MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 25. EMELT SZINT I.

Átírás

1 1) x x MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. EMELT SZINT I. a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg x y lg x lg x lg lg y 1 a) 1. eset: ennek valós gyökei és - Ezek megoldásai az eredeti egyenletnek. eset: ennek nincs valós megoldása Tehát az egyenlet megoldásai a b) A logaritmus azonosságait használva lg x y lg x lg x lg y 1 Az lg függvény szigorú monoton nő x 0 és x y x x y x x x 0, x x x 0, és a. (9 pont) y 1 a logaritmus értelmezése miatt A második egyenletből kifejezzük x-et, behelyettesítve az elsőbe kapjuk, hogy Ennek valós gyökei és 0,75 Az 4y 11y 0 y 1 miatt 0,75 nem eleme az értelmezési tartománynak Ezért csak y és így egyenletnek x lehetséges. A ; számpár megoldása az Összesen: 14 pont

2 ) Egy családnak olyan téglalap alakú telke van, melynek két szomszédos oldala 8 m, illetve 0 m hosszú. A telek egyik sarkánál úgy rögzítettek egy kerti locsoló berendezést, hogy a telek rövidebb oldalától 4 m-re, a vele szomszédos oldaltól m-re legyen. A locsoló berendezés körbe forgó locsolófeje azt a részt öntözi, amely a rögzítés helyétől legalább 0,5 m- re, de legfeljebb 4 m-re van. A telek mekkora részét öntözi a locsoló berendezés, és ez hány százaléka a telek területének? (11 pont) A telek öntözött területének nagyságát megkapjuk, ha az L középpontú körgyűrű területéből kivonjuk az AB húr által lemetszett körszelet területét A körgyűrű területe: m 4 0,5 49,5 Az AFL derékszögű háromszögből: cos 4, amiből 41,4 A középponti szögű ALB körcikk területe: Az ALB egyenlőszárú háromszög területe: 8, sin 8,8 11, 7,9 m m A körszelet területe tehát kb.,7 m és így a telek öntözött területe kb. 49,5,7 45,8 m Ez a telek területének kb.,%-a. Összesen: 11 pont ) Egy dolgozó az év végi prémiumként kapott kamatoztatni a következő nyárig, hat hónapon át. Két kedvező ajánlatot kapott. Vagy kéthavi lekötést választ kéthavi 1,7 %-os kamatra, kéthavonkénti tőkésítés mellett, vagy forintot átváltja euróra, és az összeget havi 0,5 %-os kamattal köti le hat hónapra, havi tőkésítés mellett. a) Mennyi pénze lenne hat hónap után a forintszámlán az első esetben? (Az eredményt Ft-ra kerekítve adja meg!) ( pont) b) Ha ekkor éppen 5 forintot ért egy euró, akkor hány eurót vehetne fel hat hónap múlva a második ajánlat választása esetén? (Az eredményt két tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (4 pont) c) Legalább hány százalékkal kellene változnia a 5 forint/euró árfolyamnak a félév alatt, hogy a második választás legyen kedvezőbb? (Az eredményt két tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (5 pont) Ft-ját akarja a) Kéthavonta 1,7 %-kal lesz több pénze, ami három ciklusban 1,017 -es szorzót jelent. Hat hónap után tehát a pénze , Ft lenne

3 b) A megadott árfolyamon forintért 98,5 eurót kap. Ez az összeg hat hónap alatt, havi tőkésítés mellett hatszor kamatozik, tehát -szorosára növekszik. 1,005 Hat hónap múlva c) Legyen 1 euró a nyáron x Ft. Ha jobban jár, az azt jelenti, hogy amiből 408,15 x ,5 1, ,15 eurója lenne. x 1,1 Ebből az árfolyamarány 1,1 1,0 5 kellene nőnie a forint/euró árfolyamnak., tehát legalább kb.,%-kal Összesen: 1 pont 4) Egyszerre feldobunk hat szabályos dobókockát, amelyek különböző színűek. a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy mindegyik kockával más számot dobunk? (5 pont) b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy dobásnál a hat dobott szám összege legalább 4 lesz! (9 pont) a) A kockák különbözőek, tehát az összes lehetséges eset Ha mindegyiknél más számot dobunk, akkor a hat különböző szám!- féleképpen fordulhat elő.! Innen a klasszikus formula szerint a valószínűség 0,0154. b) A hat szám összege legalább 4, azt jelenti, hogy 4, 5 vagy Tehát a következő esetek lehetnek: (1) () 5 5 () 4 4 (4) Összeszámoljuk, hogy az egyes esetek hányféleképpen fordulhatnak elő: (1) egyféleképpen () -féleképpen () -féleképpen (4) 15 -féleképpen A kedvező esetek száma összesen: A keresett valószínűség: 8 P 0,000. Összesen: 14 pont

4 II. 5) Az ABC háromszög körülírt körének sugara cm, a) Számítsa ki a BC oldal hosszát! (4 pont) b) Hány fokos a háromszög másik két szöge, ha az AC oldal b cm, az AB oldal b cm hosszúságú? (1 pont) A keresett értékeket egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! a) BAC 0 BC sin0 ( pont) BC 45,0 cm. b) Koszinusztételt felírva a BC oldalra: Ebből Mivel 5sin0 b 9b b cos0 b 89,7. b 0, ezért Erre felírva a szinusztételt sin0,7 b 17 (és így 51 b sin AC 17 sin 0 BC 45, így mert az AC oldallal szemköztes csak hegyesszög lehet. A háromszög harmadik szöge pedig kb. 100,9. )., amiből 19,1, Összesen: 1 pont ) Adott az f függvény: a) Határozza meg f zérushelyeit és elemezze az f függvényt monotonitás szempontjából! (7 pont) Jelölje c az f értelmezési tartományának egy pozitív elemét b) Határozza meg c értékét úgy, hogy az x tengely szakasza, az egyenletű egyenes és az f grafikonja által közbezárt síkidom területe 704 területegységnyi legyen! (9 pont) x c 0 a) A xx f : 1; ; f x 4x 19x 1; egyenlet intervallumba eső egyetlen megoldása a 0. f deriváltjának hozzárendelési szabálya: 1; A deriváltfüggvény f x 1x 19 0;c intervallumba eső egyetlen zérushelye 4. Itt a derivált előjelet vált, mégpedig pozitívból negatívba Az f függvény tehát monoton növekszik a 4; monoton csökken a intervallumon. 1;4 intervallumon és

5 0;c b) A ezért c 0 c 0 intervallumon f x 0 4x 19x dx 704 4x 19x dx x 9x 4 4 c 4 0 0; egyenletet kell megoldani a c 0 intervallumon x 9x c 9c 4 c 9c c 9c Megoldóképlettel: Az értelmezési tartományban az egyetlen pozitív megoldás: Összesen: 1 pont c 8 vagy c 88 c 8 7) A csonkakúp alakú tárgyak térfogatát régebben a gyakorlat számára elegendően pontos közelítő számítással határozták meg. Eszerint a csonkakúp térfogata közelítőleg egy olyan henger térfogatával egyezik meg, amelynek átmérője akkora, mint a csonkakúp alsó és felső átmérőjének számtani közepe, magassága pedig akkora, mint a csonkakúp magassága. a) Egy csonkakúp alakú fatörzs hossza (vagyis a csonkakúp magassága) m, alsó átmérője 1 cm, felső átmérője 8 cm. A közelítő számítással kapott térfogat hány százalékkal tér el a pontos térfogattól? (Ezt nevezzük a közelítő eljárás relatív hibájának.) ( pont) b) Igazolja, hogy a csonkakúp térfogatát a fentiekben leírt útmutatás alapján kapott - közelítő érték sohasem nagyobb, mint a csonkakúp térfogatának pontos értéke! (7 pont) Jelölje x a csonkakúp két alapköre sugarának az arányát, és legyen x 1. Bizonyítandó, hogy a fentiekben leírt, közelítő számítás relatív hibájának százalékban mérve a következő függvény adja meg: f : 1;, f x 5 x x 1 x 1 c) Igazolja, hogy f-nek nincs szélsőértéke! ( pont) a) A közelítő henger alapkörének sugara: cm, térfogata cm. A csonkakúp elméletileg pontos térfogata: cm. 00 A közelítő érték 09 cm -rel kisebb, tehát a pontos értéktől 00 1, %-kal tér el. 15

6 b) Legyen a csonkakúp alapköreinek sugara R és r, magassága m. A csonkakúp elméleti térfogata: m R Rr r R r A csonkakúp gyakorlati térfogata: m A két térfogat különbségéről állítjuk: Szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát az összevonások után: Vagyis R r 0 R Rr r 0 R Rr r m m R r 0 1 m adódik, ami minden R és r esetén igaz. -vel, bontsuk fel a zárójeleket és A következtetés minden lépése megfordítható, ezért az állítás igaz c) Az f függvény deriválható, a deriváltfüggvény hozzárendelési szabálya: x x x x x x x f x 5 f x 75 Az x f x 0 x 1 x 1 egyenletnek nincs megoldása az tehát f-nek nincs szélsőértéke 1; intervallumon, Összesen: 1 pont 8) Hat úszó: A, B, C, D, E és F indul a 100 méteres pillangóúszás döntőjében. Egy fogadóirodában ennek a versenynek az első, a második és a harmadik helyezettjére lehet tippelni egy szelvényen. Az a fogadó szelvény érvényes, amelyen megnevezték az első, a második és a harmadik helyezettet. Ha a fogadó valamelyik helyezésre nem ír tippet, vagy a hat induló nevén kívül más nevet is beír, vagy egy nevet többször ír be, akkor a szelvénye érvénytelen. Holtverseny nincs, és nem is lehet rá fogadni. a) Hány szelvényt kell kitöltenie annak, aki minden lehetséges esetre egy-egy érvényes fogadást akar kötni? ( pont) A döntő végeredménye a következő lett: első az A, második a B, harmadik a C versenyző. b) Ha egy fogadó az összes lehetséges esetre egy-egy érvényes szelvénnyel fogadott, akkor hány darab legalább egytalálatos szelvénye lett? (Egy szelvényen annyi találat van, ahány versenyző helyezése megegyezik a szelvényre írt tippel.) (1 pont) a) Mivel bárki végezhet bármelyik dobogós helyen, ezért az első, a második 5, a harmadik helyezett 4-féle lehet, így féle dobogós sorrend lehetséges, tehát ennyi szelvényt kell kitöltenie ( pont)

7 b) A telitalálatos szelvény tippje: ABC. Egyetlen szelvényen lett három találat A pontosan találatot elért szelvények tippje ABX, AXC vagy XBC alakú, ahol. Tehát 9 szelvényen lett pontosan találat ( pont) X D; E; F Az egytalálatos szelvények számát keressük. Az első három helyezett bármelyikét eltalálhatta a fogadó, így először tegyük fel, hogy éppen az 1. helyezettet (A) találta el, de nem találta el sem a., sem a. helyezettet. Ez két lényegesen különböző módon valósulhatott meg. 1. eset: A második versenyzőre leadott tipp a C versenyző. A szelvényen szereplő tipp ACX alakú, ahol. Ez négy lehetőség, tehát 4 ilyen x B; D; E; F egytalálatos szelvény van ( pont). eset: A második helyezettre adott tipp nem a C versenyző (de nem is a B versenyző). A szelvényen szereplő tipp AXY alakú, ahol. Az X X D; E; F helyére beírandó név megválasztása után az Y helyére három név bármelyike választható, mert csak három név nem írható oda: az A, a C és az X helyére választott név. Ezért 9 ilyen egytalálatos szelvény van Tehát összesen darab olyan egytalálatos szelvény van, ahol csak az első helyezettet (A) találta el a fogadó Hasonlóan okoskodva: 1 olyan szelvény lett, ahol csak a második helyezettet (B), és 1 olyan szelvény, ahol csak a harmadik helyezettet (C). Tehát összesen 1 9 egytalálatos szelvénye lett a fogadónak A legalább egytalálatos szelvények száma: Összesen: 1 pont 49 9) Egy ipari robotnak az a feladata, hogy a munkaasztalra helyezett lemezen ponthegesztést végezzen. Minden egyes lemezen a szélétől adott távolságra egyetlen ponthegesztést végez. Ellenőrzésnél megvizsgálják, hogy a robot mekkora távolságra végezte el a hegesztést. A méréshez olyan digitális műszert használnak, amelynek kijelzője egész milliméterekben mutatja a mért távolságokat. A minőségellenőr véletlenszerűen kiválasztott kilenc lemezt a már elkészültek közül, és azokon az alábbi gyakorisági diagramnak megfelelő távolságokat mérte. a) Számítsa ki a mért távolságok átlagát és szórását! (5 pont) Ha a minőségellenőr bármely tíz, véletlenszerűen kiválasztott lemezen a mért távolságok szórását 1 milliméternél nagyobbnak találja, akkor a robotot le kell állítani, és újra el kell végezni a robot beállítását.

8 b) Tudjuk, hogy az ellenőr már kiválasztott kilenc lemezhez egy olyan tízediket választott, hogy ezen minőségi követelmény alapján nem kellett leállítani a robotot. (Ehhez a kilenc lemezhez tartozó adatokat adtuk meg a feladat elején!) Mekkora távolságot mérhetett a minőségellenőr ezen a tízedik lemezen (a fent leírt mérőműszert használva)? (11 pont) a) A gyakorisági diagram szerint a következő távolságok fordulnak elő (mm-ben mérve): 41, 41, 41, 4, 4, 4, 4, 4, 44 Ebből az átlag , tehát 4 mm A szórásnégyzet: 9 9 Tehát a szórás: 8 9 0,94 mm. b) Legyen a tízedik mért távolság x mm. Az átlag ennek hozzávételével a következőképpen alakul: A szórásnégyzet a definíció szerint: 4 9 x 78 x 7,8 0,1x x x x x x, 0,1 4 4, 0,1 5, 0,1, 0,1 0,9 7,8 10 Ebből A feltétel szerint a tíz távolság szórása nem nagyobb 1mm-nél, azaz a szórásnégyzet sem nagyobb 1mm -nél Így 0,09x 7,5x 159,5 1 tehát megoldandó Nullára rendezés után a pozitív főegyüttható miatt a megoldás: 0,09x 7,5x 159, x, kerekítve kb. 40,5 4,5 x Egész milliméterben megadva csak a 41, a 4 és a 4 mm felel meg. Tehát a minőségellenőr a tízedik lemezen vagy 41, vagy 4, vagy 4 mm távolságot mért. Összesen: 1 pont