MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Átírás

1 Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM

2 Formai előírások: Fontos tudnivalók. A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelelően jelölni a hibákat, hiányokat stb.. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőben a feladatra adható maimális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül.. Kifogástalan megoldás esetén elég a maimális pontszám beírása a megfelelő téglalapokba. 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. Tartalmi kérések:. Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk. Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek alapján pontozzon.. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók. Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek.. Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maimális pontszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóban szereplőnél kevésbé részletezett. 4. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. 5. Elvi hibát követően egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban kettős vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel, mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következő gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maimális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változik meg. 6. Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes értékű a megoldás. 7. Egy feladatra adott többféle helyes megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető. 8. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maimális pontszámot meghaladó pont) nem adható. 9. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. 0. A vizsgafeladatsor II. részében kitűzött 5 feladat közül csak 4 feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben feltehetőleg megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani. Ha mégsem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni. írásbeli vizsga 0 / 0 0. május.

3 . Egy, a feltételeknek megfelelő szám. I. A feltételnek megfelelően a következő esetek lehetségesek:. eset: 6 darab 6-os jegy: darab hatjegyű szám van.. eset: 5 darab 5-ös, darab -es jegy. 6 ilyen szám van.. eset: 4 darab 4-es, darab -es jegy. 6 Ezekből a számjegyekből, 4 azaz 5 szám képezhető. 4. eset: darab -as, darab -es, darab -es jegy. 6! Ebben az esetben =!! = 60 megfelelő szám van. (Más eset nincs,) tehát összesen 8, a feltételnek megfelelő hatjegyű szám képezhető. Összesen: Ha ez a megoldásból derül ki, a pont jár. írásbeli vizsga 0 / 0 0. május.

4 . 0 és 5 0, ezért az egyenlőtlenség értelmezési tartománya: ; 5. [ ] Mindkét oldal nem negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás (a megállapított értelmezési tartományon). Azt kapjuk, hogy. A = ; 5. Így [ ] Az log ( 4) > egyenlőtlenség értelmezési tartománya: ] ; [. Indokolt négyzetre emelés esetén jár ez a pont. Ha nem írt értelmezési tartományt, akkor ez a pont nem jár. Az alapú logaritmusfüggvény szigorúan csökkenő, ezért 4 <, így 4 < 4. Innen < 4. Így = ] ; 4 [ B. ] ; 5 ] [ ; 4 [ ] ; [ Ha nem írt értelmezési tartományt, akkor ez a pont nem jár. A B = A rosszul felírt A és B halmazokból helyesen A B = képzett válaszok esetén is B \ A = jár az -. Összesen: pont Megjegyzések:. A megfelelő pontszámok járnak akkor is, ha a vizsgázó egyenlőtlenségekkel adja meg jól a megfelelő halmazokat.. Csak a pontosan (végpontok, zártság, nyitottság) megadott halmazok esetén jár a megfelelő pontszám.. A halmazjelölés hibája (pl. B = < < 4 ) miatt egy alkalommal vonjunk le ot. írásbeli vizsga 0 4 / 0 0. május.

5 . Jelölje f a sportklub felnőtt tagjainak számát. Ekkor a diákok száma a sportklubban 640 f. A rendszeresen sportolók száma 640-nek az 55%-a, 0, = 5 fő. A rendszeresen sportolók aránya a teljes tagságban 8 8 0,55. Ennek a -ed része, vagyis 0,55 = 0, 4 a rendszeresen sportolók aránya a felnőttek között. pont A rendszeresen sportolók aránya a diákok között ennek az arányszámnak a kétszerese, vagyis 0,8. A rendszeresen sportoló felnőttek száma: 0,4 f. A rendszeresen sportoló diákok száma: 0,8 640 f. ( ) A rendszeresen sportolók száma e két létszám összege: pont 0,4 f + 0,8 ( 640 f ) = 5. Innen f = 400 és 640 f = 40. A felnőtt tagok száma 400, a diákok száma 40. Ellenőrzés. Összesen: pont Ez a pont akkor jár, ha a vizsgázó számolással jelzi, hogy az eredmény megfelel a szöveg feltételeinek. (A sportoló felnőttek száma 60, a nem sportoló felnőtteké 40, a sportoló diákoké 9, a nem sportoló diákoké 48.) írásbeli vizsga 0 5 / 0 0. május.

6 4. a) n = 8 p = 0,05 a várható érték: n p = 0, 4 Összesen: pont 4. b) Minden gép p = 0, 95 valószínűséggel indul be a reggeli munkakezdéskor. Annak a valószínűsége, hogy mind a 8 gép beindul: 8 0,95, ami 0,664 ( 66,4% ). 4. c) első megoldás A kérdéses esemény (A) komplementerének (B) valószínűségét számoljuk ki, azaz hogy legfeljebb gép romlik el. P ( B) = 0,95 + 0,05 0,95 + 0,05 0,95 = pont Összesen: 4 pont pont = 0, ,05 0, ,05 0,95 0,664+ 0,79+ 0,0546 0,994 pont ( A) = P( B) = 0,994 = 0, 0058 P. Tehát valóban 0,0058 (0,58%) a termelés leállításának valószínűsége. Összesen: 7 pont Bármely, legalább egy tizedesjegyre kerekített helyes érték elfogadható. Ez a pont akkor is jár, ha csak a megoldásból látszik, hogy komplementerrel számol. Akkor is megkapja a pontot, ha ez nincs leírva, de kiderül a helyes megoldásból. Ez a pont akkor is jár, ha nem írja fel, de jól számolja ki az összeget. E nélkül a mondat nélkül is jár az a helyes kivonásért. írásbeli vizsga 0 6 / 0 0. május.

7 4. c) második megoldás A kérdéses esemény (A) pontosan akkor következik be, ha a meghibásodott gépek száma, 4, 5, 6, 7, vagy 8. Ha A k jelöli azt az eseményt, hogy pontosan k db gép hibásodik meg, akkor A = A + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 (Az A k események páronként kizárják egymást, ezért) P ( A) = P( A ) + P( A4 ) + P( A5 ) + P( A6 ) + P( A7 ) + P( A8 ) P ( A) = 0,05 0,95 + 0,05 0, ,05 0,95 + 0,05 0, ,05 0,95 + 0, (Az összeg tagjait öt tizedesjegy pontossággal számítva az utolsó két tag már 0,00000-nak adódik,) P ( A) ( 0, , , ,0000=) 0, Tehát négy tizedesjegyre kerekítve valóban 0,0058 (0,58%) a termelés leállításának valószínűsége. pont pont pont Ez a pont akkor is jár, ha csak a megoldásból látszik, hogy jó modellel számol. Ez, ha nincs eplicit leírva, de kiderül a helyes megoldásból, akkor is megkapja a pontot. Ha az összeg tagja hiányzik vagy hibás, ot kap. Ez a pont akkor is jár, ha nem írja fel, de jól számolja ki az összeget. E nélkül a mondat nélkül is jár az a helyes közelítésért. Összesen: 7 pont Megjegyzés: Ha számolási hiba miatt nem kapja meg P(A) értékére közelítően a 0,0058-et, az utolsó ot nem kaphatja meg. írásbeli vizsga 0 7 / 0 0. május.

8 5. a) II. Az A C0C háromszög területe: t =. 6 Az AnCn Cn háromszöget arányú hasonlósággal + n N ). lehet átvinni az A n+ CnCn + háromszögbe ( A hasonló síkidomok területének arányára vonatkozó tétel szerint AnCn Cn háromszög területe: = n = tn tn az t (ha n > ). A területek összegéből képezett ( t t t...) tehát olyan mértani sor, + n + amelynek hányadosa. Ezt a pontot akkor is kapja meg, ha a második és első háromszög közötti hasonlóságot említi csak, de a hasonlóság arányával következetesen és jól számol a későbbiekben. Ha a tételt a megoldásban helyesen alkalmazza, jár a pont. Ezt a pontot akkor is kapja meg, ha a második és első háromszög közötti hasonlóságot említi csak, de a hasonlóság arányával következetesen és jól számol a későbbiekben. A végtelen sok háromszög területének összege: 6 T = = ( 0,4). 4 Összesen: 7 pont Megjegyzés: Teljes pontszámot kap a vizsgázó, ha a számításai során kerekített értékeket (is) használ. Ha nem a kerekítési szabályoknak megfelelően kerekít, akkor ot veszítsen. írásbeli vizsga 0 8 / 0 0. május.

9 5. b) első megoldás Jelölje d n a d = C0C =. C C n n szakasz hosszát ( A hasonlóság miatt minden n > esetén d n = dn. A { } n + n N ) d sorozat tehát olyan mértani sorozat, amelynek első tagja és hányadosa is. Vizsgáljuk az S n = d + d dn összegeket! A d + d dn +... olyan mértani sor, melynek hányadosa, tehát van határértéke. S sorozat határértéke (a mértani sor összege): Az { } n lim S n =. n + =. Mivel kisebb, mint,8, ezért { S n } határértéke kisebb, mint,4. Az { } n S sorozat szigorúan növekedő, ezért az { } n S sorozat egyetlen tagja sem lehet nagyobb a sorozat határértékénél (tehát igaz az állítás). Ezt a pontot akkor is kapja meg, ha a második és első háromszög közötti hasonlóságot említi csak, de a hasonlóság arányával következetesen és jól számol a későbbiekben. +,66 <, 4 Összesen: 9 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó kerekített értékekkel számol, és nem indokolja, hogy ez miért nem okoz hibát a bizonyításban, akkor legfeljebb 7 pontot kaphat. írásbeli vizsga 0 9 / 0 0. május.

10 5. b) második megoldás Jelölje d n a d = C0C =. C C n n szakasz hosszát ( A hasonlóság miatt minden n > esetén d n = dn. A { } n + n N ) d sorozat tehát olyan mértani sorozat, amelynek első tagja és hányadosa is. Ezt a pontot akkor is kapja meg, ha a második és első háromszög közötti hasonlóságot említi csak, de a hasonlóság arányával következetesen és jól számol a későbbiekben. n n ( ) ( ) S S n = =. n bármely helyesen felírt alakjáért jár a pont. Azt kell belátni, hogy minden pozitív egész n esetén n pont ( ) <, 4 teljesül. Átrendezve: >,4,4 ( 0,05) n ( ) Mivel a bal oldalon pozitív szám áll, és,4,4 ( 0,05) negatív szám, ezért az állítás igaz. Összesen: 9 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó kerekített értékekkel számol, és nem indokolja, hogy ez miért nem okoz hibát a bizonyításban, akkor legfeljebb 7 pontot kaphat. írásbeli vizsga 0 0 / 0 0. május.

11 6. a) első megoldás Teljes négyzetté kiegészítéssel és rendezéssel adódik a kör egyenletének másik alakja: ( + ) + ( y + ) = 6, ahonnan a kör középpontja: K( ; ). (sugara: r = 4 ) A kör K középpontja az ABC szabályos háromszög súlypontja. Az AK szakasz a háromszög AF súlyvonalának kétharmada, ahonnan F ( 5 ; ). A szabályos háromszög AF súlyvonala egyben Ha ez a gondolat a megoldás során derül ki, jár oldalfelező merőleges is, így a BC oldalegyenes az AF súlyvonalra F-ben ez a pont. állított merőleges egyenes. A BC egyenes egyenlete tehát = 5. A kör egyenletébe helyettesítve kapjuk, hogy pont y = és y =. A szabályos háromszög másik két csúcsa: B ( 5 ; ) és C( 5 ; ). Összesen: Aki helyesen számol, de közelítő értéket használ, pontot veszít. írásbeli vizsga 0 / 0 0. május.

12 6. a) második megoldás Teljes négyzetté kiegészítéssel és rendezéssel adódik a kör egyenletének másik alakja: ( + ) + ( y + ) = 6, ahonnan a kör középpontja: K( ; ). (sugara: r = 4 ) Mivel KA szimmetriatengelye a háromszögnek, ezért KAB és KAC szögek 0 fokosak. A BA egyenes meredeksége így. A BA egyenes meredekségét és egy pontját ismerjük, ebből az egyenlete y = ( ). Ezt beírva a kör egyenletébe: ( + ) + ( y + ) 6 = = ( + ) = = Hárommal szorozva és rendezve: = 0. Ennek gyökei az és a 5. (Az = az A ponthoz tartozik.) Az = 5-höz tartozó y érték a, tehát B ( 5 ; ), C pont pedig a B pontnak az y = egyenesre vett tükörképe, azaz C ( 5 ; ). Összesen: Aki helyesen számol, de közelítő értéket használ, pontot veszít. írásbeli vizsga 0 / 0 0. május.

13 6. a) harmadik megoldás B a a K r A a C Teljes négyzetté kiegészítéssel és rendezéssel adódik a kör egyenletének másik alakja: ( + ) + ( y + ) = 6, ahonnan a kör középpontja: K( ; ) és sugara: r = 4. A körbe írt szabályos háromszög oldalának hosszát jelölje a. A kör középpontja a szabályos háromszög súlypontja, a ezért = 4, ahonnan a = 4. A szabályos háromszög másik két csúcsa illeszkedik az eredeti körre, és az A(; ) középpontú, a = 4 sugarú körre is, ezért koordinátáik a két kör egyenletéből álló egyenletrendszer megoldásaként adódnak. Ennek a körnek az egyenlete: ( ) + ( y + ) = 48, vagy más alakban + y + 4y 4 = 0. A két kör egyenletét kivonva egymásból adódik, hogy = 5. Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy y = és y =. A szabályos háromszög másik két csúcsa: B ( 5 ; ) és C( 5 ; ). Összesen: pont Ha ezek a gondolatok csak a megoldásból derülnek ki, akkor is jár a pont. Aki helyesen számol, de közelítő értéket használ, pontot veszít. írásbeli vizsga 0 / 0 0. május.

14 6. a) negyedik megoldás B O 40 0 K A C Teljes négyzetté kiegészítéssel és rendezéssel adódik a kör egyenletének másik alakja: ( + ) + ( y + ) = 6, ahonnan a kör középpontja: K( ; ). (sugara: r = 4 ) A körbe írt (pozitív körüljárású) ABC szabályos háromszög B, illetve C csúcsát megkapjuk, ha az adott kör K középpontja körül elforgatjuk az A csúcsot +0 -kal, illetve +40 -kal. Forgassuk a KA vektort. KA= i Ekkor 4, azaz ( 4; 0) pont KA. KB = 4 i j + = i + j, KC = 4 i j = i j. Így a B csúcs helyvektora OB = OK + KB = = 5i + ( )j, azaz a háromszög B csúcsa: B 5;. ( ) A C csúcs helyvektora OC = OK + KC = = 5 i ( + )j, azaz a háromszög C csúcsa: C 5;. ( ) Összesen: Aki helyesen számol, de közelítő értéket használ, pontot veszít. írásbeli vizsga 0 4 / 0 0. május.

15 6. b) A kérdéses valószínűség a beírt szabályos háromszög és a kör területének hányadosa. pont Ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki, akkor is jár a pont. A kör területe: T r k = π. Ha a vizsgázó a területek Az r sugarú körbe írt szabályos háromszög területe: számszerű értékével számol ( Tk 50, 7 és r sin0 r T h = =. T h 0,78), akkor is 4 járnak ezek a pontok. T Ez a pont akkor is jár, ha h A keresett valószínűség: P = = 0, 4. Tk 4π a vizsgázó százalékként adja meg két tizedesjegy pontossággal a választ (4,5%). Összesen: 5 pont 7. a) 6 nyomólemez óránként 600 plakát elkészítését teszi lehetővé, ezért a teljes mennyiséghez = 9 óra 600 szükséges. A nyomólemezek előállítási költsége és a munkaidő további költségének összege: pont = Ft. Összesen: 4 pont Ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki, akkor is jár a pont. írásbeli vizsga 0 5 / 0 0. május.

16 7. b) első megoldás Ha a nyomda db nyomólemezt alkalmaz, akkor ennek költsége 500 forint. Az db lemezzel óránként 00 darab plakát készül el, ezért a darab kinyomtatása = 00 órát vesz igénybe, 6 5,76 0 és ez további forint költséget jelent. 6 5,76 0 A két költség összege: K( ) = forint, ahol az pozitív egész. Tekintsük a pozitív valós számok halmazán a K utasítása szerint értelmezett függvényt! * (Az így megadott K függvénynek a minimumát keressük. A K függvény deriválható, és minden 0 < esetén) 6 5,76 0 K ( ) = 500. A szélsőérték létezésének szükséges feltétele, hogy K ( ) = 0 legyen. 6 5, = 0, innen = 04, = 48 (mert 0<). Annak igazolása, hogy az = 48 (abszolút) minimumhely. A második derivált: 7,5 0 K ( ) =. Azaz 48 nyomólemez alkalmazása esetén lesz minimális a költség. 48 darab nyomólemez alkalmazása esetén a nyomólemezekre és a ráfordított munkaidőre jutó költségek összege: K( 48)= (forint). Összesen: pont *Megjegyzés: Egy pont jár annak említéséért, hogy bár a valós számokon értelmezett függvényt írtunk fel, a feladat megoldása csak pozitív egész lehet (például: a 48 pozitív egész szám, ezért megoldása a feladatnak). írásbeli vizsga 0 6 / 0 0. május.

17 7. b) második megoldás Ha a nyomda db nyomólemezt alkalmaz, akkor ezek ára 500 forint. Az db lemezzel óránként 00 darab plakát készül el, ezért a darab kinyomtatása = órát 00 vesz igénybe, 6 5,76 0 és ez további forint költséget jelent. 6 5,76 0 A két költség összege: K( ) = forint (ahol 0 < és egész). (Ennek a minimumát keressük.) Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséggel: 6 6 5,76 0 5, , pont 6 5, ,44 0 =,4 0. (A két költség összege tehát nem lehet kevesebb forintnál.) 6 5,76 0 A Ft akkor lehetséges, ha 500 =, amiből ( > 0 miatt) = 48 adódik. A legkisebb költség tehát 48 darab nyomólemez alkalmazása esetén lép fel. A nyomólemezekre és a ráfordított munkaidőre jutó költség ekkor összesen forint. (A nyomdai előállítás óráig tart, a nyomólemezek ára forint, és ugyanennyi a ráfordított időből adódó további költség is.) Összesen: pont Ez a pont akkor is jár, ha csak a megoldásból derül ki, hogy ezt alkalmazza. írásbeli vizsga 0 7 / 0 0. május.

18 Megjegyzés: Ha a vizsgázó véges sok (akár csak néhány) eset vizsgálatával (pl. táblázattal, szisztematikus próbálkozással) arra a megállapításra jut, hogy 48 nyomólemez alkalmazása esetén lesz a legkisebb a költség, akkor erre a sejtésére kapjon pontot. A 48-hoz tartozó kétféle költség összegét kiszámolja: 40 ezer Ft. Ha a nyomólemezek száma 4 vagy kevesebb, akkor már csak a munkaórák száma miatt (legalább 6 munkaóra) legalább 40 ezer forint költség keletkezik, tehát ezeket az eseteket nem kell külön vizsgálni. Ha a nyomólemezek száma 96 vagy több, akkor már csak a nyomólemezek ára miatt is legalább 40 ezer Ft költség keletkezik, ezért ezeket az eseteket sem kell külön vizsgálni. Tehát a nyomólemezek száma több mint 4 és kevesebb, mint 96. A 5 és 95 közötti összes érték kiszámolása 5 pont Evvel egyenértékű bármely helyes indoklás is 5 pontot ér (például a vizsgázó kevesebb lépésben, hibátlan logikával szűkíti a nyomólemezek lehetséges számát). Ha a monotonitást csak az egyik irányban sikerül bizonyítania, akkor pontot kapjon, ha a monotonitást egyik irányban sem tudja bizonyítani, akkor ne kapjon pontot erre a részre. A legkisebb költség tehát 48 darab nyomólemez alkalmazása esetén lép fel. Az utolsó pontot nem kaphatja meg, ha az előző, 5 pontos részre nem kapott pontot. 8. Legyen a négyzetes oszlop alapéleinek hossza a (cm) és a magasság hossza b (cm). (Az a és b számok -nél nagyobb egészek.) Mivel minden él hossza legalább, azoknak az egységkockáknak lesz pontosan két lapja piros, melyek az élek mentén, de nem a csúcsokban helyezkednek el. A két db négyzetlap 8 élén 8 ( a ), a 4 oldalélen 4 ( b ) ilyen festett kocka van. 8 ( a ) + 4 ( b ) = 8, innen a + b =. Az élhosszak megfelelő értékei: a 5 4 b 5 7 A három lehetséges négyzetes oszlop térfogata rendre 75 cm, 80 cm és 6 6 pont cm. pont Összesen: 6 pont Ha ezt a gondolatot a megoldás során jól használja, ez a pont jár. A 6 pont a felírt diophantikus egyenlet helyes megoldásáért jár. Megfelelő (a; b) értékpáronként - pont. Ez a pont csak a három helyes adatpár esetén jár. Ha a vizsgázó indoklás nélkül közli a három lehetséges négyzetes oszlop méreteit, és megadja a térfogatokat, legfeljebb 6 pontot kaphat. írásbeli vizsga 0 8 / 0 0. május.

19 9. sin cos y = 0 () sin + sin y = 4 () Az () egyenletből, felhasználva, hogy egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha legalább az egyik szorzótényezője 0, adódnak a következő esetek: a) sin = 0 Az egyenletrendszer megoldásaira vonatkozó feltétel miatt három érték tesz eleget az () egyenletnek = ; = π ; π. ( ) 0 = A sin = 0 feltételt behelyettesítve a () egyenletbe: sin y =, 4 tehát sin y = (*), vagy sin y =. (**) Az első (*) egyenletnek a feltétel miatt két y érték π 5π tesz eleget y = ; y =. 6 6 A második (**) egyenletnek a feltétel miatt két y 7π π érték tesz eleget y = ; y4 =. 6 6 Így összesen négy y érték tesz eleget az egyenletrendszernek ebben az esetben. Tehát ebben az esetben összesen 4 = darab (; y) rendezett számpár tesz eleget az egyenletrendszernek. Ezt a pontot akkor is kapja meg, ha rossz eredményt ad meg a lehetséges és az y értékek számára, de helyesen összeszorozza ezeket a számokat. írásbeli vizsga 0 9 / 0 0. május.

20 b) cos y = 0 Az egyenletrendszer megoldásaira vonatkozó feltétel miatt két y érték tesz eleget a () egyenletnek π π y 5 = ; y6 =. Ha cos y = 0, akkor sin y =, amit behelyettesítve a () egyenletbe: sin =, 4 ami a [ ; π ] (,9897 5,45) 0 intervallumban két értékre teljesül. Ebben az esetben = 4 rendezett számpár tesz eleget az egyenletrendszernek. Ezt a pontot akkor is kapja meg, ha rossz eredményt ad meg a lehetséges és az y értékek számára, de helyesen összeszorozza ezeket a számokat. (Az a) és b) esetben különböző számpárokat kaptunk, így) összesen + 4 = 6 rendezett számpár tesz eleget az egyenletrendszernek. Összesen: 6 pont Megjegyzések:. Ha a vizsgázó megoldása során feltétel nélkül oszt sin vagy cos y kifejezéssel, megoldására legfeljebb ot kaphat.. A feladat megoldásához nem tartozik hozzá a számpárok megadása. Ezért a visszakeresésnél elkövetett hibákért ne vonjunk le pontot!. Ha a vizsgázó fokokban helyesen végezte a számításokat, akkor is teljes pontszámot kaphat. írásbeli vizsga 0 0 / 0 0. május.