I. rész. 4. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2 4x függvény szélsőértékét és annak helyét! Válaszát indokolja!

Átírás

1 Feladatsor I. rész Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Adja meg az alábbi állítások logikai értékét! A) Ha a < b, akkor a < b. B) Ha egy szám osztható -vel és 5-tel, akkor a szám 0-ra végződik. C) Minden paralelogramma trapéz. 3. A 375x tízes számrendszerbeli számban írjon x helyére olyan számjegyet, hogy a kapott hétjegyű szám osztható legyen 1-vel! Válaszát indokolja! 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett x x x + 3 függvény szélsőértékét és annak helyét! Válaszát indokolja! 5. Egy találkozón hat ember vett részt. A résztvevők egyharmada 5, ketten közülük 3, a többiek pedig emberrel fogtak kezet. Szemléltesse gráffal a kézfogásokat! 3 6. A valós számok halmazán értelmezett, f elsőfokú függvény grafikonjára az A( 1; ) és a B(; 8) ok illeszkednek. Adja meg az f függvény hozzárendelési szabályát! Válaszát indokolja! 3 7. Melyik x valós szám esetén igaz a következő egyenlőség: 0, = 5? x 8. Minden fiú szereti a focit. Válassza ki a fenti állítás tagadását az alábbiak közül! A) Van olyan fiú, aki szereti a focit. B) Nincs olyan fiú, aki szereti a focit. C) A lányok szeretik a focit. D) Van olyan fiú, aki nem szereti a focit. E) A lányok nem szeretik a focit. 9. Adja meg a valós számok halmazán értelmezett g( x) = cos x 1 függvény értékkészletét! 10. Egy 37 fős osztályban legalább hány tanulóról lehet azt állítani, hogy születésnapjuk ugyanabban a hónapban van? 9

2 Feladatsor 1 Mely valós x-re teljesül, hogy x 3 = 0? Három házaspár színházba ment. Egymás mellé vettek jegyet. Hányféleképpen ülhetnek le, ha a házastársak egymás mellé akarnak ülni? Válaszát indokolja! 3 II. rész II. A 13. a) Töltse ki a táblázatot az adott oszlopdiagram alapján, ha az összes díjbevétel millió forint! Biztosítók ÁB-Aegon Generali-Providencia Hungária OTP-Garancia Egyéb 60% 50% Gépjármű-biztosítások díjbevételei (millió Ft) 51% 0% 30% 0% 10% 13% % 7% 7% 0% ÁB-Aegon Hungária Egyéb Generali-Providencia OTP-Garancia Gépjármű-biztosítások díjbevételeinek megoszlása 5 b) Ábrázolja kördiagramon a gépjármű-biztosítások díjbevételeinek megoszlását!

3 Feladatsor Egy trapéz alapjai,5 és cm, kiegészítő háromszögének további oldalai 1,5 és cm hosszúak. a) Mekkorák a trapéz szárai? 5 b) Mekkora a kiegészítő háromszög területe? 3 c) Mekkora a trapéz területe? Oldja meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! x a) tg = 3; b) log ( 5x 1) log ( x+ 1) = II. B 16. Egy gyertyakészítő vállalkozás a karácsonyi vásárra olyan 3 gyertyából álló gömb alakú gyertyasorozatot dobott piacra, amelynél a gömbök sugarai egy mértani sorozat egymást követő tagjai ilyen gyertyasorozat készítéséhez 38,5p dm 3 térfogatú anyagot használtak fel. A gyertyasorozat legnagyobb gömbjének sugara 6 cm. a) Mekkorák a gyertyasorozat gömbjeinek sugarai? 10 b) A vásár helyszínére történő szállításkor a gyertyasorozatok 5%-a megsérült. gyertyasorozat kiválasztásakor mekkora annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik sérült? c) A gyertyasorozat tervezett ára 1900 Ft volt a tervezett mennyiség mellett. A sérült sorozatok kivétele után hány százalékkal növelje meg a vállalkozó hibátlan termékeinek árát, ha a tervezett bevételt el szeretné érni? Egy számtani sorozat első három tagjának összege 36, négyzetösszege 8. a) Határozza meg a számtani sorozat differenciáját! 7 b) Oldja meg a valós számok halmazán a x 3x + 1 > 0 egyenlőtlenséget! 5 11

4 Feladatsor c) Hány olyan, három különböző számjegyből álló, háromjegyű, öttel osztható számot tudunk készíteni, amelynek mindegyik számjegye eleme a { 0; 1; ; 3; ; 5} halmaznak? Tekintse a 19,, 8, 0, 1, 8, 8, 1, 9 számsokaságot! Az A abszcisszája a számsokaság mediánja, ordinátája a számsokaság terjedelmének negyede, a B abszcisszája a számsokaság módusza, ordinátája a számsokaság átlaga. a) Határozza meg az A és a B ok koordinátáit! 6 b) Írja fel a C( 1; 7) és D( 7; 1) átmérőjű kör (k) egyenletét! c) Az y tengely mely jaiból látszik a CD szakasz derékszög alatt? ( ) = d) Illeszkedik-e az ( x+ 3) + y 17 egyenletű körre a P( 6; 7)? 5 17 Feladat sorszáma Maximális szám Elért szám I. rész II. A rész II. B rész 17 Nem választott feladat sorszáma Összszám: 100 1

5 Megoldás I. rész Adja meg az A, illetve a B halmazokat elemeik felsorolásával, majd készítsen halmazábrát! A B A = { 68 ; ; ; }, B ={ 6118} ; ; ; Így az ábráról könnyen leolvasható: A B={} 6, B\ A= { 1; 18; }.. A) Hamis. B) Igaz. C) Igaz. jó válasz esetén, 1 jó válasz esetén 0 jár. 3. Egy egész szám akkor és csak akkor osztható 1-vel, ha a szám osztható 3-mal és -gyel. -gyel egy szám akkor és csak akkor osztható, ha az utolsó két számjegye által alkotott legfeljebb kétjegyű szám osztható -gyel, tehát () 1 x x { 0; ; ; 6; 8}. 3-mal egy szám akkor és csak akkor osztható, ha a szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, tehát ( ) x+ = 5+ x x { ; 58 ; }. A feladat megoldása az (1) és a () alapján x 1 = ; x = 8.. I. megoldás: Másodfokú függvény hozzárendelési szabályának általános alakja: x ax + bx+ c ( a 0). Mivel a = 1> 0, ezért minimuma van a vizsgált függvénynek; a minimum helye: b x = = ; a a minimum: ac b a = 73

6 Megoldás II. megoldás: Bontsuk fel az x x+ 3 kifejezést egy teljes négyzet és egy szám összegére: x x+ 3= x x+ 1= ( x ) Mivel ( x ) 0 minden x-re, ezért ( x ) 1 1, így a minimum: 1; helye:. 5. A kézfogásokat egy hatcsúcsú gráffal szemléltetjük, melynek csúcsai a résztvevőket, élei pedig a kézfogásokat szemléltetik. A részt- A (5) F () vevők egyharmada 6 = 3, tehát csúcsnak 5 a fokszáma (az ebbe a ba húzott élek száma), csúcsnak 3, és a fennmaradó csúcsnak. Az ezeknek az értékeknek megfelelő gráf például az ábrán látható. B (5) C (3) D (3) E () 3 6. Az elsőfokú függvény grafikonja egyenes, hozzárendelési szabálya f(x) = mx + b alakú, ahol m nem zérus. Az A és B ok által meghatározott egyenes 8 meredeksége: m =. 1 ( ) = A függvény -höz 8-at rendel, azaz 8 = + b, ahonnan b = adódik. Az f függvény hozzárendelési szabálya f(x) = x Az egyenlőség megoldáshalmaza: {}. 8. Az állítás tagadása a D) válasz. 9. R g = [ 3; 1]. 10. A hónapok (skatulyák) száma 1, a tanulók száma 37 = , így a skatulyaelv szerint legalább tanulóról lehet biztosan azt állítani, hogy ugyanabban a hónapban születtek. 1 x 1 = 5 és x = 1-3 házaspár sorban 3! számú kettős széket foglal el. 7

7 Megoldás Minden házaspár férfi- és nőtagjának cseréje a lehetséges esetek számát meg kétszerezi, tehát a feltételeknek megfelelő esetek száma: 3! = 8. 3 II. rész II. A 13. a) A diagramról leolvasható a gépjármű-biztosítások díjbevételeinek megoszlása. Az egyes biztosítók díjbevételeit a d A p = 100 összefüggésből megkap- hatjuk, ahol A az összes díjbevétel; p az egyes biztosítók részesedése (százalékban kifejezve) a díjbevételből; d az egyes biztosítók díjbevétele (millió Ft-ban). Biztosítók Gépjárműbiztosítások díjbevételeinek megoszlása (p%) Gépjárműbiztosítások díjbevételei (d) ÁB-Aegon 13% 07,50 Generali-Providencia % 3 65 Hungária 51% 8 03,50 OTP-Garancia 7% 1 10,50 Egyéb 7% 1 10,50 100% ,00 = A 3 13 ÁB-Aegon esetén: d = mft = 07,5 mft. 100 Generali-Providencia esetén: d = mft 100 = 3 65 mft. 51 Hungária esetén: d = mft 100 = 8 03, 5 mft. 7 OTP-Garancia esetén: d = mft 100 = 110, 5 mft. 7 Egyéb biztosítók esetén: d = mft 100 = 110, 5 mft. 5 75

8 Megoldás b) A kördiagramon való ábrázoláshoz ki kell számolnunk az egyes biztosítók 360 díjbevételeinek megfelelő körcikkek középi szögeit az α = 100 p összefüggés alapján, ahol p az egyes biztosítók részesedése (százalékban, az ábráról leolvasható) a díjbevételből. 360 ÁB-Aegon esetén: α = 13 = ,. 360 Generali-Providencia esetén: α = = ,. 360 Hungária esetén: α = 51 = ,. 360 OTP-Garancia esetén: α = = ,. 360 Egyéb biztosítók esetén: α = = ,. 3 13% 7% 7% ÁB-Aegon Generali-Providencia % Hungária OTP Garancia Egyéb 51% Gépjármű-biztosítások díjbevételeinek megoszlása 7 a) Készítsen ábrát! E 1,5 cm cm D,5 cm C d b A cm B AB CD EDC = EAB és DCE = ABE (egyállású szögek) EDC és az EAB EA AB hasonló. Így () 1 = ED DC és ( ) EB EC = AB DC. 76

9 Megoldás (1)-be behelyettesítve: 15, + d = d = 09, cm, 15, 5, ()-be behelyettesítve: + b = b =1, cm. 5, 5 b) A kiegészítő háromszögre: 15, + =, 5, ezért Pitagorasz tételének megfordításából a háromszög derékszögű 15, 3 CED = 90 T = = cm = 15, cm. c) I. megoldás: AB CD és EDC = EAB és DCE = ABE (egyállású szögek) EDC EAB. 3 DC 5, 5 A hasonlóság aránya: λ = = = az EDC, és az EAB területének aránya: AB 8 = 5 T = 5 = 6 = 6 3 = λ EDC T EAB TEDC 6 T , cm EAB T = T T = 38, 15, =, 3 cm. ABCD EAB EDC II. megoldás: Toljuk el a trapéz DA szárát DC vektorral! A keletkező PBC háromszög PB oldalához tartozó magasság a trapéz magassága (m) is egyben. D,5 C 0,9 0,9 m 1, β A,5 P 1,5 A PBC háromszög CP oldalára felírjuk a koszinusztételt: CP = PB + BC PB BC cos β. B 77

10 Megoldás Behelyettesítve: 081, =, 5 + 1, 15, 1, cos β. Ebből cos β = 08, β = 36, 87 m= BC sin β = 1, sin 36, 87 = 07, cm. Így a trapéz területe: T = +, 5 07, =, 3 cm. 15. a) Az egyenlet értelmezési tartománya: x π+ m π, ahol m. x π π = + kπ, ahol k x = + kπ, ahol k b) A logaritmus definíciója miatt 5x 1> 0 és x+ 1> 0 x > 5. 5x 1 A logaritmus azonosságait felhasználva kapjuk: log3 log 33. x + 1 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: 5 x 1 3 x 1 x + 1 = / ( + ) Innen x =. 5x 1= 3x+ 3 / 3x; + Ha az x > 1 5 feltételt nem adtuk meg, akkor a megoldást le kell ellenőriznünk. Ellenőrzés: log3( 5 1) log3 + 1 = log39 log33= 1 x =. ( ) fennáll, így az egyenlet megoldása 8 78

11 Megoldás II. B 16. a) Legyenek a gömbök sugarai: r; rq; rq, ahol q a mértani sorozat kvóciense, amelyről feltehető, hogy q 1! A sugarakat cm-ben mérjük. R A gömb térfogatára vonatkozó V = 33 π összefüggés alapján 1 gyertyasorozat térfogata: () 1 38, 5π 1000 cm ( ) πr 3 6 = 1+ q + q, ahonnan 3 ( ) 6, 375 = r 1+ q + q. 3 6 A legnagyobb gömb sugara 6 cm ( ) rq = 6 r = behelyettesítve (1)-be, rendezés után q () 1 30, 375q 6 16q 3 16 = 0 /: 30, 375 q 6 6 q = 0 q 3 -re nézve másodfokú egyenlethez jutunk ± + ( q 3 ) ; =, amelyből q 1 miatt q = 8 q= r = = 15, cm. q Így a gyertyasorozat gömbjeinek sugarai: 1,5 cm; 3 cm; 6 cm. b) A sérült gyertyasorozatok száma: , = 50. Az épek száma: 950. A keresett valószínűség: 50 = kedvező esetek száma = 009, 75. összes eset száma c) Tervezett árbevétel (1000 db eladási ára): = Ft. Hibátlan termékeinek egységára ugyanekkora árbevétel esetén: Ft = 000 Ft

12 Megoldás Áremelkedés %-ban: = 56, % a) A számtani sorozat első három tagja: a d, a, a + d, ahol d a számtani sorozat differenciája. A feladat feltételei szerint: (1) a d + a + a + d = 36; () (a d) + a + (a + d) = Az (1) alatti egyenletből a = 1 adódik. Az a = 1 értéket a () egyenletbe helyettesítve, rendezés után a d = 50 egyenletet kapjuk. Innen d = ±5. 7 b) A x 1 3x + 1 = 0 gyökei: x1=, x = 1- Mivel a másodfokú kifejezés főegyütthatója pozitív, ezért az egyenlőtlenség megoldása: x < 1 vagy x > 5 c) Az utolsó számjegy az 5-tel való oszthatóság miatt csak 0 vagy 5 lehet. Ha az utolsó helyi értéken a 0 számjegy áll, akkor 5 -féle szám lehet. Ha az utolsó helyi értéken az 5 számjegy áll, akkor az első helyi értéken nem állhat 0. Ekkor lehetőség van. Tehát összesen 5 + = 36 db, a feltételeknek megfelelő szám készíthető. 5 80

13 Megoldás 18. a) Az adatokat rendezzük monoton, nem csökkenő sorrendbe: 9, 8, 8, 8,, 1, 1019,,! A szokásos jelöléseket használva: Mo = 8, Me =, R = 8, x =. ( ) ( ) x Innen a keresett ok: A 7 ; és B 8;. 1- ( ) b) A kör középja a CD szakasz felezőja: K 3 ;. A kör sugarának nagysága a CK szakasz hosszával egyenlő: r = 3 + = 5. ( ) + ( ) = 6 A CD átmérőjű k kör egyenlete: x+ y 3 5. c) Azon ok halmaza a síkon, amelyekből egy adott CD szakasz derékszög alatt látszik, a CD átmérőjű kör, a C és D ok kivételével. Így a keresett ok a k kör és az y tengely közös jai, melyek koordinátái az alakzatok egyenleteiből álló egyenletrendszer megoldásai. Az y tengely egyenesének egyenlete: x = 0. () = 1 x 0, ( ) ( + ) + ( ) = x y 3 5. Az x = 0-t a () egyenletbe helyettesítve: y 6y = 0 egyenletet kapjuk. Ahonnan a keresett ok koordinátái: ( 0; 0 ) és 0; 6. d) A P akkor és csakis akkor illeszkedik a körvonalra, ha a ( 6+ 3) + ( 7 3) = 17 egyenlőség teljesül. ( ) 5 Mivel 5 17, ezért a P nem illeszkedik a körvonalra. 81