Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet!

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet!"

Benjámin Barta
9 évvel ezelőtt
Látták:

1 Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola,. osztály. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! lg(0x ) lg(x + ) = lg () Kikötések: x > 5 és x >. lg(0x ) lg(x + ) = lg () lg 0x (x + ) = lg (3) 0x (x + ) = lg (4) 0x x + x + = lg (5) 0x = x + 4x + (6) 0 = x 6x + 4 (7) 0 = x 3x + (8) x = x = (9). feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! log 3 x log3 (x 5) + log 3 = 0 () Kikötések: x > (gyök miatt!), x > 5. x log 3 = log 3 () x 5 x = (3) x 5 x = x 5 (4) 4 (x ) = x 0x + 5 (5) 4x 8 = x 0x + 5 (6) 0 = x 4x + 33 (7) x = 3 x = (8) A kikötés miatt csak az x = a jó megoldás.

lg(0x ) lg(x + ) = lg () lg 0x (x + ) = lg (3) 0x (x + ) = lg (4) 0x x + x + = lg (5) 0x = x + 4x + (6) 0 = x 6x + 4 (7) 0 = x 3x + (8) x = x = (9).

2 3. feladat. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következ egyenletrendszert! Legyen a = lgx és b = lgy. 5 lgx + 3 lgy = () lgx lgy = 3 5a + 3b = () a b = 3 A második egyenletb l b-t kifejezve: b = a 3, ezt behelyettesítve az els egyenletbe: 5a + 3 (a 3) = (3) a = (4) a = b = (5) lgx = lgy = (6) x = 0 y = 0 (7) Ellen rzéssel kapjuk, hogy a ( 0; 0) számpár valóban jó megoldás. 4. feladat. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következ egyenletrendszert! lg(x + ) + lg(y 3) = () lg(y ) lgx = 0 Kikötések: x >, y > 3. lg[(x + )(y 3)] = lg0 () lg y x = lg (x + )(y 3) = 0 (3) y x = A második egyenletb l x = y következik, így az els egyenlet behelyettesítés után a következ képpen alakul: y(y 3) = 0 (4) y 3y 0 = 0 (5) y = 5 y = (6)

lgy = (6) x = 0 y = 0 (7) Ellen rzéssel kapjuk, hogy a ( 0; 0) számpár valóban jó megoldás. 4. feladat. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következ egyenletrendszert!

3 A kikötések miatt y = nem lehet megoldás. A (4; 5) számpár megoldás. 5. feladat. Számítsa ki az ismeretlen értékét! lgb = lg4 3 lg9 () lgb = lg4 3 lg9 () lgb = lg 4 lg( 9) 3 (3) lgb = lg lg7 (4) b = 7 (5) 6. feladat. Számítsa ki az ismeretlen értékét! lgw = lgq lgr lgs lgt + lgu () lgw = lg q lgs lgt + lgu () r lgw = lg q lgt + lgu (3) rs lgw = lg q + lgu (4) rst lgw = lg qu rst w = qu rst Természetesen a kikötéseket meg kell tennünk: w > 0, q > 0, r > 0, s > 0, t > 0, u > 0. (5) (6) 3

4 7. feladat. Oldja meg a következ egyenl tlenséget a valós számok halmazán! 3 > log (x + ) () log 8 > log (x + ) () 8 < x + (3) 7 8 < x (4) 7 6 < x (5) A kikötés (x > ) nem jelent megszorítást a megoldásra nézve. 8. feladat. Oldja meg a következ egyenl tlenséget a valós számok halmazán! log 4 (4x + 4x ) > 0 () log 4 (4x + 4x ) > log 4 () 4x + 4x > (3) 4x + 4x 3 > 0 (4) A másodfokú egyenl tlenséget egyenletként megoldva kapjuk az x = és x = 3 megoldásokat. Mivel a másodfokú kifejezés normál állású parabolát 4 határoz meg, így a megoldáshalmaz: M = {x x [ ; 3 4 ] [ ; ]} 9. feladat. Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán. (5) 5 x+ = 5 x () log 5 5 x+ = log 5 5 x () x + = (x ) log 5 5 (3) x + = (x ) 3 (4) x + = 3x 3 (5) 4 = x (6) x = (7) 4

5 0. feladat. Oldja meg az egyenl tlenséget a valós számok halmazán! log x (x + x 4) < () log x (x + x 4) < log x x () Kikötés:. eset: x > x + x 4 > 0 x < 7 x > + 7 x + x 4 < x (3) x 4 < 0 (4) x = + x = (5) Itt a megoldáshalmaz (a kikötések gyelembe vételével): 7 < x <. eset: (0 <)x < x + x 4 > x (6) x 4 > 0 (7) x = + x = (8) Itt nem találunk megoldást. A feladat megoldáshalmaza tehát: 7 < x <. 5

eset: x > x + x 4 > 0 x < 7 x > + 7 x + x 4 < x (3) x 4 < 0 (4) x = + x = (5) Itt a megoldáshalmaz

6 . feladat. Oldja meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! Legyen y = lgx. lg x = 3 lgx () (lgx) = 3 lgx () y = 3 y (3) y = 4 3y (4) y + 3y 4 = 0 (5) y = y = 4 (6) lgx = lgx = 4 (7) x = 0 x = = 0, 000 (8) 000 Az x > 0 kikötés nem jelent megszorítást a megoldásokra nézve. Megjegyzés. Ahogyan a sin, cos, stb. függvényeknél is, úgy itt is a következ jelölés van érvényben: lg x = (lgx). feladat. Oldja meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! 3 lgx + lg x = () 3 lgx ( ) + lg = () x 3 lgx + lg x = (3) 3 lgx + lgx = (4) 3 lgx lgx = (5) (6) 6

> 0 kikötés nem jelent megszorítást a megoldásokra nézve. Megjegyzés. Ahogyan a sin, cos, stb.

7 Legyen most y = lgx. Ekkor lgx = y. 3y y = (7) 0 = y 3y + (8) y = y = (9) lgx = lgx = (0) lgx = 4 lgx = () x = 0000 x = 0 () Az x > 0 kikötéssel egyik megoldás sem ütközik. 3. feladat. Oldja meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! 0, 5 lg(x ) + lg x 9 = () lg x + lg x 9 = () lg (x )(x 9) = lg0 (3) (x )(x 9) = 0 (4) (x )(x 9) = 00 (5) x 9x + 9 = 00 (6) x 9x 9 = 0 (7) x = 3 x = 7 (8) A kikötések: x > és x > 9, így csak az x = 3 jó megoldás. 4. feladat. Oldja meg a következ egyenletet a valós számok halmazán! log (log 4 (log 5 x)) = () log 4 (log 5 x) = () log 5 x = 6 (3) x = 5 6 (4) Az egyenlet értelmezési tartománya x > 0, amelynek megfelel a megoldás, tehát jó. 5. feladat. Számítsa ki zsebszámológép segítségével a következ logaritmus értékét. Az eredményt adja meg tizedesjegyre kerekítve! log 4 7 = lg7 lg4 = 0, 85 0, 6 =, 4037, 4 7

0, 5 lg(x ) + lg x 9 = () lg x + lg x 9 = () lg (x )(x 9) = lg0 (3) (x )(x 9) = 0 (4) (x )(x 9) = 00 (5) x 9x + 9 = 00 (6) x 9x 9 = 0 (7) x = 3 x = 7 (8) A kikötések: x > és x > 9, így csak az x = 3

8 6. feladat. Egy diagnosztikai m szer újkori ára Ft. A m szer minden évben 5%-ot veszít értékéb l (avul). A m szert ki kell selejtezni, ha értéke Ft. alá csökken. Hány év múlva következik be ez? , 85 n < () 0, 85 n < 0, () lg 0, 85 n < lg 0, (3) n lg 0, 85 < lg 0, (4) n ( 0, 0706) < ( 0, 699) (5) Válasz: Tehát a m szert 0 év után kell leselejtezni. n > 9, 9 (6) 7. feladat. Egy múmiából vett mintában 0 g szénb l, g volt a radioaktív 4 C izotóp. Hány éves lehet a múmia? A radioaktív bomlástörvény: N = N 0 t T, ahol N: a még el nem bomlott atommagok száma, N 0 : a kezdeti atommagok száma, t: az eltelt id a bomlás kezdete óta, T : a felezési id. A 4 C felezési ideje 5736 év, ennyi id alatt a 4 C atommagok fele bétabomlással nitrogén atommagokká alakul. Amíg a szervezet él, az izotóparány állandó, a szervezet anyagcseréjének leállásával a radioaktív izotóp aránya exponenciálisan csökken a radioaktív bomlás miatt. Az egyszer ség kedvéért a 4 C izotóp el fordulási aránya : nak, azaz : 0 -nek vehet. Természetesen, mivel arányokról van szó, a bomlástörvénybe a tömeget is behelyettesíthetjük: m = m 0 t T. 8

500000 0, 85 n < 300000 () 0, 85 n < 0, () lg 0, 85 n < lg 0, (3) n lg 0, 85 < lg 0, (4) n ( 0, 0706) < ( 0, 699) (5) Válasz: Tehát a m szert 0 év után kell leselejtezni. n > 9, 9 (6) 7. feladat.

9 Megoldás. A múmia halálakor a testében lév 0 g szénb l 0 0 = 0 g 4 C van. Behelyettesítéssel a következ exponenciális egyenletet kapjuk, melyet logaritmálás segítségével tudunk megoldani:, = 0 x 5736 (), 334 = x 5736 () 0, 667 = x 5736 (3) lg 0, 667 = lg x 5736 (4) lg 0, 667 = x lg 5736 (5) Válasz: A múmia ezek szerint 4000 éves lg 0, 667 x = (6) lg x 4000, 0565 (7) 8. feladat. Egy tóba honosítás céljából 500 darab csíkos sügért telepítettek 005 márciusában. A halbiológusok gyelemmel kísérték az állomány gyarapodását és azt találták, hogy a halak száma h(t) = 500 log 3 (t + 3) függvénnyel írható le, ahol t a telepítést l eltelt évek számát jelenti. a) Mennyi csíkos sügér élt a tóban 006 márciusában? b) Hány százalékkal n tt a halak száma 007 és 009 márciusa között? c) Várhatóan mikor éri el a halpopuláció az 500 darabot? 9. feladat. Egy biológiai kísérlet során baktériumokat szaporítanak. Azt tapasztalják, hogy megfelel körülmények között a baktériumállomány 6 óra alatt megduplázódik. A kísérlet kezdetén 000 baktérium volt. a) Mennyi baktérium volt a kísérlet kezdete után nappal? b) A kísérlet addig tart, amíg a baktériumok száma el nem éri a 0 9 darabot. Mennyi ideig folyik a kísérlet? 9

lg 0, 667 = x lg 5736 (5) Válasz: A múmia ezek szerint 4000 éves. 5736 lg 0, 667 x = (6) lg x 4000, 0565 (7) 8. feladat.

10 0. feladat. Oldjuk meg a következ egyenletrendszert a valós számok halmazán! log 3 (y x) = () x 3 y = 97 () Mivel 97 = 3 5, ezért x = és y = 5 megoldás, ha kielégítik az () egyenletet is. Mivel log 3 3 =, ezért a fenti megoldáspár jó.. feladat. Oldjuk meg a következ egyenletrendszert a valós számok halmazán! Az () egyenletet rendezve: Ezt a () egyenletbe behelyettesítve: x + y x y = () lg(x + y) + lg(x y) = lg () x + y = x y (3) x = 3y (4) lg(3y + y) + lg(3y y) = lg (5) lg 8y = lg (6) y, = ± x, = ± 3 (7) (8). feladat. Oldjuk meg a következ egyenletrendszert a valós számok halmazán! 3 x y = 0 () log 3 xy = () 3. feladat. Oldjuk meg a következ egyenletrendszert a valós számok halmazán! log x log y = 3 log 3 () 0, 5 y x = () 0

11 4. feladat. Egy óra alatt hány grammra csökken 00 g 9,7 perc felezési idej radioaktív bizmut izotóp tömege? m = m 0 t T, ahol m a pillanatnyi tömeg, m 0 a kezdeti tömeg, t az eltelt id, T pedig az anyag felezési ideje. m = ,7 =, 5. feladat. A világméret szociológiai kutatások eredményeként a fejlett ipari országok egy f re jutó nemzeti összeterméke (GDP) és a lakosság várható élettartama között hozzávet leg az alábbi tapasztalati összefüggés állítható fel: E = 75, 5 5, G 06, ahol E az átlagos várható élettartam években, G pedig a GDP, reálértékben átszámítva 980-as dollárra. Mennyi várható élettartam-növekedést okoz kétszeres GDP-növekedés, ha ez a növekedés a) 500$-ról 3000$-ra; b) 3000$-ról 6000$-ra; c) 6000$-ról 000$-ra történik? a) E = 75, 5 5, = 48, 09 E = 75, 5 5, = 59, 96 Válasz:,87 év a várható élettartam-növekedés. b) E = 75, 5 5, = 70, 5 Válasz: 0,54 év a várható élettartam-növekedés. c) E = 75, 5 5, = 74, 98 Válasz: 4,48 év a várható élettartam-növekedés. 6. feladat. A fenti összefüggést felhasználva válaszoljunk az alábbi kérdésre: mennyi GDP-növekedés szükséges a várható élettartam 0 évvel való meghosszabbodásához, ha ez

A világméret szociológiai kutatások eredményeként a fejlett ipari országok egy f re jutó nemzeti összeterméke (GDP) és a lakosság várható élettartama között hozzávet leg az alábbi tapasztalati

12 a) 40 évr l 50 évre; 40 = 75, 5 5, G 06 () 7, =, G 06 () lg 7, = lg, G 06 (3) 0, 85 = 6000 G 0, 03 (4) , = 6000 G (5) G = 85, 8 (6) 50 = 75, 5 5, G 06 (7) 5, =, G 06 (8) lg 5, = lg, G 06 (9) 0, 7 = 6000 G 0, 03 (0) , 3 = 6000 G () G = 690, 87 () b) 50 évr l 60 évre; c) 60 évr l 70 évre történik? 60 = 75, 5 5, G 06 (3) =, G 06 (4) lg 3, = lg, G 06 (5) 99, 4 = 6000 G (6) G = 3007, 59 (7) 70 = 75, 5 5, G 06 (8), =, G 06 (9) lg, = lg, G 06 (0) G = 5747, 9 ()

6000 G () G = 690, 87 () b) 50 évr l 60 évre; c) 60 évr l 70 évre történik?

13 7. feladat. Ha D összeget heti p%-os kamatozással befektetünk, akkor ( D + p ) n 00 n hét elteltével összeget vehetünk fel. a) Mennyi id múlva lesz befektetésünk értéke D, ha p = 4, 5? D = ( D + 4, 5 ) n 00 () =, 045 n () lg = n lg, 045 (3) n = 5, 75 (4) a) Mennyi id múlva lesz befektetésünk értéke D, ha p = 6? D = ( D + 6 ) n 00 (5) =, 06 n (6) lg = n lg, 06 (7) n =, 9 (8) 3

összeget vehetünk fel. a) Mennyi id múlva lesz befektetésünk értéke D, ha p = 4, 5?

Hasonló dokumentumok

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás: