MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin cos : cos, akkor a háromszög egyenlő szárú és derékszögű! ( pont) Mivel a háromszög szögeinek összege 80, ezért 80, valamint 80 és cos 80 cos, valamint cos 80 cos A megadott egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha sin : sin cos : cos Ebből a sin cos sin cos egyenlőség következik A kétszeres szög szinuszára vonatkozó azonosságot használva kapjuk, hogy sin sin (3 pont) Egy háromszög bármely szög kétszeresének értéke 0 és 360 közé esik, ezért a fenti egyenlőség két esetben áll fenn: (3 pont), vagy 80 ( pont) Az első esetben, a háromszög két szöge egyenlő, tehát a háromszög egyenlő szárú A második esetben 90, a háromszögben 90, a háromszög derékszögű Összesen: pont

2 ) Jelölje H a 0; intervallumot. Legyen A a H azon elemeinek sin halmaza, amelyekre teljesül, hogy egyenlőtlenség, és B a H azon cos részhalmaza, amelynek elemeire teljesül a egyenlőtlenség. Adja meg az A halmazt, B halmazt és az A\ B halmazt! (3 pont) sin 0 Az egyenlőtlenségeket írjuk cos 0, illetve alakba ( pont) A -es alapú eponenciális függvény szigorú monoton nő sin ezért pontosan akkor teljesül, ha sin 0 cos ezért pontosan akkor teljesül, ha cos 0 Az alaphalmazon a sin 0 egyenlőtlenség megoldása 0 ( pont) A 0; azaz Az alaphalmazon a cos 0 egyenlőtlenség megoldása azaz 3 B ; Mindezek alapján A\ B 0; 3 ( pont) 3) Az a és b vektor koordinátái a t valós paraméter függvényében: a cos t; sin t és b sin t;cos t ( pont) Összesen: 3 pont 5 a) Adja meg a és b vektorok koordinátáinak pontos érékét, ha t az 6 számot jelöli! ( pont) b) Mekkora az a és b vektorok hajlásszöge t 5 6 esetén? (A keresett szöget fokban, egészre kerekítve adja meg!) (5 pont) c) Határozza meg t olyan valós értékeit, amelyek esetén a és b vektorok merőlegesek egymásra! (7 pont) a) acos ;sin a 6 6 ; 5 5 bsin ;cos b ; 3 6 6

3 b) Jelöljük a két vektor által bezárt szöget -val. A koordinátáival adott vektorok skaláris szorzata kétféleképpen is kiszámítható: ab 8 illetve ab a b cos Mivel a és 0 0 b 6 Ezért cos, ebből cos 0, Innen 78,3. Tehát a két vektor ebben az esetben kb. 78 -os szöget zár be. c) A két vektor akkor és csak akkor merőlege egymásra, ha ab 0 A keresett t ismeretlent a szokásosabb módon jelöli. Mivel ab cos sin sin cos, így a cos sin sin cos 0 egyenlet megoldása a feladat. Azonos átalakítással adódik: cos sin sin cos 0 Ez a szorzat pontosan akkor nulla, ha cos 0 vagy sin 0 vagy sin cos 0 () n, ahol n vagy () k, ahol k vagy (3) sin cos 0 A (3) alatti egyenletnek nem megoldásai azok az számok, amelyek koszinusza 0, így az egyenlet megoldáshalmaza azonos a tg egyenletével 3 Azaz m, ahol m A két vektor tehát pontosan akkor merőleges egymásra, ha t n vagy 3 t m, ahol nm, Összesen: pont

4 ) Hány y ; rendezett valós számpár megoldása van az alábbi egyenletrendszernek, ha és y is a 0; π zárt intervallum elemi? sin cos y 0 sin (6 pont) sin y Az () egyenletből felhasználva, hogy egy szorzat pontosan akkor 0, ha az egyik tényezője 0, két eset adódik: sin 0, cos y 0 ( pont) sin 0 eset: Az egyenletrendszer megoldásaira vonatkozó feltétel miatt 3 érték tesz eleget az () egyenletnek: 0,, 3 A sin 0 feltételt behelyettesítve a () egyenletbe: sin y tehát siny és siny 5 a siny egyenletnek két y érték tesz eleget: y, y a siny egyenletnek két y érték tesz eleget: y3, y 6 6 Így összesen y érték tesz eleget az egyenletrendszernek ebben az esetben Tehát ebben az esetben 3 y ; rendezett számpár tesz eleget az egyenletrendszernek darab cos y 0 eset: Az egyenletrendszer megoldásaira vonatkozó feltétel miatt két y érték tesz 3 eleget az () egyenletnek: y5, y6 Ha cos y 0, akkor sin y 3 Ezt behelyettesítve a () egyenletbe: sin ami a 0; intervallumon két értékre teljesül 3,9897, 5,35 Ebben az esetben rendezett számpár tesz eleget az egyenletrendszernek A sin 0 és a cos y 0 esetekben különböző számpárokat kaptunk, így összesen 6 rendezett számpár tesz eleget az egyenletrendszernek Összesen: 6 pont

5 5) Oldja meg a következő egyenletrendszert, ha és y valós számok, továbbá 0, és y 0, y. log y log y sin 3y sin y (3 pont) Áttérve azonos alapú logaritmusra: log y log y ( pont) Mivel egy pozitív számnak és a szám reciprokának összege pontosan akkor, ha a szám ( pont) ezért log y azaz y Behelyettesítve a második egyenletbe: sin5, azaz sin5 Innen 5 k 6 5 vagy 5 l 6 ahol k és l A megoldások így: y k k 30 5 és y l l 6 5 A kapott értékek kielégítik az egyenletet Összesen: 3 pont

6 6) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! sin sin sin sin sin 7 sin,5 A gyökök teljes négyzetté állnak: sin sin sin 3,5 (6 pont) ( pont) Elvégezve a gyökvonást: sin sin sin 3,5 ( pont) Mivel sin, ezért sin 0 sin 0 minden sin 3,5 0 esetén (3 pont) Így az abszolút értékek elhagyása után: sin sin sin 3,5 ( pont) sin Innen k 6 ( pont) és 5 k 6 ( pont) ahol k Ellenőrzés Összesen: 6 pont

7 7) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! 3 3 log y log y y 9 (6 pont) cos y cos y 0 A logaritmus miatt és y -től különböző pozitív számok lehetnek Az első egyenlet bal oldalát alakítsuk át a logaritmus azonosságát használva: 3 3 log y log y log y 3log 3 3 log y log (3 pont) y y Így az első egyenlet: log ylog A log y és a log y egymás reciprokai, és összegük y ( pont) Ez pontosan akkor teljesül, ha mindkettő -gyel egyenlő, amiből azt kapjuk, hogy y ( pont) Beírva a második egyenletbe: cos cos 0 0, ahonnan cos ( pont) Ez akkor és csak akkor teljesül, ha k, azaz k, ahol k (3 pont) Összevetve az y, 0 feltétellel, y k, k ( pont) Összesen: 6 pont 8) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! cos sin 5 sin 0 ( pont) cos sin a megoldandó egyenlet: sin 5sin 3 0 A sin -re másodfokú egyenlet megoldásai és 3. ( pont) A sin 3 egyenletnek nincs megoldása, hiszen sin maimális értéke ( pont) A sin egyenlet megoldásai: k, ahol k ( pont) 6 7 vagy n, ahol n ( pont) 6 A kapott számok megoldásai az eredeti egyenletnek. Összesen: pont felhasználásával ( pont)

8 9) a) Igazolja, hogy a, a 0 és a 3 is gyöke a egyenletnek, és az egyenletnek ezeken kívül más valós gyöke nincs! (5 pont) b) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 3 cos 5cos 3cos 0 (6 pont) c) Mutassa meg, hogy a egyenletnek nincs valós gyöke! (5 pont) a) Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla! Az 0 valóban gyök. A többi gyököt a megmaradt másodfokú egyenletből kapjuk meg: A két gyök: és 3, azaz a megadott három szám valóban gyöke az eredeti egyenletnek. Másodfokú egyenletnek legfeljebb két különböző valós gyöke lehet, ezért több gyök nincsen. b) Vezessünk be új ismeretlent: y cos! 3 A y 5y 3y 0 egyenletnek keressük a valós gyökeit, melyeket az a) feladatrészből tudhatunk is: y 0, y, y3 3. Mivel a cos kifejezés értéke és között mozoghat csak, ezért a 3 nem jó megoldás. A cos 0 egyenlet megoldása: k, ahol k ( pont) A cos egyenlet megoldásai:,3 m, ahol m 3 ( pont) c) Az egyenlet bal oldalán kiemelhető: Az eponenciális függvény értékkészlete a pozitív valós számok halmaza, így 0 nem lehetséges. Másodfokúra visszavezethető a megmaradt egyenlet: vagy. Az eponenciális függvény már említett értékkészlete miatt ezek nem valós gyökei, így valóban nincs megoldása az egyenletnek. Összesen: 6 pont

9 0) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) sin sin cos (5 pont) b) lg lg (7 pont) a) Az egyenlet jobb oldalát azonosság alkalmazásával alakítva: sin sin sin. sin sin 0, Innen sin, k, ahol k. Ellenőrzés b) A logaritmus függvény értelmezése miatt , ezért az egyenlet lg lg Mivel lg lg alakban is írható. lg Az 5 -re nézve másodfokú egyenlet megoldásai: lg 5 lg és 5 5. lg Mivel 5 lg 0, ezért 5 nem lehetséges. lg Ha 5 5, akkor 0. Ellenőrzés Összesen: pont ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) sin cos (6 pont) b) (7 pont) a) cos sin helyettesítése. Nullára rendezve: sin sin 0 Szorzattá alakítás után:. sin sin 0. sin 0 pontosan akkor, ha k, k. 3 sin pontosan akkor, ha l, l. Ellenőrzés.

10 b) Ha 0, akkor. Ekkor 0, ahonnan, de ez 0 miatt nem megoldás. Ha 0, akkor, és az egyenlet. Mivel 0 ezért, azaz Ellenőrzés. Összesen: 3 pont