5. fejezet. Differenciálegyenletek

Átírás

1 5. fejezet Differenciálegyenletek

2 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y = y. c) y = xy. 5.. Határozzuk meg a sin(x) cos 3 (x) + (cos(x) + ) sin(y)y = 0 ( differenciálegyenletnek a P π, π ) ponton átmenő partikuláris megoldását. 4 Oldjuk meg az alábbi szétválasztható változójú differenciálegyenleteket y = (y + xy)y xy + y = y (xy + x y ) = (x x)y xy + x y = (x + xy ) y 3 = y = + x y. y = ( x ) y sin(y) = e x y. 5.. ( + x ) y = y. 5.. x( + y ) + ( + x ) y = xy y ( y ) = y(4 + 9x ) =. y 5.5. sin(x)y = sin(y).

3 5.6. (x + )y + y = ( + y)x + ( + x )y = y sin(x) sin(y) + 5 cos(x) cos 3 (y) = 0. Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenleteknek azt a partikuláris megoldását, mely az adott kezdeti feltételeket kielégíti yy + x = x + y ; 5.0. y sin(x) = y ln(y), y(0) =. 5.. yy = ex +e x, y() =. a) y() = b) y(0) = 5.. x x + y y y = 0, y(0) = y = y, y(0) = y ln(y) + xy = 0, y() = Határozzuk annak a görbeseregnek az egyenletét, melyben mindegyik görbéjére fennáll a következő tulajdonság: bármely (x, y) koordinátájú P pontjához tartozó normálisának az x tengelyig terjedő darabja ugyanakkora, mint a P pontnak az origótól mért távolsága Mi az egyenlete annak a görbének, melyben a görbe alatti terület az a és x abszcisszájú pontok között arányos a pontok közötti görbék hosszával? 5.7. Határozzuk meg azokat a görbéket, amelyeknél a szubtangens hosszúsága egy rögzített a állandóval egyenlő Határozzuk meg azokat a görbéket, amelyeknél a szubnormális állandó. 3

4 5... Lineáris differenciálegyenletek 5.9. Oldjuk meg az inhomogén lineáris differenciálegyenlet Határozzuk meg az y = xy + xe x y = sin(x) y + cos(x) sin(x) ( π ) differenciálegyenlet általános megoldását. Adjuk meg a P, π ponton áthaladó partikuláris megoldást Írjuk fel az x y = y + differenciálegyenletnek a P (0, 7) ponton átmenő megoldását. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket: 5.3. y = xy + x y cos(x) + y sin(x) = y x y = x e x (x )y = xy + x y + y tg (x) = sin(x) y y + th x = 6e x y cos(x) 3y sin(x) = ctg (x) xy + y = x y + y = sin(x) y x ln(x) y = x ( ln(x) ) y sin(x) y cos(x) = e x sin (x) xy + y = x ln x. 4

5 Számítsuk ki az alábbi differenciálegyenleteknek az adott kezdeti feltételeket kielégítő megoldását: xy + y = 3x, y() = ( x )y + xy =, y(0) = y + xy = 3xe x, ( ln ) y = ( + ln ) y + y cos(x) = sin(x), y(0) = y + x y = x, y() = xy + y + xe x = 0, y() = 0. 5

6 5.. Differenciálegyenletek. Megoldások 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. a) A differenciálegyenlet általános megoldása az y = x + C görbesereg. A megoldásfüggvények grafikonja (az ún. integrálgörbék) olyan parabolák, melyek tengelye az y tengellyel esik egybe. 5.. ábra. 5.. feladat a) és b) rész c) Az általános megoldás: y = Ce x. Néhány integrál görbe grafikonja: 5.. A változókat szétválasztva: sin(y) cos 3 (y) dy = sin(x) cos(x) + dx + c Az egyenlőség jobboldalán álló integrálban a számláló a nevező deriváltja, ezért: sin(x) dx + ln C = ln C(cos(x) + ). cos(x) + 6

7 5.. ábra. 5. feladat A baloldalon u = cos(y) helyettesítéssel számolunk. Ekkor du = sin(y)dy, s így: sin(y) cos 3 (y) dy = u 3 du = u = cos (y). Innen a számolás lépései: cos (y) cos (y) = + cos(y) = cos(y) = = ln C(cos(x) + ) ln C(cos(x) + ) ln C(cos(x) + ) ln C(cos(x) + ) ln C(cos(x) + ) y = arccos ( ln C(cos(x) + ) ln C(cos(x) + ) Ez a differenciálegyenlet általános megoldása. Válasszuk ki ezek közül a keresett partikuláris megoldást! ( Mivel P π, π ) ponton áthaladó megoldást keresük, y(π) = π kell legyen. 4 4 π = arccos ln C ln C. 7 )

8 Azaz: π = arccos ( ln C ln C Az egyenlőség mindkét oldalának cosinusát véve: ). innen: cos π = ln C ln C = 0, azaz C = e és így ln C = 0 = ln C e = C y = ( ) arccos ln(cos(x) + ) ln(cos(x) + ) 5.3. y = C(x + ), y = ± y =, y = 0, y =. Cx 5.5. C(y + ) = x(x ), y = y = Ce x, y = y + y 3 = 9 ln Cx y = sin(sh x + C), y = ± y = sin(th x + C), y = ±, x = ± x = ln ( ln C tg y ), y = kπ, k = 0, ±, ±, y = sin(arctan x + C), y = ±. ( ) C 5.. y = tg ln. + x 5.3. y = Cx C x y = arctan 3x + C. 8

9 ( 5.5. y = arctan C + tg x ),, k = 0, ±, ±, y = 5.7. y = 5.8. cos y ln C x +, y = 0 C ( + x ) a.) y = x 5.0. y = e tg x. = 0 ln sin(x) + C. b.) (x 3 y 3 ) + 3 (x y ) + 5 = y = ln (e x + ) ln(e + ). 5.. ( x ) 3/ + ( y ) 3/ = 5.3. y = e x 5.4. y = 5.5. A feladatnak megfelelő ábrából leolvasható, de az adott feltételekből is következik, hogy: OP = P N és P N P T. Tehát 5.3. ábra. 5.5 feladat 9

10 Másrészt: dy dx = tg ϕ = cot ϑ. cot ϑ = x y. Ezek felhasználásával a görbesereg differenciálegyenlete: A változókat szétválasztva: dy dx = x y. y x = C. Az integrálgörbék olyan hiperbolák, melyeknek valós tengelye az y tengely Legyen P Q a görbe íve az a és x abszcisszák között. A görbe alatti terület 5.4. ábra. 5.6 feladat az ívhossz pedig x a x a y(t)dt, + [y (t)] dt. Ha a görbe alatti terület arámyos az ívhosszal, akkor fennáll: x x y(t)dt = k + [y (t)] dt. a a 0

11 Az egyenlőség mindkét oldalát x szerint differenciálva, az y(x) = k + [y (t)] ill. y = ± y k k differenciálegyenlethez jutunk. A változókat szétválasztva és integrálva: dy = ± y k k dx Megoldva y-ra: cosh y k = ±x + C k y = k cosh x + C. k Ez a differenciálegyenlet általános megoldása, ezenkívül partikuláris megoldás az y k = 0 egyenletből adódó y = ±k is y = Ce x a 5.8. y = p(x + C) 5... Lineáris differenciálegyenletek 5.9. Az y = xy + xe x differenciálegyenlethez tartozó homogén differenciálegyenlet: Y = xy. Ezt a változók szétválasztásával oldjuk meg: dy = xdx Y ln Y = x + ln C azaz ln Y C = x. A homogén differenciálegyenlet általános megoldása: Y = Ce x. Az inhomogén differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását az állandók variálása módszerével állítjuk elő: y 0 = C(x) e x y 0 = [C (x) x C(x)] e x

12 Behelyettesítük az inhomogén differenciálegyenletbe: Innen: [C (x) x C(x)] e x = [ x C(x)] e x + xe x C (x)e x = x e x, ezután szorzunk az e x kifejezéssel: C (x) = x. Az egyenlőség mindkét oldalát integrálva C = x, így: y 0 (x) = x e x. A keresett általános megoldás a homogén egyenlet általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának az összege: y(x) = ( x + C ) e x y = sin(x) y + cos(x). sin(x) A homogén egyenlet megoldása: Y = sin(x) Y dy Y dy Y = = ln Y = ln sin(x) dx sin x cos x cos x ( C tg x ). dx = A homogén egyenlet általános megoldása tehát cos x tg x dx Y (x) = C tg x Az inhomogén egyenlet megoldása állandók variálásával: y 0 (x) = C(x) tg x y 0(x) = C (x) tg x + C(x) cos x Behelyettesítve a differenciálegyenletbe: C tg x + C cos x. = sin(x) C tg x + cos(x) sin(x)

13 Mivel tehát C (x) tg x = cos(x) sin(x) = sin x sin x cos x = tg x C (x) =, azaz C(x) = x. y 0 (x) = x tg x. A differenciálegyenlet általános megoldása: y(x) = (C + x)tg x. ( π ) P, π ponton áthaladó megoldást úgy kaphatunk, ha az általános megoldásban a C állandót megfelelő módon határozzuk meg: ( π ) ( y = π = C + π ) tg π 4 = C + π. Innen: C = π. Tehát a partikuláris megoldás: y(x) = ( π + x ) tg x Feladatunk az x y = y + differenciálegyenletnek az y(0) = 7 kezdeti feltételt kielégítő megoldásának meghatározása. A feladatot az y = a(x)y + b(x) egyenlet megoldására levezetett y(x) = e a(x)dx [c + b(x)e a(x)dxdx ] képlettel oldjuk meg. Előbb azonban az egyenletet y együtthatójával el kell osztani: y = xy + x. Innen y(x) = e xdx [c + = e x [c + xe xdx dx] = xe x dx] = 3

14 Tehát e x [c + e x ] y(x) = ce x + A P (0, 7) ponton átmenő megoldást a 7 = ce 0 + egyenletből kapjuk, c = 6, így 5.3. y(x) = Ce x (x + ) y(x) = sin(x) + C cos(x) y(x) = x (e x + C). y 0 (x) = 6e x y(x) = x [ C + ln ( x + x )] x y(x) = C cos(x) cos (x) y(x) ch x = 3e x + e 3x + C y(x) = C + ln sin(x) cos 3 x y(x) = x4 6 + C x. + cos(x) y(x) = Ce x + 5 sin(x) 5 cos(x) y(x) = C ln x + x y(x) = (C + e x ) sin(x) y(x) = C x + x ln x 4 x y(x) = x y(x) = x + x y(x) = (x + ) e x y(x) = e sin(x) + sin(x) y(x) = y(x) = e x ( x ). 4