Elektromágneses terek (VIHVA204, BSc kurzus) Szóbeli vizsgakérdések

Átírás

1 Elektrmágneses terek (VIHVA204, BSc kurzus) Szóbeli vizsgakérdések 1. Ismertesse az elektrmágneses tér frrásmennyiségeit és a köztük lévő kapcslatt! 2. Ismertesse az elektrmágneses tér intenzitásvektrait és a köztük lévő kapcslatt! 3. Ismertesse az elektrmágneses tér gerjesztettség vektrait és a köztük lévő kapcslatt! 4. Ismertesse az elektrmágneses tér térjellemzőire vnatkzó flytnssági és peremfeltételeket! 5. Ismertesse a Maxwell egyenletek integrális és differenciális alakjait! 6. Ismertesse az elektrdinamika felsztását! 7. Ismertesse az elektrmágneses térben az energiasűrűségre és az energiaáramlásra vnatkzó összefüggéseket! 8. Ismertesse az elektrsztatika Pissn egyenletét és megldását! 9. Ismertesse az áramlási tér alapösszefüggéseit! 10. Ismertesse a elektrsztatika Laplace egyenletét és a peremfeltételeket! 11. Ismertesse az elektrsztatikus feladatk megldását a helyettesítő töltések módszerével! 12. Ismertesse az elektrsztatikus feladatk megldását az integrálegyenletek módszerével! 13. Ismertesse a véges differenciák módszerét! 14. Ismertesse a részkapacitásk fgalmát és meghatárzásának módját! 15. Ismertesse a stacinárius áram mágneses terére vnatkzó összefüggéseket, a vektrptenciál bevezetését! 16. Ismertesse a Bit-Savart törvényt, az ön és kölcsönös indukció együttható számítását! 17. Ismertesse a távíróegyenleteket és megldásukat szinuszs gerjesztés esetén! 18. Ismertesse a lezárt távvezetékeken a reflexió tényező, a bemeneti impedancia fgalmát! 19. Ismertesse speciális lezárásk esetén az ideális távvezetéken kialakuló áram- és feszültségvisznykat, állóhullámkat! 20. Ismertesse a távvezeték illesztési kérdéseit, vezetékcsnkkal, ill. ideális transzfrmátrral! 21. Ismertesse az ideális távvezeték szakaszból készült rezgőrendszert és tulajdnságait! 22. Ismertesse a távvezetékek időtartmánybeli vizsgálatát, a menetdiagramkat! 23. Ismertesse a síkhullámkra vnatkzó egyenleteket és tulajdnságait! Ismertesse a távvezeték analógiát! 24. Ismertesse a síkhullámk viselkedését ideális és veszteséges szigetelőben, a síkhullámk plarizációját! 25. Ismertesse a síkhullámk viselkedését vezetőben, az áramkiszrítás jelenségét, váltakzó áramú ellenállás fgalmát! 26. Ismertesse a TE és TM módusú hullámterjedésre vnatkzó összefüggéseket! 27. Ismertesse a Hertz dipólus elektrmágneses terét! 28. Ismertesse a Hertz dipólus távli terét, az antenna jellemzőket! 29. Ismertesse a TE módusú csőtápvnalra vnatkzó összefüggéseket, erővnalképet! 30. Ismertesse a TM módusú csőtápvnalra vnatkzó összefüggéseket, erővnalképet! 31. Ismertesse a csőtápvnalakban haladó hullám diszperziós egyenletét és a határhullámhssz fgalmát!

2 1 - Ismertesse az elektrmágneses tér frrásmennyiségeit és a köztük lévő kapcslatt! Frrásmennyiségek: Töltés Minden elektrmágneses jelenség ka Jele: Q Mértékegysége: C (Culmb), As (Amper szekundum) Nagyszámú töltött részecskék fizikájával fglalkzunk, kvantáltságt elhanyagljuk ( ) Töltéselszlásk: makrszkpikusan kicsi, mikrszkpikusan nagy térrészt kell választani Térbeli: Felületi: Vnalmenti: Culmb törvény: két töltés között fellépő erő : Vákuum permittivitása, értéke 8, Tapasztalati törvény Azns előjelű töltések taszítják, ellentétes előjelűek vnzzák egymást Elektrms áram A töltések mzgása Áramsűrűségek: Térbeli: Felületi: Vnalszerű: I [A] Ampère törvény két áramjárta vezetődarab között fellépő erő (, 0) tapasztalati törvény : Vákuum permeabilitása, értéke 4 10 Frrásmennyiségek kapcslata: Flytnssági tétel A töltés megmaradásának elve 0 0 Mzgó töltések árama 0 vektrsan is igaz különböző töltések esetén:

3 2 - Ismertesse az elektrmágneses tér intenzitásvektrait és a köztük lévő kapcslatt! Általánsságban: Az erőteret a frrás- és gerjesztőmennyiségek hzzák létre, ebben az esetben töltések, áramk. Az elektrmágneses tér nem csak erőhatást közvetít, hanem az energia hrdzója a teljesítmény közvetítője Villams térerősség Jele: E, Mértékegysége: V/m Vnalintegrálja: feszültség : A és B pnt között eső feszültség A feszültség egy skaláris térjellemző Energetikai tartalma: A-ból B-be vitt töltésen végzett munka: Ha knzervatív az erőtér, akkr 0 0 Az integrálás tehát útfüggetlen Ptenciál: Adtt P pnt és az O alappnt között eső feszültség: Az alappnt megváltztatásával egy knstanssal váltzik Térerősség számlása skalárptenciálból: Mágneses indukció jele: B, mértékegysége: / Mérőkeret: 2; T: nymaték mágneses dipólnymaték: felületi integrálja: mágneses fluxus Számítása:, mértékegysége: Vs 0 0 tapasztalati törvény B vnalak zártak, B tér frrásmentes (nincs mágneses töltés) Térintenzitásk kapcslata Lrentz-törvény: Faraday-féle indukciótörvény: minden időben váltzó fluxus környezetében feszültség indukálódik. A vezető hurk integrálja a villams térerősséget

4 3 - Ismertesse az elektrmágneses tér gerjesztettség vektrait és a köztük lévő kapcslatt! Eltlási vektr (villams eltlás) jele: D, mértékegysége: / általáns esetben: P: villams plarizáltság lineáris, iztróp közegben lineáris függvénye -nek: : villams szuszceptibilitás; 0 Ebben az esetben 1 lineáris, iztróp közegben tehát Gauss törvény: Zárt felület villams fluxusa megegyezik a benne lévő össztöltéssel csak akkr hzható ki az integrál elé, ha értéke állandó a felület mentén Differenciális alak megkapható a Gauss tétel alkalmazásával: E-nek tt is frrása van, ahl váltzik (az anyag plarizációjából fakadóan) Elektrsztatikában E mindig örvénymentes, de D lehet örvényes is Mágneses térerősség jele: H, mértékegysége: A/m általáns esetben: M: mágneses plarizáltság lineáris, iztróp közegben lineáris függvénye -nak: : mágneses szuszceptibilitás; 0 Ebben az esetben 1 lineáris, iztróp közegben tehát Gerjesztési törvény: az áram és az eltlási áram is mágneses teret kelt csak akkr hzható ki az integrál elé, ha értéke állandó a vnal mentén Gerjesztési vektrk kapcslata Az áramsűrűségre vnatkzó flytnssági tétel div mindkét ldal -nél a tér- és az idő szerinti deriválás felcserélhetőek mat: divrt x = 0; 0 flytnssági tétel

5 4 - Ismertesse az elektrmágneses tér térjellemzőire vnatkzó flytnssági és peremfeltételeket! Flytnssági feltételek: Két közeg határán a teret jellemző vektrk mindig ezek alapján viselkednek Villams térerősségre: lim lim 0 A villams térerősség tangenciális kmpnense flytnsan megy át a közeghatárn Mágneses térerősségre: lim A mágneses térerősség tangenciális kmpnense ugrik, ha a felületen áram flyik A mágneses Indukcióvektrra: 0 lim Δ á 0 A mágneses indukcióvektr nrmális kmpnense flytnsan megy át a közeghatárn Az elektrms eltlási vektrra lim Δ á Az D vektr nrmális kmpnense ugrik, ha a közeghatárn felületi töltéssűrűség van Áramsűrűségre Közeghatárn a ttális áramsűrűség nrmális kmpnense flytnsan megy át Peremfeltételek Fém elektróda belsejében a villams térerősség 0. A flytnssági feltétel alapján a perem másik ldalán 0 a tangenciális kmpnense az elektróda felületére E vektr minden pntban merőleges. Következmény: az elektróda felülete ekviptenciális Ideális fém belsejében H = 0. Ebből adódóan

6 5 - Ismertesse a Maxwell egyenletek integrális és differenciális alakjait! Kiegészítés az eddigiekhez Eltlási áramsűrűség Kndenzátr töltése srán a fegyverzeten váltzik a töltéssűrűség Az áramsűrűség vektrk nem záródnak (fegyverzetek: nyelő és frrás) á ki kell egészíteni a gerjesztési törvényt Beiktattt (vagy idegen) térerősség Olyan térerősség, amelyet az elektrdinamikán kívül eső jelenség kelt (pl. kémiai töltésszétválasztás galvánelem). Ezt a térerősséget is figyelembe kell venni a differenciális Ohm törvényben. Integrális alak Gerjesztési törvény: Az áram - és az eltlási áram is - mágneses teret kelt Indukció törvény: A mágneses indukció időbeli váltzása villams teret kelt Mágneses Gauss tétel: 0 A mágneses erővnalak zártak, mágneses mnpólus nincs Elektrsztatikus Gauss tétel: Zárt felület villams fluxusa megegyezik a benne lévő össztöltéssel Anyagjellemzők: Energiasűrűség A fizika többi ágával teremt kapcslatt Feltételek: lineáris, iztróp közeg (D(E), B(H), J(E) lineáris, irányfüggetlen), vagyis nem vesszük figyelembe az energia kvantáltságát, vagyis nem vesszük figyelembe a töltések kvantáltságát, különben a relativisztikus Maxwell egyenletekkel kell dlgzni Átalakítás: Stkes tétel: Gauss tétel: Differenciális alak: ; ; 0;

7 6 - Ismertesse az elektrdinamika felsztását! Maxwell egyenletek: = + = = 0 = = = = + Elektrsztatika: = 0; = 0 A nyugvó töltések által keltett elektrms tér számításával fglalkzik = 0 = = Stacinárius áramlási tér: = 0 = 0 = 0 = kvázistacinárius tér (pl. nagyfeszültség ~50Hz): Stacinárius áramk mágneses tere: = 0 Időben állandó áramk által keltett mágneses terek számításával fglalkzik = = 0 = ha = 0 magnetsztatika Időtől függő jelenségek: Elektrmágneses hullámk: a teljes Maxwell egyenletrendszer

8 7 - Ismertesse az EM térben az energiasűrűségre és az energiaáramlásra vnatkzó összefüggéseket! Energiamérleg M(II): = ; M(I): = + ==> = vektraznsság: = ; é időgüggetlen = + = +, h = = 2 = () + = + + é á = ő á integrálás V térfgat szerint + á íé Jelentése: Ha csökken adtt térfgat elektrmágneses energiája, akkr annak egy része hővé válik, egy része pedig sugárzás frmájában távzik. A térfgatban lévő frrásk növelik az összenergiát. Julehő l hsszúságú A keresztmetszetű vezetőre: = = Frrásk Feszültség- és áramfrrásk az előjel a termelő jellegre utal Kisugárztt teljesítmény Pynting vektr definíciója: = Mértékegysége:, megadja egy felületegységen a felületen áthaladó teljesítményt Energiamérleg másik felírása: = 0 Energiasűrűség: w W = Teljesítménysűrűség: p P = pdv Pynting vektr: S P = SdA

9 8 - Ismertesse az elektrsztatika Pissn egyenletét és megldását! Pissn egyenlet Elektrsztatika: 0 Ezekből: Ezekből:, vagyis Δ Descartes krdináta rendszerben: Δ Pissn egyenlet általáns megldása Egy pntszerű töltés ptenciálja tőle r távlságban: Egy tértöltésfelhő úgy hzza létre a ptenciált, mint pntszerű töltések szuperpzíciója rész töltései által létrehzztt ptenciál: A teljes ptenciál P pntban: Kibntva:,, 1 4,, Egy töltés pntszerűnek tekinthető, ha r >> mint a V legnagybb lineáris mérete

10 9 - Ismertesse az áramlási tér alapösszefüggéseit! Maxwell egyenletek: = + = 0 = = 0 = = = = + Stacinárius áramlási tér: = 0 = 0 (nincs töltésfelhalmzódás) = (differenciális hm örvény) Peremfeltételek Elektrsztatikában az elektróda ekviptenciális felület, de stacinárius áramlási térben ez nem mndható ki (a fém véges vezetőképességű). Töréstörvény: ó ö esetén az elektróda felülete közelítően ekviptenciális Az elektróda peremén = 0 Analógia Az alapegyenletek hasnlósága és a peremfeltételek teljesülése mellett analógia fedezhető fel az elektrsztatika és a stacinárius áramlási tér mennyiségei között C és G kapcslata = = = = = = = elektrsztatika = áramlási tér = Egyenáramú ellenállás: = = ρ: fajlags ellenállás σ: fajlags vezetőképesség l: hasáb hssza A: hasáb alapfelülete

11 10 - Ismertesse az elektrsztatika Laplace egyenletét és a peremfeltételeket! Laplace egyenlet: Pissn egyenlet: Δ = = 0 töltésmentes (frrásmentes) esetben: Δ = 0 Peremfeltételek levezetése Kiindulás: A felületi töltéssűrűséget nem ismerjük, nem fglalkzunk vele a vizsgált térrészben = 0 Ha ez a kettő igaz, akkr miből lesz a tér? A kezdeti feltételekből! Itt: a peremértékekből Peremérték: az elektródák felületén fellépő térerősség és ptenciál A Laplace egyenlet egyértelmű megldhatóságának feltételei Green tétel (aszimmetrikus): n: az A felület nrmálisa TFH a Laplace egyenletnek létezik két megldása: ; Mindkét megldásra igaznak kell lennie: Δφ = ρ/ε kielégítik a Pissn egyenlet = Δ + () () Ha egy A D felületen elő van írva a ptenciál értéke (f(s) - tetszőleges helyfüggvény is lehet), itt mindkét megldásnak meg kell egyeznie Ha egy A N felületen a ptenciál nrmális irányú deriváltja van előírva (g(s) tetszőleges helyfüggvény is lehet), itt is meg kell egyezniük a megldásknak Vegyük a megldás különbségét: Green tétel alkalmazása: = =. = Δ + () + = Δ +.. /A felület felbntása: A=A D +A N I. A D felületrészen = = 0, tehát az integrál 0 II. A N felületrészen = = 0, tehát az integrál 0 III. Δ = Δ Δ = 0 IV. Az előző hárm miatt = 0 = A térerősség számításakr a deriválás srán kiesik a knstans Tehát: Ha a felület egy részén a ptenciál, egy másik részén pedig annak a nrmális irányú deriváltja elő van írva, akkr a Laplace egyenlet egyértelmű megldáshz vezet. Dirichlet típusú peremfeltétel: A felületen előírjuk a ptenciált (pl. elektróda) = () Neumann típusú peremfeltétel: A felületen előírjuk: = () Hmgén: = 0, tehát = 0 Inhmgén: () 0 Szimmetriák kezelésénél jól alkalmazható.

12 11 - Ismertesse az elektrsztatikus feladatk megldását a helyettesítő töltések módszerével! Az elektródák terét (az elektródákn kívül) úgy számítjuk, mintha a helyettesítő töltések hzták vlna létre. Kritérium: a helyettesítő töltések együttes ptenciálja ekviptenciálissá kell tegye az elektródák felületét (teljesüljenek a peremfeltételek). Ekkr a helyettesítő töltések ptenciálja eleget tesz a Laplace egyenletnek, kivéve a töltés helyét. Pissn egyenlet megldásának közelítése: Ha távlság S pnttól való függése elhanyaglható térrészen belül, akkr kihzható az integrálból., tehát a töltött térrész egy pnttöltéssel helyettesíthető Alkalmazás: Egyedülálló töltött gömb pnttöltés a gömb közepén Két töltött gömb egy-egy pnttöltés a gömbök közepén csak közelítő eredményt ad, de használható Egyedülálló fémhenger vnalmenti töltés a fémhenger tengelyén q Két fémhenger egy-egy vnalmenti töltés a fémhengerek tengelyén ezzel a megldással csak közelítő eredményt ad, de használható ha a vnaltöltéseket nem pnt a tengelyre helyezzük, akkr pnts megldást is adhat Fémsík, felette tetszőleges töltéselszlás a töltések tükrözése a fémsíkra ellentétes előjellel Két fémsík alktta sark a töltések tükrözése a síkkra ellentétes előjellel a töltések középpnts tükrözése a síkk metszésvnalára az eredetivel megegyező előjellel q q Q -Q Q h h h -q Q -Q

13 12 - Ismertesse az elektrsztatikus feladatk megldását az integrálegyenletek módszerével! Integrálegyenlet a felületi töltéssűrűségre Feladat: elektróda terének meghatárzása úgy, hgy a felületen nem ismerjük a töltéssűrűséget, csak a ptenciált A peremet felsztjuk részekre, itt a felületi töltéssűrűség A peremen a ptenciálnak -nak kell lennie. A peremen a ptenciál a Pissn képlet megldásából: Innen csak a ismeretlen, ez egy integrálegyenlet. Az integrálegyenlet megldása után a felületi töltéssűrűségből megkaphatjuk az egész teret Az integrálegyenlet numerikus megldása A felületet N felületdarabra sztjuk Minden ilyen felületdarabn -t knstansnak tekinthetjük, pnttöltéssel helyettesíthetjük Az integrálegyenlet teljesülését N pntban megköveteljük, ebből N egyenlet születik Ezeket a pntkat célszerű az ismeretlen pntjának választani, innen a módszer neve: klkáció (egybeejtés) A felületi töltéssűrűség elszlás kiszámítása tehát: ; ; ; ; ; ; ; ; ; Általánsabban: két elektródás feladat és pnt ptenciáljába a mind a két elektróda felületi töltéssűrűsége beleszámít Az egyik felületet, a másikat részre sztjuk, ebből egyenletet kapunk

14 13 - Ismertesse a véges differenciák módszerét! A véges differenciák módszere (vagy rácsmódszer) egyike a Laplace egyenlet numerikus megldásainak: A megldandó térrészt egy rács segítségével felsztjuk, majd a ptenciált csak a rácspntkban keressük. A módszer segítségével a peremfeltételek meghatárzása után egy véges térrész ptenciál és térerősség függvényei gyrsan megkaphatóak mátrixszámításk segítségével. A megldás menete Kiindulás: I. Töltésmentes villams teret feltételezve 0 II. Knzervatív villams teret feltételezve 0 A határfelületeken előírjuk a zérus Neumann peremfeltételt: 0 0 Elektródákn Dirichlet peremfeltétel: az adtt rácspntn ismert lesz értéke II. következménye: 0, ezért a rácspntk között alkalmazhatjuk az egyszerűsítést I. egyenlet egy adtt rácspnt körül általáns helyen: (J: jbb, B:bal, F:fent, L:lent) 0 /, á I. egyenlet egy adtt rácspnt körül határfelület szélén: I. egyenlet egy adtt rácspnt körül 2 határfelület sarkán: Az egyenleteken a rács minden pntjára fel lehet írni: 0 M mátrix főátlójában mindenhl 4-es szerepel (hiszen 4 0) Az összes többi elemre érvényes, hgy 0 M mátrix úgynevezett sávs/ritka (sparse) mátrix lesz helyett kb. 5 memóriaterület ptimalizált algritmuskkal lehet dlgzni velük (pl. inkmplett LU dekmpzíció)

15 14 - Ismertesse a részkapacitásk fgalmát és meghatárzásának módját! Kapacitás két semleges fém elektróda közé U feszültséget kapcslunk Az egyik +Q, a másik Q töltésűre töltődik, ahl Q aránys lesz a feszültséggel kapacitás: Részkapacitásk Kettőnél több elektróda van, itt a teljes rendszer össztöltése lesz 0 Meghatárzásuk: Maxwell együtthatók felírása: Invertálás: Bővítés, átrendezés alakra Itt együtthatók már a részkapacitásk Mivel, ezért Példa 3 elektróda + föld

16 15 - Ismertesse a stacinárius áram mágneses terére vnatkzó összefüggéseket, a vektrptenciál Maxwell egyenletek: 0 Vektrptenciál bevezetését! ha B-t egy vektr rtációjából vezetjük le, akkr a 0 autmatikusan teljesül. : Δ Δ mértékválasztás: értékével szabadn rendelkezünk; Culmb mérték: 0 Δ Descartes krdináta rendszerben: A Δ egyenlet általáns megldása Δ Δ Δ Elektrsztatikában: Δ, aminek az általáns meglása: Ezzel analóg módn: Tér meghatárzása: frrás segédmennyiség tér Fluxus számítása vektrptenciálból Jelölés: mivel a vektrptenciál jele A, a felületé legyen F Φ Φ Φ Vnalszerű vezető vektrptenciálja: : 0 Stacinárius áramk mágneses tere: 0 ha 0 magnetsztatika,

17 16 - Ismertesse a Bit-Savart törvényt, az ön és kölcsönös indukció együttható számítását! Bit-Savart törvény levezetése Vnalszerű vezető által keltett mágneses térerősséget szeretnénk kiszámlni egy P pntban vnalszerű vezetőre: B csak a P pntban kell: íé : 0, mert csak S-től függ, P-től nem, ahl, vagyis r irányú egységvektr negatív előjel eltűnik, ha megcseréljük a keresztszrzás srrendjét A betűk jelentése : Az vezeték által keltett mágneses térerősség a P pntban I: A vezetéken flyó áram : A vezeték egy pntszerű darabja : pntból P felé mutató egységvektr : P és dl pntk távlsága I r P Önindukciós együttható A vezető keretben létrejövő mágneses fluxus aránya az őt létrehzó árammal Szlenid esetén a keretre feszített felület lyasmi mint a húsdaráló spirálja. (Fluxuskapcslódás) Ezen a felületen közelítően: Kölcsönös indukciós együttható Egy árammentes vezető keretben keletkező fluxus aránya az őt létrehzó, de másik vezetőben flyó árammal Ha nincsenek ferrmágneses anyagk, akkr

18 17 - Ismertesse a távíróegyenleteket és megldásukat szinuszs gerjesztés esetén! (, ) ( +, ) (, ) ( +, ) (, ) l ( +, ) (, ) ( +, ) dx dx Ha egy vezető hssza összemérhető a rajta terjedő jel hullámhsszával, akkr az elszttt paraméterű hálózatkra érvényes egyenletekkel kell dlgzni. A távíró egyenletek A távvezeték paraméterei: R, G, L, C = felírása az l körre szakaszk felsztása:,, +, ; = i esetén mindegy, hgy melyiket írjuk fel, mert a limes után, = ( +, ), +, + +, +, = + ; = =, + +, +, =,,,, sztás dx-szel, idő szerint knstans +, =,,, lim é, lim +, =, = + = felírása a felső eret körülvevő dx hsszú hasábra szakaszk felsztása:,, + ; = = (, ) u esetén mindegy, hgy melyiket írjuk fel, mert a limes után, = ( +, ) +, + +, =,(,) (,) sztás dx-szel, idő szerint knstans +, =,, lim é, lim +, =, = + A távíróegyenletek megldása szinuszs gerjesztés esetén: / = Helyfüggő kmplex csúcsértékek bevezetése:, = R,, = R = + R = R + R R = R + t=0 behelyettesítéssel: = 1, tehát a két kmplex szám megegyezik t=t/4 behelyettesítéssel =, tehát a két kmplex szám megegyezik mivel a felső kettő teljesül, ezért minden t időpillanatban megegyezik a két kmplex szám a másik egyenlettel hasnló módn ugyanez jön ki

19 .. I. egyenletet még egyszer deriválva: behelyettesítve a II. egyenletet: A fenti diff. egyenletet kielégítik: ; ; és ezek lineáris kmbinációi A megldás tehát: á Kell még az áram: I. egyenletből: hullámimpedancia A megldás tehát: Az egyenletek fizikai értelmezése tagnként: Hullámimpedancia Pzitív irányba haladó feszültséghullám,, cs csillapdva jbbra haladó hullám cs cs cs : fázissebesség; Pzitív irányba haladó áramhullám, cs Negatív irányba haladó feszültséghullám Terjedési tényező, cs, : csillapítási tényező csúcsérték helyfüggését adja : fázistényező értelmezése: hsszegységre eső kezdőfázis az x hsszra fázisváltzás esik 2 ( : vezetett hullám hsza)

20 18 - Ismertesse a lezárt távvezetékeken a reflexió tényező, a bemeneti impedancia fgalmát! Krdináta rendszer váltás Adtt a feszültség és áram hányadsa a távvezeték egy adtt pntjában z új krdinátarendszer választása: z tengely a lezárásától mutat a távvezeték eleje irányába 0 mst csak ideális távvezetékkel fglalkzunk: = = 0 = ; = A hullámhssz nagyságrendjébe eső távvezetékek jó közelítéssel ideálisnak tekinthetőek = + = + Ezzel: = = Bemeneti impedancia (), amit a csak előrehaladó hullámkra írtunk fel A feszültség és áram visznyk flyamatsan váltznak a távvezetéken, ezért helyfüggő A h hszú, -vel lezárt távvezeték elején (z=h): = Reflexió tényező = = () = é, á ( vizsgálata: z pntban megadja az előre- és hátrafele haladó feszültséghullámk kmplex amplitúdóinak arányát = Lezárásn: = 0 = = = Ezzel egy másik felírás: = (0) A reflexiótényezőnek csak a szöge váltzik a távvezeték mentén öá 1 1 á () = () Innen = A lezárásn: = 0 = 0 = Kapcslat az előre- és hátra irányú feszültség kmplex amplitúdói között 0 = = 0 = 0 = 0 = 0 = +

21 19 - Ismertesse speciális lezárásk esetén az ideális távvezetéken kialakuló áram- és feszültségvisznykat, állóhullámkat! Illesztett lezárás: 0 Nincs visszaverődés, tehát csak balról jbbra haladó hullám alakul ki Rövidzár a távvezeték végén: sin βz 2 cs mat:, 2 sin βz ; 0 ; ; cs 90 sin, 2 sin sin, 2 cs cs sin : szinuszs helyfüggés sin : lélegeztető függvény állóhullám alakul ki a távvezetéken Az áram és feszültség között 90 fázis van tan Energetikailag a lezárás tisztán képzetes S=jQ Az ilyen módn létrehztt távvezeték csnkkal tetszőleges reaktanciát ki lehet alakítani Ohms lezárás (de nem illesztett): valós értékű lesz A teljes, függés túl bnylult lenne, csak a csúcsérték helyfüggésével fglalkzunk : cs sin cs sin cs sin 1 cs 1 sin 1 cs 1 sin = 1 2 cs 1 2 sin cs sin cs sin cs sin cs 2βz 1 2 cs 2 cs cs Állóhullámarány: 1 áóá

22 21 - Ismertesse az ideális távvezeték szakaszból készült rezgőrendszert és tulajdnságait! A távvezeték, mint rezgőkör Speciális lezárásk esetén a távvezeték úgy működik, mint például akusztikában a síp Rövidzár esetén a feszültség a lezárásn 0 Szakadás esetén a feszültség a lezárásn Az lyan frekvenciákn, ahl ezek a feltételek teljesülnek a távvezeték reználni fg Általáns esetben a lezárás lehet tetszőleges impedancia A prbléma elektrtechnikai megfelelője: két srba kapcslt impedancia a hálózat gerjesztetlen, az áramt a kezdeti értékekből kapjuk meg Hurktörvény: Keressük a triviálistól különböző megldást: 0 0 Egy gyakrlati feladat speciális eset: srs LC kör 0 é A rezgőkört egy végén rövidre zárt h hsszúságú távvezeték alktja A távvezetéket egy aktív elem hajtja, ezt a kimeneti kapacitásával mdellezzük 0 0 ; / ha körfrekvenciát keressük, akkr ez egy transzcendens egyenlet ha h-t keressük egy adtt körfrekvenciáhhz, akkr ez egy egyszerű egyenlet Z1 Z2 h

23 23 - Ismertesse a síkhullámkra vnatkzó egyenleteket és tulajdnságait! Ismertesse a távvezeték A vektriális hullámegyenlet analógiát! A közeg veszteségmentes = ; = 0, gerjesztetlen: = 0, és tértöltésmentes: = 0 = ; = A villams és a mágneses tér egymást gerjesztik A hullámegyenlet levezetése a villams térerősségre: = é = Δ = Δ = = = / = 0 ; : = Δ A vektriális hullámegyenlet megldása síkhullámkra (Descartes krdinátákban) + + = + + = + + = kell még: = = 0 Az egyenletek alkalmazása z irányba terjedő síkhullámra A kialakuló tér független két térbeli krdinátától: = 0; = 0 Jelentése: adtt pillanatban valamely x-y síkn nézve a térerősség vektrk megegyeznek Ezek után a hullámegyenlet: = = És a = 0 kifejezésből: = 0 jelentése: Ha van, akkr csak helyfüggetlen lehet mi lyan tereket vizsgálunk, ahl = 0 A tvábbiakban csak azzal az esettel fglalkzunk, hgy = 0 Ha is van: plarizáció Ami megmaradt: = Ennek minden = ( ) alakú függvény megldása Biznyítás: kétszer deriválás után = Ebből adódik: = = = A mágneses térerősség meghatárzása általában = 1, különben az EM hullám gyrsan csillapdik kivéve ferrit frekvenciafüggő, ez az alapja a diszperzió jelenségének = = det / / / íá det tudjuk, hgy = 0 0 1, és épp a fenti egyenletet adja = = ( ) miatt =

24 ; 1/, ahl az integrálásból adódó időtől független tag (nekünk nem kell) a terjedés iránya, tehát A térerősség vektrk benne vannak a terjedés irányával merőleges ún. transzverzális síkban Közeg hullámellenállása vákuumban: 377Ω 120π Síkhullám veszteséges szigetelőben: távvezeték analógia alapján ebben az esetben 0 0 ; Speciális esetet vizsgálunk: -nek csak x kmpnense van ( ) -nak csak y kmpnense van ( ) det / / / 0 0 hasnlóan: Ezekkel átírva a két kiindulási egyenlet: íá áé 0 csωt βz Az egyenletek megldása tehát ugyanaz: csωt βz φ Az analógia alapján a síkhullámkra jellemző és értékek egyszerű betűcserével megkaphatóak Síkhullámk Távvezetékek fémsík rövidzár

25 24 - Ismertesse a síkhullámk viselkedését ideális és veszteséges szigetelőben, a síkhullámk plarizációját! Vektriális hullámegyenlet levezetése = + ; = másdik egyenlet rtálása = = = + : = Δ Δ + + = 0 Szinuszs váltzásk esetén: Δ + + = 0 Δ + + = 0 Síkhullámkra: Δ = Síkhullám viselkedése ideális szigetelőben = = = + + = 0 Δ + = 0 = = = = = = = 377Ω, tisztán valós, = cs, = cs balra haladó, csillapítatlan hullám jön létre és fázisban vannak egymásal Síkhullám viselkedése veszteséges szigetelőben = + áá = + = + = + 1 = 1 Kmplex permittivitás bevezetése: 1 tisztán képzetes A Valós része az igazi permittivitás, és a képzetes része tartalmazza a vezetőképességet Másképp is ki lehet fejezni: tan δ = 1 tan = é áűűé = = = = á áűűé / = Erre alkalmazhatjuk az ideális szigetelőre kaptt frmulákat Másik módszer: távvezeték analógia alkalmazása Síkhullámk plarizációja Síkhullám hullámegyenletei: = =, mst figyelembe vesszük -t is, = cs, = cs = 0 Lineáris plarizáció: Az eredő térerősség vektra egy egyenesen lüktet = ±90 ; = Cirkuláris plarizáció: Az egy körön frg balra vagy jbbra = ±90 ; Elliptikus plarizáció: Az egy szabálys ellipszis mentén frg = ő Általáns plarizáció: Az egy általáns helyzetű ellipszis mentén frg Ezeket úgy kell elképzelni, mint szcillszkópn az x-y módban rajzlható Lissajus ábrákat

26 25 - Ismertesse a síkhullámk viselkedését vezetőben, az áramkiszrítás jelenségét, a váltakzó Síkhullámk viselkedése jó vezetőben é á áramú ellenállás fgalmát! 2, cs A vezetőbe bejutó síkhullám térerősségeinek csúcsértékei expnenciálisan csökkennek Időállandó az elektrtechnikában: /, ahl időállandó Ennek mintájára: /, ahl hsszállandó, de inkább: behatlási mélység A térerősség amplitúdója a vezetőben a behatlási mélyégnél csökken -ad részére ú Az áramkiszrítás jelensége Más néven: skin-hatás A frekvencia növelésével az áramsűrűség a vezető szélei felé skkal nagybb lesz, mint a közepén. A váltakzó áramú ellenállás (példán keresztül) Az ábrán látható vezetőn számljuk a veszteséget Térszemlélet: az energia a szigetelőben áramlik, a vezetőknek csupán a tér kialakításánál van szerepük. A szigetelőben kialakult tér visznt a vezetőben is teret gerjeszt: irányba egy expnenciálisan csökkenő síkhullám indul el a vezetőben. Feltételezve, hgy 0 A vezetőben flyó teljes áramt megkapjuk, ha a térfgatára integráljuk az áramsűrűséget ( ), amely csak z-től függ / * 0, mert A vezetékbe áramló teljesítmény számítása: ; kifejezésből megkapjuk a váltakzó áramú ellenállást 1 A keresztmetszet: mintha csak mélységig flyna a helyfüggetlen áram

27 Elektrmágneses hullámk gerjesztése 27 - Ismertesse a Hertz dipólus elektrmágneses terét! A Maxwell egyenletek teljes rendszere: ; ; 0; Ezekből, és a felhasználásával megkaphatjuk az inhmgén hullámegyenleteket Δ : Vektriális inhmgén hullámegyenlet 0 Speciális esetben: Δ vektriális Pissn egyenlet 0 Speciális esetben: Δ Δ : Skaláris inhmgén hullámegyenlet vektriális hmgén hullámegyenlet 0 Speciális esetben: Δφ / skaláris Pissn egyenlet 0 Speciális esetben: Δ skaláris hmgén hullámegyenlet Ezek általáns megldásait a retardált (késleltetett) ptenciál bevezetésével lehet megkapni A Hertz dipólus a gerjesztés váltzás hatásának,, / időre van szüksége, hgy megtegye az utat,, / Adtt egy keresztmetsztű vezetékdarab, amelyben sin áram flyik A vezetékdarab lyan rövid, hgy rajta az áramsűrűség egy adtt időpillanatban hmgén elszlású, 0 0 éé Lépésfüggvénnyel ablakzva:, cs / sin sin sin 0,, sin A tér számításának menete: frrásk, segédmennyiségek, tér A tér számítása srán bevezetjük az antenna nymatékt: lim A hertz dipólus teljes tere 1 cs 1 sin 0 szimmetriák 1 sin Közeltér: 1/, és 1/ együtthatóval szereplő részek, ezek akkr érvényesülnek, ha r kicsi Sztatikus tér: 1/ : itt még elhanyaglható a késleltetés Indukciós tér: 1/ : az 1/ -es mágneses tér villams teret indukál Távltér, vagy sugárzó tér: Az 1/-rel szereplő kmpnensek, általában csak ezzel számlunk

28 A Hertz dipólus teljes tere 28 - Ismertesse a Hertz dipólus távli terét, az antenna jellemzőket! 1 cs 0 1 sin 1 sin Távltér, vagy sugárzó tér: Az 1/-rel szereplő kmpnensek, általában csak ezzel számlunk A Hertz dipólus távltere is kell a tér szerkesztéséhez, de nem írjuk mst fel sin sin sin sin * A képletekben megjelenő szrzó a térerősségek 90 fks fáziskésését jelenti az áramhz képest. Ez minket mst nem érdekel, új kezdőfázist választunk, hgy ezt elhagyhassuk Az időfüggvény:,, sin,,,, sin cs sin cs sin cs sin cs A távltér tulajdnságai Nagy távlságkban ez a gömbhullám jól közelíthető síkhullámmal 1/ é á 377Ω Antennajellemzők, számításuk Hertz dipólusra Sugárzási ellenállás Pynting vektr: őá sin Elsugárztt teljesítmény: 80 egy fiktív ellenállás: a generátr felől így látszik az antenna Iránykarakterisztika irányfüggését fejezi ki a távltérben sin sin Teljesítmény iránykarakterisztika S irányfüggését fejezi ki a távltérben. sin Irányhatás Nyereség á á áá / á / dipólusra 1.5, ebbe be benne vannak a valós antenna fizikai jellemzői is z x

29 29 - Ismertesse a TE módusú csőtápvnalra vnatkzó összefüggéseket, erővnalképet! A Maxwell egyenletek Descartes krdináta rendszerben, szinuszs váltzáskra, ideális közegben: Speciális esetet: z irányba terjedő hullám Átrendezés után: és ismeretével mindegyik kmpnens kiszámlható és hatása szuperpzíció módn jelenik meg: TE és TM alapterek A TE módusra vnatkzó egyenletek módus erővnalképe 0 esetet vizsgáljuk (Transzverzális, Elektrms) Vektriális hullámegyenletből: cs cs A fenti egyenletekbe -t behelyettesítve megkapjuk: cs sin sin cs sin cs cs sin Az egyenletek kielégítik a peremfeltételeket, miszerint a cső falán (ideális fém) E-nek nem lehet tangenciális kmpnense, 0 0 y, 0 b 0, 0, 0 x a Szabály: módus nincs; 0 (különben minden kmpnens 0 lenne)

30 30 - Ismertesse a TM módusú csőtápvnalra vnatkzó összefüggéseket, erővnalképet! A Maxwell egyenletek Descartes krdináta rendszerben, szinuszs váltzáskra, ideális közegben: Speciális esetet: z irányba terjedő hullám Átrendezés után: és ismeretével mindegyik kmpnens kiszámlható és hatása szuperpzíció módn jelenik meg: TE és TM alapterek A TM módusra vnatkzó egyenletek 0 esetet vizsgáljuk (Transzverzális, Mágneses) Vektriális hullámegyenletből: sin sin A fenti egyenletekbe -t behelyettesítve megkapjuk: cs sin sin cs sin cs cs sin Az egyenletek kielégítik a peremfeltételeket, miszerint a cső falán (ideális fém) E-nek nem lehet tangenciális kmpnense, 0 0, 0 0, 0, 0 y b Szabály: 0, különben nem lehetnének zártak a erővnalak a x

31 31 - Ismertesse a csőtápvnalakban haladó hullám diszperziós egyenletét és a határhullámhssz fgalmát! Ha a terjedés srán a különböző hullámhsszakn más és más a jel futási ideje, akkr a távvezeték végén egy szétkent jelet kapunk (Diszperzió: szétflyás). A diszperziós görbét a fázistényező adja a körfrekvencia függvényében: Diszperziós egyenlet a csőtápvnalra Villams térerősségre vnatkzó vektriális hullámegyenlet: Δ z irányú terjedésre: Δ Szinuszs váltzásk: ; 0 Az így kaptt parciális differenciálegyenletet szrzatszeparálással ldjuk meg, A szrzatt egy csak x-től és csak y-tól függő részekre bntjuk. Ahl x szerint kell deriválni, tt Y-t ki lehet emelni, és frdítva á 0 0 (csak x-től függő rész) + (csak y-tól függő rész) = knstans ez csak úgy teljesülhet, ha a csak x-től és y-tól függő részek is knstansk,, a és tagk nem tesz eleget a peremfeltételeknek, y b és meghatárzását a peremfeltételekből tehetjük meg Cső fala ideális fém 0 a faln, , 0 0 ; 1,2,3 0, , 0 sin 0 ; 1,2,3 A határhullámhssz Az így kaptt diszperziós egyenlet a és móduskra is igaz a x határfrekv. Ha, akkr a gyök alatt pzitív érték lesz, valós szám, cs nem jön létre hullámterjedés Ha, akkr a gyök alatt negatív érték lesz, tisztán képzetes, cs csillapítatlan terjedés jön létre A terjedés feltétele tehát ( 2/ behelyettesítéssel):

32 Mennyiségek, mértékegységek Jel Mennyiség V-A-s-m név Jel Mennyiség V-A-s-m név Jel Mennyiség V-A-s-m név I áram A Amper E energia VAs J, Jule S Pynting vektr fajlags K felületi áramsűrűség W munka VAs σ vezetőképesség látszólags teljesítmény térbeli áramsűrűség S VA VA ρ fajlags ellenállás S = P + jq eltlási áramsűrűség P hatáss teljesítmény VA W, Watt δ behatlási mélység m hsszegységre eső U feszültség V Vlt Q meddő teljesítmény VA var R ellenállás hsszegységre eső ptenciál V Vlt p teljesítmény-sűrűség C kapacitás C, hsszegységre eső Q töltés As ϕ mágneses fluxus Vs Wb, Weber L Culmb induktivitás terjedési tényező 1 térbeli töltéssűrűség B mágneses indukció T, Tesla = + 1 felületi töltéssűrűség H mágneses térerősség csillapítási tényező 1 q vnalmenti töltéssűrűség M mágneses plarizáltság fázistényező mágneses 1 R ellenállás Ω, Ohm - f frekvencia szuszceptibilitás 1 S vezetőképesség S, Siemens E villams térerősség ω körfrekvencia, Z impedancia Ω, Ohm D villams eltlási vektr állóhullámarány - VSWR hullámimpedancia Ω, Ohm P villams plarizáltság r reflexiós tényező - villams Y admittancia S, Siemens - szuszceptibilitás vákuum permittivitása vektrptenciál 8,85 10 A / (mágneses) vákuum permeabilitása 4 10 C kapacitás F, Farad / fénysebesség c L induktivitás H, Henry 1/ = F erő N, Newtn w energiasűrűség Ω Ω Hz, Hertz

33 Maxwell egyenletek Legfntsabb összefüggések - A Elektrsztatika matek _ab = + = + = = = 0 = 0 = = = = = + = stacinárius áramlás = 0 ; = 0 ; = = = 0; Δ = 0 = 1 2 ; = pntfrrás: = ; = éö ö: = elektrsztatika analógia: ; ; 4 Kax: = ln ; = Lecher: = ln ; = = Egyszerű elrendezések Hasábellenállás: = = Egyenes tekercs: = = 0 ; = ; = Δ = ; = Culmb: = = ; = ( ) = 0 ; = öé: = öé: = = 4 ; = ; = 2 ln í: = ± 2 ; = 2 ; Stacinárius mágneses tér = ; = 0 ; = = I áramú dl szakaszra ható erő: = ( ) = ; = 0 = ; Δ = ; =. : = 4 = 1 2 ; ő: = indukálási jelenségek = ; = 2 = ; = + = Csőtápvnal á + = + 2 < = + kör: = 2 ; = ; = / gömb: = 4 ; = cs x = ; sinx = Stkes tétel: Gauss tétel: = ; = = = + + = = det / / / = = + + Δ = = = + + Δ = = 0 = 0 = + = = + = + = = Descartes rendszerben (a,b: skalár -- u,v: vektr): Aznsságk: Hertz dipl = 2 1 sin = 1 2 sin = 80 ; = 1,5 Síkkndenzátr: =

34 Legfntsabb összefüggések - B Távvezetékek = + = + Szinuszs gerjesztés: = + = + = + = + + = = = + +, = cs +, = cs + + analógia u i R 0 L G C Elektrmágneses hullámk = = + Szinuszs gerjesztés: = + = + = + = + = = = +, = cs +, = cs = = 1 2 = 2 = 2 ; = ; = 1 h = = h = 0 = + = = / = 1 ± hh = hh hh hh = hh + h(h) hh + h(h) Ideális esetben: h = h h h = + (h) + (h) = 1 2 Δ = időátlaga: = cs Δ + = 0 Ideális szigetelőben = 0 = = ; = Ideális vezetőben = = ; = Vezetőben: = 0 / Réz vezetőben: = 1; = 57/m Veszteséges vezetőben h = = = = (h) = 0 = h Összeállíttta: Halász Csaba jajba-ptty@fre .hu. Felhasznált anyagk: 2010 előadás videók (vide.bme.hu); Bilicz Sándr EMT példatár; Ecker Tibr Ádám 2010 Órai jegyzet; Steierlein Mártn kidlgzás; Grócz Vilms kidlgzás; Kiss Gergely kidlgzás; Csóti László Zltán kidlgzás. Ezútn köszönet a munkáikért. Utlsó javítás: