos ϑ r sin ϑ e ϑ + σr r er σ ϑ r er = ( σr r + 2σr σϕ r r σ ) ϑ e r r mellyel σ r r + 2 r σr σϕ + σ ϑ + q r = 0. r 7/26

8 Lineárisan rugalmas test anyagtörvénye (Hooke-törvény) Rugalmas testnek nevezzük a kontinuumot, ha a kontinuum mozgása során a feszültségtenzor a kontinuum minden egyes pontjában egyértelmű függvénye az alakváltozási tenzornak. z alakváltzási tenzor függhet még további nem mechanikai mennyiségektől is: hőmérséklet, villamos térerősség, entrópia, stb. T és közötti függvénykapcsolatot hívjuk a rugalmas test anyagtörvényének. Homogén anyagtörvényről beszélünk, ha ez az összefüggés független a helykoordinátáktól. Ha a test izotróp, akkor a feszültségi és alakváltozási tenzorok főirányai összeesnek. (izotrópia=iránytól való függetlenség) 8/26

9 Lineárisan rugalmas test anyagtörvénye (Hooke-törvény) z és T közös főtengelyei által meghatározott KR-ben ε i = C i1 σ 1 + C i2 σ 2 + C i3 σ 3 (i = 1, 2, 3) Tiszta húzás(nyomás) esetére vonatkozó képletek szerint pl. ε 1 = C 11 σ 1 + C 12 σ 2 + C 13 σ 3 = σ 1 E ν E σ 2 ν E σ 3 = 1 + ν E σ 1 ν E (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) ahol ν a Poisson szám, E a rugalmassági (Young) modulusz. = 1 + ν [ T ν ] E 1 + ν T I1 KR-ben igaz T I = σ 1 + σ 2 + σ 3 illetve továbbá = 1 [ T ν ] 2G 1 + ν T I1 G = ( T = 2G + ν ) 1 2ν I1 E a csúsztató rugalmassági modulusz 2(1 + ν) I = ε 1 + ε 2 + ε 3 z első skalár invariánsok között fennállnak az alábbi összefüggések I = 1 1 2ν 2G 1 + ν T I T I = 2G 1 + ν 1 2ν I I = 1 2ν ν 2G 3σ k = σ k K ahol K a térfogati rugalmassági modulusz. K = 2 3 G 1 + ν 1 2ν 9/26

10 Lineárisan rugalmas test anyagtörvénye (Hooke-törvény) Összenyomhatatlan rugalmas testre I = ε x + ε y + ε z = u x + v y + w = u = div u = 0 K = (ν = 1 2 ) σ k véges σ k = K I z anyagtörvény felírása a λ és µ Lamé-állandók segítségével T = 2µ + λ I 1 ahol ν λ = 2µ 1 2ν = ν E λ, µ = G Lamé állandók (1 + ν)(1 2ν) = 1 2µ T λt I 2µ(3λ + 2µ) 1 10/26

11 Lineárisan rugalmas test anyagtörvénye (Hooke-törvény) anizotróp eset Tömörített írásmód/jelölés x = x 1, y = x 2, z = x 3 σ x = σ 1, σ y = σ 2, σ z = σ 3, τ yz = σ 4, τ xz = σ 5, τ xy = σ 6, ε x = ε 1, ε y = ε 2, ε z = ε 3, γ yz = ε 4, γ xz = ε 5, γ xy = ε 6, mellyel az anizotróp lineárisan rugalmas test anyagtörvénye σ i = σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 }{{} σ 6 C ij ε j = C ij ε j j=1 = (j néma/összegző index) C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 21 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 31 C 32 C 33 C 34 C 35 C 36 C 41 C 42 C 43 C 44 C 45 C 46 C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 C 56 C 61 C 62 C 63 C 64 C 65 C 66 }{{}}{{} C ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ε 11/26

12 Fajlagos alakváltozási energia nyagállandók mátrixa u(ε) = mely alapján ε 0 σdε = ε 0 σ i dε i = ε 0 ε i C ij dε j = ε i 0 ( ) 1 d 2 C ijε i ε j = 1 2 C ijε i ε j = 1 2 εt Cε u ε i = C ij ε j = σ i 2 u ε i ε j = 2 u ε j ε i C ij = σ i = σ j = C ji C mátrixa szimmetrikus ε j ε i azaz C = C T, így a független, rugalmassági állandók száma = 21 db, izotóp esetre 1 ν ν ν ν 1 ν ν C = 2G ν ν 1 ν ν 1 2ν ν ν /26

13 nyagállandók mátrixa Egy szimmetria-síkkal rendelkező anizotróp test (monoclinic materials) C = azaz 13 független rugalmassági állandó. C 11 C 12 C C 16 C 12 C 22 C C 26 C 13 C 23 C C C 44 C C 45 C 55 0 C 16 C 26 C C 66 ε = C 1 σ = S σ S = {s ij } (i, j = 1, 2,..., 6) S = S T hajlékonysági mátrix fajlagos alakváltozási energia u = 1 2 σt S σ C, S pozitív definit szimmetrikus mátrixok. ε k = u σ k x T C x 0 x T C x = 0 x = 0 13/26

14 lakváltozási energia 3 u = 1 2 T : = 1 t ij a ij = 1 (σxεx + σyεy + σzεz + τxyγxy + τxzγxz + τyzγyz) = 2 2 i,j=1 [ G ε 2 x + ε2 y + ε2 z + 1 ( γ 2 2 xy + γyz xz) ] 2 + γ2 + G ν 1 2ν (εx + εy + εz)2 = 1 { [ ( )] (1 + ν) σ 2 2E x + σy 2 + σ2 z + 2 τxy 2 + τ yz 2 + τ xz 2 ν (σx + σ y + σ 2} z) = u T + u V ahol az u T a térfogat-torzításhoz, míg az u V u T = 1 + ν 6E a térfogat-változáshoz tartozik. U = u dv = W = 1 q u dv + p u d 2 V V [ ] (σx σ y) 2 + (σ y σ z) 2 + (σ z σ x) 2 + 6(τxy 2 + τyz 2 + τxz) 2, u V = 1 2ν 6E (σx + σy + σz)2 14/26

15 Lineáris rugalmasságtan alapegyenletei a lehetséges peremfeltételek = u + p V = u p = {0} n = {n x, n y, n z } E, ν (G, ν) ÓØØ x z O u y n V p q p Izotróp rugalmas test 1. Kinematikai (geometriai) egyenlet = 1 ( u + u) E = 6 I = kinematikai (geometriai) peremfeltétel u( r) = v r u 2. Egyensúlyi egyenlet T + q = 0 E = 3 I = 6 - statikai (feszültségi) peremfeltétel T n = p r p 3. nyagtörvény t ij = C ijkl a ij (σ i = C ij ε j ) E = 6 I = 0 I = = 15 E = = 15 15/26

16 Lamè-Navier egyenlet levezetése z általános Hooke-törvény T = 2G ( + ν ) 1 2ν I1 = 1 ( T ν ) 2G 1 + ν T I1 és a geometriai egyenlet alapján írható, hogy ν u u T = G( u + u ) + 2G 1 u = 1 2ν x + v y + w = εx + εy + εz = I T = G u + G ( u) + 2G ν G ( u) = G u + ( u) 1 2ν 1 2ν melyből a Lamè-Navier egyenlet u ν ( u) + q G = 0 a DPF [ T n = p 2G u( n) 1 rot u n + ν u ] 2 1 2ν n = p r p (Belátható a ( u) n = u( n) ( u n) alapján) 16/26

17 Lamè-Navier egyenlet levezetése z előzőekben felírt Lamè-Navier egyenlet a rugalmasságtan első peremérték-feladata (1) = u ha az egész határoló felületen az elmozdulás-vektor adott (2) = p ha az egész határoló felületen a felületi terhelés adott, a megoldhatóság szükséges feltétele, hogy q dv + p d = 0 r q dv + r p d = 0 V V legyen (3) z felület u peremszakaszán az elmozdulás az p peremszakaszán pedig a felületi terhelés adott p, u { } (4) ha nincs térfogati terhelés akkor I harmonikus függvény ( I = 0) I = u I + 1 2ν 2(1 ν)g q = 1 q 0 u ( q)+ 2(1 ν)g G u = 0 ( u = v = w = 0) u biharmónikus vektor! = 0 17/26

18 Lamè-Navier egyenlet felírása DDRK-ben u = u e x + v e y + w e z u = e x u + e y v + e z w u = u x + v y + w q = q x e x + q y e y + q z e z u + 1 ( u 1 2ν x x + v y + w v + 1 ( u 1 2ν y x + v y + w w + 1 ( u 1 2ν x + v y + w ) + qx G = 0 ) + qy G = 0 ) + qz G = 0 18/26

19 Beltrami-Michell-féle egyenlet felírása I = 1 1 2ν 2G 1 + ν T I ( u ) ν I + q G = 0 ( u) ν I + q G = ν I + 1 G ( q + q ) = 0 2 = 1 ( T νt ) I G 1 + ν 1 [ 1 T ν G 1 + ν 1 T I + 1 ] 1 + ν T I + q + q = ν 2G 1 + ν T I + 1 2ν 2(1 ν)g q = ν T I + q 1 ν = 0 mely alapján a Beltrami-Michell egyenlet T ν T I + ν q 1 + q + q = 0 1 ν feszültségmező meghatározásához még fel kell használni az egyensúlyi egyenlet is. Részletes elemzéssel kimutatható, hogy a Beltrami-Michell hat egyenlete közül csak három független. 19/26

20 Feladat: Saint-Venant féle csavarás y x M c n = n x e x + n y e y O u = ϑyz v = ϑxz w = ϑω(x, y) q = 0 p = 0 Ô Ð ØÓÒ z = L z θ = θ(z) = ϑz M c = Gϑ I = u x + v y + w = div u = 0 ( ) 2 ω u = 0 v = 0 w = ϑ x ω y ω 2 = 0 w = 2 ω x ω y 2 = 0 [ ] ex e y e z rot u = ϑ x y yz xz ω [( ) ( ω = ϑ y x e x + y ω x ) e y + 2z e z ] 20/26

21 Feladat: Saint-Venant féle csavarás [( ) ( ) ] ω ω p = Gϑ x y n x + y x n y e z azaz a Lamè-Navier és a Beltrami-Michell egyenletek indentikusan teljesülnek. x = x(s) y = y(s) y O t ω = 0 x (x, y) t = { dx ; } dy ds ds n n = t e z = { dy ; dx ds ds ω = ynx xny n yn x xn y = x dx + y dy ds } (x, y) C ds = d ds ε x = ε y = ε z = γ xy = 0 γ xz = ϑ ( ω x y) γ yz = ϑ ( ) x 2 +y 2 2 ( ω σ x = σ y = σ z = τ xy = 0 τ xz = Gϑ ( ω x y) τ yz = Gϑ τxz d = τ yz d = 0 ( ω y + x ) y + x ) c s = M c = M c (ϑ) = GI c ϑ (xτ yz yτ xz ) d = Gϑ Ic {}}{ (x 2 + y 2 + x ω y y ω x ) d 21/26

22 Prandtl féle feszültségfüggvény. Tömör keresztmetszet csavarása. s y τ yz τ xz P (x, y) M c τ xz = Gϑ( ω x y) t = { dx, dy ds ds τ yz = Gϑ( ω y + x) } x = x(s), y = y(s) n = t e z = { dy ds ; dx ds } c O n t x τxz x + τyz y = 0 (x, y) τ xz n x + τ yz n y = 0 (x, y) c τ xz = Gϑ U y τ yz = Gϑ U x τ xzn x + τ yzn y = Gϑ U s U = 0 (x, y) c M c = (xτ yz yτ xz)d = (x U x y U y )d = ( RU)d + U Rd = R Ud = U n Rds + 2 Ud c 22/26

23 Prandtl féle feszültségfüggvény. Tömör keresztmetszet csavarása. M c = 2 Ud mellyel Gϑ( ω U y) = Gϑ x y Gϑ( ω U + x) = Gϑ y x (+1) y ( 1) x U = 2 (x, y) és U = 0 (x, y) c b b M c y Q O s U(x, y) = a2 b 2 a 2 +b 2 (1 x2 a 2 y2 b 2 ) τ xz = 2Gϑa2 a 2 +b 2 y x τ yz = 2Gϑb2 a 2 +b 2 x τ max = τ xz (Q) = 2Gϑa2 b a 2 +b 2 (a > b) a a I c = a3 b 3 a 2 +b 2 π 23/26

24 Feladat: Ellipszis keresztmetszetű rúd csavarása Legyen: ω := Cxy ω = 2 ω x ω y 2 = 0 [( ) ( ) ] ω ω p z = Gϑ x y n x + y + x n y = Gϑ [(C 1)y n x + (C + 1)x n y] = 0 Mc y t n x 2 + y2 = 1 x dx + y dy = 0 a 2 b 2 a 2 b 2 b b τyz τxz O s x tds = {dx, dy} n t = 0 N tds = 0 N = λ n = { x, y } a 2 b 2 a a (C 1) xy ( xy 1 + (C + 1) a2 b 2 = 0 C a ) b 2 = 1 a 2 1 b 2 C a2 + b 2 a 2 b 2 = b2 a 2 a 2 b 2 C = b2 a 2 a 2 + b 2, C 1 = 2a2 a 2 + b 2, C + 1 = 2b2 a 2 + b 2 24/26

25 Feladat: Ellipszis keresztmetszetű rúd csavarása Prandtl-féle feszültségfüggvény, tömör keresztmetszetre τ xz = Gϑ 2a2 2b2 a 2 y τyz = Gϑ + b2 a 2 + b 2 x Ic = a3 b 3 a 2 + b 2 π M c = 2 Ud = 2Gϑ a2 b 2 [( xa a 2 + b 2 )2 + ( yb ] )2 d = GϑI c [( xa )2 + ( yb )2 ] d = { x = λa cos t y = λb sin t d = (x, y) (λ, t) dλdt = a cos t b sin t λabdλdt = 2π 1 λa sin t λb cos t dλdt = λ 3 abdλdt = 2π 1 4 ab = 1 2 abπ /26

26 Kérdések?