1. Egy 30 cm sugarú körszelet körívének hossza 120 cm. Mekkora a körív középponti szöge?

Átírás

1 Matematika A 1. évfolyam II. negyedév témazáró A csoport 1. Egy 0 cm sugarú körszelet körívének hossza 10 cm. Mekkora a körív középponti szöge?. Egy szabályos négyoldalú gúla alakú piramis magassága 76 méter, az alapél hossza 10 méter. Mekkora szöget zár be az alaplap az oldallappal? Készíts ábrát is!. Egy alapjára állított kúpba a csúcsánál vizet öntünk. A kúp térfogatának hány %-át foglalja el a benne levő víz, ha a magasság feléig töltjük fel? (4 pont) 4. Egy gömb alakú lufi felszíne 5 cm. Mennyivel lesz több a felszíne, ha a sugarát megduplázva felfújjuk (az alakja most is gömb lesz)? 5. Egy kis kocka éle 6 cm. Mekkora az ábrán látható, kis kockákból összerakott test felszíne? 6. Mekkora az ábrán látható ház tetőterének térfogata? A veszteségek miatt 5%-ot rászámolva hány m cserepet kell vásárolni a tető befedéséhez? (8 pont) 7. Egy 10 cm élű fakockából olyan négyzet alapú egyenes csonkagúlát faragunk ki, amelynek alapéle megegyezik a kocka élével, fedőéle épp a kocka élének a fele, testmagassága pedig megegyezik a kocka élével. a) A kocka térfogatának hány %-át kell eltávolítani? b) Ennek a csonkagúlának a palástját lemezekből hegesztjük össze (hiányzik a fedőlap és az alaplap). Mennyi festék kell az alakzat lefestéséhez, ha azt kívül is, és belül is egy rétegben le szeretnénk festeni és 1 l festék 8 m -re elegendő? A lemez vastagságát tekintsük nullának! (14 pont)

2 Matematika A 1. évfolyam II. negyedév témazáró B csoport 1. Egy 5 cm sugarú körszelet körívének hossza 60 cm. Mekkora a körív középponti szöge?. Egy szabályos négyoldalú gúla alakú piramis magassága 49 méter, az alapél hossza 77 méter. Mekkora szöget zár be az alaplap az oldallappal? Készíts ábrát is!. Egy alapjára állított kúpba a csúcsánál vizet öntünk. A kúp térfogatának hány %-át foglalja el a benne levő víz, ha a magasság kétharmadáig töltjük fel? (4 pont) 4. Egy gömb alakú lufi felszíne cm. Mennyivel lesz több a felszíne, ha a sugarát megduplázva felfújjuk (az alakja most is gömb lesz)? 5. Egy kis kocka éle cm. Mekkora az ábrán látható, kis kockákból összerakott test felszíne? 6. Mekkora az ábrán látható ház tetőterének térfogata? A veszteségek miatt 5%-ot rászámolva hány m cserepet kell vásárolni a tető befedéséhez? (8 pont) 7. Egy 60 cm élű fakockából olyan négyzet alapú egyenes csonkagúlát faragunk ki, amelynek alapéle megegyezik a kocka élével, fedőéle épp a kocka élének a fele, testmagassága pedig megegyezik a kocka élével. a) A kocka térfogatának hány %-át kell eltávolítani? b) Ennek a csonkagúlának a palástját lemezekből hegesztjük össze (hiányzik a fedőlap és az alaplap). Mennyi festék kell az alakzat lefestéséhez, ha azt kívül is, és belül is egy rétegben le szeretnénk festeni és 1 l festék 8 m -re elegendő? A lemez vastagságát tekintsük nullának! (14 pont)

3 Matematika A 1. évfolyam II. negyedév témazáró MEGOLDÁSOK A csoport 1. Egy 0 cm sugarú körszelet körívének hossza 10 cm. Mekkora a körív középponti szöge? A körív hossza egyenesen arányos a középponti szöggel, ezért i 10 α = 60 = 60 9 a középponti szög. K 0 π. Egy szabályos négyoldalú gúla alakú piramis magassága 76 méter, az alapél hossza 10 méter. Mekkora szöget zár be az alaplap az oldallappal? Készíts ábrát is! Az ábra a szög helyes megjelölésével: 76 tg α = α 5 (51,7 ) 60. Egy alapjára állított kúpba a csúcsánál vizet öntünk. A kúp térfogatának hány %-át foglalja el a benne levő víz, ha a magasság feléig töltjük fel? A felső kis kúp hasonló az eredeti nagy kúphoz. A hasonlóság aránya. A hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbe, így a kis kúp térfogata a nagy kúp térfogatának nyolcada. 7 A megtöltött térfogat a kúp térfogatának 7 része, ami = 0, 875 miatt 87,5 %. 8 8 Összesen: 4 pont 4. Egy gömb alakú lufi felszíne 5 cm. Mennyivel lesz több a felszíne, ha a sugarát megduplázva felfújjuk (az alakja most is gömb lesz)? A két gömb hasonló egymáshoz, és hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának négyzete, így

4 Matematika A 1. évfolyam II. negyedév témazáró 4 a lufi felszíne négyszeresére növekszik. A különbség 5 = 156 cm. 5. Egy kis kocka éle 6 cm. Mekkora az ábrán látható, kis kockákból összerakott test felszíne? Egy oldallap területe 6 = 6 cm. A testet határoló négyzetek száma: 0, így a felszín 0 6 = 1080 cm. Megjegyzés: Ha a tanuló rosszul számolja össze a határoló négyzeteket, de a szorzást a rossz számolás eredményével helyesen végzi el, akkor jár neki. 6. Mekkora az ábrán látható ház tetőterének térfogata? A veszteségek miatt 5%-ot rászámolva hány m cserepet kell vásárolni a tető befedéséhez? A tető háromszög alapú hasáb, az alaplap (azaz a tető) magassága 5 = 4 m. 6 4 Az alaplap területe T = = 1 (m ), a hasáb térfogata V = T m = 1 16 = 19 (m ). A tető két téglalapból áll, a felszíne: A = 16 5 = 160 (m ). A veszteséget rászámolva 160 1,05 = 168 m cserép szükséges. Összesen: 8 pont 7. Egy 10 cm élű fakockából olyan négyzet alapú egyenes csonkagúlát faragunk ki, amelynek alapéle megegyezik a kocka élével, fedőéle épp a kocka élének a fele, testmagassága pedig megegyezik a kocka élével. a) A kocka térfogatának hány %-át kell eltávolítani? b) Ennek a csonkagúlának a palástját lemezekből hegesztjük össze (hiányzik a fedőlap és az alaplap). Mennyi festék kell az alakzat lefestéséhez, ha azt kívül is, és belül is egy rétegben le szeretnénk festeni és 1 l festék 8 m -re elegendő? A lemez vastagságát tekintsük nullának! A helyes ábra elkészítése (természetesen az is jó, ha konkrét távolságadatokat ír a tanuló az ábrára akár deciméterben, akár méterben):

5 Matematika A 1. évfolyam II. negyedév témazáró 5 a) A csonkagúla alapterülete T = a ( = cm ), a fedőlap területe t = a ( = 600 cm ). A csonkagúla térfogata M a a a 7 V = ( t + T + t T ) = = ( = a a cm ). 1 A hulladék 5 a V = a ( = cm ), ami a kocka térfogatának része; 0, 4 miatt kb. 4%. 1 1 Megjegyzés: Akkor is jár a maximális pontszám, ha a tanuló konkrét számértékekkel kapja meg a helyes eredményt: = 0, b) Az oldallapok trapézok, magasságuk Pitagorasz-tétellel meghatározható: a m = a + = a = a 1,7 (cm), a trapéz területe a + c T = = trapéz = m a a a 111,4 (cm ), a felszín ennek négyszerese: A 4 T 4459,6 cm 4,45 m. = trapéz 4,5 A szükséges festék mennyisége: = 1, 15 liter. (4,45-tel 1,115 l) 8 Összesen: 14 pont A dolgozatra kapható maximális pontszám: 8 pont Javasolt ponthatárok: 8: jeles 1 19: elégséges 6 : jó 0 1: elégtelen 0 5: közepes

6 Matematika A 1. évfolyam II. negyedév témazáró 6 B csoport 1. Egy 5 cm sugarú körszelet körívének hossza 60 cm. Mekkora a körív középponti szöge? A körív hossza egyenesen arányos a középponti szöggel, ezért i 60 α = 60 = 60 17, 5 a középponti szög. K 5 π. Egy szabályos négyoldalú gúla alakú piramis magassága 49 méter, az alapél hossza 77 méter. Mekkora szöget zár be az alaplap az oldallappal? Készíts ábrát is! Az ábra a szög helyes megjelölésével: 49 tg α = α 5 8,5. Egy alapjára állított kúpba a csúcsánál vizet öntünk. A kúp térfogatának hány %-át foglalja el a benne levő víz, ha a magasság kétharmadáig töltjük fel? A felső kis kúp hasonló az eredeti nagy kúphoz, A hasonlóság aránya. A hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbe, így a kis kúp térfogata a nagy kúp térfogatának 7-ed része. 6 A megtöltött térfogat a kúp térfogatának 6 része, ami = 0, 96 miatt 96,%. 7 7 Összesen: 4 pont

7 Matematika A 1. évfolyam II. negyedév témazáró 7 4. Egy gömb alakú lufi felszíne cm. Mennyivel lesz több a felszíne, ha a sugarát megduplázva felfújjuk (az alakja most is gömb lesz)? A két gömb hasonló egymáshoz, és hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának négyzete, így a lufi felszíne négyszeresére növekszik. A különbség = 66 cm. 5. Egy kis kocka éle cm. Mekkora az ábrán látható, kis kockákból összerakott test felszíne? Egy oldallap területe = 9 cm. A testet határoló négyzetek száma: 8, így a felszín 9 8 = 5 cm. Megjegyzés: Ha a tanuló rosszul számolja össze a határoló négyzeteket, de a szorzást a rossz résszámítás eredményével helyesen végzi el, akkor jár neki. 6. Mekkora az ábrán látható ház tetőterének térfogata? A veszteségek miatt 5%-ot rászámolva hány m cserepet kell vásárolni a tető befedéséhez? A tető háromszög alapú hasáb, az alaplap (azaz a tető) magassága 4,,5,5 m. 5,5 Az alaplap területe T = = 8, 75 (m ), a hasáb térfogata V = T m = 8,75 1 = 105 m. A tető két téglalapból áll, a felszíne: A = 1 4, = 10, (m ). A veszteséget rászámolva 10, 1,05 = 108,6 110 m cserép szükséges. Összesen: 8 pont

8 Matematika A 1. évfolyam II. negyedév témazáró 8 7. Egy 60 cm élű fakockából olyan négyzet alapú egyenes csonkagúlát faragunk ki, amelynek alapéle megegyezik a kocka élével, fedőéle épp a kocka élének a fele, testmagassága pedig megegyezik a kocka élével. a) A kocka térfogatának hány %-át kell eltávolítani? b) Ennek a csonkagúlának a palástját lemezekből hegesztjük össze úgy, hogy hiányzik a fedőlap és az alaplap. Mennyi festék kell az alakzat lefestéséhez, ha azt kívül is, és belül is egy rétegben le szeretnénk festeni és 1 l festék 8 m -re elegendő? A lemez vastagságát tekintsük nullának! A helyes ábra elkészítése (természetesen az is jó, ha konkrét távolságadatokat ír a tanuló az ábrára akár deciméterben, akár méterben): a) A csonkagúla alapterülete T = a ( = 600 cm ), a fedőlap területe t = a ( = 900 cm ). A csonkagúla térfogata M a a a 7 V = ( t + T + t T ) = = ( = a a cm ). 1 A hulladék 5 a V = a ( = cm ), ami a kocka térfogatának része; 0, 4 miatt kb. 4%. 1 1 Megjegyzés: Akkor is jár a maximális pontszám, ha a tanuló konkrét számértékekkel kapja meg a helyes eredményt: = 0, b) Az oldallapok trapézok, magasságuk Pitagorasz-tétellel meghatározható: a m = a + = a = a 61,8 (cm), a trapéz területe a + c T trapéz = m = a a = a 78,1 (cm ), a felszín ennek négyszerese:

9 Matematika A 1. évfolyam II. negyedév témazáró 9 A 4 T 111,4 cm 1,1 m. = trapéz 1,1 A szükséges festék mennyisége: = 0, 8 liter. 8 Összesen: 14 pont A dolgozatra kapható maximális pontszám: 8 pont Javasolt ponthatárok: 8: jeles 1 19: elégséges 6 : jó 0 1: elégtelen 0 5: közepes