Matematika A1. 8. feladatsor. Dierenciálás 2. Trigonometrikus függvények deriváltja. A láncszabály. 1. Határozzuk meg a dy/dx függvényt.

Átírás

1 Matematika A 8. feladatsor Dierenciálás Trigonometrikus függvények deriváltja. Határozzuk meg a dy/d függvényt. a) y = cos 0 3 sin b) y = sin cos sin c) y = ctg +ctg sin )+ctg ) d) y = tg cos sin + sin e) y = cos sin ) f) y = sin cos cos sin A láncszabály. Határozzuk meg a megadott y = fu) és u = g) függvények alapján a dy/d = f g))g ) deriváltat. a) y = 6u 9, u = /) 4 3 b) y = sin u, u = cos3 + ) c) y = tg u, u = cos 0 5) 3. Deriváljuk a függvényeket.

2 ) 7 a) y = 7 7 b) y = 4 c) y = costg ) ) 4 ) ) ) sintg ) cos )cos tg )) d) y = sin 3 3 sin cos ) e) y = cos 4 ) 8 cos 3 ) sin t) f) y = sincos 5)) coscos 5))sin 5)) g) y = + ctg /)) sin )+ctg )3 h) y = sin ) cos) sin ) sin) + cos) cos ) i) y = 4 sin + cos j) y = + ) / k) y = + ) l) y = 5 +sin ) 3/ 9 ) 5+cos 5 +sin ) 5/ 4. Határozzuk meg a az y függvényt. ) 3 a) y = + ) ) b) y = 9 ctg 3 ) ctg 3 ) sin 3 )

3 5. Legyen y = 3/, határozzuk meg a dy/d értékét a láncszabály alapján, amennyiben y-t a) az y = u 3 és az u = ; illetve b) az y = u és az u = 3 függvények kompoziciójának tekintjük. dy/d = 3/) / Implicit függvény deriváltja 6. Határozzuk meg az implicit deriválás módszerével a dy/d deriváltat. a) y + y = 6 y y +y b) y = + y+) c) = tg y cos y d) y = + y+) e) y + y + cos = 3 3 +sin y + f) cos y + y = 0 y sin y 7. Az implicit deriválás módszerével határozzuk meg a dy/d, majd a d y/d deriváltat. a) + y = y = y, y = y y 3 b) y = + y = + y, y = y +) y 3 c) y = y y = y y+, y = y+) 3 8. Ellen rizzük, hogy a megadott pont illeszkedik a görbére, majd írjuk fel az adott pontbeli érint és normális egyenletét. a) + y y =,, 3) érint : y = 7 4, normális: y =

4 b) 6 + 3y + y + 7y 6 = 0,, 0) érint : y = , normális: y = c) y = sinπ y),, 0) érint : y = π π, normális: y = π + π Kapcsolt deriváltak 9. Térfogat. Ha egy henger alapja r sugarú kör, magassága pedig h, akkor térfogata V = πr h a) Milyen kapcsolat áll fenn a dv/ és a dh/ derivált között, ha r konstans? dv dh = πr b) Milyen kapcsolat áll fenn dv/ és / deriváltak között, ha h konstans? dv = πhr c) Milyen kapcsolat áll fenn dv/, a / és dh/ deriváltak között, ha sem r, sem h nem konstans? dv dh = πr + πhr 0. Távolság. Tegyük fel, hogy és y egyaránt a t változó dierenciálható függvénye. Az y sík, 0) és 0, y) pontjainak távolsága s = + y. a) Milyen kapcsolat áll fenn ds/ és a d/ deriváltak között, ha y konstans? ds = d +y b) Milyen kapcsolat áll fenn ds/, d/ és a dy/ derivált között, ha egyik mennyiség sem állandó? ds = d +y + y dy +y c) Milyen kapcsolat áll fenn d/ és dy/ deriváltak között, ha s konstans? d = y dy. Növekv homokdomb. Egy konténerb l percenként 0m 3 homokot szórnak ki egy kúp alakú homokdomb tetejére. A kúp magassága mindvégig az alapkör átmér jének az egyharmada. Mekkora a domb a) magasságának és b) alapköre sugarának változási sebessége cm/min egységben), amikor a homokdomb éppen 4m magas? Kúp térfogata: V = /3)πr h) a) dh =.9 cm min, b) = 4.9 cm min. Síkbeli mozgás. Az y-síkban mozgó test - és y-koordinátája egyaránt a t id dierenciálható függvénye; d/ = m/s, dy/ = 5m/s. Milyen sebességgel távolodik a részecske az origótól, amikor áthalad az 5, ) ponton? 5 m s 4

5 Linearizáció és dierenciáltak 3. Keressük meg az f) függvény L) linearizációját az = a helyen. a) f) = 3 + 3, a = L) = 0 3 b) f) =, a = L) = c) f) = tg, a = π/4 L) = + π 4. Mutassuk meg, hogy az f) = + ) k függvény linearizációja az = 0 helyen L) = + k f0) = ; továbbá f ) = k + ) k, így f 0) = k. Az = 0 helyen vett linearizáció ennélfogva L) = + k 5. Keressük meg az f) = + + sin függvény linearizációját az = 0 pontban. Hogyan viszonyul ez a lineáris közelítés a + és a sin függvény = 0 pontbeli linearizációihoz? 6. Írjuk fel a dy dierenciált. a) y = b) y 3/ + y = 0 y 3 y+ d ) d c) y = sin5 ) 5 cos5 )d d) + y + y = sin y +y cos y y d 5