6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
|
|
- Jenő Bakos
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós, állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenletet, melynek megoldásai az alábbi függvények. Írjuk fel az egyenlet általános megoldását is. a) e 5x e x b) 6x + 5e x c) 7x, sin 5x d) x e x, e x e) 6 + e x sin x Megoldás. A megadott függvények p(x)e αx alakú tagok összegei, ahol p polinom (lehet konstans is). Az állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenletek megoldásánál láthattuk, hogy egy ilyen függvény akkor megoldás, ha minden tagja megoldás, aminek az feltétele, hogy α a karakterisztikus polinom gyöke legyen legalább (deg p) + 1 multiplicitással. A rend akkor lesz a legalacsonyabb, ha pontosan ezek a gyökök és pontosan ekkora a multiplicitás. a) 5 és egyszeres gyökök: y y 15y = 0, az általános megoldás Ae 5x + Be x. b) 0 háromszoros, egyszeres gyök: y y = 0, az általános megoldás A + Bx + Cx + De x. c) 0 kétszeres, ±5i egyszeres gyökök: y + 5y = 0, az általános megoldás A + Bx + C cos 5x + D sin 5x. d) háromszoros, egyszeres gyök: y 9y + 0y 44y + 4y = 0, az általános megoldás (A + Bx + Cx )e x + De x. e) 0 egyszeres, ± i egyszeres gyökök: y 6y + 10y = 0, az általános megoldás A + Be x cos x + Ce x sin x.. Oldjuk meg a következő inhomogén lineáris, állandó együtthatós egyenleteket. a) y 5y + 6y = sin x b) y 5y + 6y = xe x c) y 6y + 1y = 9 d) y y y = e x, y(0) =, y (0) = 1 e) y y + y = e x + 4x 6 f) y y + y = x + e x g) y y + y = 6e x h) y + 8y + 5y = e 4x i) y + y = x + j) y + y = sin x Megoldás. a) A karakterisztikus polinom λ 5λ + 6 = (λ )(λ ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x + Be x. Nincs külső rezonancia, így az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = C cos x + D sin x alakban keressük. Az egyenletbe helyettesítve 4C cos x 4D sin x 10C sin x + 10D cos x + 6C cos x + 6D sin x = sin x,
2 tehát C 10D = 0 10C + D =. Ennek megoldása C = 5, D = 1, tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása 6 6 y(x) = 5 6 cos x sin x + Aex + Be x. b) A karakterisztikus polinom λ 5λ + 6 = (λ )(λ ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x + Be x. Nincs külső rezonancia, így az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = (C 1 + C x)e x alakban keressük. Az egyenletbe helyettesítve tehát (C 1 + C + C x)e x 5(C 1 + C + C x)e x + 6(C 1 + C x)e x = xe x, C 1 C = 0 C =. Ebből C = 1, C 1 =, tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása ex + xe x + Ae x + Be x. c) A karakterisztikus polinom λ 6λ + 1 = (λ ( + i))(λ ( i)), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x cos x + Be x sin x. Nincs külső rezonancia, így az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = C alakban keressük. Az egyenletbe helyettesítve 1C = 9, vagyis C = adódik, az inhomogén egyenlet általános megoldása így y(x) = + Ae x cos x + Be x sin x. d) A karakterisztikus polinom λ λ = (λ + 1)(λ ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x + Be x. Külső rezonancia van, így az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = Cxe x alakban keressük. Az egyenletbe helyettesítve 4Ce x + 4Cxe x (Ce x + Cxe x ) Cxe x = e x, tehát C =, vagyis C = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása és annak deriváltja y(x) = xe x + Ae x + Be x y (x) = e x + xe x Ae x + Be x, A kezdeti feltétel alapján = y(0) = A + B 1 = y (0) = 1 A + B, amiből A =, B = 1. A kezdetiérték-feladat megoldása tehát y(x) = xe x + e x + e x.
3 e) A karakterisztikus polinom λ λ+λ = (λ 1)(λ ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x +Be x. Nincs külső rezonancia, az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = Ce x + (D 0 + D 1 x + D x ) alakban keressük. Az egyenletbe behelyettesítve 9Ce x + D (C 1 e x + D 1 + D x) + (Ce x + D 0 + D 1 x + D x ) = e x + 4x 6 adódik, tehát D 0 D 1 + D = 6 D 1 6D = 0 D = 4 C = 1. Ebből C = 1, D 0 = 4, D 1 = 6, D =. Az inhomogén egyenlet általános megoldása y(x) = 1 ex x + x + Ae x + Be x. f) A karakterisztikus polinom λ λ + λ = (λ 1)(λ ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x + Be x. Az e x tag miatt külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = C 0 + C 1 x + Dxe x alakban keressük. Az egyenletbe behelyettesítve De x + Dxe x (C 1 + De x + Dxe x ) + (C 0 + C 1 x + Dxe x ) = x + e x adódik, tehát C 0 C 1 = 0 C 1 = 1 D = 1, amiből C 0 =, C 4 1 = 1, D = 1, tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása y(x) = x xex + Ae x + Be x. g) A karakterisztikus polinom λ λ + 1 = (λ 1), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x + Bxe x (belső rezonancia). Az inhomogén tag kitevőjében x együtthatója szintén 1, tehát külső rezonancia is van, az inhomogén egyenlet megoldását Cx e x alakban keressük. Behelyettesítés után az egyenlet Ce x + 4Cxe x + Cx e x (Cxe x + Cx e x ) + Cx e x = 6e x, azaz C = 6, amiből C =. Az inhomogén egyenlet általános megoldása y(x) = x e x + Ae x + Bxe x. h) A karakterisztikus polinom λ +8λ+5, ennek gyökei 4±i, tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae 4x cos x+be 4x sin x. Nincs külső rezonancia, az inhomogén egyenlet megoldását Ce 4x alakban keressük. Behelyettesítve 16Ce 4x + 8 ( 4)Ce 4x + 5Ce 4x = e 4x adódik, vagyis 9C = 1, tehát C = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása 9 y(x) = 1 9 e 4x + Ae 4x cos x + Be 4x sin x.
4 i) A karakterisztikus polinom λ + λ = λ(λ + ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása A+Be x. Külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = (C 0 + C 1 x)x alakban keressük. Ezt behelyettesítve a C 1 + (C 0 + C 1 x) = x + egyenletet kapjuk, amiből C 1 + C 0 = 4C 1 =. Az egyenletrendszerből C 0 = 1, C 1 = 1, az inhomogén egyenlet általános megoldása y(x) = x + 1 x + A + Be x. j) y + y = sin x A karakterisztikus polinom λ + 1, ennek gyökei ±1, tehát a homogén egyenlet általános megoldása A cos x + B sin x. Külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását Cx cos x+dx sin x alakban keressük. Ezt behelyettesítve az egyenlet C sin x Cx cos x + D cos x Dx sin x + Cx cos x + Dx sin x = sin x, azaz a feltétel D = 0, C = 1. Ebből C = 1, D = 0, így az inhomogén egyenlet általános megoldása y(x) = 1 x cos x + A cos x + B sin x.. Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket. a) y (4) 8y + 16y = x 9 b) y + y = sin x cos x, y(0) = 1, y (0) = 1 c) y y y + y = 1 ex + 1 e x Megoldás. a) A karakterisztikus polinom λ 4 8λ + 16λ = λ (λ 4), tehát a homogén egyenlet általános megoldása A+Bx+Ce 4x +Dxe 4x (belső rezonancia). Külső rezonancia is van, az inhomogén egyenlet megoldását (C 0 + C 1 x)x alakban keressük. Ezt behelyettesítve az egyenlet amiből 8 6C (C 0 + 6C 1 x) = x 9, C 0 48C 1 = 9 96C 1 =, tehát C 0 = 1, C 4 1 = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása 48 y(x) = 1 4 x x + A + Bx + Ce 4x + Dxe 4x. b) A karakterisztikus polinom λ +1, ennek gyökei ±i, tehát a homogén egyenlet általános megoldása A cos x + B sin x. Az inhomogén tag sin x cos x = sin x, tehát nincs külső 4
5 rezonancia, az inhomogén egyenlet megoldását C cos x + D sin x alakban keressük. Behelyettesítve 4C cos x 4D sin x + C cos x + D sin x = sin x, amiből C = 0, D = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása és annak deriváltja y(x) = 1 sin x + A cos x + B sin x y (x) = cos x A sin x + B cos x. A kezdeti feltétel alapján 1 = y(0) = A 1 = y (0) = + B, tehát A = 1, B = 5. A kezdetiérték-probléma megoldása y(x) = 1 sin x + cos x + 5 sin x. c) ỵ y y +y = 1 ex + 1 e x A karakterisztikus polinom λ λ λ+ = (λ+1)(λ 1)(λ ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása y(x) = Ae x + Be x + Ce x. Külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = Cxe x +De x alakban keressük. A behelyettesítés után kapott egyenlet 1Ce x + 8Cxe x 8De x (4Ce x + 4Cxe x + 4De x ) (Ce x + Cxe x De x ) + (Cxe x + De x ) = 1 ex + 1 e x, azaz 1D = 1, C = 1, amiből C = 1, D = 1. Az inhomogén egyenlet általános 6 4 megoldása y(x) = 1 6 xex 1 4 e x + Ae x + Be x + Ce x. További gyakorló feladatok 4. Oldjuk meg a következő lineáris, állandó együtthatós egyenleteket. a) y + y y = e x b) y + y + y = e x c) y + y + y = e x d) y + y + y = cosh x e) y + y + y = x cosh x f) y (4) + 5y 6y = 0 g) y (4) + 6y + 5y = 0 h) y + y 6y = x e x i) y + y 6y = xe x j) y + y 6y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0 k) y + y + y + y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0, y (0) = 0 l) y + y + y + y = xe x 5
6 Megoldás. a) A karakterisztikus polinom λ + λ = (λ 1)(λ + ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x + Be x. Külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását Cxe x alakban keressük. Behelyettesítve Ce x + Cxe x + (Ce x + Cxe x ) Cxe x = e x, azaz 4C = 1, C = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása 4 y(x) = 1 4 xex + Ae x + Be x. b) A karakterisztikus polinom λ + λ +, ennek gyökei 1 ± i, tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x cos x + Be x sin x. Nincs külső rezonancia, az inhomogén egyenlet megoldását Ce x alakban keressük. Behelyettesítve Ce x + Ce x + Ce x = e x, azaz C = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása 5 y(x) = 1 5 ex + Ae x cos x + Be x sin x. c) A karakterisztikus polinom λ + λ + 1 = (λ + 1), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x + Bxe x (belső rezonancia). Nincs külső rezonancia, az inhomogén egyenlet megoldását Ce x alakban keressük. Behelyettesítve Ce x + Ce x + Ce x = e x, amiből C = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása 4 y(x) = 1 4 ex + Ae x + Bxe x. d) A karakterisztikus polinom λ + λ + 1 = (λ + 1), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x +Bxe x (belső rezonancia). Az inhomogén tag 1 ex + 1 e x alakba írható, a második tag miatt külső rezonancia is van, így az inhomogén egyenlet megoldását Ce x + Dx e x alakban keressük. Behelyettesítve az egyenlet azaz Ce x + Dx e x 4Dxe x + De x + (Ce x + Dxe x Dx e x ) + Ce x + Dx e x = 1 ex + 1 e x, 4Ce x + De x = 1 ex + 1 e x alakú lesz, amiből C = 1, D = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása 8 4 y(x) = 1 8 ex x e x + Ae x + Bxe x. e) A karakterisztikus polinom λ + λ + 1 = (λ + 1), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x +Bxe x (belső rezonancia). Az inhomogén tag 1 xex + 1 xe x, a második tag miatt külső rezonancia is van, az inhomogén egyenlet megoldását (C 0 + C 1 x)e x + 6
7 (D 0 + D 1 x)x e x alakban keressük. Behelyettesítés és a zárójel felbontása után az egyenlet amiből a 4C 0 e x + 4C 1 e x + 4C 1 xe x + D 0 e x + 6D 1 xe x = 1 xex + 1 xe x, 4C 0 + 4C 1 = 0 4C 1 = 1 D 0 = 0 6D 1 = 1 egyenletrendszer adódik. Ennek megoldása C 0 = 1 8, C 1 = 1 8, D 0 = 0, D 1 = 1 1, tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása y(x) = 1 8 ex xex x e x + Ae x + Bxe x. f) Az egyenlet homogén, a karakterisztikus polinom λ 4 +5λ 6, ami λ -ben másodfokú. Akkor 0 az értéke, ha λ = 4 vagy λ = 9, tehát a gyökök ± és ±i. Az egyenlet általános megoldása y(x) = Ae x + Be x + C cos x + D sin x. g) Az egyenlet homogén, a karakterisztikus polinom λ 4 + 6λ + 5, ami akkor 0, ha λ = ± 4i, azaz λ = ±(1 + i) és λ = ±(1 i). Az egyenlet általános megoldása y(x) = Ae x cos x + Be x sin x + Ce x cos x + De x sin x. h) A karakterisztikus polinom λ +λ 6 = (λ )(λ+), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x +Be x. Külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását (C 0 + C 1 x + C x )xe x alakban keressük. Behelyettesítés és a zárójelek felbontása után az egyenlet azaz 5C 0 e x + C 1 e x 10C 1 xe x + 6C xe x 15C x e x = x e x, 5C 0 + C 1 = 0 10C 1 + 6C = 0 15C = 1. Ebből C 0 =, C 15 1 = 1, C 5 = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása 15 y(x) = ( x 1 15 x )xe x + Ae x + Be x. i) A karakterisztikus polinom λ + λ 6 = (λ )(λ + ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x + Be x. Külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását (C 0 +C 1 x)xe x alakban keressük. Behelyettesítés és a zárójelek felbontása után az egyenlet 5C 0 e x + C 1 e x + 10C 1 xe x = xe x, 7
8 azaz 5C 0 + C 1 = 0 10C 1 = 1. Ebből C 0 = 1, C 5 1 = 1, így az inhomogén egyenlet általános megoldása 10 y(x) = 1 5 xex x e x + Ae x + Be x. j) A karakterisztikus polinom λ + λ 6 = (λ )(λ + ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása és annak deriváltja y(x) = Ae x + Be x y (x) = Ae x Be x. A kezdeti feltétel alapján 1 = y(0) = A + B 0 = y (0) = A B, amiből A =, B =. Tehát a kezdetiérték-probléma megoldása 5 5 y(x) = 5 ex + 5 e x. k) A karakterisztikus polinom λ + λ + λ + 1 = (λ + 1), tehát 1 háromszoros gyök (belső rezonancia). Az egyenlet általános megoldása és annak deriváltjai y(x) = Ae x + Bxe x + Cx e x y (x) = Ae x + Be x Bxe x + Cxe x + Cx e x y (x) = Ae x Be x + Bxe x + Ce x 4Cxe x + Cx e x. A kezdeti feltétel alapján 1 = y(0) = A 0 = y (0) = A + B 0 = y (0) = A B + C, tehát A = 1, B = 1, C = 1. A kezdetiérték-probléma megoldása y(x) = e x + xe x + 1 x e x. l) y + y + y + y = xe x A karakterisztikus polinom λ + λ + λ + 1 = (λ + 1), tehát 1 háromszoros gyök (belső rezonancia). Az egyenlet általános megoldása Ae x +Bxe x +Cx e x. Külső rezonancia is van, így az inhomogén egyenlet megoldását (C 0 + C 1 x)x e x alakban keressük. Behelyettesítés után az egyenlet 6C 0 e x + 4C 1 xe x = xe x, amiből C 0 = 0, C 1 = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása 4 y(x) = 1 4 x4 e x + Ae x + Bxe x + Cx e x. 8
λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenDefiníció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény.
8. Differenciálegyenletek 8.1. Alapfogalmak Korábbi tanulmányaink során sokszor találkoztunk egyenletekkel. A feladatunk általában az volt, hogy határozzuk meg az egyenlet megoldását (megoldásait). Az
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy gyakorlatához
Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenDifferenciálegyenletek Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (2) Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műszaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján összeállította: Fritz
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenDifferenciálegyenletek gyakorlat december 5.
Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos
Részletesebben2.1. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek. A megfelelő másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet általános alakja
2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek 19 2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek Legyen I R egy nyílt intervallum, p, q, f : I R. Az explicit másodrendű inhomogén lineáris skaláris differenciálegyenlet
RészletesebbenMatematika A3 1. ZH+megoldás
Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő
RészletesebbenDifferenciaegyenletek a differenciálegyenletek
Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek tükrében Guzsvány Szandra Újvidéki Egyetem, Természettudományi Kar, Újvidék E-mail: g.sandra@citromail.hu 1. Bevezetés 1.1. Történeti áttekintés Dolgozatom
Részletesebben6. Differenciálegyenletek
312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval. Vajda István március 21.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 21. A módszer alkalmazásának feltételei: Állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek megoldására használhatjuk. A módszer alkalmazásának feltételei:
Részletesebben7. feladatsor: Laplace-transzformáció (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyésmérnöki, Biomérnöki, Környeetmérnöki sakok, 017/18 ős 7. feladatsor: Laplace-transformáció (megoldás) 1. A definíció alapján sámoljuk ki a követkeő függvények Laplace-transformáltját.
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05
Részletesebben2.1. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek. A megfelelő másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet általános alakja
2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek 27 2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek Legyen I R egy nyílt intervallum, p, q, f : I R. Az explicit másodrendű inhomogén lineáris skaláris differenciálegyenlet
Részletesebben1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x
1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
Részletesebben= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenMatematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenMegoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
Részletesebben7. gyakorlat megoldásai
7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek Példák differenciálegyenletekre Newton második törvénye Egy tömegpont gyorsulása egyenesen arányos a rá ható erővel és fordítottan arányos
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 3y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenMatematika mérnököknek 2. Ismétlés Numerikus dierenciálás Diegyenletek Fourier Matlab Projekt Desc Linkek
Matematika mérnököknek 2 Ismétlés Numerikus dierenciálás Diegyenletek Fourier Matlab Projekt Desc Linkek 1 Ismétlés Di-számítás Határozatlan integrál Matematika mérnököknek 2 2 Di-számítás Desc Summa Fa
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. 1.-2. Gyakorlat 1 / 42 Numerikus differenciálás
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenReakciókinetika és katalízis
Reakciókinetika és katalízis 5. előadás: /22 : Elemi reakciók kapcsolódása. : Egy reaktánsból két külön folyamatban más végtermékek keletkeznek. Legyenek A k b A kc B C Írjuk fel az A fogyására vonatkozó
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenKözönséges differenciálegyenletek
Szegedi Tudományegyetem Fizikus Tanszékcsoport Elméleti Fizikai Tanszék Közönséges differenciálegyenletek Segédlet Készítette: Szaszkó-Bogár Viktor PhD hallgató Szeged 2013 Tartalomjegyzék Előszó.......................................
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenLÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI. Példák és megoldások
LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI Példák és megoldások Lektorálta Ócsai Katalin c Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008-11-08. javított kiadás Tartalomjegyzék 1. El szó..................................
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 10 X PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Elsőrendű kvázilineáris parciális DIFFERENCIÁLEGYENLETEk Elméleti alapok Elsőrendű kvázilineáris parciális differenciálegyenlet általános
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
RészletesebbenÁllandó együtthatós lineáris rekurziók
1. fejezet Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1.1. A megoldás menete. Mese. Idézzük fel a Fibonacci-számokat! Az F n sorozatot a következő módon definiáltuk: legyen F 0 = 0, F 1 = 1, és F n+2 = F n+1
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 1 / 18 Fokozatos
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
Részletesebben9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) 1 Számoljuk ki a következő függvények parciális deriváltjait
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenHiányos másodfokú egyenletek. x 8x 0 4. A másodfokú egyenlet megoldóképlete
Hiányos másodfokú egyenletek Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 1. = 0 /:. = 8 /:. 8 0 4. 4 4 0 A másodfokú egyenlet megoldóképlete A másodfokú egyenletek általános alakja: a
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenMatematika M1 Gyakorlat
Matematika M Gyakorlat BME - Gépésmérnök MSc Gyakorló Feladatsor. Zh. Határoa meg a α paraméter értékét úgy hogy a vx y = αx y xy 4y 3 3 kétváltoós függvény egy reguláris komplex függvény képetes rése
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
RészletesebbenJPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.
Részletesebben3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.
Részletesebben2.7. Fourier-sor Gyakorló feladatok... 84
Tartalomjegyzék. Közönséges differenciálegyenletek 3.. Bevezető.................................... 3.. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek.............. 4... Gyakorló feladatok..........................
Részletesebben