ANALÍZIS II. Példatár
|
|
|
- Rezső Halász
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8.
2
3 . fejezet Feladatok 3
4 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx y (5x y y 3 ) dy dx (x + y ) dx dy Adja meg egyenl tlenségekkel a következ ábrákon látható integrációs tartományokat!.5. D 5 =?.6. D 6 =?.7. D 7 =?.8. D 8 =?
5 5.9. D 9 =?.. D =?.. Határozzuk meg az f(x, y) = xy függvény integrálját az ábrán látható háromszögtartományra.. Számítsuk ki az f(x, y) = x + y függvény integrálját az ábrán látható trapéz alakú tartományon! Számítsa ki az alábbi függvények kett s integrálját az ábrán megadott tartományokon!
6 6.3. f(x, y) = e x+y..4. f(x, y) = 3x + 5y..5. f(x, y) = x y..6. f(x, y) = (x + y) 3.7. f(x, y) = x + y..8. f(x, y) = 3 x + 5 y
7 7.9. f(x, y) = x 3 y... f(x, y) = xy... Határozza meg két egymásra mer leges sugarú henger közös részének térfogatát! (A hengerek tengelyei egy síkban vannak! A kérdéses térfogat felét kapjuk ha az x + z = függvényt az x + y = kör-tartományon integráljuk.).. Számítsa ki az x 4 + y = hengerfelület, a z = x + y + 6 sík, és az xy sík által 9 határolt csonkahenger térfogatát!.3. Határozza meg a z = x y felület, az x = és a z = síkok által meghatározott test térfogatát!.4. Határozzuk meg az sugarú gömb térfogatát! A számolást polár-koordinátarendszerben végezzük! Írja le polár-koordinátarendszerben egyenl tlenségekkel az alábbi tartományok határait!.5. D 5 =?.6. D 6 =?
8 8.7. D 7 =?.8. D 8 =?.9. Számítsuk ki a következ integrált az els síknegyedben lév egységsugarú negyedkör tartományra: x + y + dt T.3. Tekintsük az alábbi feltéletek által határolt testnek azt a darabját, amely az x és z térrészbe esik: z = x y hiperbolikus paraboloid, az xy tengelysík és az x + y = hengerpalást Mennyi ennek térfogata?.3. Határozza meg az ( x y ) dt integrál értékét az x + y = 9 körtartományon!.3. Számítsa ki az alábbi ábrán látható körgy r -tartományon az (x + y )dt integrál értékét! T T.33. Határozza meg annak test térfogatát, melynek határolói:
9 9 4 + y = henger, a 3x + 4y + z = sík és az xy tengelysík..34. Számítsa ki x y dt az x T értékét az ábrán látható tartományon!.35. Számítsa ki a z = 4x y felület és az xy sík által meghatározott test térfogatát..36. Határozza meg a z = x + y felület, a z = sík és az (x ) + y = 4 körhenger által határolt test térfogatát..37. Mekkora a z = x + y kúp, a z = sík és az (x ) + y = 4 határolt test térfogata? henger által.38. Határozzuk meg a x = y + 4z elliptikus paraboloid és az x = sík által határolt test térfogatát!.. Hármas integrálok Számítsa ki az alábbi hármas integrálokat, integráljon más sorrendben is: (x 4y + 6z 3) dz dy dx 3 3 x x y (x + y + z) dx dy dz dz dy dx ( + x + y + z) 3
10 .4. Határozza meg aa alábbi hármas integrál értékét (x y + 4z) d, térrészt az x + y + z =, x =, y = és z = felületek határolják!.43. Számítsa ki az x + z =, x =, y =, y = és z = felületek által határolt térrészre a (x + y + z ) d integrál értékét!.44. Mekkora (e x+y+z ) d értéke, ha -t az x =, y =, y = x, z = és z = x + y egyenlet felületek határolják?.45. Mennyi a (x + z ) d integrál értéke ahol az x + y = 4 hengernek a z = és z = 8 síkok közé es része!.46. Mennyi a (x + y ) d integrál értéke, ha az ábrán látható z tengely, alapsugarú egyenes körkúp?
11 .47. Számítsa ki a zyx d integrált az x + y + z = gömb x nyolcadára! Írja fel az alábbi hármas integrálokat az összes lehetséges sorrendben (még 5-féle képpen):.48. y f (x, y, z) dz dy dx.49. x x x f (x, y, z) dy dz dx.5. Számítsa ki az alábbi hármas integrált: x + z d(x, y, z), ahol E az y = x + z paraboloid y = 4 -ig terjed része..3. Térfogat, tömeg, súlypont.5. Számítsa ki az gömb és az E x + y + z 4a = (x a) + y a = henger közös részének térfogatát (Viviani- féle test)!.5. Határozza meg a z = x y felület x, z része, a z = és az x = síkok által határolt homogén test súlypontjának helyzetét!.53. Számítsa ki a z = y x, x = és z = egyenlet felületek által határolt homogén test súlypontjának koordinátáit!.54. Számítsa ki a következ síkok által közrezárt test térfogatát: x + y + z = x = y, x =, z =
12 .55. Határozza meg az x + y = henger, a 3x + 4y + z = sík és a z = sík által határolt test térfogatát..56. Határozza meg a z = x + y paraboloid és az x + y = 9 henger azon részének térfogatát, mely a z féltérbe esik..57. Határozza meg a z = x + y kúp 4 x + y 5 körgy r fölötti részének térfogatát..58. Határozza meg a z = 3x 3y paraboloid és a z = 4 sík közti térfogatot.
13 .4. Vonalintegrál.4.. Valós függvény vonalintegrálja.6. Legyen a Γ görbe az x + y = körvonal x tengely fölötti része. Határozza meg az ( + x y) ds vonalintegrál értékét. Γ 3.6. Tekintsünk egy fékör alakú drótot, melyet az x + y =, y feltételek határoznak meg. Tegyük fel, hogy a drót s r sége y-ban lineárisan változik - a csúcsban a legnagyobb. Mekkora a drót tömege?.4.. Vektormez vonalintegrálja.63. Határozza meg az vektormez vonalintegrálját a ( ) x + y F (x, y) = y x 3y x = egyenes x közötti darabja mentén. Az irányítás -ból -be vezet..64. Határozza meg az F (x, y) = ( x y xy vektormez vonalintegrálját az alábbi görbe mentén: ( ) t γ(t) =, t. 3t Határozza meg az alábbi vektormez F (x, y, z) = vonalintegrálját a Γ görbe mentén, ahol xy yz zx Γ = {γ(t) : t }, γ(t) = (t, t, t 3 ). )
14 4.66. Integrálja az ( ) x F (x, y) = y vektormez t azon Γ görbe mentén, melynek koordinátafüggvényei.67. Határozza meg az alábbi vektormez x(t) = a cos t, y(t) = b sin(t), t π/. F (x, y, z) = vonalintegrálját a Γ görbe mentén, ahol.68. Számítsa ki az x y z Γ = {γ(t) : t }, γ(t) = (t, t, t ). F (x, y, z) = vektormez vonalintegrálját Γ mentén. a) yz xz xy ( ) t Γ = {γ(t) = 3t 5 : t 3}. b) Γ a P (,, ) és P (5, 5, 9) pontok közötti, koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenes szakaszokból álló út. Az irányítás P -b l P -be vezet. Potenciálos-e a vektromez?.69. Számítsa ki az F (x, y, z) = 3x y z x 3 yz x 3 y vektormez vonalintegrálját a P (,, 3) pontot az origóval összeköt egyenes szakasz mentén. Az irányítás -ból P -be vezet.
15 3. fejezet Megoldások 5
16 6.. Kett s integrálok.. I = ln(/9) = I = I = (5π)/4 = I = /3..5. x, x y x..6. x, x y x..7. x, x y 4 x..8. x, x y x..9.. megoldás: A tartomány két részre bontható: D 9 = D 9 D 9, ahol és D 9 : x y 4 x, D 9 :, x, y x.. megoldás: y, y 4 x y... A tartomány két részre bontandó: D = D D, ahol és D : x, D : x,.. Az integrálási tartomány határai: és így I = 37, 875. x 4, x 4 8 y x x 4 8 y. 3 (x + ) y (4x ), 3.. Az integrálási tartomány Az integrál értéke I = y, y x 6 y.
17 7.3. I = e 6 e 5 e 3 + e = I = I = 4/5..6. I = / I = + π/8..8. I = I = I = 65 ln. 8.. I = Útmutató: A térfogatot megkaphatjuk, ha az f(x, y) = x + y + 6 függvényt integráljuk az x 4 + y = ellipszis tartományon. I = 36π Útmutató: A z = sík - vagyis az xy sík - ezt a felületet az x y = egyenes-párban metszi. Mivel x y = (x y)(x + y) =, kapjuk az y = ±x egyeneseket. Az integrációs tartomány tehát az ábrán látható. I = Polár koordinátákat használunk. Ekkor x = r cos θ, y = r sin θ és d(x, y) = r d(r, θ). Ha az f(x, y) = x y = r függvényt a r és θ π határok között integráljuk, a gömb térfogatának felét kapjuk..5. r 3, π 4 θ 3π 4.
18 8.6. π 4 θ π 4, r cos θ..7. π θ π, r cos θ..8. θ π, r sin θ..9. I = π ( ) =, A kiszámítandó térfogat negyedrészét kapjuk ha polárkoordinátákra áttérve a határok között integrálunk. I = /4..3. I = 3, 5π = 98, 96. r, π 4 θ π 4.3. I = 45 4 π = 35, Útmutató: Integráljuk az f(x, y) = 3x 4y függvényt az x 4 + y = tartományon! Helyettesítünk x = r cos θ, y = r sin θ. Ekkor d(x, y) = r d(r, θ). Az integrálási határok I = 4π. r és θ π..34. I = 4 6 =, I = π 4 =, Polár koordinátákban az integrálási határok: Az integrál értéke I = 4π. r 4 cos θ, π θ π..37. I = π 8 9 =, I = π.
19 .. Hármas integrálok I = (ln 5 8 ) = I = I = I = 8 (e4 6e + 8e 3)..45. Az integrált henger-koordinátákban számoljuk ki. A helyettesítés: x = r cos θ, y = r sin θ, z = z, és Az integrálás határai: dx dy dz = r dr dθ dz. Az integrál értéke:.46. A kúp egyenlete: z M = Henger koordinátákkal kifejezve: ( Az integrálás határai: r, θ π, z 8. z = M z M I = 44 3 π = x + y. ) x ( + y = M r ). ( r ) ; r ; θ π. Az integrál értéke: I = M4 π
20 .48. Az integrált gömb koordináták bevezetésével lehet egyszer en kiszámítani. A helyettesítés: x = r cos θ sin ϑ, y = r sin θ sin ϑ, z = r cos ϑ, valamint Az integrálás határai: Az integrál értéke: dx dy dz = r sin ϑdr dϑ dθ. r, θ π, ϑ π. I = Útmutató: Határozzuk meg az integrálási tartományt és írjuk fel különböz normáltartományként..5. Útmutató: Határozzuk meg az integrálási tartományt és írjuk fel különböz normáltartományként..5..megoldás: (z szerinti normáltartományként) Az (x, y) síkbeli vetületet jelölje S. Ez megegyezik azzal a metszettel, ahol z. Tehát S = { (x, y) : x, x y 4 } így normáltartomány: = {(x, y, z) : (x, y) S, y x z } y x ekkor az integrál x + z d(x, y, z) = S y x y x x + z dz d(x, y) Ennek kiszámítása igen hosszadalmas lenne..megoldás: (y szerinti normáltartományként) Az (x, z) síkbeli vetületet jelölje T: T = {(x, z) : x + z 4}. Ezért = { (x, y, z) : (x, y) T, x + z y 4 }.
21 Tehát az integrál: I = 4 x + z dy d(x, z) = ( 4 x z ) x + z d(x, z) T x +z T Ezt úgy számolhatjuk ki, ha az (x, z) síkban áttérünk polárkoordinátákra: I = π ( 4 r ) r dθdr = 8π 5 ahol a jobboldali r -et a Jacobi-determináns r-jével való szorzás miatt kapunk.3. Térfogat, tömeg, súlypont.5. Az integrálandó függvény a fels félgömbre szorítkozva. z = 4a x y Az integrációs tartomány az (x a) + y = a kör. Polárkoordináták bevezetése után az integrálás határai: Az itegrál értéke: r a cos θ és π θ π. V = 3a3 3 ( π ) Homogén test súlypontjának koordinátáit az alábbi összefüggések segítségével számíthatjuk: S x = x d, S y = y d, S z = z d, V V V ahol V a test térfogata. Az integrálás határait ld. a.3. feladatnál. A súlypont koordinátái: ( 4 S 5 ; ; 4 ) S ( ) 7 ; ; 4. 7
22 Legyen S 3 a megadott síkok által közrezárt térrész. Legyen ennek vetülete az (x, y) síkon. Az () és (4) síkok metszete az (x, y) síkban: x + y + z = z = x + y = Az () sík a z tengelyt a z = pontban metszi. Az x = y sík mer leges az (x, y) síkra, így : A fenti ábrán (S) felülnézete látható, ahol a fels függvény f(x) = x, az alsó g(x) = x. Tehát a keresett térfogat: ( x y) d(x, y) = x ( x y) dydx = 3 x.55. A következ integrált nézzük: 3x 4y dz d(x, y) = ( 3x 4y) d(x, y)
23 3 Írjuk át polárkoordinátákra: π ( 3r cos θ 4r sin θ) r dr dθ = 44π.56. Polárkoordinátákban számolunk: x +y dzd(x, y) = π 3 ( (r cos θ) + (r sin θ) ) r dr dθ = 8 π.57. A nagyobbik sugarú kör vetületéb l kivonjuk a kisebbiket, így kapjuk meg a körgy r t. Átírva polárkoordinátákba: π 5 (r cos θ) + (r sin θ) r dr dθ π (r cos θ) + (r sin θ) r dr dθ = = 78π.58. Átírjuk polár koordinátákba, és a 4 = 3x 3y kör intervallumán tekintjük: 6 = 3x 3y azaz x + y = 3x 3y dz d(x, y) = π ( 6 3 (r cos θ) 3 (r sin θ) ) r dr dθ = 6π 4
24 4.4. Vonalintegrál.4.. Valós függvény vonalintegrálja.6. I = (π 3 )..6. Adjuk meg a görbét paraméteresen: A s r ségfüggvény: ahol k az arányossági konstans. Így a tömeg: m = Γ x = cos t, y = sin t, t π. k( y) ds = ρ(x, y) = k( y), π = kπ + k cos t.4.. Vektormez vonalintegrálja k( sin t) sin t + cos tdt = π = k(π )..65. Behelyettesítve a paraméterezett görbe egyenletét a vektromez koordinátáiba: A görbe t szerint deriváltja: Így a vonalintegrál: F (r)dr =.66. a3 + b Γ. F (r) = tt t t 3 tt 3. γ(t) = (, t, 3t ). (t 3, t 5, t 4 ), (, t, 3t 4 ) dt = (t 3 + 5t 6 )dt = 7 8.
25 5.68. a) 5 b) 5 A vektromez potenciálos Megoldás. Az egyenes szakasz egy lehetséges paraméterezése, és annak deriváltja t γ(t) = t, t, γ(t) =. 3t 3 A vektorrmez a görbe mentén ezért A vonalintegrál értéke Γ F (γ(t)) = 36t 5 t 5 4t 5, F (γ(t)) γ(t) = 7t 5. F (r)dr =. Megoldás. Legyen U(x, y, z) = x 3 y z. Ekkor 7t 5 dt =. F (x, y, z) = grad U(x, y, z). Így. Γ F (r)dr = U(P ) U() =.
Analízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek
Széchenyi István Egyetem
polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen
Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor
. Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z
Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.
Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...
Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét
Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét Az F erő által végzett munka, ha a test adott pályán mozog az r 1 helyvektorú P 1 pontból az r helyvektorú P pontba, az alábbi vonalintegrállal számolható:
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 19 XIX A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI 1 TERÜLET ÉS ÍVHOSSZ SZÁmÍTÁSA Területszámítás Ha f az [a,b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény, akkor az görbe, az x tengely,
Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Többváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
Koordinátarendszerek
Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin
(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
Analízis II. gyakorlat
Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Ismétlés................................................... Integrálás...............................................
Kettős és többes integrálok
Kettős és többes integrálok ) f,) + + kettős integrálja az, tartománon Megoldás: + + dd 6 + 6 + 8 + 9 + ] + + ] d 8 + 8 + ) f,) sin + ) integrálja a, tartománon Megoldás: ] d + 9 + d + + 68 8 7,5 + sin
Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd
Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 2015 november 30. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 1 / 12 Az el adás vázlata Területszámítás
I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
T obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.
Többváltozós függvények integrálja. 3. rész. 2018. április 19. Kettős integrál Kettős integrál téglalap alakú tartományon. Ismétlés Ha = [a, b] [c, d] téglalap-tartomány, f : I integrálható függvény, akkor
5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
9. előadás. Térbeli koordinátageometria
9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy
(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások
Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,
A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy
8 Görbevonalú koordináták A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy tetsz½oleges pont helyvektora ebben a bázisban r =xi+yj+zk ahol x; y; z a pont ún. Descartes-féle
Analitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.
1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Szélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk
Dierenciálgeometria feladatsor
Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes
25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Matematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Matematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz
Matematka M. zárthely megoldások, 7 tavasz A csoport Pontozás: + 7 + 7 + 7) + 3 + 6 5 pont.. Lehet-e az ux, y) e 3x cos3y) kétváltozós valós függvény egy regulárs komplex függvény valós része? Ha gen,
Matematika 4 gy. Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes
Matematika 4 gy Földtudomány és Környezettan BSc II/ Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes.Gyakorlat: Integrálszámítás NT-ekben (R n -ben: Másodfajú vonalintegrál A, alapfogalmak: másodfajú vonalintegrál
Matematika A1. 8. feladatsor. Dierenciálás 2. Trigonometrikus függvények deriváltja. A láncszabály. 1. Határozzuk meg a dy/dx függvényt.
Matematika A 8. feladatsor Dierenciálás Trigonometrikus függvények deriváltja. Határozzuk meg a dy/d függvényt. a) y = 0 + 3 cos 0 3 sin b) y = sin 4 + 7 cos sin c) y = ctg +ctg sin )+ctg ) d) y = tg cos
(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)
![(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)](/thumbs/101/150731482.jpg "(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)")
2. házi feladat 1.feladat a b)c d)e f) = a b)[c d) e f)] = = a b)[ecdf) fcde)] = abe)cdf) abf)cde) 2.feladat a) Legyen a két adott pontunk helyzete A = 0, 0), B = 1, 0), továbbá legyen a távolságok aránya
5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
![5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11](/thumbs/93/113569557.jpg "5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11")
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
anal2_04_implicit_es_integral.nb 1
anal implicit_es_integral.nb H L H Implicit függvény tétel L H L
Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6
Építész Kar Gakorló feladatok gakorlat Számítsa ki az alábbi komple számok összegét, különbségét, szorzatát, hánadosát: a/ z = i z = i b/ z = i z = - 7i c/ z = i z = i d/ z = i z = i e/ z = i z = i Írja
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
Feladatok matematikából 3. rész
Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!
Matematika M1 Gyakorlat
Matematika M Gyakorlat BME - Gépésmérnök MSc Gyakorló Feladatsor. Zh. Határoa meg a α paraméter értékét úgy hogy a vx y = αx y xy 4y 3 3 kétváltoós függvény egy reguláris komplex függvény képetes rése
Bevezetés a görbe vonalú geometriába
Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
t, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész
A kúpra írt csavarvonalról I. rész Sokféle kúpra írt csavarvonal létezik. Ezek közül először a legegyszerűbbel foglalko - zunk. Ezt azért tesszük mert meglepő az a tény hogy eddig még szinte sehol nem
A2 jegyzet építőmérnök mérnök hallgatóknak Többváltozós deriválás
A jegyzet építőmérnök mérnök hallgatóknak Többváltozós deriválás Simon Károly 7.4.4 BA.. Többváltozós valósértékű függvények integrálása... Normáltartományok Normáltartományok síkban A normáltartományok
Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
Határozott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
4. Felületek Forgásfelületek. Felületek 1. Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel
Felületek 1 4. Felületek Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel adjuk meg. Ekkor egy F felületet az (u, v) r(u, v), (u, v) T kétváltozós vektor-vektor
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra
Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) Egy korábbi dolgozatunkban címe: Két egyenes körhenger a merőlegesen metsződő tengelyű körhengerek áthatási feladatával foglalkoztunk. Most
1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.
VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2
Matematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az
MATEMATIKA HETI 5 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)
Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
1. Vektorterek és lineáris leképezések
1. Vektorterek és lineáris leképezések 1.1. Feladat. Legyenek A, B : R 2 R 2 az A(x, y) = (2x y, y) B(x, y) = ( x, x + y) módon definiált leképezések. Ellenőrizzük, hogy lineárisak és írjuk fel a mátrixukat
Matematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
Bevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete
Az egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
Matematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
10. Differenciálszámítás
0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =
Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Statikailag határozatlan tartó vizsgálata
Statikailag határozatlan tartó vizsgálata Készítette: Hénap Gábor henapg@mm.bme.hu E E P MT A y F D E E d B MT p C x a b c Adatok: a = m, p = 1 N, b = 3 m, F = 5 N, c = 4 m, d = 5 mm. m A kés bbikekben
Határozatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
![Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.](/thumbs/102/154127337.jpg "Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.")
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Függvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
Számítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Parciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
Matematika 4 gy. Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes
Matematika 4 gy Földtudomány és Környezettan BSc II/ Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes.Gyakorlat: Integrálszámítás NT-ekben (R n -ben: Másodfajú vonalintegrál A, alapfogalmak: másodfajú vonalintegrál
Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
Tehetetlenségi nyomatékok
Tehetetlenségi nyomtékok 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd trtóegyenesét metsző tetszőleges egyenesre vontkozón, h rúd és z egyenes hjlásszöge α, rúd középpontjánk
b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció: