MATEMATIKA C 12. évfolyam 5. modul Ismétlés a tudás anyja

Átírás

1 MATEMATIKA C. évflyam 5. mdul Ismétlés a tudás anyja Készítette: Kvács Kárlyné

2 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés a tudás anyja Tanári útmutató A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk A középszintű érettségi vizsgakövetelményeiben szereplő ismeretanyag ismétlése feladatkn keresztül. fglalkzás ( 5 perc). évflyam Tágabb környezetben: Fizika, bilógia, földrajz, gazdaságtan, szcilógia Szűkebb környezetben: A középisklai matematika tananyag a mdulcímek által megadtt témakörökben. Ajánltt megelőző tevékenységek: A -edik sztálys tananyag ismétlése. Ajánltt követő tevékenységek: Próbaérettségi feladatsr megírása. A képességfejlesztés fókuszai Rendszerezés, érvelés, biznyítás, prbléma-érzékenység, prbléma-reprezentáció, ábrázlás, térlátás, prezentáció, kmbinativitás, induktív és deduktív következtetés, mennyiségi következtetés, valószínűségi következtetés, szövegértés, szövegértelmezés, relációszókincs, értelmes memória, metakgníció AJÁNLÁS A. tanév másdik féléve az ismétlés időszaka. A délutáni matematikafglalkzáskat is erre szánjuk. Egy-egy fglalkzás anyaga messze meghaladja a 5 perces munkaidőt, éppen amiatt, hgy a feladatanyaga használható legyen a délelőtti matematika órákn is. Gyakran található a tanári mellékletben a fglalkzás témaköréhez kapcslódó u. n. tudáspróba, amellyel a tanulók lemérhetik ismereteik mélységét. A mdulban az ismétlés kizárólag feladatk megldásán keresztül valósul meg.

3 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés a tudás anyja Tanári útmutató A MODUL FOGLALKOZÁSAINAK JAVASOLT SORRENDJE. fglalkzás: Halmazk. fglalkzás: Számk különböző alakban. fglalkzás: Függvények. fglalkzás: Szöveges egyenletek 5. fglalkzás: Egyenletek 6. fglalkzás: Egyenlőtlenségek 7. fglalkzás: Srzatk 8. fglalkzás: Hármszög nevezetes vnalai, pntjai és körei 9. fglalkzás: Hasnlóság 0. fglalkzás: Trignmetria. fglalkzás: Gemetriai számlási feladatk. fglalkzás: Krdinátagemetria. fglalkzás: Statisztika. fglalkzás: Kmbinatrika és valószínűségszámítás

4 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés a tudás anyja Tanári útmutató MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény I. Halmazk. Halmazk megadása, halmazműveletek, halmazk számssága Rendszerezés, szövegértés, szövegértelmezés, metakgníció Feladatlap: 5. feladat. Tudáspróba Metakgníció Feladatlap:. feladat II. Számk különböző alakban. A négyzetgyök, n-edik gyök, abszlútérték, reciprk, hatvány, lgaritmus, szögfüggvények fgalma, azk tulajdnságai Rendszerezés, metakgníció Feladatlap:. feladat. Tudáspróba Gndlkdási sebesség, metakgníció, lgikus gndlkdás Feladatlap: 0. feladat III. Függvények. A másdfkú, négyzetgyök-, n-edik gyök-, abszlútérték-, reciprk-, hatvány-, lgaritmus-, és szögfüggvények. Függvények ábrázlása transzfrmációval. A függvények néhány tulajdnsága. Rendszerezés, metakgníció, prbléma-reprezentáció, ábrázlás, szövegértés, szövegértelmezés Feladatlap:. feladat. Tudáspróba Gndlkdási sebesség, metakgníció, lgikus gndlkdás Feladatlap: 7. feladat

5 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés a tudás anyja Tanári útmutató 5 IV. Szöveges egyenletek. Szöveg lefrdítása az algebra nyelvére. Szöveg alapján egyenletek felírása kis segítséggel, majd segítség nélkül. Rendszerezés, metakgníció, szövegértés, szövegértelmezés Feladatlap:. feladat V. Egyenletek. A tanult alapfgalmak (abszlútérték, hatvány, négyzetgyök, lgaritmus, szögfüggvények), és azk tulajdnságainak alkalmazása egyenletek megldása srán. Rendszerezés, metakgníció, prbléma-reprezentáció, deduktív következtetés, mennyiségi következtetés Feladatlap:. feladat VI. Egyenlőtlenségek. Az ismert alapfüggvények mntnitásának vizsgálata, annak alkalmazása egyenlőtlenségek megldása srán. Grafikus megldás. Szélsőérték feladatk megldása elemi útn. Rendszerezés, metakgníció, ábrázlás, deduktív és mennyiségi következtetés Feladatlap: 8. feladat VII. Srzatk. A srzat fgalma, néhány tulajdnsága. Számtani és mértani srzat alkalmazása szöveggel megadtt prblémákban. Mdell-alktás. Rendszerezés, metakgníció, prbléma-reprezentáció, ábrázlás, szövegértés, szövegértelmezés, mdell-alktás Feladatlap: 0. feladat. Tudáspróba Gndlkdási sebesség, metakgníció, lgikus gndlkdás Feladatlap: 7. feladat

6 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés a tudás anyja Tanári útmutató 6 VIII. Hármszög nevezetes vnalai, pntjai és körei. A hármszög nevezetes vnalai, pntjai, körei, és azk néhány tulajdnságának áttekintése feladatkn keresztül. Szerkesztési és számlási feladatk. IX. Hasnlóság. Hasnló síkidmk felismerése, szerkesztése, területarányuk kiszámítása Hasnló testek térfgatarányának meghatárzása. Rendszerezés, metakgníció, prbléma-reprezentáció, ábrázlás, kreativitás Rendszerezés, metakgníció, prbléma-reprezentáció, ábrázlás, szövegértés, szövegértelmezés Feladatlap:. feladat Feladatlap:. feladat X. Trignmetria. A szögfüggvények fgalma, néhány tulajdnsága. A hegyesszögek szögfüggvényeinek alkalmazása derékszögű hármszögben. A következő fglalkzás anyagának (szögfüggvények alkalmazása tetszőleges hármszögben) előkészítése. Rendszerezés, metakgníció, prbléma-reprezentáció, ábrázlás, szövegértés, szövegértelmezés, deduktív következtetés Feladatlap: 5. feladat. Tudáspróba Gndlkdási sebesség, metakgníció Feladatlap: 7. feladat XI. Gemetriai számlási feladatk. A kszinusz- és szinusztétel alkalmazása hármszögekben, skszögekben. Pliéderek térfgatának és felszínének kiszámítása. Rendszerezés, metakgníció, prbléma-reprezentáció, szöveg alapján alakzat reknstruálása, szövegértés, szövegértelmezés, számlás, térfgat és terület becslése Feladatlap: 7. feladat. Tudáspróba Gndlkdási sebesség, metakgníció, lgikus gndlkdás Feladatlap: 5. feladat

7 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés a tudás anyja Tanári útmutató 7 XII. Krdinátagemetria. Krdinátagemetriai alapismeretek ismétlése feladatkn keresztül. Egyenletrendszerek megldása. A szükséges elemi gemetria és a vektrkkal kapcslats ismeretek felelevenítése. Rendszerezés, metakgníció, prbléma-reprezentáció, induktív és deduktív következtetés, számlás Feladatlap:. feladat XIII. Statisztika. A tanult statisztikai alapfgalmak meghatárzása különböző szövegkörnyezetben. Metakgníció, szövegértés, szövegértelmezés, számlás, becslése Feladatlap: 6. feladat XIV. Kmbinatrika és valószínűségszámítás. Különböző kmbinatrikai feladatk, a klasszikus valószínűségi mdell alkalmazása. Binmiális elszlás. Metakgníció, szövegértés, szövegértelmezés, számlás, valószínűségi következtetés, kmbinativitás Feladatlap: 9. feladat

8 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés I. Halmazk Tanári útmutató 8 I. HALMAZOK Módszertani megjegyzés: Sk érv szól amellett, hgy az ismétlést a halmazkkal kezdjük. Tapasztalat szerint az adtt tananyag elméletének áttekintése nem eléggé hatékny, így ajánlats, hgy a különböző halmazjelölések megbeszélése után, feladatkn keresztül eleveníttessük fel a csprttal az előkerülő fgalmakat, ismereteket! Célszerű egy-egy feladat megldásának megbeszélése után összefglalni a legfntsabb tanulságkat, rögzítendő ismereteket. Hívjuk fel a tanulók figyelmét, hgy tthn ismét nézzék át (tankönyvből, vagy a megfelelő mdul kislexiknjából) az adtt tananyaggal kapcslats ismeretanyagt! A tanári mellékletben szerepel egy tudáspróba. Ezt ha a tanár jónak látja a következő fglalkzás elején lehetne megíratni. A tanári mellékletben megtalálható a megldása, illetve az értékelése is. A feladatkat önállóan vagy párban ldják meg a tanulók.. Határzd meg a) az 555 hétjegyű szám számjegyeinek halmazát! b) a pzitív párs prímszámk halmazát! c) az egyjegyű négyzetszámk halmazát! d) a 5-tel sztható kétjegyű számk halmazát! e) a π szám egy tizedes jegyre, tizedes jegyre,,, illetve 5 tizedes jegyre kerekített értékeinek halmazát! f) a { ; ; ; 0;; ; } ; x a x Z függvény értékkészletét! g) a valós számk lehető legbővebb részhalmazát, amely megldáshalmaza a ( x )( x) > 0 egyenlőtlenségnek! Megldás: a) { ;;;5 }; b) { }; c) { 0 ;; ;9 }; d) { 5 ;0; 5;60;75;90 }; e) {,;, ;, ;,6 ;,59 }; f) { ; ;0;; }; g) ] ; [.. Az A és B halmazról a következőket tudjuk: A \ B = { 0;;; } B \ A = { 6;7;8} A B az egyjegyű természetes számk halmaza. Add meg az A, a B, és az A B halmazkat elemeik felsrlásával! Megldás: A = { 0;; ;; ;5;9 }, B = { ;5;6;7;8;9}, B = { ;5;9} A.

9 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés I. Halmazk Tanári útmutató 9. Az A és a B halmaz is elemű, és minden elemük pzitív egész szám. Az A B halmaznak eleme van, és elemeinek szrzata. Az A halmaz elemeinek szrzata 60, a B halmaz elemeinek összege. Határzd meg az A és a B halmazt! Megldás: = 6 =, tehát kétféleképpen írható fel hárm különböző pzitív egész szám szrzataként. Az B { ;; } és a már eleme. Ha A B = { ; ;6} A, mert a négyelemű B halmaz elemeinek összege,, tehát a B halmaz még hiányzó eleme. Mivel az A halmaz négyelemű, és az elemek szrzata 60, így \ B = { 5 } A = { ;;5;6 } és = { ; ;;6 } B. A.. Jelöljük A-val a 60 prímsztóinak halmazát, B-vel a 00 egyjegyű pzitív sztóinak halmazát, és legyen C = { y y = x +, x N és x } Z. a) Add meg mind a hárm halmazt elemeik felsrlásával is! b) Szemléltesd a hárm halmazt Venn-diagrammal! Mindhárm halmaz elemeit írd be a halmazábrába! c) Add meg elemeik felsrlásával az A C, B C, A B C és A\ ( B C) halmazkat! Megldás: a) A = { ;;5;7}, B = { ;;;;5;6}, = { ;;5;7;9} C. c) A C = { ;5;7}, C = { ;;5} B, { ;;;;5;6;7;9} A B C =, A \ ( B C) =. 5. Egy középiskla tanulóközösségének néhány nem üres részhalmaza a következő: A: a kitűnő tanulók halmaza; B: kllégiumban lakó tanulók halmaza; C: a középiskla leánytanulóinak halmaza. Add meg az A, B, C halmazk és a halmazműveletek segítségével két különböző módn is a nem kitűnő, nem kllégista fiútanulók halmazát! Megldás: A B C = A B C.

10 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés I. Halmazk Tanári útmutató 0 6. Jelölje D az x x 6 < 0 egyenlőtlenség valós megldásainak halmazát, és legyen { x R ( x + )( ) 0 } E = x. a) Add meg intervallummal a D és E halmazkat, tvábbá a D \ E halmazt! b) Oldd meg a valós számk halmazán az x x 6 < 0 ( x + )( x) 0 egyenlőtlenségrendszert! Megldás: a) D = ] ; [, E = [ ;], \ E = ] ; [ b) Megldáshalmaz a E D. D, és E = ] ; ] D. 7. Jelölje A a trapézk, T a téglalapk, R a rmbuszk és P a paralelgrammák halmazát. a) Szemléltesd a négy halmazt Venn-diagrammal! b) Milyen négyszögek halmaza a T R halmaz? c) Add meg halmazműveletek alkalmazásával a nem derékszögű paralelgrammák halmazát! d) A derékszögű trapézk D halmazát is vegyük hzzá a négy halmazhz, és szemléltesd az öt halmazt Venn-diagrammal! Megldás: a) b) A T R halmaz a négyzetek halmaza. c) A nem derékszögű paralelgrammák halmaz: P \ T. d)

11 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés I. Halmazk Tanári útmutató 8. Egy munkahelyen 5 nő dlgzik. A táblázat a nődlgzók hajának színéről és családi állaptáról készült felmérés adatait tartalmazza. Jelölje B a barnák, V a vörösek, S a szőkék, F a feketék, Z a házask, H a hajadnk és E az elváltak halmazát. a) H =? b) ( H E) S =? Házas Hajadn Elvált Barna Vörös 0 Szőke 6 Fekete 8 c) ( B V ) \ H =? d) Hány lyan nő dlgzik a munkahelyen, aki szőke vagy fekete, és házas vagy elvált? Add meg ezt a halmazt az S, F, H, E halmazk és halmazműveletek felhasználásával is! Megldás: a) H = ; b) ( H E) S = 7 ; c) ( B V ) \ H = 8; d) ( S F) ( Z E), és ( S F) ( Z E) = Legyen A = { a; b; c } és C { a; b; d ; e } elemei szintén az ábécé betűi, és =. Hány lyan B halmaz állítható elő, amelynek az B C, tvábbá az A B halmaz kételemű? Megldás: Négy, mégpedig: B = { a; b }, vagy B = { a; b; d }, vagy B { a; b; e } { a b; d e } C B = ; ; =. =, vagy 0. Tegyük fel, hgy van lyan tévé tulajdns, akinek nincs rádiója. Tvábbá tételezzük fel azt is, hgy akinek van autója, de nincs rádiója, annak nincs tévéje sem. Következik-e ebből, hgy van lyan tévé tulajdns, akinek nincs autója? Megldás: Legyen a tévé tulajdnsk halmaza T, a rádióval rendelkezők halmaza R, és az autótulajdnsk halmaza A. Szemléltessük a hárm halmazt Venn-diagrammal! Az ábrán helyezzünk el egy *-t abba a részhalmazba, amelyiknek a feltétel szerint biztsan van eleme. Ha van lyan részhalmaz, amelyik biztsan üres, satírzzuk be! A feltételezés szerint nincs lyan autótulajdns, akinek nincs rádiója, de van tévéje, visznt van lyan tévé tulajdns, akinek nincs rádiója. Így van lyan tévé tulajdns, akinek nincs autója. A feltételekből tehát következik az állítás.

12 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés I. Halmazk Tanári útmutató. Egy 5 fős sztály minden tanulójának egy vízitúra előtt hárm kérdésre kellett válaszlnia. A kérdések a következők vltak: ) Szereted-e a szilvásgmbóct? ) Este órakr legyen-e a takardó? ) Végig tudsz-e úszni egy 00 m-es távt pihenés nélkül? A kérdésekre az sztály minden tagja válaszlt, igennel vagy nemmel. A válaszadás után kiderült, hgy az. és. kérdésre egyaránt 8-8 igen válasz érkezett, míg a. kérdésre. Az. kérdésre igennel válaszlók közül -en a., 8-an pedig a. kérdésre feleltek nemmel. Igent mndtt a. és. kérdésre 6 tanuló, de közülük -en az első kérdésre nemmel válaszltak. Legyen I = {az sztály tanulói}, I = {az. kérdésre igen-nel válaszlók}, I = {a. kérdésre igen-nel válaszlók}, I = {a. kérdésre igen-nel válaszlók} halmaza. a) Milyen választ adtak az. kérdésre az I \ I halmazba tartzók? b) Hány eleme van az I \ I halmaznak? c) Hány eleme van az I I I halmaznak? d) Szemléltesd a négy halmazt Venn-diagrammal, és írd be mindegyik részhalmazba annak elemszámát! e) Hányan válaszltak mind a hárm kérdésre nemmel? Megldás: a) Nem választ; b) I I ; c) I I I ; \ = = e) Mivel = 0, azaz I I I 0, és az sztály létszáma = 5, és minden tanuló válaszlt a kérdésekre, így 5 tanuló válaszlt mindhárm kérdésre nem-mel.

13 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés I. Halmazk Tanári útmutató TUDÁSPRÓBA I. Halmazk. Add meg elemeinek felsrlásával az = { ; ; ;8} A és a = { x x N ; 0 x } B halmazk unióját, metszetét és különbségeit! (5 pnt). Írd le a C { a ; b; c ; d} = halmaz összes kételemű részhalmazát! Hány elemű részhalmaza van a C halmaznak? ( pnt). Számegyenesen jelöld különböző színnel az A = [ ; [ és a = ] ;,5 ] B halmazkat, majd egy-egy számegyenesen az A B, A B, A \ B, illetve B \ A halmazkat! (6 pnt). Egy fős sztályban a német nyelvet 6 tanuló tanulja. Csak az angl nyelvvel 6, csak a francia nyelvvel 7 tanuló fglalkzik. Minden tanuló legalább egy idegen nyelvet tanul a hárm közül. Hányan tanulnak pntsan két nyelvet: anglt és franciát? (5 pnt)

14 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés I. Halmazk Tanári útmutató A tudáspróba feladatainak megldása, értékelése. Add meg elemeinek felsrlásával az = { ; ; ;8 } B halmazk unióját, metszetét és különbségeit! Megldás: { 0;; ;9;6 } A és a = { x x N ; 0 x } B = pnt* { 0;;;;8;9;6 } A B = pnt { ;} A B = pnt { ;8} A \ B = pnt { 0;9;6 } B \ A = pnt Megjegyzés: Összesen: 5 pnt. A *-gal jelölt pnt akkr is jár, ha külön nem írja le a B halmaz elemeit, de a felhasználásból kiderül, hgy jól határzta meg azkat.. Ha a B halmaz elemeit rsszul határzza meg (pl. = { 0;;;, } pnt adható.. Írd le a C { a; b; c; d } van a C halmaznak? Megldás: B ), összesen legfeljebb = halmaz összes kételemű részhalmazát! Hány elemű részhalmaza A kételemű részhalmazk: { a; b },{ b; c },{ c; d },{ a; c },{ b; d },{ d } A C halmaznak db hármelemű részhalmaza van.. Számegyenesen jelöld különböző színnel az A = [ ; [ és a = ] ;,5 ] egy-egy számegyenesen az Megldás: Az A intervallum helyes megjelölése: A B intervallum helyes megjelölése: ] ; [ a;. pnt pnt Összesen: pnt B halmazkat, majd A B, A B, A \ B, illetve B \ A halmazkat! pnt pnt A B = pnt [ ;,5 ] A B = pnt ],5; [ A \ B = pnt ] ; [ B \ A = pnt Összesen: 6 pnt

15 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés I. Halmazk Tanári útmutató 5 Megjegyzés:. Az - pnt csak akkr adható, ha az intervallumk mindkét végpntja helyesen van bejelölve.. Ha az A vagy a B intervallum valamelyik végpntját nem helyesen jelölte be, és a művelettel kaptt intervallumk helytelen végpntjelölése ennek következménye, akkr azkra megadható az pnt.. Egy fős sztályban németül 6 tanuló tanul. Az sztályból csak az angl nyelvet 6, csak a franciát 7 tanuló tanulja. Minden tanuló legalább egy idegen nyelvet tanul a hárm közül. Hányan tanulnak pntsan két nyelvet: az anglt és a franciát? Megldás: Ha Venn-diagramn helyesen írja be a csak anglul tanulók számát (6); pnt* a csak franciául tanulók számát (7). pnt* Mivel minden diák legalább egy nyelvet tanul a hárm közül, pnt és = 9, így tanuló tanulja csak az anglt és a franciát. pnt Összesen: 5 pnt Megjegyzés: A *-gal jelölt pntk akkr is járnak, ha nem rajzl a tanuló Venn-diagramt, de a gndlatmenetéből kiderül, hgy e számsságkat helyesen alkalmazza. Az elérhető maximális pntszám: 0 pnt.

16 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés II. Számk különböző Tanári útmutató 6 II. SZÁMOK KÜLÖNBÖZŐ ALAKBAN Módszertani megjegyzés: A tanulók tanulmányaik srán a számk többféle alakjával megismerkednek. Az algebra tanulási flyamata srán a tanulók egy-egy új fgalmmal mélyebben fglalkznak, megismerik annak műveleti tulajdnságait is. Ám ezek a találkzásk időben elkülönülnek, nem alktnak egységes rendszert. Az ismétlésnek éppen az az egyik fnts célja, hgy az egymással összefüggő ismereteket együtt tárgyalva, a tanulók tudásának újabb minősége jöhessen létre. Ezen a fglalkzásn, feladatkn keresztül a számk ellentettjével, abszlútértékével, reciprkával, négyzetgyökével, hatványával, lgaritmusával és szögfüggvényeivel fglalkzunk részletesebben. A tanári mellékletben megtalálható tudáspróbával a tanulók önállóan is lemérhetik az adtt témakörben ismereteik mélységét.. Írd fel a számt a) egy szám négyzetgyökeként! b) egy szám ellentettjeként! c) egy szám négyzeteként! d) egy szám 0%-aként! e) egy szám abszlútértékeként! f) egy szám 5-ödik hatványaként! g) a hatványaként! h) a 0 hatványaként! i) egy szám 8-as alapú lgaritmusaként! j) egy valós szám szinuszaként! Megldás: 5 = = 5 5 = = = = = 5 π 5π = sin + nπ = sin + nπ, ha n Z. 6 6 = = 0 lg = lg Megjegyzés: Az e) esetben kétféleképpen, a j) esetben végtelen skféleképpen állítható elő a szám. 8 8 =. Állítsd elő a -t és a 7-et a különböző egész kitevőjű hatványainak összegeként! Írd fel e két számt a különböző egész kitevőjű hatványainak összegeként is! Megldás: = + és = + + ; = + és 0 7 = + +.

17 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés II. Számk különböző Tanári útmutató 7. Állítsd elő a 0-et a) két négyzetszám összegeként! b) két szám négyzetének összegeként! Megldás: a) 0 = + ; b) Pl. 0 = ( ) + ( 7).. Az alábbi számkat add meg egy-egy prímszám hatványaként! a) 65 ; b) 5 8 ; c) 0 ( 6) ; d) 5 lg 7 7 ; e) lg. Megldás: a) = ; b) 8 = 5 ; c) ( 6) = 5 ; d) 8 lg = 5 ; e) lg =. 5. Döntsd el, hgy az alábbi alakban megadtt számk közül melyek racinális számk! Döntésedet indkld! a) 8 ; b) ; c) 5 5 ; 7 ; e) d) ( 8) 8 + Megldás: Mindegyik szám racinális. 6 a) 8 = 8 = 0 ; ; f) ( ) + 6. b) = = ; c) 5 5 = ( ( 5 + ) 5 )( 5 + ) 5 = = ; d) ( ) + = ( 8)( + 8)= ( 8)( + 8) = = ; e) = = 9 ; 6 f) ( ) + 6 = = 0.

18 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés II. Számk különböző Tanári útmutató 8 6. Melyik szám a reciprka? A: ; B: ; C: ; D: Egyik eddigi válasz sem helyes. Megldás: A reciprka az a szám, amellyel a -t megszrzva -et kapunk, így B a helyes válasz. 7. Melyik szám a + reciprka? A: ; B: ; C: ; D: Egyik válasz sem helyes. Megldás: + = ( + )( ) =, C a helyes válasz. 8. Az alábbi hatványk között vannak lyank, amelyeket nem értelmezünk. Válaszd ki közülük azkat, amelyek értelmezve vannak! Döntésedet indkld! ( ) ; ; ( ) ; ; ; ( ) 7π sin ; ( ) ; 0, (sin ) ; ( ) sin( ) ( Megldás: ) = = 0, 5 ; = 8 ; ( ) = ; kifejezést nem értelmezzük; = ; ( ) = ; 8 7π sin ( ) 7π : nem értelmezzük, mivel sin = nem egész szám. π, így 0 < sin, és a pzitív alapú hatvány tetszőleges valós kitevőjű hatványát értelmezzük. 0, (sin ) : értelmezzük, mert < < π sin( ) ( ) : nem értelmezzük, mert sin( ) nem egész szám.

19 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés II. Számk különböző Tanári útmutató 9 9. Igazld, hgy az alábbi alakban megadtt számk mindegyike racinális szám! lg ; Megldás: lg = lg lg ; = ;,5 lg 0 ; = lg = lg ( lg 9 ) ;. lg 0,5 lg = = ; 9 ( lg 9 lg 9 ) = =. 0. Vezessük be a következő jelölést: lg = k a) lg ; b) lg 6 lg? Megldás:. Fejezd ki k-val az alábbi kifejezéseket! a) = lg lg lg = lg = ( + lg ) = + k = + ; lg b) lg 6 lg = (lg 6 lg )(lg 6 + lg ) = 6 = lg lg 8 = lg + lg = + k.. Közelítő értékek használata nélkül rendezd növekvő srrendbe az alábbi számkat! Állításdat indkld! sin ; sin ; tg ( 95 ); cs 8,5π; cs 6, ; sin + cs. Megldás: π Mivel π < <, így < sin < 0 ; 0 < sin < ; ( 95) = tg( 5 60 ) = tg ; ( 0,5π + 8 ) 0 cs 8,5π = cs π = ; 5 Mivel π < 6, < π, így 0 < cs 6, < ; sin + cs =. A srbarendezéshez már csak a sin és cs 6, számkat kell megvizsgálnunk. Az egységkörön szemléltetve a megfelelő egységvektrkat, sin < tg( 95 ) < sin < cs 8,5π < sin < cs 6, < sin + cs. és < cs6,.

20 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés II. Számk különböző Tanári útmutató 0 TUDÁSPRÓBA II. Számk különböző alakban Az alábbi tesztfeladatk mindegyikére adtt válasz közül pntsan egy helyes. Karikázd be a helyesnek vélt állítás betűjelét! Helyes válasz 6 pnt, hibás válasz pnt levnás, ha nincs válasz, 0 pnt. A teszt megírásakr számlógép nem használható!. Az első 00 prímszám szrzata A: sztható 5-tel. B: sztható -vel. C: sztható 6-tal. D: sztható 00-zal.. Mennyi a + ) ( + )( ) + ( ) kifejezés értéke? ( A: ; B: 6; C: 8; D:.. Melyik szám a reciprka? A: + ; B: + ; C: + ; D: A többi válasz nem helyes.. Melyik állítás igaz? A: 5. Legyen C: a =, b = 50 8 és 8 8 nylcadik gyöke 8 8 negyedik gyöke c = 8 ; B: ; D:. Melyik állítás az igaz? 8 8 négyzetgyöke 8 8 köbgyöke A: a > b > c ; B: a > c > b ; C: b > a > c ; D: c > b > a. 6. Állítsd növekvő srrendbe a következő számkat! π π a = sin 5 + cs 5 ; b = cs + ; c = sin + csπ. A: c < b < a ; B: b < c < a ; C: a < b < c ; D: c < a < b. 7. Mivel egyenlő (lgsin 0 )(lgcs60 )(lgsin 90 )(lgsin0 )? A: Nem értelmezhető; B:. lg ; C: ; D: 0. 8 lg( ) + lg( + ) + lg( + ) 8. Mivel egyenlő? lg A: 0,5; B: ; C: lg ; D:. 9. Hányszrsa a lg a lg -nak? A: ; B: ; C: ; D:. ; lg 0. Legyen = a. Írd fel a lg lg6 + kifejezést a-val! A: a + a ; B: a 5 ; C: a + a ; D: a + a.

21 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés II. Számk különböző Tanári útmutató A tudáspróba feladatainak megldása. Az első 00 prímszám szrzata A: sztható 5-tel. B: sztható -vel. C: sztható 6-tal. D: sztható 00-zal. Megldás: Csak lyan szám lehet sztója, amelyik maga is különböző prímek (az első 00 prímszám közül valók) szrzata.. Mennyi a + ) ( + )( ) + ( ) kifejezés értéke? ( A: ; B: 6; C: 8; D:. Megldás: ( + ) ( + )( ) + ( ) = [( + ) ( ) ] = 6.. Melyik szám a reciprka? A: + ; B: + ; C: + ; D: A többi válasz nem helyes. Megldás: + = =.. Melyik állítás igaz? A: Megldás: C: 8 8 nylcadik gyöke 8; 8 8 nylcadik gyöke 8 8 negyedik gyöke 8 8 négyzetgyöke ; B: ; D: 6 ; 8 8 négyzetgyöke 8 8 köbgyöke 8 8 negyedik gyöke.. ; 5. Legyen a = b = 50 8 és c = 8. Melyik állítás az igaz? A: a > b > c ; B: a > c > b ; C: b > a > c ; D: c > b > a. Megldás: a = = + ; b = 50 8 = 5 = = + > + ; 8 c = =.

22 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés II. Számk különböző Tanári útmutató 6. Állítsd növekvő srrendbe a következő számkat! π π a = sin 5 + cs 5 ; b = cs + ; c = sin + csπ ; A: c < b < a ; B: b < c < a ; C: a < b < c ; D: c < a < b. π π Megldás: a = sin 5 + cs 5 =, b = cs + = +, c = sin + csπ =. 7. Mivel egyenlő (lgsin 0 )(lgcs60 )(lgsin 90 )(lgsin0 )? A: Nem értelmezhető; B: lg ; C: ; D: 0. 8 Megldás: A szrzat mindegyik tényezőjében pzitív szám lgaritmusa áll, és mivel sin 90 =, a lgaritmusa, és így a szrzat is nulla. lg( ) + lg( + ) + lg( + ) 8. Mivel egyenlő? lg A: 0,5; B: ; C: lg ; D:. Megldás: lg( ) + lg( + ) + lg( + ) lg( )( + )( = lg lg + ) lg( = )( lg + ) =. 9. Hányszrsa a lg a lg -nak? A: ; B: ; C: ; D:. lg Megldás: lg = = lg. lg lg 0. Legyen = a. Írd fel a A: a + a ; B: a lg lg6 + kifejezést a-val! 5 ; C: a + a ; D: lg lg6 lg lg lg lg Megldás: ( ) + = + = + = a + a. a + a.

23 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés III. Függvények Tanári útmutató III. FÜGGVÉNYEK Módszertani megjegyzés: A függvények ismétlésére érdemes több időt frdítani. Mst is célszerű feladatkn keresztül feleleveníteni a tanult ismereteket, fgalmakat. A *-gal jelölt feladatkat csak a legjbbaknak tűzzük ki megldásra! A tanulók önállóan, vagy párban dlgzhatnak. A függvényekkel való fglalkzást ismét tudáspróba követi. Nem kell feltétlenül a tudáspróba mind a 7 feladatát megldatni, a csprt színvnalától függően el is hagyhatunk egy-két feladatt. Ha a szaktanár a feladatsr 7. feladatát túl nehéznek ítéli ebben a frmában, alakítsa át a következőképpen: Hagyja el a D halmazt, és legyen a feladat a következő: Igazld, hgy az alábbi halmazk mindegyikének van legnagybb eleme! A tudáspróba a tanári mellékletben szerepel. Függvények megadása képlettel. Az alábbi feladatkban szöveggel megadtt függvények szerepelnek. Add meg képletével a kérdezett függvényt! (Az értelmezési tartmány megadásáról se feledkezz meg!) a) Tekintsük azkat a téglatesteket, amelyeknek egy csúcsból kiinduló élei egy d = differenciájú számtani srzat szmszéds tagjai. Jelöljük x-szel a téglatest leghsszabb élének hsszát. Add meg e téglatestek térfgatát x függvényében! Hgyan függ x-től e téglatestek felszíne? b) Hgyan függ a skszögek átlóinak száma a skszög ldalszámától? c) Hgyan függ a kör t területe a k kerületétől? d)* Az üres 50 literes kád leflyónyílását lezárjuk, és kinyitjuk a csapt, amelyből egyenletesen, percenként liter víz flyik a kádba. perc után kihúzzuk a leflyó nyílásából a dugót, de nem zárjuk el a csapt. A leflyón át percenként liter víz flyik ki. Hgyan függ a kádban lévő víz mennyisége a csap kinyitásától eltelt időtől? Megldás: a) : ] ; + [ R; V ( x) = x( x )( x ) V ; A : b) { ;;5;... } ] ; + [ R; A( x) = [ x( x ) + x( x ) + ( x )( x ) ] = 6x x + 6 c) k = rπ. Ebből n( n ) Z ; n a. k r =. π.

24 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés III. Függvények Tanári útmutató k k Így a kör területe: T = r π = π =. π π k Tehát a kérdéses függvény: T : R + R, k a π. d) Jelöljük x-szel a csap kinyitásától eltelt időt. Az első percben egyenletesen liter víz flyik percenként, tehát, ha 0 x, akkr a kádban lévő víz V mennyisége V = x módn számítható ki. Az első percben összesen 8 liter víz flyik a kádba. perc után a kádba percenként liter kerül. Ha < x, akkr x percen keresztül ( x ) liter víz kerül a kádba a 8 literhez. De a kád 50 literes, és a 8 ( x ) = 50 egyenlet megldása 6. Tehát 6 perc alatt megtelik a kád, és innentől kezdve a kádban váltzatlanul 50 liter víz lesz. A kérdezett függvény tehát: x, ha 0 x V : [ 0; + [ R ; V ( x) = 8 + ( x ), ha < x 6 50, ha 6 < x Alapfüggvények. Add meg a valós számk halmazának lehető legbővebb részhalmazát, amelyen az alábbi kifejezésekkel függvény adható meg! f ( x) = x ; x g ( x) = x ; h ( x) = x ; k( x) = ; m ( x) = x ; x n( x) = ; ( x) = lg x ; r( x) = sin x ; r( x) = cs x ; t ( x) = tg x. p a) Vázld az így értelmezett függvények grafiknját egy-egy krdináta-rendszerben! b) Ha < x, akkr milyen értékeket vehetnek fel a következő függvények: x ; x ; x ; sin x? c) Oldd meg a valós számk halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket, egyenletet! lg x ; < ; x ; x d) Az sin x x + = 0 ; sin x = 0, 5; =. cs x f : ; R, x a függvény függvényértékei között hány egész szám van? x

25 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés III. Függvények Tanári útmutató 5 Megldás: f ( x) = x g ( x) = x h ( x) = x k( x) = m ( x) = x x Értelmezési tartmánya: R R [ 0 ; + [ \ { 0 } R R Értelmezési tartmánya: x n( x) = ( x) = lg x r( x) = sin x r( x) = cs x t( x) = tg x p R ] 0 ;+ [ R R b) Ha < x, akkr 0 x 9, 0 x, < x 7. 9 π R \ + n π,n Z π π Mivel π < <, és < < π, a szinuszfüggvény grafiknjáról lelvasható, hgy ha < x, akkr sin x. c) lg x 0 < x 8, x R ; < x < x vagy x < 0 és x R ; x x vagy x és x R ; x + = 0. Nincs megldása, mivel minden nemnegatív x esetén 0 x. π sin x = 0,5 x = nπ 6 +, n Z vagy 5 π x = + k 6 π, k Z ; sin cs x x = tg x = π x = + nπ, ahl n Z. d) Az f függvény f = 6, 5 és f ( ) = 0, 5. A függvény grafiknjáról lelvasható, hgy 6-tól -ig minden egész értéket felvesz. A függvénynek tehát hat egész függvényértéke van. Függvények ábrázlása transzfrmációval. a) A valós számk halmazán értelmezett f ( x) = x függvény grafiknjából kiindulva ábrázld függvénytranszfrmációval a g ( x ) = ( x + ) függvényt, ahl x R! b) Ábrázld függvénytranszfrmációval a h ( x) = x + x + függvényt, ahl x R! c) Ábrázld függvénytranszfrmációval a ( x) = x + k függvényt, ahl R \ { } x!

26 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés III. Függvények Tanári útmutató 6 d) Ábrázld függvénytranszfrmációval az m ( x) = lg ( x + ) függvényt, ahl x R és < x! e) Tld el a valós számk halmazán értelmezett r( x) = sin x függvény grafiknját a π k ; vektrral! Add meg képlettel is a kaptt függvényt! f)* Frgasd el a valós számk halmazán értelmezett x n( x) = függvény grafiknját a krdináta-rendszer rigója körül negatív irányba képlettel is! Megldás: h ( x) = x + x + = ( x + ). 90 -kal! A kaptt függvényt add meg Az a), b), illetve c) feladatban megadtt függvény grafiknja mindhárm esetben a megfelelő alapfüggvény grafiknjának k( ; ) vektrral való eltlásával kapható. d) π e) Az eltlással kaptt függvény: v ( x) = sin x + + vagy v ( x) = cs x +. f) Néhány pnt elfrgatása után kialakulhat a tanulókban a sejtés, hgy a kaptt függvény a t( x) = lg x (vagy ( x) = lg x ). A sejtés igaz, és ennek egy lehetséges biznyítása a következő: t Jelöljük az x n( x) = függvény grafiknjának tetszőleges pntját P-vel. A P pnt k- p rdinátái: P ( p; ). Ha a P pntt negatív irányba 90 -kal elfrgatjuk, a kaptt P pnt krdinátái: P ( p ; ). Ez már az új függvény grafiknjának pntja. Ha a p 0 < p = x jelölést alkalmazzuk, akkr ebből = lg x. p

27 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés III. Függvények Tanári útmutató 7 Ez azt jelenti, hgy a keresett függvény grafiknján bármelyik pnt krdinátái: ( lg x) ;. A keresett függvény: t( x) = lg x = lg x, ahl x R. x Néhány függvénytulajdnság. a) A valós számk halmazán értelmezett sin x cs x d( x) = függvény melyik számt rendeli a nulláhz? b) Az f függvény minden kétjegyű, tízzel sztható pzitív egész számhz hzzárendeli a szám különböző prímsztóinak számát. Pl. a 0-hez -t rendel, mert a 0-nek két különböző prímsztója van ( és 5). Melyik számt rendeli a függvény a 60-hz? Hányszr veszi fel a függvény a értéket? Add meg a függvény értékkészletét! c) Határzd meg a ] ; + [ R, g( x) = lg ( x ) g függvény zérushelyeit! : 0, d) Állapítsd meg a valós számk halmazán értelmezett h ( x) = x függvény szélsőértékét, és annak helyét! e) Állapítsd meg k : R R; k( x) = x + x függvény minimumát, és annak helyét! f) Számítsd ki az n : R R; x a ( x)( x + 6) függvény zérushelyeit, szélsőértékét, és annak helyét! g) Határzd meg a p : R R; x a ( x )( x 5) + függvény minimumát! Megldás: a) d ( 0) = ; b) f ( 60) = ; Négyszer veszi fel a függvény a értéket: f ( 0) =, f ( 60) =, f ( 70) = és f ( 90) =. A függvény értékkészlete: { ;}. c) lg 0, ( x ) = 0 x =. Zérushely a. d) Mivel x 0 minden valós x-re, így x. A legnagybb függvényérték, és ezt a függvény a helyen veszi fel. Minimuma nincs a függvénynek, mert alulról nem krláts.

28 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés III. Függvények Tanári útmutató 8 e) x + x = x + = x + A függvény minimuma 7, a minimum helye. f) ( x )( x + 6) = 0 x = vagy x = 6. A függvénynek két zérushelye van: és ( 6). ( x )( x + 6) = x x +. Mivel a kifejezés főegyütthatója negatív, így a másdfkú függvénynek maximuma van. A maximum helye a zérushelyek számtani közepe: ( ). Ehhez a számhz a függvény 6-t rendel, tehát a függvény maximuma 6. g) ( x )( x 5) + = x 8x + 8. A függvénynek nincs zérushelye, mert az x 8x + 8 = 0 egyenlet diszkriminánsa: D = 8 negatív. Mivel x 8x + 8 = ( x ) +, így a függvény minimuma, és ezt a helyen veszi fel.

29 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés III. Függvények Tanári útmutató 9. Az f :[ ;] R, x x TUDÁSPRÓBA III. Függvények a függvény melyik számhz rendel -at? ( pnt). Vizsgáljuk a következő függvényt! { ;;;;5;6;7;8;9 } Z, x a az pzitív sztóinak száma f : x. a) Az f függvény milyen számt rendel a 6-hz? ( pnt) b) Hányszr veszi fel a függvény a értéket? ( pnt) c) Add meg a függvény értékkészletét! ( pnt). Hgyan függ a négyzet területe (t) a kerületétől (k)? (5 pnt). Ha x és x valós szám, akkr mekkra az ( x )( x + 5) kifejezés értéke? (7 pnt) 5. Mi a lehető legbővebb értelmezési tartmánya az f ( x) = x x képlettel megadtt függvénynek, ha az értékkészlete a [ ; 5] intervallum? (7 pnt) 6. Egy, a valós számk halmazán értelmezett expnenciális függvény grafiknjának részlete látható az ábrán. Add meg képlettel a függvényt! (7 pnt) 7. Melyik halmazban nincs legnagybb elem? Döntésedet indkld! (9 pnt) A: Az alakú számk, ahl + n N. n B: N R, n a függvény értékkészlete. n π C: A ; π R, x a cs x függvény értékkészlete. D: A negatív racinális számk halmaza.

30 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés III. Függvények Tanári útmutató 0. Az f : [ ; ], x a x A tudáspróba feladatainak megldása, értékelése R függvény melyik számhz rendel -at? Megldás: x = pnt x = -hez pnt Összesen: pnt. Vizsgáljuk a következő függvényt! { ;;;;5;6;7;8;9 } f : Z, x a az x pzitív sztóinak száma. a) Az f függvény milyen számt rendel a 6-hz? b) Hányszr veszi fel a függvény a értéket? c) Add meg a függvény értékkészletét! Megldás: a) A 6-hz -et rendel a függvény. pnt b) Annyiszr, ahány prímszám van az értelmezési tartmányban, pnt* tehát esetben (,, 5, 7). pnt** c) Értékkészlete: { ;;; } pnt Összesen: 6 pnt Megjegyzés: A *-gal jelölt pnt akkr is jár, ha a választ a tanuló szöveggel nem fgalmazza meg, de kiderül, hgy a prímszámkra gndl. A **-gal jelölt pnt csak akkr jár, ha a tanuló hibátlanul felsrlja a prímszámkat. A c) kérdésre adható pnt nem bntható.. Hgyan függ a négyzet területe (t) a kerületétől (k)? Megldás: a t = és k = a. pnt k a =, tehát = k t. pnt A függvény: R + k R; k a, vagy k t ( k) =, ahl 0 < k. pnt* 6 Összesen: 5 pnt

31 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés III. Függvények Tanári útmutató Megjegyzés: *Legfeljebb pnt adható, ha elmarad (vagy hibás) a függvény értelmezési tartmánya.. Ha x és x valós szám, akkr mekkra az ( x )( x + 5) kifejezés értéke? Megldás: Az f ( x) = ( x)( x + 5) függvény zérushelyei: x = 5 és x = pnt Az f függvénynek maximuma van, a maximum helye: x = pnt f () = 7 pnt A függvény a [ ;+ [ intervallumn szigrúan csökkenő, pnt* így ( x )( x + 5) 7. pnt* Összesen: 7 pnt Megjegyzés: A *-gal jelölt pntk akkr is járnak, ha a tanuló jól vázlja a függvény grafiknját, és abból helyesen következtet a kifejezés értékeire. 5. Mi a lehető legbővebb értelmezési tartmánya az f ( x) = x x képlettel megadtt függvénynek, ha az értékkészlete a [ ; 5] Megldás: intervallum? f ( x) = x x = ( x ) pnt A függvény grafiknja pnt Értelmezési tartmány: [ ;5 ] pnt Összesen: 7 pnt Megjegyzés: Ha a lehetséges értelmezési tartmánynak egy részhalmazát adja meg (pl. [ ;] ), akkr a pnt helyett legfeljebb pnt adható. Visznt adjuk meg a pntt, ha hibás grafiknról jól adja meg a lehető legbővebb értelmezési tartmányt. 6. Egy, a valós számk halmazán értelmezett expnenciális függvény grafiknjának részlete látható az ábrán. Add meg képlettel a függvényt! Megldás: Ha felismeri, hgy a függvény az alapú expnenciális függvényből transzfrmációval adódik, pnt

32 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés III. Függvények Tanári útmutató ( 0; ) vektrral való eltlással. pnt x A függvény: R R; x a. pnt Összesen: 7 pnt 7. Melyik halmazban nincs legnagybb elem? Döntésedet indkld! A: Az alakú számk, ahl + n N. n B: N R, n a függvény értékkészlete. n π C: A ; π R, x a cs x függvény értékkészlete. D: A negatív racinális számk halmaza. Megldás:, ha n + n N, tehát e számk között van legnagybb, az. pnt A B halmaz legnagybb eleme, pnt mert az N R, n a függvény értékkészlete: n ; ; ; ; pnt A C halmaz legnagybb eleme a 0, pnt π mert a ; π R, x a cs x függvény értékkészlete: [ ;0 ]. pnt A D halmaznak nincs legnagybb eleme, pnt mert bármelyik negatív racinális szám fele is racinális, és nagybb, mint a szám. pnt Összesen: 9 pnt

33 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés IV. Szöveges egyenletek Tanári útmutató IV. SZÖVEGES EGYENLETEK Módszertani megjegyzés: A jó szövegértés, a szövegben rejlő összefüggések helyes felismerése lyan képesség, amelyet az élet minden területén hasznsíthatunk. A matematikai tanulmányk srán e képesség fejlesztésére számtalan lehetőség nyílt már. Az ún. szöveges egyenletek megldásának elsődleges célja éppen ez, hiszen a középiskla utlsó évében a tanulók számára a szöveg alapján felírt egyenlet megldása már nem jelenthet igazi gndt. Ezen a fglalkzásn a hangsúlyt a szöveg algebra nyelvére való lefrdításra helyezzük. Ezért az első hárm feladatban próbáljuk elérni, hgy a tanulók a helyes egyenletet ne annak megldásával (és a kaptt eredmény ellenőrzésével) válasszák ki! Szöveges feladatk megldásakr elengedhetetlen az egyenlet megldásával kaptt eredmény szöveg szerinti ellenőrzése. Erről talán úgy győzhetjük meg legjbban a tanulókat, ha lyan szöveges feladatt is adunk, amelyre a tanuló látszólag kap megldást, csak éppen az egyenlet gyöke nem tesz eleget a szövegben megadtt összes feltételnek. Pl. Egy gyümölcsösben 5 év alatt összesen t alma termett. Az egyes évek terméséről azt tudjuk, hgy az első és az ötödik évben ugyanannyi vlt, a másdik évben negyedannyi, mint az elsőben. A harmadik évben kétszerannyi termett, mint a másdik évben, és a negyedik évben 50 t-val kevesebb, mint az előző évben. Mennyi gyümölcs termett az első évben? Ha a tanuló az első évben termett mennyiség függvényében felírt egyenletet megldja, eredményül 8-et kap. Csak akkr derül ki, hgy a feladatnak nincs megldása, ha a tanuló a szöveg alapján ellenőrzi a kaptt eredményt. A feladatkra adtt megldásban az ellenőrzésre nem utaltunk, de ezt minden esetben a tanulóktól feltétlenül követeljük meg! Szöveg lefrdítása az algebra nyelvére A következő feladatk szövegében rejlő feltételek alapján négyféle egyenletet írtunk fel. Közülük pntsan egy felel meg a feltételeknek. Döntsd el, hgy melyik! A helytelenül megadtt egyenletek közül válassz egyet, és váltztasd meg a szöveget úgy, hgy a kiválaszttt egyenlet jól írja le az új szövegben rejlő összefüggéseket!. (Ez a feladat már Eukleidész könyvében is megtalálható, persze nem pntsan ebben a megfgalmazásban.) Egy öszvér és egy szamár terhet cipelve beszélgetett. A szamár így szólt: Ha átvennék a terhedből 00 kg-t, az enyém kétszer lyan nehéz lenne, mint a tiéd. Az öszvér így felelt:

34 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés IV. Szöveges egyenletek Tanári útmutató Az ám, de ha te adnál át nekem 00 kg-t, akkr én hármszr annyi tömeget cipelnék, mint te. Jelölje x a szamár, és y az öszvér terhének tömegét kilgrammban. Melyik egyenlet írja le helyesen a feladatt? A: C: Megldás: x + 00 = y x + 00 ; B: + 00 = ( x 00) 00 ; y + 00 = x ( x + 00) = y 00 x + 00 ; D: 00 = ( x 00) y + 00 = ( x 00) x +00 az a teher, amelyet az öszvér cipelne a 00 kg levétele után, így az öszvér hátán x +00 eredetileg + 00 teher van. A ( x 00) értéke az öszvér akkri terhével lenne megegyező, amikr 00 kg többletterhe lenne, ezért a ( x 00) 00 kifejezés értéke x + 00 szintén az öszvér eredeti terhével megegyező. Így + 00 = ( x 00) 00. B egyenlet a helyes. Szövegmódsításk: A: A szamár így szólt: Ha átvennék a terhedből 00 kg-t Ha még rámraknának 00 kg-t, az enyém kétszer lyan nehéz lenne, mint a tiéd. Az öszvér így felelt: Az ám, de ha te adnál át nekem 00 kg-t ha énrám raknának még 00 kg-t, akkr én hármszr annyi tömeget cipelnék, mint te. C: A szamár így szólt: Ha átvennék a terhedből 00 kg-t, az enyém kétszer lyan nehéz lenne, mint a tiéd. a tied még mindig kétszer lyan nehéz lenne, mint az enyém Az öszvér így felelt: Az ám, de ha te adnál át nekem 00 kg-t, akkr én hármszr annyi tömeget cipelnék, mint te. én hármszr akkra terhet cipelnék, mint te. D: A szamár így szólt: Ha átvennék a terhedből 00 kg-t Ha rám és rád is tennének még kg-t, akkr az enyém kétszer lyan nehéz lenne, mint a tiéd. Az öszvér így felelt: Az ám, de ha te adnál át nekem 00 kg-t rólad és rólam is levennének kg terhet, akkr én hármszr annyi tömeget cipelnék, mint te.. Az sztálykirándulás egyik napjára egy km-es túrát tett meg az sztály. A lányk és a fiúk egyszerre indultak, és ugyanazn az útvnaln haladtak, de a fiúk óránként km-rel többet tettek meg, mint a lányk, és így éppen egy órával hamarabb célba értek.

35 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés IV. Szöveges egyenletek Tanári útmutató 5 Jelölje v a lányk sebességét km/h-ban (illetve t azt az időt órában, amennyi idő alatt a lányk megtették a km-es utat). Melyik egyenlet írja le pntsan az elmndttakat? A: v + = ; B: v C: = + ; D: t t v + Megldás: A fiúk a km-t v + sebességgel v + vt = ; ( v )( t ) = + =. v óra alatt teszik meg, míg a lányk óra v alatt. A fiúk menetideje órával kevesebb, mint a lányké, tehát + =. v + v A D egyenlet a helyes. Szövegmódsításk: A: Frmálisan a következő módsítást lehet tenni: A lányk és a fiúk egyszerre indultak, és ugyanazn az útvnaln haladtak, de a fiúk óránként km-rel többet tettek meg, mint a lányk, és így éppen egy órával hamarabb később értek célba. A feladatnak nincs megldása. B: Frmálisan a következő módsítást lehet tenni: A lányk és a fiúk egyszerre indultak, és ugyanazn az útvnaln haladtak, de a fiúk óránként km-rel többet kevesebbet tettek meg, mint a lányk, és így éppen egy órával hamarabb célba értek. A feladatnak nincs megldása. C: Frmálisan a következő módsítást lehet tenni: A lányk és a fiúk egyszerre indultak, és ugyanazn az útvnaln haladtak, de a fiúk lányk óránként km-rel többet tettek meg, mint a lányk fiúk, és így éppen a fiúk egy órával hamarabb célba értek. A feladatnak nincs megldása.. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 5. Ha a két számjegy közé beírunk egy -est, és a kaptt hármjegyű számt elsztjuk 8-cal, a hányads az eredeti kétjegyű szám lesz, a maradék pedig. Jelöljük x-szel a kétjegyű szám utlsó számjegyét. Melyik egyenlet írja le helyesen a számk közötti kapcslatt? x ; B: 0 (5 x ) x = 80(5 x) + x + ; A: 00 (5 ) + 0x + = 8 [ 0(5 x) + x] + 00(5 x) x x ; D: = 0(5 x) + x +. 8 C: 00 (5 ) x = 8 [ 0(5 x) + x] + Megldás: A C egyenlet a helyes.

36 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés IV. Szöveges egyenletek Tanári útmutató 6 Szövegmódsításk: A: Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 5. Ha a két számjegy közé beírunk után írunk egy -est, és a kaptt hármjegyű számt elsztjuk 8-cal, a hányads az eredeti kétjegyű szám lesz, a maradék pedig. A feladatnak nincs megldása. B: Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 5. Ha a két számjegy közé beírunk egy - est az első számjegyhez hzzáadunk -et, és a kaptt hármjegyű kétjegyű számt elsztjuk 8-cal, a hányads az eredeti kétjegyű szám első számjegyének 0-szerese lesz, a maradék pedig az utlsó számjegynél -vel nagybb szám. A feladatnak nincs megldása. D: Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 5. Ha a két számjegy közé beírunk egy - est, és a kaptt hármjegyű számt elsztjuk 8-cal szám sztható 8-cal, a hányads az eredeti kétjegyű szám lesz számnál -vel nagybb, a maradék pedig. A feladatnak nincs megldása. Egyenletek felírása kis segítséggel. Balázs mesélte, hgy év múlva félannyi idős lesz, mint amennyi az apja 6 évvel ezelőtt vlt, amikr ő harmadannyi éves vlt, mint amennyi az apja mst. Hány éves mst az apa és a fia? Segítség: Balázs Apja 6 éve Mst év múlva x Megldás: 6 éve Balázs x + 6 Apja Mst x + 6 x év múlva x

37 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés IV. Szöveges egyenletek Tanári útmutató 7 Az x 6 = x egyenlet megldása: x = 7. Az apa mst 78 éves, Balázs pedig éves. 5. Egy -edikes sztályba járó baráti társaság minden tagja máslatkat készített a tablóképéről, és a fényképeiket kölcsönösen kicserélték egymással. Erre a célra összesen 80 kép készült, de a cserék után kiderült, hgy 00 kép felesleges maradt. Hány tagja vlt a baráti társaságnak? (Segítség: Ha a baráti társaságnak x tagja vlt, akkr egy tanuló hány képet szttt szét?) Megldás: Az x ( x ) = 80 másdfkú egyenlet egyetlen pzitív megldása: x = 0. A baráti társaságnak 0 tagja vlt. 6. Egy cink-réz ötvözetben 8% réz van. Ha az ötvözetbe még újabb,8 kg cinket teszünk, akkr az ötvözet réztartalma 70%-ssá válik. Hány kilgramm cinket és rezet tartalmaztt eredetileg az ötvözet? (Segítség: Ha az ötvözet tömege kezdetben x kg vlt, akkr az új ötvözetben hány kilgramm réz lesz?) Megldás: A réz mennyisége nem váltztt, így 0,8x = 0,7( x +,8 ). Az egyenlet megldása: x = 0,5. Az eredeti ötvözetben 8,6 kg réz, és,89 kg cink vlt. Egyenletek felírása segítség nélkül 7. Egy sztály tanulóinak -a gyalg, 5%- kerékpárral, a többi 0 diák pedig busszal jár isklába. Hány tanulója van az sztálynak? Megldás: Jelöljük x-szel az sztály létszámát. Az x + x + 0 = x egyenlet megldása: x =. Az sztályba tanuló jár. 8. Egy benzinkút 800 literes tankját egyszerre töltik fel két tartálykcsiból. Az egyik tartálykcsiból percenként 0 literrel kevesebb benzint lehet áttölteni, mint a másikból. Egyszerre kezdik el az üres tank töltését, és 5 perc alatt a benzinkút tankja 75%-ig telik meg. Hány liter benzin flyik át a benzinkútba az egyik, illetve másik tartálykcsiból percenként?

38 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés IV. Szöveges egyenletek Tanári útmutató 8 Megldás: Ha a gyrsabban töltő tartálykcsi percenként x litert tölt át a tankba, akkr a szöveg szerint 5 x + 5( x 0) = 50. Az egyenlet megldása: x = 55. Az egyik tank percenként 55 litert, a másik 5 litert tölt át percenként. 9. Egy áruház raktárában pirs és kék kelme van összesen Ft értékben. A pirs kelme ára méterenként 600 Ft, a kék kelméé 500 Ft. Egyik nap eladták a pirs kelme 5%-át és a kék kelme 0%-át összesen Ft értékben. Mennyi pirs és mennyi kék kelme maradt a raktárban? Megldás: Ha a raktárban eredetileg p méter pirs és k méter kék anyag vlt, akkr 600 p + 500k = , azaz p k 500 = p + 5k = p + k = Az egyenletrendszer megldása: p = 00 és k = 00. Pirs kelméből 75 méter, kék kelméből 50 méter maradt a raktárban. 0. Egy hármtagú család (apa, anya és a lányuk) tagjainak az életkra mst összesen 80 év. Az apa hármszr annyi idős, mint a lánya. Két éve az anya életkra vlt hármszrsa a leány akkri életkrának. Hány évesek mst? Megldás: Jelöljük x-szel a leány mstani életkrát.ekkr az apa életkra x, az anyáé 80 x. Két éve a lány x, az anya 78 x éves vlt. Az 78 x = ( x ) egyenlet megldása: x =. Az apa 6, az anya és a lányuk éves mst.. Egy kereskedő 50 kg szőlőt vett 8000 frintért. A szőlőt szétválgatta, és egyik részét 5%- s hasznnal, másik részét 5%-s veszteséggel adta el, így 008 Ft hasznra tett szert. Hány kilgramm szőlőt adtt el nyereséggel és hány kg-t veszteséggel? Megldás: A kereskedő kg szőlőt 60 Ft-ért vett. Jelöljük x-szel annak a szőlőnek a mennyiségét, amelyet 5% hasznnal adtt el. Ekkr 60,5x ,95(50 x) = 9008 (vagy 60 0,5x 60 0,05(50 x) = 008). Az egyenlet megldása: x =. Tehát kg-t adtt el nyereséggel, és 6 kg-t veszteséggel.

39 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés IV. Szöveges egyenletek Tanári útmutató 9. Egy kereskedő nagybb tételben cukrt akart vásárlni. Halgatta a vásárlást, és mire észbekaptt, a cukr mázsájának ára 000 Ft-tal emelkedett. Szüksége vlt rá, így megvette a szükséges mennyiséget, de ekkr ugyanannyi cukrért Ft-t kellett fizetnie, míg krábban ugyanennyi pénzért mázsával többet kaphattt vlna. Hány mázsa cukrt vásárlt? Megldás: Ha x mázsa cukrt vásárlt, akkr az új ára mázsánként 0000, a régi, kedve- x zőbb ár mázsánként A kettő különbsége 000 Ft. Így x = 000, azaz =. Ebből az x + x 0 = 0 másdfkú x x + x x + egyenlet adódik. Ennek egyetlen pzitív megldása a 0. Tehát 0 mázsa cukrt vásárlt.. Egy kétjegyű szám számjegyeinek az összege. Ha a számt -vel sztjuk, akkr a hányads megegyezik a szám utlsó számjegyével, a maradék pedig ennél -vel kisebb. Melyik ez a szám? Megldás: A kétjegyű számban az egyesek helyén álló számjegyet jelölje x. Ekkr a tízesek helyén x áll, a szám értéke 0 ( x ) + x, tehát 0( x ) + x = x + ( x ). Ennek az egyenletnek a megldása x = 6. A keresett kétjegyű szám a 76..* Az apa életkra mst 5 évvel több, mint a hárm fia életkrának az összege. 0 év múlva az apa kétszer lyan idős lesz, mint a legidősebb fia, 0 év múlva kétszer lyan idős lesz, mint a középső fia, 0 év múlva pedig kétszer lyan idős lesz, mint a legkisebb fia. Hány éves mst az apa? És a fiúk? Megldás: Jelölje a fiúk mstani életkrát: x, y és z ( x > y > z ). Ekkr az apa életkra mst x + y + z + 5. A szöveg szerint ( x + 0) = x + y + z + 5 ( y + 0) = x + y + z + 5. ( z + 0) = x + y + z + 5 Adjuk össze a hárm egyenlet megfelelő ldalait. Ekkr ( x + y + z) + 0 = ( x + y + z) + 75 egyenlethez jutunk. Innen x + y + z = 5. A hárm fiú életkrának összege mst 5 év, így az apa mst 50 éves.

40 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés IV. Szöveges egyenletek Tanári útmutató 0 A hárm egyenletből álló egyenletrendszer első egyenletéből azt kapjuk, hgy a legidősebb fiú mst 0 éves, a másdik egyenletből adódik, hgy a következő fiú mst 5 éves, míg a legfiatalabb 0 éves.

41 Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés V. Egyenletek Tanári útmutató V. EGYENLETEK Módszertani megjegyzés: A tanult alapfgalmak (abszlútérték, hatvány, négyzetgyök, lgaritmus, szögfüggvények) pnts ismerete előfeltétele összetettebb feladatk sikeres megldásának. Ezen a fglalkzásn ezeknek a fgalmaknak az elmélyítse a célunk. Célszerű a fglalkzás elején az idevágó alapfüggvények grafiknját felrajzltatni a táblára. Két legyet ütünk egy csapásra. Oldd meg a valós számk halmazán a következő egyenleteket! a) x = 0x ; b) x+ = 0 x + ; c) x = 0 x ; d) sin x = 0sin x ; e) lg x 0 = 0lg x ; f) =. x x Megldás: Egy-egy új váltzó bevezetésével mindegyik egyenlet az a) egyenlet alakjával egyezik meg. a) x = ; b) 0 < x =, az egyenletnek nincs megldása. c) 0 x =, az egyenletnek nincs megldása. π d) sin x =. Az egyenlet megldásai: x nπ = 6 + ( n Z ), 5 x π = + k 6 π ( k Z ). e) lg x =. Az egyenlet megldása:. 0 f) = x. Az egyenlet megldása: x =.. Oldd meg a valós számk halmazán a következő egyenleteket! a) ( x )( x + ) = 0 ; b) x + x = 0 ; c) x + x = 0 ; d) (lg x )(lg x + ) = 0 ; e) cs x sin x + = 0. Megldás: Mivel minden valós x-re ( x )( x + ) = x + x, mindegyik egyenlet alakja ezzel analóg. x a) x = vagy x = ; b) = vagy 0 < x. Egyetlen megldás: x = 0.