MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. EMELT SZINT I.

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. május. EMELT SZINT I. ) Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű számjegy képezhető? ( pont) Egy a feltételeknek megfelelő példa A feltételeknek a következő esetek felelnek meg:. eset: darab -os jegy: darab hatjegyű szám. eset 5 darab 5-ös, darab -es ilyen szám van. eset 4 darab 4-es, darab -es jegy Ezekből a számjegyekből 4 azaz 5 szám képezhető 4. eset darab -as, darab -es, darab -es jegy! Ebben az esetben!! =0 megfelelő szám van Más eset nincs, tehát összesen 8, a feltételeknek megfelelő hatjegyű szám képezhető Összesen: pont és B x log x 4. Adja halmazokat! ( pont) ) Legyen A x x 5 x meg az A B, A B, B \ A x 0 és 5x 0 ezért az egyenlőség értelmezési tartománya ;5 Mindkét oldal nem negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás. Ebből: x A ;5 Így Az log x 4 egyenlőség értelmezési tartománya ; Az alapú logaritmusfüggvény szigorúan csökkenő ezért x 4 4 Innen x 4

2 Így B ;4 AB ;5 AB ;4 B \ A ; Összesen: pont ) Egy város sportklubjának 40 fős tagságát felnőttek és diákok alkotják. A tagság 55%-a sportol rendszeresen. A rendszeresen sportoló tagok számának és a sportklub teljes taglétszámának az aránya 8 -szor akkora, mint a rendszeresen sportoló felnőttek számának aránya a felnőtt klubtagok számához viszonyítva. A rendszeresen sportolók aránya a felnőtt tagságban fele akkora, mint amekkora ez az arány a diákok között. Hány felnőtt és hány diák tagja van ennek a sportklubnak? ( pont) Jelölje f a sportklub felnőtt tagjainak számát. Ekkor a diákok száma a sportklubban 40 f. A rendszeresen sportolók száma 40-nek a az 55%-a, 0, fő. 8 A rendszeresen sportolók aránya a teljes tagságban 0,55. Ennek a -ed 8 része, vagyis 0,55 0,4 a rendszeresen sportolók aránya a felnőttek között. ( pont) A rendszeresen sportolók aránya a diákok között ennek az arányszámnak a kétszerese, vagyis 0,8 A rendszeresen sportoló felnőttek száma 0,4 f A rendszeresen sportoló diákok száma 0,8 40 f A rendszeresen sportolók száma e két létszám összege: 0,4 f 0,8 40 f 5 ( pont) Innen f 400 és 40 f 40 A felnőtt tagok száma 400, a diákok száma 40 Ellenőrzés Összesen: pont

3 4) Egy gyártósoron 8 darab gép dolgozik. A gépek mindegyike, egymástól függetlenül 0,05 valószínűséggel túlmelegszik a reggeli bekapcsoláskor. Ha a munkanap kezdetén vagy több gép túlmelegszik, akkor az egész gyártósor leáll! A 8 gép reggeli beindításakor bekövetkező túlmelegedések számát a binomiális eloszlással modellezzük. a) Adja meg az eloszlás két paraméterét! Számítsa ki az eloszlás várható értékét! ( pont) b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a reggeli munkakezdéskor egyik gép sem melegszik túl? (4 pont) c) Igazolja a modell alapján, hogy (négy tizedes jegyre kerekítve) 0,0058 annak a valószínűsége, hogy a gépek túlmelegedése miatt a gyártósoron leáll a termelés a munkanap kezdetekor! (7 pont) a) n 8 p 0,05 a várható érték: np 0,4 b) Minden gép p 0,95 valószínűséggel indul be reggel 8 Annak valószínűsége, hogy mind a 8 gép beindul: 0,95 ( pont) ami 0,4,4% c) A kérdéses esemény (A) esemény komplementerének (B) valószínűségét számoljuk ki, azaz, hogy legfeljebb gép romlik el. 8 8 PB 0,95 0,05 0,95 ( pont) 8 7 0,95 8 0,05 0,95 8 0,05 0,95 0,994 ( pont) P B P A 0,994 0,0058, tehát valóban 0,0058 a termelés leállásának a valószínűsége. Összesen: 4 pont

4 5) Az AC 0C derékszögű háromszögben az A csúcsnál 0 -os szög van, az AC 0 befogó hossza, az AC átfogó felezőpontja A. Az AC szakasz fölé az AC 0C háromszöghöz hasonló AC C derékszögű háromszöget rajzoljunk az ábra szerint. Az AC átfogó felezőpontja A. Az AC szakasz fölé az AC C háromszöghöz hasonló AC Cderékszögű háromszöget rajzolunk. Ez az eljárás tovább folytatható. a) Számítsa ki az így nyerhető végtelen sok derékszögű háromszög területének összegét (az összeg első tagja az AC 0C háromszög területe.)! (7 pont) b) Igazolja, hogy a C0C... C Cn töröttvonal hossza minden pozitív n-re kisebb, mint,4. (9 pont) a) Az AC 0C háromszög területe t Az AnCn C n háromszöget arányú hasonlósággal lehet átvinni An C ncn háromszögbe n A hasonló síkidomok területének arányára vonatkozó tétel alapján II. az AnCn C n háromszög területe: t n t t n n (ha n>) A területek összegéből képzett t t... t n... mértani sor amelynek hányadosa A végtelen sok háromszög területének összege: T 4 0,4

5 b) Jelölje d n a Cn Cn szakasz hosszát n, d C0C A hasonlóság miatt minden n>0 esetén dn dn A d sorozat tehát olyan mértani sorozat, n amelynek első tagja és hányadosa is Vizsgáljuk az S d d... dn összegeket. A d d... d n... olyan mértani sorozat, menynek hányadosa, tehát van határértéke Az S n sorozat határértéke (a mértani sor összege): lims n n és mivel kisebb, mint,8 ezért S n határértéke kisebb, mint,4. az S n sorozat szigorúan növekvő ezért az S n sorozat egyetlen tagja sem lehet nagyobb a határértékénél Összesen: pont

6 ) Adott a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az x y x 4y 0 egyenletű kör. Ebbe a körbe szabályos háromszöget írunk, amelynek egyik csúcsa A ;. a) Számítsa ki a szabályos háromszög másik két csúcsának koordinátáit! Pontos értékekkel számoljon! ( pont) b) Véletlenszerűen kiválasztjuk az adott kör egy belső pontját. Mekkora a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont a tekintett szabályos háromszögnek is belső pontja? Válaszát két tizedes jegyre kerekítve adja meg! (5 pont) a) Teljes négyzetté alakítással és rendezéssel a kör egyenlete: x y innen a kör középpontja ; K, sugara r 4 A kör K középpontja az ABC szabályos háromszög súlypontja. Az AK szakasz a háromszög AF súlyvonalának kétharmada F 5;. ahonnan A szabályos háromszög AF súlyvonala egyben oldalfelező merőleges is így a BC oldalegyenes az AF súlyvonalra F-ben állított merőleges egyenes A BC egyenes egyenlete tehát x 5 A kör egyenletébe behelyettesítve: y és y ( pont) A szabályos háromszög másik két csúcsa: B 5; és C 5; b) A kérdéses valószínűség a beírt szabályos háromszög és a kör területének hányadosa ( pont) A kör területe: r Tk r sin0 r A szabályos háromszög területe: Th 4 Th A keresett valószínűség: P 0,4 Tk 4 Összesen: pont

7 7) A nyomda egy plakátot példányban állít elő. A költségeket csak a nyomtatáshoz felhasznált nyomólemezek (klisék) darabszámának változtatásával tudják befolyásolni. Egy nyomólemez 500 Ft-ba kerül, és a nyomólemezek mindegyikével óránként 00 plakát készül. A nyomólemezek árán felül, a lemezek számától függetlenül, minden nyomtatásra fordított munkaóra további Ft költséget jelent a nyomdának. A ráfordított idő és az erre az időre jutó költség egyenesen arányos. a) Mennyi a nyomólemezek árának és a nyomtatásra fordított munkaórák miatt fellépő költségek összege, ha a plakát kinyomtatásához nyomólemezt használnak? (4 pont) b) A plakát kinyomtatását a nyomda a legkisebb költséggel akarja megoldani. Hány nyomólemezt kell ekkor használnia? Mennyi ebben az esetben a nyomólemezekre és a ráfordított munkaidőre jutó költségek összege? ( pont) a) nyomólemez óránként 000 plakát elkészítését tesz lehetővé ezért a teljes mennyiséghez óra szükséges 00 A nyomólemezek előállítási költsége és a munkaidő további költségének összege: Ft ( pont) b) Ha a nyomda x darab nyomólemezt használ, akkor ennek a költsége 500x Az x darab lemezzel óránként 00x darab plakát készül el, ezért a darab kinyomtatásához órát vesz igénybe 00x x 5,7 0 és ez további x forint, 5,7 0 A két költség összege K x 500x, ahol x pozitív egész x Tekintsük a pozitív valós számok halmazán a K utasítása szerint értelmezett függvényt Az így megadott K függvény minimumár keressük. A K függvény deriválható 5,7 0 és minden x 0 esetén Kx 500. x A szélsőérték létezésének szükséges feltétele, hogy Kx 0 5, , innen x 04 x x 48, mert x 0 Annak igazolása, hogy az x 48 (abszolút) minimumhely: 7,5 0 K x x Azaz 48 nyomólemez alkalmazása esetén lesz minimális a költség

8 48 darab nyomólemez alkalmazása esetén a nyomólemezekre és a ráfordított K Ft munkaidőre jutó költségek összege: Összesen: pont 8) Egy fából készült négyzetes oszlop minden élének hossza centiméterben mérve -nél nagyobb egész szám. A négyzetes oszlop minden lapját befestjük pirosra, majd a lapokkal párhuzamosan cm élű kis kockára vágtuk. A kis kockák közül 8 lett olyan, amelynek pontosan két lapja piros. Mekkora lehetett a négyzetes oszlop térfogata? ( pont) Legyen a négyzetes oszlop alapéleinek hossza a (cm) és a magasság hossza b (cm). (a, b -nél nagyobb egészek). Azoknak az egységkockáknak lesz pontosan két lapja piros, melyek az élek mentén, de nem a csúcsokban helyezkednek el 8 a A két db négyzetlap 8 élén a 4 oldalélén 4 b 8 a 4 b 8 ilyen festett kocka van Innen a b Az élhosszak megfelelő értékei ( pont) a 5 4 b 5 7 A három lehetséges négyzetes oszlop térfogata rendre 75 cm, 80 cm és cm ( pont) Összesen: pont

9 9) Hány xy ; rendezett valós számpár megoldása van az alábbi egyenletrendszernek, ha x és y is a 0; zárt intervallum elemei? sin x cos y 0 sin x ( pont) sin y 4 Az () egyenletből felhasználva, hogy egy szorzat pontosan akkor 0, ha az egyik tényezője 0, két eset adódik: sin x 0, cos y 0 sin x 0 eset: Az egyenletrendszer megoldásaira vonatkozó feltétel miatt x érték tesz eleget az () egyenletnek: x 0, x, x A sin x 0 feltételt behelyettesítve a () egyenletbe: sin y 4 tehát siny és siny 5 a siny egyenletnek két y érték tesz eleget: y, y 7 a siny egyenletnek két y érték tesz eleget: y, y4 Így összesen 4 y érték tesz eleget az egyenletrendszernek ebben az esetben Tehát ebben az esetben 4 xy ; rendezett számpár tesz eleget az egyenletrendszernek darab cos y 0 eset: Az egyenletrendszer megoldásaira vonatkozó feltétel miatt két y érték tesz eleget az () egyenletnek: y5, y Ha cos y 0, akkor sin y Ezt behelyettesítve a () egyenletbe: sin x 4 ami a 0; intervallumon két x értékre teljesül x,9897, x 5,45 Ebben az esetben 4rendezett számpár tesz eleget az egyenletrendszernek A sin x 0 és a cos y 0 esetekben különböző számpárokat kaptunk, így összesen 4 rendezett számpár tesz eleget az egyenletrendszernek Összesen: pont