TÉRGEOMETRIA. Ismétlés: Kerület, terület. A sokszögek kerülete: A sokszögek oldalainak összege

Átírás

1 TÉRGEOMETRIA Ismétlés: Kerület, terület A sokszögek kerülete: A sokszögek oldalainak összege Definíció: Minden síkidomhoz hozzárendelhetünk egy pozitív számot és ezt a számot nevezzük a síkidom területének a következők teljesülése mellett: (1) Az egységnégyzet területe 1. () Az egybevágó sokszögek területe egyenlő. () Ha egy sokszöget részsokszögekre vágunk szét, akkor a részek területének összege a sokszög területével egyenlő. Területképletek: Háromszög Téglalap (ezen belül a négyzet) Parallelogramma (ezen belül a rombusz) Trapéz T = a m a ab sin γ T = T = a b T = a m a T = ab sin α T = (a + c) m Deltoid (ezen belül a rombusz) Szabályos n oldalú sokszög Kör Körcikk T = ef T = n T ω = 60 n T = r π K = rπ T = r π ω 60 v 1

2 1. mintafeladat: Megrajzoltuk az ABCDE szabályos sokszöget, és berajzoltuk minden átlóját. Az átlók metszéspontjait az ábra szerint betűztük meg: P,Q,R,S,T. Tudjuk, hogy az ABCQ négyszög területe 10 cm. Mekkora az ABCDE ötszög területe? Válaszát egész értékekre kerekítve adja meg! ABCQ négyszög rombusz, mert szemközti szögei egyenlők. A szabályos ötszög egy szöge α, és oldala a α = = 108 a sin 108 = 10 a 11, T ötszög = 5 T T = 5 cos 54 = a R 5,616 R ar sin 54 R 5,616 cos 54 9,555 T ötszög 5 11, 9,555 sin 54 17,06 Az ötszög területe körülbelül 17,06 cm.. mintafeladat: Egy téglalap alakú telek melynek két szomszédos oldala 70 m, illetve 0 m hosszú egyik sarkánál úgy rögzítettek egy kerti locsoló berendezést, hogy a telek rövidebb oldalától 4 m-re, a vele szomszédos oldaltól m-re legyen. A locsoló berendezés körbe forgó locsolófeje azt a részt öntözi, amely a rögzítés helyétől legfeljebb 4 m-re van. A telek mekkora részét öntözi a locsoló berendezés? (1) A választ úgy kapjuk meg, ha a kör területéből kivonjuk a körszelet területét. T locsolt = T kör T szelet () A körszelet területét, pedig úgy, ha a megfelelő körcikk területéből kivonjuk a középponti háromszög területét. T szelet = T cikk T T cikk = r π () Körcikk és a háromszög területéhez szükségünk van a közzépponti szögre. ω 60 T = r sin ω () cos ω = d r = 4 ω =? ω 41,41 ω 8, 8 () (1) T cikk 4 π , 56 T 4 sin 8,8 7, 94 T szelet = T cikk T 11,56 7,94 =, 6 T locsolt = T kör T szelet 4 π,6 47, 6 A locsoló 47.6 m -t locsol be.

3 1) Határozzuk meg a derékszögű háromszög kerületét, területét, ha befogói a = cm és b = 4 cm! ) Határozzuk meg az egyenlő szárú háromszög kerületét, területét, ha a szárainak hossza b = 1 mm és a szárak által bezárt szög α = 10! ) Határozzuk meg a szabályos háromszög kerületét, területét, ha oldala 7 m! 4) Határozzuk meg a háromszög kerületét, területét, ha a = 4 cm, b = 7 cm és γ = 15! 5) Határozzuk meg a deltoid területét, ha átlói: e = 10 cm és f = 6 cm! 6) Határozzuk meg a deltoid kerületét, területét, ha oldalai a = 6 cm, b = cm és az oldalak által bezárt szög 10! 7) Határozzuk meg a húrtrapéz kerületét, területét, ha a = 0 dm, c = 10 cm és α = 45! 8) Hány %-kal növekedett annak a négyzetnek a területe, melynek minden oldalát 50%-kal megnöveltük? 9) Mennyi annak a háromszögnek a kerülete és területe, amelynek az egyik oldala 14 cm, a rajta fekvő egyik szög 45, és az adott oldalhoz tartozó magasság 6 cm? 10) Egy paralelogramma két szomszédos oldala 16 cm, illetve 1 cm hosszú. Mekkora a 16 cm-es oldalhoz tartozó magasság, ha a 1 cm-es oldalhoz 8,4 cm-es magasság tartozik? 11) Egy ABCD paralelogramma AB oldalának hossza 16 cm. Az AC átló 1 cm hosszú és ez az átló az AB oldallal 0 -os szöget zár be. Határozd meg a paralelogramma területét! 1) Egy húrtrapéz alapjainak hossza 6,4 cm, illetve 4 cm, magassága 16 mm. Számítsd ki a trapéz kerületét és területét! 1) Legyen r egy kör sugara, d az átmérője, K a kerülete és T a területe. Töltsük ki a táblázatot! r cm d 4,5 m K 54 m 18π dm T 50,4 mm 9π cm 14) Egy 1 m sugarú kör alakú lemezből a lehető legnagyobb a) szabályos háromszöget; b) négyzetet; c) szabályos hatszöget vágjuk ki. Mennyi a hulladék területe az egyes esetekben? 15) Egy kör alakú pizza ára 500 Ft. Érdemes-e egy kétszer akkora átmérőjű pizzáért 1500 Ft-ot fizetni? 16) Mekkora középponti szög tartozik ahhoz a körcikkhez, amelynek területe a kör területének a) negyede; b) / része; c) 0,75 része?

4 Összetettebb feladatok: 17) Az óceánban fekvő egyik szigeten egy földrengést követően kialakuló szökőár egy körszelet alakú részt tarolt le. A körszeletet határoló körív középpontja a rengés középpontja, sugara pedig 18 km. A rengés középpontja a sziget partjától 17 km távolságban volt (lásd a felülnézeti ábrán). Mekkora a szárazföldön elpusztult rész területe egész négyzetkilométerre kerekítve? 18) Egy háromszög egyik oldalának hossza 6 cm. Az ezeken nyugvó két szög 50º és 60º. A háromszög beírt körének középpontját tükröztük a háromszög oldalaira. E három pont a háromszög csúcsaival együtt egy konvex hatszöget alkot. Hány négyzetcentiméter a hatszög területe? 19) Egy víztározó víztükrének alakját az ábrán látható módon az ABCD paralelogrammával közelítjük. A paralelogrammának az 1:0000 méretarányú térképen mért adatai: AB 4,70 cm, AD,80 cm és BD,0 cm. Mekkora a víztározó területe? Válaszát száz m -re kerekítve adja meg! 0) Andrea linzerkarika és rombusz alakú süteményeket készített. A rombusz alakú sütemény és a linzerkarika felülnézetben ugyanakkora területűek. Hány cm a linzerkarika belső körének a sugara? 1) Az ábrán egy ejtőernyős klub kitűzője látható. (Az egyik körív középpontja a szabályos háromszög A csúcsa, a másik körív középpontja az A csúccsal szemközti oldalfelezőpontja.) Ezt a lapot fogják tartományonként színesre festeni. Számítsa ki egyenként mindhárom tartomány területét, ha a =,5 cm! Számításait legalább két tizedesjegy pontossággal végezze, és az így kapott eredményt egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! ) Az alábbi ábrán egy négyszög alakú telekről készített vázlat látható. Hány négyzetméter a telek területe? Válaszát százasokra kerekítve adja meg! 4

5 Testek A illusztrációk forrása: Poliéderek: Sokszögek által határolt testek. A határoló síkidomokat lapoknak, a síkidomok közös szakaszait éleknek, és az élek végpontjait csúcsoknak nevezzük. Szabályos poliéderek: Minden lapja egy egy egybevágó szabályos sokszög. (Összesen öt létezik.) Görbe felületű testek: A határoló lapok között van görbe felület is. A görbe felületet, ha az síkba kiteríthető akkor palástnak hívjuk. (A gömbfelület nem teríthető ki síkba.) palást 5

6 Definíció: A poliéder felszíne a poliédert határoló síkidomok területének összege. Definíció: A poliéder térfogata a poliéderre jellemző pozitív szám, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik: (1) Az egységkocka térfogata 1. () Az egybevágó poliéderek térfogata egyenlő. () Ha egy poliédert részpoliéderekre vágunk szét, akkor a részek térfogatának összege egyenlő az egész poliéder térfogatával. Tétel: Hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő. A A λ Tétel: Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyenlő. V V λ Definíció: Egy poliéder testátlója a nem szomszédos csúcsokat összekötő szakasz. Definíció: Egy poliéder lapátlója egy lapjának az átlója.. Mintafeladat: Határozza meg egy kocka egy csúcsából induló lapátlója és testátlója által bezárt szögét! DCB háromszög derékszögű: BHD háromszög szintén derékszögű: e = a + a = a e = a d = a + e = a + a = a d = a cos α = e d = a a = 0,8165 α 5, 6 ) Határozza meg egy kocka két lapátlójának szögét. 4) Egy téglatest élei cm, 4 cm és 5 cm hosszúak. Határozza meg a testátló és a) a leghosszabb lapátló által bezárt szöget! b) a legrövidebb oldal által bezárt szöget! 6

7 Hasábok Definíció: A hasáb olyan poliéder melynek két lapja egy-egy párhuzamos és egybevágó sokszög, melyek egy eltolással egymásba vihetők. A két egybevágó lap a hasáb alapjai, a két lap síkjának távolsága pedig a hasáb magassága. A hasáb többi lapja parallelogrammák, melyeket oldallapoknak nevezünk. Definíció: Ha egy hasáb oldallapjai téglalapok akkor egyenes hasábnak nevezzük, és magassága megegyezik az oldallapok közös élével. Egyéb esetben a hasáb ferde hasáb. alap oldallap alap egyenes hasáb ferde hasáb A hasáb felszíne: A hasáb térfogata: A = T alap + K alap M V = T alap M Példák: Kocka Téglatest Szabályos hatszög alapú hasáb A kocka = 6a V kocka = a A téglalap = ab + bc + ac V téglalap = abc A hasáb = T alap + 6a M V = T alap M Definíció: Az olyan egyenes hasábot, melynek alapja egy szabályos sokszög és minden éle egyenlő, az szabályos hasábnak nevezzük. (Az alap élei és a magasságuk egyenlő.) 7

8 4. mintafeladat: Egy szabályos hatszög alapú hasáb alapjának éle 4 cm, magassága pedig 5 cm. Számolja ki a hasáb térfogatát és felszínét! a = 4 cm M = 5 cm T alap = 4 sin ,864 V 1,864 5 = 69, 8 cm A 1, = 147, 78 cm 5. mintafeladat: Egy egyenes hasáb alapja olyan derékszögű háromszög, melynek egyik befogója 0,8 dm, átfogója pedig 17 cm. Mekkora a hasáb felszíne, ha térfogata 64 cm? a = 0,8 dm = 8 cm A = T alap + K alap M c = 17 cm T alap =? M =? V = 64 cm Pitagorasz tétel szerint: b = c a = 17 8 = 5 b = 15 T alap = ab = 8 15 = 60 M = V = 64 T alap 60 = 4,4 A = ,4 = 06 cm 5) Egy szabályos sokszög alapú hasáb magassága M = 10 cm, alapéle a = cm. Számítsa ki a hasáb felszínét és térfogatát, ha a hasáb alapja a) szabályos háromszög b) négyzet c) szabályos ötszög 6) Legyen egy kocka éle a, lapátlóinak hossza d, testátlóinak hossza e, térfogata V, és felszíne A. Töltsük ki a táblázatot! (Ahol szükséges ott három tizedesjegy pontossággal kerekítsünk!) a 1 cm d 10 dm e 8 m V 16 cm A 150 cm 8

9 7) Legyen egy téglatest élei a, b és c testátlóinak hossza e, térfogata V, és felszíne A. Töltsük ki a táblázatot! (Ahol szükséges ott három tizedesjegy pontossággal kerekítsünk!) a 1 cm cm b cm cm cm c cm 4 cm 10 cm 4 cm e 1 cm V 50 cm A 47 cm 8) Belefér-e egy 10 cm élű kockába egy 18 cm hosszúságú pálca? 9) Egy kocka élei hosszának összege 190 cm. Mekkora a kocka felszíne és térfogata? 0) Egy egyenes hasáb térfogata 4, dm. Mekkora a felszíne, ha alaplapjának területe 70 cm, kerülete 164 cm? 1) Egy háromszög alapú egyenes hasáb minden éle 1 cm. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? ) Egy derékszögű háromszög alapú egyenes hasáb legnagyobb oldallapja 5 cm területű négyzet. Határozzuk meg a hasáb felszínét és térfogatát, ha a derékszögű háromszög egyik befogója 80%-a az átfogónak! ) Egy egyenes hasáb alapja olyan rombusz, melynek oldalai 1 cm hosszúak, egyik szöge pedig 0 os. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata, ha a magassága 10 cm? 4) Egy egyenes hasáb alapja szimmetrikus trapéz, amelynek párhuzamos oldalai,5 dm és,5 dm, szárai 1, dm hosszúak. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata, ha magassága cm? 5) Az ábrán látható (zárt) üveghasábban 7 cm magasan áll a víz. Milyen magas lesz a vízszint, ha a téglatestet az ábra szerint valamelyik másik lapjára állítjuk? (forrás: mozaweb.hu) 9

10 Hengerek Definíció: A henger olyan test melynek két lapja egy-egy párhuzamos és egybevágó kör, melyek egy térbeli eltolással egymásba vihetők. A két egybevágó kör a henger alapköre, a két kör síkjának távolsága pedig a henger magassága. A hengert határoló görbe felületet, palástnak nevezünk. A henger felszíne: A henger térfogata: A = r π + rπ M V = r π M ferde henger Megjegyzés: Ha egyenes hengert, ha síkba kiterítünk, akkor a palástja egy téglalap, melynek az egyik oldalának hossza alapkörének kerülete, míg a másik oldalát a henger egy alkotójának nevezzük. A palást területe: rπ a vagy rπ M Megjegyzés: Forgástestnek nevezzük az olyan testeket, melyeket úgy származtatunk, hogy egy síkidomot egy térbeli tengely körül 60 -kal elforgatunk. Az egyenes henger is forgástest. Egy téglalapot megforgatva a szimmetriatengelye vagy egy oldalegyenese körül mindig hengert kapunk. 10

11 6. mintafeladat: Egy 10 cm magas henger alakú mérőedény átmérője cm. Az edény félig van töltve vízzel. Ha beledobunk egy kavicsot, akkor az edényben lévő víz cm-t emelkedik. (A kavicsot a víz ellepi.) Határozza meg a kavics térfogatát! V kavics = V V 1 M 1 = 5 cm M = 7 cm r = 1,5 cm V = r π M =,5π 7 49,48 V 1 = r π M 1 =,5π 5 5,4 V kavics 49,48 5,4 = 14, 17 cm A kavics térfogata körülbelül 14 cm. M 1 M 7. mintafeladat: Egy 1 cm oldalú négyzetet megforgatunk az egyik oldala körül. Mekkora a keletkezett henger felszíne és térfogata? r = 1 cm M = 1 cm V = 1 π 1 548, 67 cm A = 1 π + 1π , 557 cm 6) Egy henger alakú kuka 0 cm széles és 6 cm magas. Hány literes szemeteszsák való a kukába? 7) Egy téglalap oldalai cm és 5 cm hosszúak. A téglalapot megforgatjuk a szimmetriatengelyei illetve az oldalai körül. Mekkora az egyes esetekben keletkezett hengerek felszíne és térfogata? 8) Legyen egy henger alapkörének sugara r, magassága M, felszíne A, térfogata V és palástjának területe P. Töltsük ki a táblázatot, ahol szükséges, ott kerekítsük az eredményeket tizedesjegy pontossággal! r 5 cm 6 cm 6, cm M 10 cm 4 cm 10 cm A 905 cm 14 cm V 00 cm P 500 cm 11

12 9) Egy kályhacső sugara 9,58 cm, hossza,4 m. Hány m lemezre van szükség az elkészítéséhez? 40) Egy henger alakú hordó alapkörének kerülete 10 cm, magassága 80 cm. Hány liter folyadék fér a hordóba? 41) Egy hengeres kémcső köbcentiméterekre van beosztva. Két szomszédos beosztás távolsága 1,5 cm. Mekkora a kémcső belső átmérője? 4) Egy henger alakú edény alaplapjának területe 600 cm, és 4 dm folyadékkal térfogatának / része van kitöltve. Milyen magas az edény? 4) Egy fekvő, forgáshenger alakú kazán belső átmérője 140 cm, hossza 00 cm. Mennyi víz van benne, ha a vízállásmutató szerint a magasság / részéig tölti meg? 44) Nagymama azt kéri a közelben lakó Péter unokájától, hogy az 5 literes fazekat vigye át neki, mert finom levest szeretne készíteni a családi ünnepségre. Péter nézegeti az edényeket, de az aljukról már lekopott a jelzés. Azt gyanítja, hogy a 0 cm alapkör átmérőjű, 17 cm magas fazékra gondolt a nagyi. Megfelelő lesz-e a kiválasztott edény? 45) Egy 0 cm magas, henger alakú farönkből kifaragott legnagyobb térfogatú négyzet alapú hasábot kell kivágni. Hány százalékát kell lefaragni a farönknek, ha hossza 5 m? 46) Egy hatszög alapú hasáb alapéle 4 dm, magassága pedig 5 dm. A hasábból kifaragjuk a lehető legnagyobb hengert. Mekkora a keletkezett hulladék térfogat? Ez hány százaléka a hasáb térfogatának? 47) Egy m magas henger alakú edény alapkörének sugara 1 m. A hengerben fekvő helyzetben függőleges átmérőjének negyedéig víz áll. Milyen magas lesz a vízszint, ha a hengert felállítjuk? 1

13 A kúp és a gúla (Kúpszerű testek) Definíció: Kúpszerű testeknek azokat a testeket nevezzük, amelyeket úgy kaphatunk, hogy egy síkidom kerületén körülvezetünk egy egyenest, amely állandóan illeszkedik egy adott pontra, a síkidom síkján kívüli csúcspontra. A síkidomot a kúpszerű test alaplapjának nevezzük. A csúcsnak az alapsíktól való távolsága a test magassága. A csúcsot és az alaplap határvonalának egyik pontját összekötő szakasz a kúpszerű test egyik alkotója. Definíció: Azokat a kúpszerű testeket, amelyek alaplapja sokszög, gúláknak nevezzük, amelyeknek az alaplapja kör, kúpoknak. Megjegyzés: A forgáskúp (vagy egyenes kúp) minden alkotója egyenlő hosszúságú. Azt a kúpot, amelynek nem minden alkotója azonos hosszúságú, ferdekúpnak nevezzük. Megjegyzés A gúla csúcsát és a gúla alaplapjának egyik csúcspontját összekötő szakasz a gúla egyik oldaléle. Definíció: Ha egy gúla alaplapja szabályos sokszög és minden oldaléle egyenlő hosszúságú, akkor azt szabályos gúlának nevezzük. A gúla felszíne: A kúp felszíne: A kúpszerú testek térfogata: A gúla = T alap + T oldallapok (az olallapok háromszögek) A kúp = T alap + P (P a kúp palástja) V = T alap M Megjegyzés: A forgáskúp palástjának területe, ahol a a kúp alkotója és r az alapkörének sugara: P = a r π 1

14 Példák: Négyzet alapú gúla Tetraéder Forgáskúp A gúla = a + 4 V gúla = a M a m A tetraéder = 4 a sin 60 V tetraéder = a sin 60 M 6 A kúp = r π + a r π V kúp = r π m 8. mintafeladat: Egy négyzet alapú egyenes hasáb alapéle 10 cm. A hasáb oldaléle pedig 1 cm. Határozzuk meg a gúla térfogatát és felszínét! a = 10 cm b = 1 cm A = a + 4T = a a m + 4 m =? V = a M M =? ABE egyenlőszárú háromszögben Pitagorasz tétel szerint: m = 1 5 = 144 = 1 A = = 40 cm OTE derékszögű háromszögben Pitagorasz tétel szerint: M = 1 5 = ,91 V = , 6 cm 14

15 48) Töltse ki a táblázatot egy egy négyzet alapú gúla hiányzó adataival! a b m M T alap V A alapéle oldaléle oldallapja gúla alapjának térfogata felszíne magassága magassága területe 11 cm 8 cm 10 cm 1, dm 0 cm dm 1 cm 0,05 m 16 dm 1 m 54 m m cm 1188 cm 49) Négyzet alapú szabályos gúla egy oldallapjának területe 65%-a az alaplap területének. A test felszíne 60 cm. Mekkora a gúla térfogata? 50) Az egyiptomi Kheopsz-piramis négyzet alapú szabályos gúla alakú. Mekkora a piramis tömege, ha alapéle 8 m, magassága 145 m és az építéséhez felhasznált kő sűrűsége,4 kg/dm? 51) Egy egyiptomi piramis magassága 150 m, alapterülete 0,04 km. Mekkora az oldallapok területe, és milyen meredekek az oldallapok? 5) Egy téglalap alapú gúla oldalélei egyenlő hosszúak. Határozzuk meg a térfogatát és a felszínét, ha a téglalap oldalai 10 cm és 18 cm, a gúla magassága 1 cm! 5) Egy szabályos háromszög alapú gúla alapélei 10 cm hosszúak, oldalélei 1 cm-esek. Mekkora a gúla felszíne és térfogata? 54) Egy szabályos tetraéder élei 0 cm hosszúak: Mekkora a felszíne és a térfogata? 55) Töltse ki a táblázat adatai egy egy szabályos hatszög alapú gúla adataival! a b m M T alap V A alapja oldallapja oldallapja gúla alapjának térfogata felszíne éle éle magassága magassága területe 1 cm 18 cm 1, m 5 m 41 cm 40 cm 61 m 60 m 56) Egy hatszög alapú szabályos gúla oldallapjai az alaplappal 45 -os szöget zárnak be. Mekkora a gúla felszíne, ha magassága 10 cm? 57) Egy szabályos nyolcszög alakú területet szabályos gúlaszerű tetővel akarnak befedni. Hány m fedőanyagot kell vásárolni, ha a nyolcszög egy-egy oldala 4 m és az oldallapok magassága 6, m? 15

16 9. mintafeladat: Egy cirkuszi sátor egy forgáshenger palástjából és egy erre illeszkedő forgáskúp palástjából áll. A henger és a kúp alapkörének a sugara egyaránt 18 méter. A sátor teljes magassága 10 méter, oldalfalának magassága 4 méter. Egy biztonsági előírás alapján az ilyen típusú sátorban a maximális nézőszámot úgy határozzák meg, hogy egy nézőre legalább 6 m légtér jusson. Mekkora a maximális nézőszám ebben a sátorban? r = 18 m m enger = 4 m m kúp = 6 m V enger = 18 π ,5 m V kúp = 18 π 6 05,75 m V 4071,5 + 05,75 = 6107,5 Nézőszám: 6107,5 = 1017,875 6 A nézőtér maximális befogadóképessége 1017 fő. 10. mintafeladat: Egy félkörlap 14 cm magas kúp palástját adja. Mekkora a kúp térfogata és felszíne? m = 14 cm a =? r =? K = aπ Pitagorasz tétel szerint: a = r + m r = r r = r r = 196 r = 65, = rπ a = r r 8, 08 a = r 16, 166 A kúp = r π + a r π 65, π + 16,166 8,08 π = 615, 76 cm V kúp = r π m = 65, π , 87 cm 16

17 58) Töltse ki a táblázatot egy egy forgáskúp hiányzó adataival! r (alapkörének sugara) 8 1, m (a kúp magassága) 6 0 a (a kúp alkotója) T alap (alapjának területe) P (palástjának területe) A (a kúp felszíne) 00π V (a kúp térfogata) 18π 0,4π 560π 59) Jelöljük α-val egy egyenes körkúp alkotóinak az alaplappal bezárt szögét! Mekkora a kúp felszíne és térfogata, ha r = 4, dm és α = 60? 60) Egy egyenes körkúp kiterített palástja egy 15 cm sugarú kör 10 -os középponti szöggel rendelkező körcikke. Mekkora a felszíne és térfogata? 61) Egy egyenes körkúp kiterített palástja 18 cm sugarú félkörlap. Mekkora a kúp felszíne, térfogata? 6) 4 cm átmérőjű körlapból egyforma süveget szeretnénk készíteni úgy, hogy a körlapot egybevágó körcikkre vágjuk. Milyen magasságú (körkúp alakú) süvegeket készíthetünk? 6) A kiöntött homok 1 -os természetes lejtéssel állapodik meg. Milyen magas és széles az a homokkúp, amelynek térfogata 1 m? 64) Egy rombusz átlóinak hossza 1 cm és 16 cm. A rombuszt megforgatjuk a hosszabb átlója körül. Mekkora az így keletkező forgástest térfogata és felszíne? 65) Az ábra szerinti tompaszögű háromszöget a BC oldala körül forgattuk. Mekkora az így kapott forgástest felszíne és térfogata, ha AD = 8 cm, BD = 15 cm és CD = 6 cm? 66) Egy háromszög oldalai 55 cm és 0 cm hosszúságúak, az általuk közbezárt szög 0. Forgassuk meg a háromszöget a 0 cm-es oldala körül! Mekkora az így keletkezett forgástest felszíne és térfogata? 67) Egy 10 kg-os vasdarabból kúpokat esztergálnak. Ezek alapkörének sugara cm, magasságuk 6 cm. Hány darab kúp készülhetett a vasból, ha a sűrűsége 7,8 g/cm és a vasnak 8%-a lett hulladék? 68) Egy 0 cm alapélű kockából a lehető legnagyobb térfogatú egyenes körkúpot esztergálták ki. Hány cm a hulladék? 69) Egy 5 dm magas egyenes körkúpot tengelyét tartalmazó síkkal elmetszettünk. A metszet területe 1 dm. Számítsd ki a kúp térfogatát és felszínét! 17

18 Gömb Definíció: Egy adott ponttól, adott távolságra elhelyezkedő pontok halmaza a térben a gömbelület. Definíció: Egy adott ponttól, adott távolságnál nem nagyobb távolságra elhelyezkedő pontok halmaza a térben a gömbtest. Definíció: Azokat a köröket a gömbfelszínen, melyek sugara egyenlő a gömb sugarával a gömb főöreinek nevezzük. A gömb felszíne: A gömb = 4r π A gömb térfogata: V gömb = 4r π 11. mintafeladat: Melyiknek nagyobb a tömege: egy 5 cm sugarú vasgolyónak, vagy egy 10 cm sugarú alumíniumgolyónak? (A vas sűrűsége 7,8 g/cm, az alumínium sűrűsége,7 g/cm.) V vas = 4 5 π V alu = 4 10 π 5,6 cm 68,19 cm Az aluminium golyó tömege a nagyobb. M vas 5,6 7,8 = 4084, 08 g M alu 68,19,7 = 16964, 1 g 1. mintafeladat: Egy fagolyó térfogata 54 dm. Körülbelül mennyi festékre van szükségünk a lefestéséhez, ha egy liter festék 1 m felületre elég? V = 54 dm 54 = 4r π 9 = r π 15 r r 5 dm A = 4r π 4 5π = 100π 14 dm =, 14 m Körülbelül,14 liter festékre van szükség a golyó lefestéséhez. 18

19 70) Töltse ki a táblázatot egy-egy gömb megfelelő adataival. r (a gömb sugara sugara) 8 cm d (a gömb átmérője) 15 m A (a gömb felszíne) 64π V (a gömb térfogat) 6π 71) Egy 900 kg/m sűrűségű fából készült, 1,9 kg tömegű tekegolyót végiggurítunk egy 0 m hosszú pályán. Hányszor fordul meg eközben? 7) Hányszorosára növekszik egy 0 cm sugarú léggömb felszíne és térfogata, ha a sugarát 40 cm-re növeljük? 7) Egy 1 cm átmérőjű üveghengerben víz van. Mennyit emelkedik a víz szintje, ha a hengerbe egy fémgolyót teszünk, amelynek átmérője 8 cm? 74) Egy 10 cm átmérőjű üveghengerben víz van. Melyik esetben emelkedik nagyobbat a víz szintje: ha egy cm sugarú fémgolyót, vagy ha egy 5 cm élű fémkockát helyezünk az edénybe? 75) Egy 1 cm átmérőjű hengeres edényben víz van. A hengerbe egy fémgolyót dobva a víz szintje 1 cmt emelkedik. Mekkora a golyó sugara? 76) Mennyivel emelkedik a víz felszíne, ha egy tégla alakú edénybe- amelynek alapélei 16 és 1 cm egy 5,4 cm átmérőjű, a vízben teljesen alámerülő golyót ejtünk? 77) Egy csúcsával lefelé álló, kúp alakú tartóban 0 cm magasan áll a víz. Egy cm sugarú rézgolyót beleejtve a vízszint cm-t emelkedik, nem ömlik ki az edényből. Mekkora a kúp nyílásszöge? 78) Egy belül üres fémgömb átmérője 100 mm, belső átmérője 94 mm. Mekkora a tömege, ha anyagának sűrűsége 8,8 g/cm? 79) Melyiknek nagyobb a felszíne: egy cm sugarú gömbnek, vagy db cm sugarú gömbnek? 80) Hány db 1 cm sugarú golyót önthetünk egy 6 cm sugarú ólomgolyóból? Hányszorosa lesz a kis golyók felszínének összege az eredeti golyó felszínének? 81) Egy higanyos lázmérő eltörése után három, a padlóra esett higanycseppet próbálunk egy nagyobb cseppé formálni. Mekkora lesz a belőlük alkotott egyetlen csepp átmérője, ha a higanycseppek mm átmérőjűek? (Tekintsük a cseppeket gömböknek!) Hányszorosa lesz a végső egyetlen csepp felszíne az eredeti csepp együttes felszínének? 8) Egy fából készült henger alapkörének átmérője és magassága egyenlő. A hengerből a lehető legnagyobb gömböt esztergálták. Hány százaléka a gömb térfogata a henger térfogatának? Hogyan aránylik egymáshoz a henger és a gömb felszíne? 19

20 Csonkagúla és csonkakúp Definíció: Ha gúlaszerű testeket, illetve kúpokat az alaplappal párhuzamos síkkal elmetszünk, akkor csonka gúlát illetve csonka kúpot kapunk. A csonkagúla felszíne: A = T + t + P A csonkagúla térfogata: V = T - az alaplap területe; t - a fedőlap területe; P - az oldallapok (trapézok) területösszege T + Tt + t m A csonkakúp felszíne: A csonkakúp térfogata: A = R π + r π + (R + r)aπ V = πm (R + Rr + r ) R - az alaplap sugara; r- a fedőlap sugara; a a csonka gúla alkotója Megjegyzés: A csonka gúlával és a csonka kúppal kapcsolatos feladatokban sokszor kell a hasonlóságok arányával számolni, mivel a lemetszett test hasonló az eredeti gúlaszerű testhez. Megjegyzés: Sok esetben hasznos az oldnézeti kép, a hiányzó adatok meghatározásához. Néhány hasznos összefüggés az adatok meghatározásához: Az ABC háromszög derékszögű, ezért: A PDA háromszög és a PBC háromszög hasonló, a = m + R r ezért: λ = m 1 = r m R (m = m m 1 ) 0

21 1. mintafeladat: Egy téglalap alakú papírlap oldalai 1 és 18 cm hosszúak. A szomszédos oldalak harmadolópontjait összekötve a lap négy sarkát egy-egy egyenes szakasszal levágjuk. A kapott nyolcszöget megforgatjuk az ábrán berajzolt szimmetriatengelye körül. Számítsa ki az így keletkező forgástest térfogatát! A keletkező forgástest egy hengerből és annak körlapjaira illeszkedő két egybevágó csonkakúpból áll. r = 1 6 = cm R = 1 = 6 cm m = 18 = 6 cm V csonkak úp = π 6 V enger = 6 π 6 = 16π 678, = π 5 = 104π 6,7 V = V csonkak úp + V enger = 104π + 16π = 44π 1 cm 8) Egy egyenes csonkagúla alaplapja 8 cm oldalú négyzet. Oldallapjai vele egyenlő területűek, fedőlapja feleakkora területű. Mekkora a térfogata? 84) Egy négyoldalú szabályos csonkagúla alapéleinek hossza 10 cm, az oldalélek alaplappal 60 -os szöget zárnak be. A csonkagúla testátlója merőleges az egyik csatlakozó oldalélre. Mekkora a csonkagúla térfogat és felszíne? 85) A kovács tűzhelye fölött (alul-felül nyitott, négyzetes csonkagúla-palást alakú) füstfogó van. Hány m bádog kell az elkészítéséhez, ha a füstfogó alapéle m, a fedőéle 1, m, az oldalélek pedig 1,8 m hosszúságúak? (Az összeállításhoz szükséges felületet hagyja ki a számításból! 86) Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza 6 cm és 18 cm, szárai 5 és 1 cm-esek. A trapézt megforgatjuk a rövidebb szára körül. Mekkora a keletkezett forgástest felszíne és térfogata? 87) Egy fakúp magassága és alapkörének átmérője 0 cm. A kúpról az alapjával párhuzamosan lefűrészelünk egy 10 cm magas kúpot. A maradék csonkakúp térfogata hány százaléka az eredeti kúp térfogatának? 88) Egy üvegpohár alja 6 cm, teteje 8 cm átmérőjű kör, a pohár magassága 10 cm. Mennyi folyadék tölthető a pohárba? Hány deciliter víz van a pohárban, ha a víz 5 cm magasan áll benne? 89) Egy fenyőfa törzsének hossza 11,5 méter, vastagabbik vége 54 cm, vékonyabbik vége 6 cm átmérőjű. Mekkora a fatörzs értéke, ha 1 m fenyőfa ára fenyőfabatka? 1

22 90) 50 kg cementet zsákból egy vödörbe szeretne áttölteni a kőműves. A vödör csonkakúp alakú, alsó alapköre 0 cm átmérőjű, a felső alapköre 8 cm átmérőjű, magassága pedig 7 cm. Sikeres lesz-e az áttöltés? (A cement sűrűsége 150 kg/m.) 91) Csonkakúp-palást alakú lámpaernyőt készítünk ajándékba. Az adatok: R = 7,5 cm, r = 5 cm, az alkotó a = 10 cm. Elég-e egy negyed körlap az elkészítéséhez? Mekkorára kell választani a körlap sugarát, amelyből kivágható a lámpaernyő? Összetett feladatok: 9) Egy cirkuszi sátor felállítva olyan szabályos hatszög alapú egyenes gúla, amelynek alapéle 1 méter, magassága 16 méter hosszú. A sátor felállításakor 1 rudat használnak. Hat merevítő rúd a hat oldalél teljes hosszában fut. Van még 7 függőlegesen álló tartórúd. Egy az alap középpontjában, a teljes magasságban tartja a sátrat. A talajon álló hat kisebb pedig egy-egy oldalél talajhoz közelebbi harmadoló pontjában támaszt. a) Hány négyzetméter a sátrat alkotó ponyva felülete (a gúla palástja)? (A végeredményt egészre kerekítve adja meg!) b) Összesen hány méter a 1 rúd hossza? c) Körbevezetünk egy kifeszített kötelet a hat kisebb támasztó rúd felső végpontjain át. Milyen hosszú ez a kötél? 9) Egy víztároló középső része egy 6 m belső átmérőjű, 8 m magasságú forgáshenger, alsó része félgömb, felső része forgáskúp alakú. A kúp magassága m. A tartály függőlegesen áll, mellékeljük a forgástengelyén átmenő egyik síkmetszetét. a) Hány négyzetmétert kell vízálló anyaggal bevonni a tartály teljes belső felületének felújításakor? b) Hány köbméter víz van a tartályban, ha a teljes magasságának 85%- áig van feltöltve? A vízálló réteg vastagságát számítása során elhanyagolhatja. A válaszokat egészre kerekítve adja meg!

23 HASZNOS WEBOLDALAK: Magyarázó videók és online tesztek Érettségi feladatok témakörből. Egy tankönyvkiadó online segédanyaga