Energiatételek - Példák

Átírás

1 9. Előadás

2 Húzott rúd potenciális energiája: Hooke-modell: σ = Eε Geom. hetséges Geometriai egyenlet: + geom. peremfeltételek: u εx = ε = x u(0) = 0 ul () = 0 du dx

3 Energiatételek Példák = k l 0 pudx l l l du b= σεdv EεεdAdx E ε da dx EA dx = = = dx ( V) 0 ( A) 0 ( A) 0 A teljes potenciális energia: l 1 du = EA dx p u dx dx 0 0 { } D( u) = u(0) = 0 ; u( l) = 0 ; differenciálható l

4 Hajlított rúd potenciális energiája: Geometriai egyenlet: κ = d v dz + geom. peremfeltételek: Hooke-modell: v(0) = 0 dv (0) = 0 dz vl () = 0 M κ = M = EI EIκ

5 Energiatételek Példák = k 0 l pvdz l l l dv b = κ = κ = dz M dz EI dz EI dz A teljes potenciális energia: l l 1 dv = EI dx p v dz dz 0 0 dv D( v) = v (0) = 0 ; (0) = 0 ; v( l) = 0 ; kétszer folyt. differenciálható dz

6 A rugalmasságtan általános feladatának peremérték alakú megfogalmazása: Feltételezések: - Homogén, izotróp, lineárisan rugalmas anyag - Kvázistatikus terhelés -Kis elmozdulások

7 Például síkban: (a) Geometriai egyenletek: ε alakváltozás: u eltolódás: kapcsolat: peremfelt.: u = ε = Lu T = x y z ε ε ε ε u = u 0 [ u v] T S u ε L S u - Lineáris operátor - S azon része, ahol u adott 0 x u = Lu = 0 y v y x

8 Például síkban: (b) Egyensúlyi egyenletek: σ feszültség: g térfogati erők: peremfelt.: q = q T = x y xy σ σ σ τ 0 = g x g T y g L S σ - Lineáris operátor - S azon része, ahol q adott S S = S u σ S σ T L σ + g = 0

9 (c) Anyagegyenletek: σ = D ε D( E, ν ) - Anyagi merevségi mátrix Ismeretlenek száma térben: σ 6 db ε 6 db 15 db u 3 db

10 (a),(b) és (c) együttesen egy differenciálegyenletek formájában megfogalmazott peremértékfeladatot definiál általános esetben. Elmozdulásmódszer: T L σ = g T T T L σ = L D ε = L D Lu K T : = L D L Lamé- egyenlet: K u = g u = u 0 S u K - Lineáris operátor

11 Erőmódszer: Beltrami-egyenletek: egyenletek: A Lame-egyenletekhez egyenletekhez hasonlóan, lineáris differenciáloperátorral megfogalmazott peremértékfeladatra vezet.

12 Feltételes szélsőérték meghatározása Lagrange-multiplikátorral multiplikátorral: Keressük a z=f(x,yz f(x,y) felület szélsőértékét a φ(x,y)=0 feltétel mellett: Φ (, xy): = f(, xy) + λ ϕ(, xy) A szélsőérték feltétele: λ - Lagrange-multiplik multiplikátor Φ Φ Φ = 0 ; = 0 ; = 0 x y λ Ezen alapul az általános variációs megfogalmazás.

13 A rugalmasságtani általános feladat variációs probléma alakú megfogalmazása: HU-WASHIZU WASHIZU-funkcionál (a potenciális energia Lagrange-multiplikátorral kiegészítve): HW, T T T T 0 ( V) ( S ) ( V) ( V) ( S ) Π ( σε,, ur, ): = A( ε) dv quds g udv+ ( Lu ε) σdv ( u u) rds σ Lagrange-multiplik multiplikátor u alakváltozási energia külső potenciál geom.. egyenlet (0-ra rendezve) geom. peremfelt. (0-ra rendezve) r - reakcióeloszlás függvény T σ n= r S u -n diszlokációs energia (kiegészítő potenciál -1x-ese)

14 Teljesülnek a geometriai egyenletek + a geometriai peremfeltételek (azaz az elmozdulás-alakváltozás alakváltozás-rendszer geometriailag lehetséges), kicsik az elmozdulások és teljesülnek az anyagegyenletek: Π ( u, ε( u)) = A( ε) dv q uds g udv min! HW, Kvadratikus funkcionál T ( V) ( S ) ( V) σ T Potenciális energia!!

15 Teljesülnek az egyensúlyi egyenletek + a statikai peremfeltételek (+reakciók) (azaz az erő-feszültség feszültség-rendszer statikailag lehetséges) és teljesülnek az anyagegyenletek: (, ) T Π σ r = A( σ) dv + u r ds max! HW, Kvadratikus funkcionál ( V) ( S ) u o Kiegészítő potenciális energia -1x-ese A peremérték-feladat és a variációs feladat (kellően sima függvényekre) egyenértékűek!

16 A gyakorlatban ezek közül a potenciális energia minimumtétele a gyakrabban használt változat: 1 T T T Π ( u): = ( Lu) D( Lu) dv q u ds g udv ( V) ( S ) ( V) σ Ismeretlen: u elmozdulásm smódszer 1 T T T Π (): u = u K u dv q u ds g u dv ( V) ( S ) ( V) { } u u u = u0; differenciálható S u σ

17 Peremérték-feladat: Geometriai egyenlet: EI = állandó κ = v'' Hooke-modell: M κ = M = EI v '' EI Egyensúly: p = M '' =+ EI v'' Rugalmas vonal differenciálegyenlete: Geometriai (lényeges) peremfeltételek: EI v'''' = v(0) = 0 dv (0) = 0 dz vl () = 0 p Statikai (természetes) peremfeltételek: M() l = 0 v''() l = 0

18 p v '''' = EI v(0) = 0 ; v'(0) = 0 ; v( l) = 0 ; v''( l) = 0 Integrálva: p v''' = z+ c1 EI 1 p v'' = z + c1z+ c EI 1 p 3 1 v' = z + c1z + cz+ c3 6 EI 1 p 1 1 v= z + c z + c z + c z+ c 4 EI Peremérték-feladat

19 A peremfeltételekből: c v(0) = c = 0 4 v'(0) = c = p vl ( ) = l + cl 1 + cl = 0 4 EI 6 1 p v''( l) = l + cl 1 + c = 0 EI pl 5 pl = c = 8EI 8 EI 1

20 Az eltolódásfüggvény: 3 p 1 5 z l z = + EI v z l v = EI l l l pl z z z M = EI v'' T = M' A= M'(0) B= M'( l) koordináta-rendszer miatt!!

21 Variációs megoldás: Könyv 384.old. (1),(3) előjelhiba!! EI = állandó Π=Π +Π b 1 Π b = Mκ dz l 0 k Geometriai egyenlet: κ = v'' Hooke-modell: Geometriai peremfeltételek: M κ = M = EI v '' EI v(0) = 0 v '(0) = 0 vl () = 0

22 1 EI Π= ( ) b Mκ dz= v'' dz Legyen: v(0) = c = v' = c+ cz+ 3cz + 4cz v'(0) = c = 0 l v= c + cz+ cz + cz + cz 1 vl ( ) = cl + cl + cl = 0 c = cl cl l

23 A függőleges eltolódásfüggvény: ( ) v= cl cl z + cz + c z ( ) v' = cl cl z+ 3cz + 4c z ( ) v'' = cl cl + 6cz+ 1c z

24 l EI b ( 3 4 ) Π = cl cl + 6cz+ 1 cz dz=... = 4 Π = EI + c l + 8c c l + c l b l l 3 4 k ( 3 4 ) Π = pv dz = p c l c l z + c z + c z dz =... = 4 l Π k = p c3 + c4 l l 5 Π= EI c3 l + 8c3c 4l + c4 l + p c3 + c4 l

25 Stacionaritás: Π Π δπ= δc + δc = 0 δ c ;δ c c Π c c Π = 0 és = 0 c Π 1 = EI ( c3l + c4l ) + pl = c Π = EI 8c3l + c4l + pl = 0 c 5 15

26 pl 4c3 + 8lc4 = 1EI 8c 84 pl + lc = 5 15EI 3 4 Függőleges eltolódás: v= z z + z 48 EI 4 EI 48 EI 4 EI 5 pl 1 pl 5 pl 3 1 p 4 p v= l z lz + z 48EI 3 4 ( 3 5 ) v = EI l l l pl z z z

27 Hajlítónyomaték: M = EIv'' 4 3 pl z 1 z 1 z 1 v ' = EI l l l l l l 4 pl 1 z 1 z 1 v '' = EI l l l l l M = l l pl z z egyensúlyi egyenlet () M l pl = [ ] = 0 48 statikai peremfeltétel M ( 0 ) = pl 48

28 Nyíróerő: T pl 1 z 1 = M ' = l l l T pl = z l Reakciók: 5 A= T(0) = pl 8 3 B= T( l) = pl 8