Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!

Átírás

1 Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4 = c c = log 7 = c 7 = c c = log 5 5 = c 5 = 5 c c = lg = c = 0 0 0c c = log 7 49 = c 49 = 7 c c =. Határozd meg a következő kifejezésekben az a értékét! log a = 5 log a 5 = log a 64 = log a 0 = log a 7 = 4 A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log a = 5 = a 5 a = log a 5 = 5 = a a = 5 log a 64 = 64 = a a = 4 log a 0 = 0 = a a = 000 log a 7 = 4 7 = a 4 a = 9

2 . Határozd meg a következő kifejezésekben a b értékét! log b = 8 log 9 b = log 7 b = log 5 b = 0, 0 lg b = 5 A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log b = 8 b = 8 b = 56 log 9 b = b = 9 b = log b = b = ( 7 7 ) b = 49 log 5 b = 0,0 b = ( 5) 0,0 00 b = 5 lg b = 5 b = 0 5 b = Milyen x értékek esetén értelmezhetőek a következő kifejezések? log 5 (x ) + log x+ (5 x) lg (x + x ) log x 4 Vizsgáljuk meg a kifejezésekre vonatkozó feltételeket (a, b > 0; a ). x log 5 (x ) + x > 0 x > log x+ (5 x) x + > 0 x > x + x 5 x > 0 5 > x Ezeket összevonva: < x < 5 és x. lg(x + x ) x + x > 0 Egyenletként a megoldás és. A függvény görbéje alapján a megoldás: x < vagy < x.

3 log x 4 x x 4 x > 0 Tekintsük először azt, amikor a számláló és nevező is pozitív. x 4 > 0 x > 4 x > 0 > x A kettőt összevetve ezen az ágon nincs megoldás. Tekintsük most azt, amikor a számláló és nevező is negatív. x 4 < 0 x < 4 x < 0 < x A kettőt összevetve ezen az ágon a megoldás: < x < 4. Ezek alapján a megoldás (a két ág uniója): < x < Számítsd ki a következő kifejezések értékét áttérve másik alapú logaritmusra! log 7 9 log 4 8 log 9 log 5 7 log 8 5 Célszerű az új alapot olyan egész számnak választani, melynek az eredeti alap és a numerusz is egy egy különböző kitevőjű hatványalakja. Amennyiben ilyen egész számot nem találunk, akkor térjünk át tízes alapú logaritmusra, s számológép segítségével számítsuk ki az értékét. log 7 9 = log 9 log 7 = log 4 8 = log 8 log 4 = 7 log 9 = log 9 = log 5 7 = lg 7 lg 5, log 8 5 = log 5 = log 5 = lg 5 lg,

4 6. Mennyi a következő kifejezések pontos értéke? log log 4 log 4 5 log 5 6 log 6 7 log 7 8 log 5 4 log 7 5 log 7 A megoldáshoz térjünk át azonos alapú logaritmusokra: log log 4 log log 5 log 4 log 6 log 5 log 7 log 6 log 8 log 7 = log 8 = log 5 4 log 7 5 log 7 = lg 4 lg 5 lg 7 lg lg 5 = lg 7 = lg lg 5 lg 7 = 4 lg 5 lg 7 lg lg 5 lg 7 lg lg 5 lg 7 lg 7. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! log (lg 00) log (log 5 5) log [log (log 4 64)] Az egymásba ágyazott logaritmusok értékét belülről kifele haladva számolhatjuk ki. log (lg 00) = log = log (log 5 5) = log = log [log (log 4 64)] = log (log ) = log = 0 8. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! log 8 log log log ( ) 4 log 00 log 6 4 log + log A hatványozás azonosságait alkalmazva arra kell törekednünk, hogy a hatvány alapja és a kitevőben szereplő logaritmus alapja megegyezzen, s ekkor ezek elhagyhatóak: a log a b = b. log = 8 log 9 7 = (9 ) log 9 7 = 9 log 9 7 = (9 log 9 7 ) = 7 = 49 5 log 5 7 = (5 log 5 7 ) = 5 log 5 7 = (5 log 5 7 ) = 7 = 4

5 4 + log = 4 4 log = 4 ( ) log = 4 log = 4 ( log ) = 4 = 6 ( ) 4 log 00 = ( ) 4 69 ( ) log 00 = log 00 = () 69 = 69 log = ( log 00 ) 00 = 69 0 log log + log 7 64 = log 9 6 ( 4) log log 7 64 = = [( 9 ) ] log 9 6 ( log ) 4 log 7 64 [( 7) ] = = [( 6 9 )log 9 ] 6 [( 7)log 7 64 ] = = 6 9. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! lg 75 + lg 44 lg log log 5 5 log 5 8 lg + 6 lg 5 + lg 8 lg log9 (tg 0 ) + log9 (cos 45 ) log9(sin 60 ) Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait lg 75 + lg 44 lg = lg = lg 0 = lg 0 = lg + 6 lg 5 + lg 8 lg = lg + lg( 5) 6 + lg 8 lg = lg ( 5) 6 8 = = lg 000 = log log 5 5 log 5 8 = log log 5 5 log 5 8 = log = log 5 5 = log9 (tg 0 ) + log9 (cos 45 ) log9(sin 60 ) = log9 = log9 = log9 = 9 5

6 0. Fejezd ki az x et a következő egyenlőségekből! a) lg x = lg 5 + lg b) log x = log log 7 c) log x = log 96 log log + A jobb oldalon álló logaritmusokat vonjuk össze az azonosságok segítségével. a) lg x = lg 5 + lg = lg 5 + lg = lg(5 ) = lg 8 5 x = 8 5 b) log x = log log 7 = log log 7 = log x = 7 49 c) log x = log 96 log log + = log 96 log log + log = = log 96 = log 76 x = 76. Írd fel a következő kifejezések logaritmusát! x = abc x = a bc 5 x = a b x = a a b x = 5a 6bc + 4c Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait. x = abc lg x = lg a + lg b + lg c x = a bc lg x = lg a lg b lg c 5 x = a b lg x = lg a lg b 5 5 x = a a b = a ( b) lg x = lg a + lg( b) x = 5a = 5a 6bc + 4c c (b + ) lg x = lg 5 + lg a lg lg c lg(b + ) 6

7 . Igazold a következő azonosságokat! a) log a b log b c = log a c a, b, c > 0 és a, b b) log a x log a y = log b x log b y c) log a b + log a b + log a b + d) log b n+ ab n = n + log b a n+ log a 4 b = 0 log b a a, b, x, y > 0 és a, b, y a, b > 0 és a, b a, b > 0 és b, n A bizonyításhoz induljunk el az egyenlőség bal oldaláról, s megfelelő alakítások után jussunk el a jobb oldali kifejezéshez. a) B. o. = log a b log b c = log a b log a c log a b = log a c = J. o. b) B. o. = log a x logb x = log b a log a y log b y log b a = log b x log b a = log b x = J. o. log b a log b y log b y c) B. o. = log a b + log a b + log a b + log a 4 b = log b b log b a + log b b + log b b + log b b = log b a log b a log b a 4 = log b a + log b a + log b a + 4 log b a = 0 log b a = J. o. d) B. o. = log b n+ ab n = log b ab n = log b a + log b b n = n + log b a = J. o. log b b n+ n + n +. Fejezd ki a = lg és b = lg segítségével a következő logaritmusokat! lg, 5 lg 8 lg lg 7 8 lg 45 Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait. lg,5 = lg = lg lg = b a 7

8 lg 8 = lg 8 lg = lg 4 lg 5 = 4 lg 5 lg = 4b 5a lg = lg(4 ) = lg 4 + lg = lg + lg = lg + lg = a + b lg 7 = lg 8 = lg lg = lg lg = (b a) lg 45 = lg(5 9) = lg 5 + lg 9 = lg 0 lg + lg = lg + lg = a + b 4. Fejezd ki az lg 40 et az lg 0 segítségével! Alakítsuk át az lg 0 kifejezést a következő módon: lg 0 = lg ( 5) = lg + lg 5 = lg + lg 0 = lg + lg 0 lg = lg + Ezt követően alakítsuk át az lg 40 kifejezést is: lg 40 = lg ( 5) = lg + lg 5 = lg + lg 0 = lg + lg 0 lg = lg + Írjuk fel a következő egyenletrendszert: lg 0 = + lg } lg 40 = + lg Az első egyenletből fejezzük ki az lg értékét: lg = lg 0. Ezt helyettesítsük vissza a második egyenletbe: lg 40 = + (lg 0 ) = + lg 0 = lg 0 Ezek alapján a megoldás: lg 40 = lg 0. 8

9 5. Fejezd ki az lg 5 - öt az lg 75 és lg 45 segítségével! Legyen a = lg 75 és b = lg 45. Alakítsuk át az lg 5 kifejezést a következő módon: lg 5 = lg( 5) = lg + lg 5 Ezt követően alakítsuk át az lg 75 és az lg 45 kifejezéseket is: lg 75 = lg (5 ) = lg 5 + lg = lg 5 + lg lg 45 = lg ( 5) = lg + lg 5 = lg + lg 5 Írjuk fel a következő egyenletrendszert: a = lg 5 + lg } b = lg + lg 5 Az első egyenletből fejezzük ki az lg értékét: lg = a lg 5. Ezt helyettesítsük vissza a második egyenletbe: b = (a lg 5) + lg 5 = a lg 5. Ebből fejezzük ki az lg 5 értékét: lg 5 = a b. Ezt visszahelyettesítve a következő adódik: lg = a a b = a 4a b = b a. Ezek alapján a megoldás: lg 5 = lg + lg 5 = b a + a b = a + b = lg 75 + lg 45 9

10 6. Fejezd ki az lg 8 - at az lg 7 és az lg 864 segítségével! Legyen a = lg 7 és b = lg 864. Alakítsuk át az lg 8 kifejezést a következő módon: lg 8 = lg( ) = lg + lg = lg + lg Ezt követően alakítsuk át az lg 7 és az lg 864 kifejezéseket is: lg 7 = lg ( ) = lg + lg = lg + lg lg 08 = lg (5 ) = (lg 5 + lg ) = 5 lg + lg Írjuk fel a következő egyenletrendszert: a = lg + lg b = 5 lg + lg } Az első egyenletet szorozzuk meg mal, a másodikat pedig 4 gyel. a = 9 lg + 6 lg } 4b = 0 lg + 6 lg Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt: lg = 4b a. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe: a = 9 (4b a) + 6 lg. Ebből fejezzük ki az lg értékét: lg = 5a 6b. Ezek alapján a megoldás: lg 8 = lg + lg = 4b a + (5a 6b) = 7a 8b = 7 lg 7 8 lg 864 0