MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk

Átírás

1 MTEMTIK C 1. évflyam. mdul mi terünk Készítette: Kvács Kárlyné

2 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató mdul célja Időkeret jánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk térfgat- és felszínszámítási ismeretek alkalmazása. 4 fglalkzás (4 45 perc) 1. évflyam Tágabb környezetben: Fizika, kémia, bilógia Szűkebb környezetben: Szögfüggvények alkalmazása derékszögű hármszögben, skszögek tulajdnságai jánltt megelőző tevékenységek: Területszámítás képességfejlesztés fókuszai jánltt követő tevékenységek: Tanévvégi ismétlés Térlátás, térbeli visznyk felismerése, ábrázlás, reprezentáció, térfgat és terület becslése, mennyiségi következtetés, rendszerezés, metakgníció, kmbinatrikai gndlkdásmód, számlási képesség, szövegértés, prbléma-reprezentáció JVSLT z emberek a térszemléletük minősége szempntjából is különböznek. térszemlélet hsszú idő alatt alakul ki, és annak fejlesztése flyamats feladat. Mst, 1. sztályban fgalmazunk meg lyan térgemetriai fgalmakat, amelyekről már eddig sk tapasztalata gyűlt össze a diákknak. Ilyen alapvető fgalm a hsszúság, terület, térfgat is. mindennapi életben is gyakran használt ismeretek skirányú alkalmazása érdeklődést válthat ki a tanulókban (pl. papírdbz készítése megadtt testekhez a lehető legkevesebb papírból. De érdeklődésre tarthat számt pl. az is, hgy Charles Simnyi, a világűrben tett utazása srán az űrhajó pályájának egy pntjából a Föld felszínének hány százalékát láthatta, vagy vajn a láttt Föld a látóterének mekkra részét töltötte ki? középisklai tanulmányk végére el kellene érnünk, hgy minden diák a tanult testekről helyes vázlatrajzt tudjn készíteni. Ezzel érdemes külön is fglalkzni, és a tanulóknak megmutatni, hgy hgyan készíthető egy egyszerű, jól áttekinthető vázlatrajz. Ha van rá lehetőség, használjuk a Wrd rajzprgramját is!

3 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató MODUL FOGLLKOZÁSINK JVSOLT SORRENDJE 1. fglalkzás: Kckázás. fglalkzás: Szögletes testek. fglalkzás: Gömbölyű testek 4. fglalkzás: Síkban, térben

4 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató 4 MODULVÁZLT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény I. Kckázás 1 Kcka jellemző adatainak kiszámítása Metakgníció, rendszerezés, prblémamegldás, értelmes memória Kcka vetülete síkra frgatása közben Térlátás, térbeli visznyk felismerése, mennyiségi következtetés, ábrázlás, prbléma-reprezentáció, prblémaérzékenység Feladatlap: 1 4., 7. feladat Feladatlap: 5. feladat Kcka és a vektrk Értelmes memória Feladatlap: 6. feladat II. Szögletes testek 1 Különböző pliéderek lerajzlása, térfgatuk kiszámítása Ismeretek elmélyítése, rendszerezés, számlási képesség, térlátás, térbeli visznyk felismerése, ábrázlás, térfgat becslése, prbléma-reprezentáció. Feladatlap: 1 7. feladat III. Gömbölyű testek 1 Hengerre (gömbre) vnatkzó feladatk Ismeretek elmélyítése, térlátás, térbeli visznyk felismerése, ábrázlás, térfgat becslése, prbléma-reprezentáció. Feladatlap: 1.,.. feladat Kúpra vnatkzó feladatk Ismeretek elmélyítése, térlátás, térbeli visznyk felismerése Feladatlap:., 5., 7. feladat Gömb és részei Ismeretek elmélyítése, térlátás, térbeli visznyk felismerése Feladatlap: 4., 6. feladat

5 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató 5 IV. Síkban, térben 1 Síkbeli alakzatk térbeli megfelelőjének keresése. Ismeretek elmélyítése, rendszerezés, prbléma-érzékenység, kreativitás, eredetiség, érvelés, metakgníció Különböző testek egymáshz és a gömbhöz való visznya. ( Test a testben ) Térlátás, térbeli visznyk felismerése, mennyiségi következtetés, ábrázlás, prbléma-reprezentáció Feladatlap: 1. feladat Feladatlap: 6. feladat

6 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató 6 I. KOCKÁZÁS z alábbi feladatk megldása közben haszns, ha van előtted két kcka. z egyik legyen lapk által határlt, a másik átlátszó, csak az élei jelenítsék meg a kckát. 1. Állíts össze egy kckát a Plydrn készlet elemeiből! Mérd le a kcka élének hsszát mm pntssággal, és számítsd ki a kcka lapátlójának, testátlójának a hsszát, a kcka felszínét és térfgatát! Megldás: z a élű kcka lapátlójának hssza a, testátlójáé a, felszíne mért értéket kell a helyére behelyettesíteni. 6a, térfgata a.. Hány átlósíkja van egy kckának? (Átlósíknak nevezünk minden lyan síkt, amely tartalmazza a kcka négy csúcsát, de a lapját nem.) z átlósíkkból a kcka egy-egy síkidmt vág ki. Számítsd ki ezeknek a síkidmknak a területét! Megldás: z átlósík értelmezéséből következik, hgy annyi átlósíkja van a kckának, ahányféleképpen ki tudunk választani a kcka párhuzams élei közül két lyat, amelyek nem a kcka egy ldallapjának élei. kcka bármelyik 4 párhuzams éle közül kétféleképpen választható ki két-két ilyen él, tehát összesen 6 átlósíkja van egy kckának. z átlósíkból az a élű kcka mindegyik esetben lyan téglalapt vág ki, amelynek szmszéds ldalai a és a hsszúak, így a területe mindegyiknek t = a.. Mekkra szöget zár be egymással a kcka egy csúcsából kiinduló a) két lapátlója; b) lapátlója és testátlója; c) éle és testátlója? Megldás: a) z egy csúcsból induló két lapátló egy szabálys hármszöget határz meg, így a hajlásszögük 60 -s. b) z egy csúcsból induló lapátló és testátló a élű kcka esetében egy lyan derékszögű hármszöget határz meg, amelynek átfgója a, befgói a és a hsszúságú. kérdéses szöget α -val jelölve, csα = 0, Ebből adódik, hgy a lapátló és testátló hajlásszöge kb. 5,6.

7 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató 7 c) feladat a b) kérdés megldásában szereplő derékszögű hármszög másik hegyesszögének a kiszámítása. z egy csúcsból induló él és testátló hajlásszöge kb. 54, Válassz ki a kcka csúcsai közül négyet úgy, hgy azk egy szabálys tetraéder csúcsai legyenek! (Szabálys tetraéder lyan gúla, amelynek minden lapja egyenlő ldalú hármszöglap.) Számítsd ki ennek a szabálys tetraédernek a térfgatát, ha a kcka élének hssza 6 cm! Megldás: H G kaptt szabálys tetraéder térfgatát a legkönnyebb úgy kiszámítani, hgy a kcka térfgatából kivnjuk a E F leeső 4 egybevágó gúla térfgatát. Mivel egy ilyen a D C gúla térfgata:, a szabálys tetraéder térfgata: 6 B a a a 4 =, amely a = 6 cm esetében 7 cm Tegyél egy tömör kckát az asztallapra úgy, hgy a kcka egyik lapja párhuzams legyen az asztallapra merőleges fallal! Ebből a helyzetből kiindulva, frgasd a kckát a fallal párhuzams frgástengelye körül! frgatás srán a kcka ldallapja maradjn végig az asztaln! a) Ha a frgatás közben a falra merőlegesen megvilágítanánk a kckát egy párhuzams fénynyalábbal, milyen lenne a kcka árnyéka a faln? Rajzld le az árnyékt 60 -s és 45 -s, 90 -s szögelfrgatásnál! Mérd meg a kckád élének hsszát, és ennek alapján számítsd ki az árnyék által meghatárztt síkidm területét mind a hárm szögelfrgatás esetében! b)* z ilyen módn frgattt és megvilágíttt kcka árnyékának területe adtt élű kcka esetében csak az elfrgatás szögétől függ. Legyen az elfrgatás szöge a 0; π intervallum eleme! dd meg képlettel, és ábrázld is ezt a függvényt! kcka élének hsszát válasszuk 1 egységnek!

8 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató 8 Megldás: a) kcka felülnézete és az asztalra merőleges vetülete a kiindulási helyzetben és a hárm elfrgattt esetben: FL Mindhárm esetben a kcka merőleges vetülete téglalap. Ha a kcka élét a-val jelöljük, a 45 -s frgatásnál az árnyék területe a ; 90 -snál a. 60 -s frgatás esetében a vetület területe: a cs15 1,66a z ábrán az eredeti és a 60 -s elfrgatással kaptt kcka felülnézetben látható. Eközben a berajzlt lapátló is 60 -kal frdul el, és mivel a 45 -s frgatással kaptt lapátló párhuzams a fal merőleges vetületével, ezért a 60 -s frgatással kaptt lapátló ehhez 15 -s szögben hajlik. z ábrán pirs színnel megrajzlt derékszögű hármszögből a lapátló merőleges vetülete: a cs15 hsszú.

9 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató 9 b) Jelöljük α -val a frgatás szögét. függvény nyilván peridikus lesz, hiszen α és α s frgatás esetén a kcka merőleges vetülete ugyanaz a téglalap. z ábra π egy 0 < α < elfrgatást szemléltet. Ekkr a kérdéses lapátló a fal vnalával 4 π α szöget zár be, és a pirs színnel rajzlt derékszögű hármszögben a lapátló 4 π merőleges vetülete a cs α módn számítható ki. Egységnyi ldalélű kcka 4 π π esetében az árnyék területe: t ( α) = cs α, ahl. 0 α <. 4 4 π π π Ha α <, akkr hasnló módn adódik, hgy a terület t ( α) = cs α. 4 4 Mivel a kszinuszfüggvény párs, ezért π π cs α = cs α. 4 4 Ha 0 α π, akkr π t ( α) = cs α α α

10 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató 10 Ha a feladat felkelti a tanulók érdeklődését, tvábbi hasábk fgatását, és a vetület vizsgálatát is javaslhatjuk (pl. szabálys hatszögalapú egyenes hasáb). 6. dtt az ábrán látható BCDEFGH kcka hárm vektra: K = a, KB = b és KP = p. E hárm vektr és a vektrműveletek felhasználásával írd fel a következő vektrkat! E H P F G Q a) BC ; b) DE ; c) BH ; D C d) HC ; e) DQ, ahl Q a CG él K B felezőpntja. Megldás: a) BC = ( b) + ( a) = b a ; b) DE = a + b + p ; c) BH = b + p ; d) HC = p + ( b a) = p + b a ; e) p DQ = b a +. H G 7. Keress a kcka lapjain lyan pntkat, amelyek egyenlő E F távlságra vannak a kcka DF testátlójának két végpntjától! D C B Megldás: Hat ilyen pnt könnyen található (z ábrán pirs színnel jelölt élt felező pntk. Ezek a pntk mind E H F G megfelelnek a feltételeknek, hiszen mindegyik a DF 5 alapú, egyenlőszárú hármszög (a szár hssza a ahl a a kcka élének hssza) szárszögének a csúcsa., D B C Kérdés, hgy van-e több ilyen pnt. Mivel a D és F pntktól egyenlő távlságra lévő pntk halmaza a DF E H F G szakasz felezőmerőleges síkja, így e hat pnt D C B

11 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató 11 mindegyike ennek a síknak a pntja. keresett pnthalmaz: ennek a síknak és a kcka ldallapjainak metszésvnalai.

12 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató 1 II. SZÖGLETES TESTEK feladatk ismertnek tételezik fel néhány pliéder (hasáb, gúla, csnkagúla) térfgatának és felszínének kiszámítási módját cm ldalélű kcka minden lapjára kifelé lyan gúlát építünk, amelynek az ldalélei szintén 4 cm hsszúak. Mekkra az így keletkező csillagalakzat térfgata? Megldás: gúlának a két szemközti ldalélén átmenő tengelymetszete lyan egyenlőszárú hármszög, amelynek szára 4-4 cm, az alapja pedig 4 hsszú. Pitagrasz tételének megfrdítását alkalmazva a hármszög egyenlőszárú derékszögű, így az alaphz tartzó magassága (a gúla testmagassága) 4, azaz (cm) hsszú. térfgata (cm ). Így a csillagalakzat térfgata: = 64 (1 + ) 154,5 (cm ).. Egy téglatest térfgata 5 cm, tvábbá hárm, közös csúcsú ldallapjának területaránya 1::5. Határzd meg a téglatest éleinek hsszát! Megldás: Jelölje a téglatest egy csúcsából induló éleinek hsszát a, b és c. Ekkr abc = 5 9 és ab : bc : ac = 1: : 5. z utóbbi egyenletből c = a és b = a. Így a = 5, 5 5 amelyből a = 5. téglatest éleinek hssza: cm, 5 cm és 15 cm.. Panni 1. sztálys tanuló, és ő is mst különböző testek térfgatának és felszínének a kiszámítási módját tanulja matematika órán. Kezébe került egy japán nyelven írt matematika tankönyv. z egyik feladathz az alábbi ábra tartztt: C DB = BDC = CD = 10 D B

13 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató 1 Ez bizts egy BC hármszög alapú, egyenlő ldalélű gúla. Gndlm, hgy a felszínét vagy a térfgát kell kiszámítani. gndlta Panni. Te hgyan értelmeznéd a látttakat? Megldás: Mivel a hárm, közös D csúcsú szög összege 60, a D pnt illeszkedik az BC hármszög síkjára. z ábra nem jeleníthet meg egy BCD csúcsú gúlát, legfeljebb egy BC alapú, egyenlő ldalélű gúla alapra merőleges vetületét. Ennyi adat visznt nem határzza meg egyértelműen a gúla térfgatát, illetve felszínét. Ezek kiszámításáhz egy tvábbi adatra (pl. a testmagasság hsszára) van szükség. Gyakran előfrdul, hgy a tanulók anélkül, hgy meggyőződnének a feladatban szereplő alakzat, idm létezéséről, nekilátnak a feladat megldásának. Lehet, hgy ebben az (igencsak átlátszó) esetben is lesz tanuló, aki kiszámlja az BCD csúcsú gúla felszínét. Hagyjuk, töprengjen el a kaptt eredményen! feladat megldásának megbeszélése után lehetne flytatni a feladatt. Minden tanuló adjn meg egy tvábbi adatt, és annak ismeretében számítsa ki a gúla térfgatát, illetve felszínét. 4. Egy hármldalú egyenes hasáb alaplapja lyan BC derékszögű hármszög, amelyben a derékszög a C csúcsnál van, és C = 0 cm, BC = 1cm hsszú. hasábból egy síkkal lemetszünk egy BC alaplapú testet. Ez a sík az, B és C csúcskból induló ldaléleket az alaptól rendre 10 cm, 16 cm és 16 cm távlságra metszi. Mekkra térfgatú testet vágtunk le a hasábból? Megldás: hasábból lemetszett BCDEF testet F ismét messük el a D csúcsn átmenő, BC hármszöggel párhuzams síkkal! E hármszög alapú, 10 cm magasságú hasáb H térfgata: V 100 (cm ). z ábra 1 = szerinti téglalap alapú HGEFD gúla alaplapjának ldalhsszai 6 cm és 1 cm, D G testmagassága pedig 0 cm, így a térfgata C V = = 840 (cm ). hasábból levágtt test térfgata B V +V 940 (cm ). 1 =

14 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató Egy desszertes dbz szabálys hatszögalapú egyenes hasáb. dbzba elhelyezett desszertek szabálys hármszög alapú egyenes hasáb alakúak. Méreteik: az alapélük 4 cm, a magasságuk cm hsszú. desszerteket a dbzban szrsan egymás mellé helyezik el, és a desszertek és a dbz ldallapja közötti 0,5 cm-es hézagt papírral töltik ki. desszertek alá és fölé is papírt tesznek, amelyek magassága összesen szintén 0,5 cm. Mekkra térfgatú részt töltenek ki a desszertek, és mekkra a dbz térfgata, ha a dbz falvastagsága elhanyaglható? Megldás: z ábrán a dbz, benne a desszertek egy részlete látható felülnézetben. 4 cm ldalhsszúságú szabálys hármszög a magassága cm hsszú. két szabálys hármszög hasnlóságából következik, hgy + 0,5 a =. Ebből 4 1 a = 4 + 4,6 (cm). desszertes dbz magassága,5 cm, a térfgata: 4 cm 0,5 cm ( + 0,5) 6,5 16,1 (cm ). 6. Egy csnkagúla ldalélei egyenlő hsszúak, az alaplapjai 6 cm és 4 cm ldalhsszúságú négyzetek. csnkagúla ldallapjainak területösszege megegyezik az alaplapk területének összegével. Számítsd ki a csnkagúla felszínét és térfgatát! Megldás: Mivel a csnkagúla ldallapjainak területösszege megegyezik az alaplapk területének összegével, azaz 5 cm -tel, a csnkagúla felszíne 104 cm. csnkagúla ldallapjának magasságát m-mel jelölve, m 4 = 6 + 4, azaz m =,6 (cm). gúla M testmagasságának hssza meghatárzható a csnkagúla 6 cm és 4 cm alapú, m szárú szimmetrikus trapéz metszetéből: M =,4 (cm). csnkagúla térfgata: 60,8 cm. M =,6 1, ahnnan

15 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató 15 III. GÖMBÖLYŰ TESTEK feladatkban a henger, a kúp, a csnkakúp, a gömb és részei térfgatának kiszámításának ismeretére van szükség. E testek egymáshz való visznya ezen a fglalkzásn nem kerül elő. Hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hgy e térfgatk kiszámításra vnatkzó ismeretek gyakran alkalmazhatók a fizika területén is! 1. Egy m hsszú vascső falvastagsága 1 mm, belső átmérője 40 mm. Mit gndlsz, egy 5 éves kisgyerek meg tudja-e emelni a csövet a közepénél fgva? g ( vas sűrűsége 7,86.) cm Megldás: két henger alapkörének sugara, cm és a cm, magassága 00 cm. tömör vasból készült test térfgata: (, ) π 00 90,7 (cm ) ; a tömege pedig kb. 0816,7 g, azaz kb. 0,8 kg. kisgyerek nem tudja megemelni.. frgáshenger alakú dl-es vizespharamat 10 cm magasságig töltöttem meg vízzel. Vajn kiflyik-e belőle a víz, ha beledbk egy cm-es átmérőjű glyót, ami lemerül a phár aljára? ( vizesphár alaplapjának átmérője 6 cm.) Megldás: gömb által kiszríttt víz térfgata megegyezik a gömb térfgatával, így, ha x cm-t emelkedett a víz szintje, akkr szintje 0,5 cm-t fg emelkedni. 4 1,5 π = π x, és ebből x = 0, 5. víz phár térfgata 00 cm, így a phár m magasságára: 9 π m = 00, azaz m 10, 6. phár kb. 10,6 cm magas. víz tehát nem fg kiflyni a phárból.. z ábrán látható phár két, közös alapú körkúpból készült. kúpk csúcsának távlsága, cm. z egyik kúp nyílásszöge 90, a másiké 60. két kúp palástja közötti rész tömör üveg. Mekkra ennek a résznek a térfgata? Megldás: phár tengelymetszete két, közös alapú egyenlőszárú hármszög, melyek szárszöge 90 -s illetve 60 -s. Ha a phár határló körének sugara r, akkr a két hármszög közös alapja r, a hzzá tartzó magasság r, illetve r +,. közös magasságvnal által

16 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató 16 létrehztt, r +, befgójú derékszögű hármszögben a sugárral szemközti szög 0 - s, így tg0 r, =, azaz r = 4,4 (cm). r +, 1 kérdezett térfgat a két kúp térfgatának különbsége: 4,4 π,, és ez kb. 64,9 cm. 4. Mekkra tömegű terhet tud felemelni egy héliummal töltött, 1 m sugarú, gömb alakú léghajó, ha az elhanyaglható vastagságú burklat négyzetmétere 0, kg tömegű? (1 m levegő tömege kb. 1,9 kg, a léggömböt megtöltő héliumé köbméterenként 0,68 kg.) Megldás: héliummal töltött léggömbnek és a tehernek a súlya tart egyensúlyt a gömbtérfgatnyi levegő súlyával. léggömb felszíne 4 1 π 1809,6 (m ), ennek tömege kb. 6 kg. 4 1 π héliummal töltött gömb tömege: 0, 68, és ez kb kg. léggömb tömege = 0 (kg). 4 1 π léggömb által kiszríttt levegő tömege: 1,9 97 (kg). léggömb kb. 705 kg tömegű terhet tud felemelni. 5. Egy egyenes csnkakúp alap- és fedőkörének sugara R és r ( r < R ), magassága 10 cm. csnkakúp alktójának és alaplapjának α hajlásszögére tg α = teljesül. z alapkörre emelt, ugyanakkra magasságú henger térfgata 1,5-szerese a csnkakúp térfgatának. Hány cm hsszú R és r? Megldás: z ábrán a csnkakúp tengelymetszete látható. m tg α =, azaz = 10 R r = 5. R r R r henger térfgata 1,5-szerese a kúp térfgatának, így mπ R π m = 1,5 ( R + r + Rr), és ebből R = r + Rr. R = r + Rr egyenletrendszerből pl. behelyettesítő módszerrel az r 5r 5 = 0 R r = egyenlethez jutunk. Ennek egyetlen pzitív megldása: r = 8, 1. csnkakúp alap- és fedőkörének sugara kb. 1,1 cm és 8,1 cm hsszú.

17 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató Charles Simnyi magyar származású fejlesztőmérnök vlt az ötödik űrturista április 7-én indult a Szjuz-TM-10 űrhajóval 11 naps űrutazására, a Nemzetközi Űrállmásra. a) Vajn a Föld felszínének hány százalékát láthatta Charles Simnyi egy lyan pillanatban, amikr az űrhajó a Földtől 00 km távlságban vlt? ( Föld sugarát vegyük 670 km-nek.) b) Mekkra látószögben láthatta Charles Simnyi az a) kérdésben láttt Földrészlet két legtávlabbi pntját összekötő szakaszt? Megldás: a) gömb és kúp tengelymetszetén jelölje E az egyik érintési pntt, T pedig e pntnak a KS szakaszra eső merőleges vetületét. KSE derékszögű hármszögben alkalmazzuk a befgótételt: KE = KT KS, azaz 670 = KT Ebből KT 6176 (km). z R sugarú gömbből levágtt m magasságú gömbszelet felszíne, azaz a gömbbel közös részének területe: T T (km ). R m. Jelen esetben m = R KT 194 (km), így = π 8 Föld felszíne: 5, (km ). F T 0,015, tehát Charles Simnyi a Föld teljes felszínének kb. az 1,5%-át látta a F Földtől 00 km-re lévő pntból. KE 670 b) keresett szög a KSE szög kétszerese. Mivel sin KSE = = 0, 9696, és KS 6570 ebből KSE 75,8, így a látószög kb. 151,6. 7. z BC hármszög két ldalának hssza a = dm és b = 4 dm, tvábbá e két ldal által közbezárt szög 10. Megfrgatjuk a hármszöget először a b, majd a c ldalának egyenese körül. z egyik, illetve másik 60 -s frgatás srán mekkra térrészt határl a hármszög? Megldás: z egyik, illetve másik frgatással kaptt kettőskúp síkmetszete:

18 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató 18 r a c b R a b c r a) z első esetben: sin 60 =, ebből r =. keresett térrész térfgata két kúp térfgatának különbsége: r π b = 7π 84,8 (cm ). b) másdik esetben R hsszát kiszámíthatjuk a hármszög területéből: ab sin10 cr =. c ldal hssza kszinusztétel felhasználásával: c = cs10. Innen c = 7. Így 4 sin10 = 7 R 6, és ebből R = 1,71(cm). 7 R π 6 Ebben az esetben a kettőskúp térfgata: c = π 7 18,6 (cm ). 7

19 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató 19 IV. SÍKBN, TÉRBEN z első feladat síkbeli alakzatk térbeli megfelelőjének a keresésére szólít fel. Nyitva hagytuk a kérdést, hgy mi legyen az analógia alapja, azaz milyen tulajdnságban egyezzen meg a síkbeli és a térbeli alakzat. Így az esetek zömében több lehetőség is fennáll. Elképzelhető, hgy a tanulók között vita alakul ki egyik-másik esetben. Feltétlen várjuk el, hgy a tanulók állításaikat érvekkel támasszák alá! tanár lehetőleg mderátra legyen a vitának! 1. z alábbiakban megfgalmaztunk néhány síkbeli prblémát. Ezeknek az alakzatknak mi lehetne a térbeli megfelelője? Fgalmazd meg a síkgemetriai feladattal analóg térgemetriai feladatt! Oldd meg az eredeti, és az így kaptt térgemetriai feladatt is! a) dtt egy α knvex szög. Keresd meg azn körök középpntjainak halmazát az α szög szögtartmányában, amelyek érintik a szög mindkét szárát! Megldás: kör térbeli megfelelője lehet a gömb, hiszen mindkettő azknak a pntknak a halmaza, amelyek egy adtt pnttól adtt, pzitív távlságra vannak, de a kör esetében az adtt pntt tartalmazó síkn, a gömb esetében pedig a térben. feladatban a keresett pnthalmaz a knvex szög szögfelezője, a szög csúcsának kivételével. Ha a szögszár térbeli megfelelőjének a félsíkt tekintjük, akkr a szögfelezőnek az analóg párja a szögfelezősík (hasnló tulajdnság alapján). Két félsík hajlásszögét knvex szögként definiáljuk. feladat térbeli megfelelője: dtt két, közös határvnalú félsík, amelyek hajlásszöge α. Keresd meg a két félsík által határlt térrészben azn gömbök középpntjainak halmazát, amelyek érintik mind a két félsíkt! b) Milyen hsszú a b ldalhsszúságú négyzet beírt körének sugara? Megldás: kör analóg párja a gömb, a négyzeté lehet a kcka. ( négyzet ldalai egyenlő hsszú, egybevágó szakaszk, és bármely két szmszéds ldala derékszöget zár be egymással. kcka ldallapjai egybevágó négyzetek, és bármely két szmszéds ldallapja derékszöget zár be egymással. négyzet beírt körének analóg párja már nem lyan egyértelmű. Lehet, hgy a kckába írt gömb, de lehet, hgy a kcka éleit érintő gömb, attól függően, hgy a négyzet ldalainak mit feleltetünk meg: a kcka lapjait vagy éleit.

20 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató 0 feladat térbeli megfelelője: b 1 ) Milyen hsszú a b élű kcka beírt gömbjének sugara? b ) Milyen hsszú a b élű kcka éleit érintő gömb sugara? c) Egy téglalap két szmszéds ldalának hssza a és b. Mekkra sugarú kör írható a téglalap köré? Megldás: gömb bármilyen síkmetszete kör. Minden téglalap köré írható kör. Minden téglatest köré írható gömb. Ezek alapján a téglalap térbeli megfelelője lehet a téglatest. feladat térbeli megfelelője: Egy téglatest egy csúcsából induló éleinek hssza a, b és c. Mekkra sugarú gömb írható a téglatest köré? d) Egy hármszög területe t, kerülete k. Mekkra a hármszög beírt körének r sugara? t Megldás: Ismert összefüggés: r =. nnak alapján, hgy a hármszög a legkevesebb k ldalszámú skszög, a tetraéder pedig a legkevesebb lapszámú pliéder, tvábbá minden hármszögnek van beírt köre, és minden tetraéderbe írható gömb, a hármszög térbeli megfelelője lehet a tetraéder. Ekkr a hármszög területének a tetraéder térfgata, a kerületének pedig a tetraéder felszíne felelhet meg. feladat térbeli megfelelője: Egy V térfgatú, felszínű tetraéderbe mekkra sugarú gömb írható? Megldás: Jelölje a tetraéder lapjainak területét t 1, t, t, t4. Kössük össze a tetraéder csúcsait a tetraéder beírt gömbjének K középpntjával. Így négy lyan gúlát kapunk, amelyeknek a tetraéder ldallapjáhz, mint alaplaphz tartzó magassága megegyezik beírt gömb r sugarával, és a térfgatuk összege a tetraéder térfgatával megegyező. t1 r t r t r t r r = V, azaz ( t1 + t + t + t4 ) = V. V Mivel t 1 + t + t + t4 =, így r =.. Egy egyenes henger alapkörének sugara dm hsszú. hengerbe beírt lehető legnagybb térfgatú egyenes körkúp palástjának területe megegyezik a henger palástjának területével. Mekkra a henger magassága?

21 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató 1 Megldás: hengerbe beírt egyenes körkúp térfgata akkr a lehető legnagybb, ha alapköre és magassága megegyezik a hengerével. Jelöljük a henger magasságát m-mel. Ekkr a π kúp alktójának hssza m + 9, és palástjának területe: m + 9, azaz π m + 9. Mivel a két test palástjának területe megegyezik, ezért + π m = π m 9. Ebből m = (dm).. Egy egyenlő ldalélű, négyzet alapú csnkagúla magassága 8 cm, alap- és fedőlapjának területe rendre 6 cm, illetve 5 cm. csnkagúlába egy kckát helyeztünk el úgy, hgy annak egyik ldallapja a csnkagúla alaplapjára illeszkedik, a többi csúcsa pedig a csnkagúla alktóinak egy-egy pntja. Mekkra a kcka éle? Megldás: Kétféle síkmetszet látszik célszerűnek: az átlósík, vagy az alaplapk párhuzams középvnalait tartalmazó sík. Mi az utóbbit választjuk. Messük el a csnkagúlát (és a beírt kckát) az alap- és fedőlapjára merőleges, azk két-két párhuzams ldalát felező síkkal! csnkagúla síkmetszete lyan húrtrapéz, amelynek alapjai 6 cm és 5 cm hsszúak, szárai pedig a csnkagúla ldallapjának magasságával megegyező hsszúságúak. z x élű kcka síkmetszete egy x ldalú négyzet. m 5 x x m x Húzzunk párhuzamst a trapéz egyik szárával a rövidebb alapjának egyik végpntján át! Így két egyenlőszárú, hasnló hármszög keletkezett: alapjuk 1 dm és x 5 dm, alaphz tartzó magasságuk rendre 8 dm és 8 x dm hsszú. hasnlóság miatt x 5 8 x =. Ebből x = ( 5,). beírt kcka éle dm hsszú z egyik üzletben 4 gumilabdát hármféle kiszerelésben árulnak. z ábrákn a labdák elrendezése látható a különböző alakú dbzkban.

22 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató z 1. ábra szerinti elrendezés esetében henger, a. esetben téglatest, a.-ban pedig egy szabálys hármszög alapú egyenes hasáb alakú dbzba helyezik el a labdákat. labdák átmérője cm. Számítsd ki, hgy az egyes esetekben mennyi papír szükséges az egyes dbzk elkészítéséhez, ha a lehető legkevesebb papírból szeretnénk előállítani az egyes dbzkat! ( veszteségtől és az illesztéshez szükséges ráhagyásktól eltekintünk.) Megldás: 1. ábra: henger felszíne: = 1,5 π + 1,5 π 1 = 40,5π 17, (cm ). h. ábra: téglatest felszíne: = = 144 (cm ). t. ábra: hasáb magassága cm, az alapja pedig lyan szabálys hármszög, amelynek ldalai érintői a hárm, párnként egymást érintő, 1,5 cm sugarú köröknek. kör középpntja, érintési pntja, és a hármszög csúcsa által meghatárztt 1.5 derékszögű hármszögben: tg 0 =, és ebből x = 1,5. hármszög x hsszabb befgója,5 ( cm) 1 hsszú, így (szimmetria miatt) a hármszög ldalának hssza: = (1 + ) ( cm) dbz felszíne: +. 9 (1 + = ) 4 + (1 + ) = (cm ). 5. Egy egyenes fenyőfatörzs magassága 1 m, a vastagabb végénél az átmérő cm, a véknyabb végénél 0 cm hsszú. Egy faesztergálys a fatörzsből a lehető legnagybb

23 Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató térfgatú, téglalap alapú egyenes hasáb alakú gerendát szeretne készíteni. Hgyan válassza meg a hasáb méreteit? Mennyi lesz a veszteség? Megldás: csnkakúpba írt hasáb térfgata akkr a legnagybb, ha az alaplapja a 0 cm átmérőjű körbe írt négyzet, magassága 1 m. négyzet ldalának hssza ( cm) így a hasáb térfgata = (cm ) = 40 (dm ). fatörzs térfgata: 100 π ( ) = π 648,4 (dm ). veszteség kb. 408,4 dm. 10, 6. Egy sajtdarab alakja szabálys hatszögalapú egyenes gúla. Hányféleképpen és hl vágható el egyetlen, a gúla alapjára merőleges, vagy vele párhuzams egyenes vágással két egyenlő térfgatú részre? Megldás: szabálys hatszög középpntsan szimmetrikus, így a középpntján áthaladó bármelyik egyenes két egybevágó, tehát azns területű skszögre bntja a hatszöget. Mivel a gúla egyenes, így a hatszögön kívüli csúcsán átmenő, az alapra merőleges bármelyik sík két egyenlő térfgatú részre vágja a gúlát. gúla alapjával párhuzamsan csak egyféleképpen vágható el a gúla két egyenlő térfgatú részre, mégpedig az alapn kívüli csúcstól mérve, a gúla magasságának - ed részével megegyező távlságban. ( levágtt, x magasságú gúla hasnló az eredeti, x m magasságú gúláhz. hasnlóság arányának a köbe a két gúla térfgatának m 1 m arányával egyezik meg, ami jelen esetben. Így x =.)