MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. EMELT SZINT

Átírás

1 ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat megfelelő mezőibe. Válaszát indokolja, támassza alá számításokkal! a) A állítás: A PQRS négyszögnek nincs derékszöge. (4 pont) b) B állítás: A PQRS négyszög húrnégyszög. (4 pont) c) C állítás: A PQRS négyszögnek nincs szimmetriacentruma. (5 pont) A B C Igaz Hamis. Igaz Hamis A * B * C * a) Az A állítás hamis mert van derékszöge. Például SRQ szög RQ 7; és mert RS ; 7 és így, így a négyszög R-nél lévő szöge derékszög b) A B állítás igaz mert a PQRS négyszögben az R csúccsal szemközti P csúcsnál lévő szög is derékszög. ugyanis RQ RS 0 PQ ;4 és PS 8; 4, ezért PQ PS Így a PQRS négyszög szemközti szögeinek összege 80 (a húrnégyszög tételének megfordítása miatt), tehát a négyszög húrnégyszög 0

2 c) A C állítás igaz mert ha lenne a négyszögnek szimmetriacentruma, akkor a PQRS négyszög paralelogramma lenne. Ehhez például az kellene, hogy az és a PS 8; 4 vektorok ellentett vektorok legyenek. Ez csak úgy teljesülne, ha az egyik oldalvektor koordinátái másik vektor koordinátáinak. Ez viszont nem teljesül. 3 RQ 7; ( pont) -szeresei a ( pont) Összesen: 3 pont ) Legyen adott az függvény. a) Határozza meg az f függvény zérushelyeit! (4 pont) b) Vizsgálja meg az f függvényt monotonitás szempontjából! (6 pont) c) Adja meg az f függvény legnagyobb és legkisebb értékét! (4 pont) a) Mivel x 3 3x x 3 x x 3 x 0 f :,5;,5, f x x 3x, ezért f zérushelyei lehetnek x 3, x3 3 és. (3 pont) Az egyenlet mindhárom gyöke eleme az f értelmezési tartományának. ezért mindegyik zérushely jó megoldást ad. b) Az f a teljes értelmezési tartományának belső pontjaiban differenciálható függvény, ezért a monotonitás megállapítása és a szélsőértékek megkeresése az első derivált előjelvizsgálatával történhet f x 3x 3 Az első derivált értéke 0, ha Ezek az x értékek az értelmezési tartomány elemei. Készítsünk táblázatot az x és f előjelviszonyai alapján az f menetének meghatározása: x -,5 x - x x - x x x,5 f pozitív 0 negatív 0 pozitív f növekvő f csökkenő f Monotonitás megállapítása a táblázat helyes kitöltése alapján. c) Az f helyi maximumot vesz fel az f növekvő (3 pont) x helyen, a helyi maximum értéke Az f helyi minimumot vesz fel az x helyen, a helyi minimum értéke f Mivel f,5 8,5, a legkisebb függvényérték -8,5 Mivel f,5 8,5, ezért a legnagyobb függvényérték 8,5 Összesen: 4 pont

3 3) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert, ahol x és y valós számok! y 0 x 3 lg x 4x 3 y ( pont) Az első megoldás alapján y tetszőleges és A második alapján y tetszőleges és x 3 vagy x Az egyenletrendszer gyökeit tehát az y és x 3 feltétel mellett keressük y lg x 3 Az első egyenletből x 3 Amit beírva a második egyenlet jobb oldalára y helyére kapjuk az lg x 4x 3 lg x 3 lg0 egyenletet. azaz x x x lg 4 3 lg0 3 A logaritmusfüggvény monotonitása miatt x x x A bal oldal szorzattá alakítva Mivel Innen és x 3, ezért x 3, 9 y lg 0,653 9 x Az egyenletrendszer megoldása tehát x 3 x lg x 3 x és y lg 9 Összesen: pont

4 4) a n a) Legyen egy mértani sorozat, melynek első tagja 5, hányadosa 3. Mennyi a valószínűsége, hogy ha ennek a mértani sorozatnak az első 0 tagjából egyet véletlenszerűen kiválasztunk, akkor a kiválasztott tag -gyel osztva maradékot ad? (6 pont) b) Legyen egy számtani sorozat, amelynek az első tagja 5, és b n differenciája 3. Mekkora a valószínűsége, hogy ha ennek a számtani sorozatnak az első 0 tagjából egyen kiválasztunk, akkor a kiválasztott tag -gyel osztva maradékot ad? (7 pont) a) Az első sorozatban az első tagtól kezdve felírjuk a tagok -gyel való osztás maradékát: 5; 4; ; 3; 9; 5; A maradékok ciklikusan ismétlődnek (mindig 3-mal szorzunk) Minden ötödik tag -es maradékot ad ( pont) tehát a valószínűség 5 ( pont) b) A számtani sorozatban az első tagtól kezdve felírjuk a tagok -gyel való osztás maradékát: 5; 8; 0; 3; 6; 9; ; 4; 7; 0; ; Ettől kezdve ismétlődik: 5; 8; 0; tehát a ciklushossz Egy ciklusban egy kedvező eset van Mivel 0 ciklus van a 0. tagig, és mindegyikben egy darab -es van így a keresett valószínűség 0 0 ( pont) Összesen: 3 pont

5 II. 5) Panni és Kati elvállalta, hogy a szövegszerkesztővel legépelik Dani szakdolgozatát. A két lány együttes munkával munkaóra alatt végezne a gépeléssel. Kedden reggel 8 órakor kezdett Panni a munkához, Kati 0 órakor fogott hozzá. Megállás nélkül ki-ki egyenletes sebességgel dolgozott kedden 4 óráig, ekkor a kézirat 40%-ával végeztek, és abbahagyták a munkát. a) Hány óra alatt gépelné le Panni, illetve Kati a teljes szakdolgozatot (állandó munkatempót, és megszakítás nélküli munkát feltételezve)? (9 pont) Szerdán reggel egyszerre kezdtek 9 órakor a gépeléshez, és együtt egyszerre fejezték be. Szerdán Panni fél óra ebédszünetet tartott, Kati pedig a délelőtti munkáját egy órányi időtartamra megszakította. b) Hány órakor végeztek a lányok a munkával szerdán? (7 pont) a) Jelölje x azt az időt órában, amennyi idő alatt Panni egyedül begépelte volna a kéziratot, y pedig azt, amennyi alatt Kati végezte volna el ugyanezt a munkát egyedül. Panni szerdán t órát fordított gépelésre. Foglaljuk táblázatba a szövegből kiolvasható adatokat: Panni Kati A teljes munka elvégzése (h) x y együtt A táblázat helyes kitöltése Mindezekből tudhatjuk A munka elvállalásakor a keddi nap végén 6 4 x y 5 x 30 x y óra alatti teljesítmény x y Gépelésre fordított idő (h) kedden 6 4 (3 pont) ( pont) A két egyenletből: óra és y 0 óra ( pont) A feladat feltételeinek megfelelően Panni 30 óra, Kati 0 óra alatt végzett volna egyedül a munkával.

6 b) Szerdán Panni t, Kati t órát gépelt t t 3 Szerda délután, a munka befejezésekor ( pont) Ebből Panni fél órát ebédelt, így a gépelésre fordított 7,5 óra 8 óra munkaidőre változik. Kati szerdán 7,5 0,5 7 órát gépelt, és egy órával több (vagyis 8) volt a munkaideje. ( pont) Szerdán 9 órakor kezdtek, és mindketten 8 óra munkaidő után fejezték be a gépelést, vagyis 7 órára lettek készen a kézirattal. Összesen: 6 pont t 7,5 óra 6) Egy közvélemény-kutató intézet felméréséből kiderült, hogy a felnőttek 4%-a színtévesztő. Véletlenszerűen kiválasztunk 8 felnőttet abból a népességből, amelyre ez a felmérés vonatkozott. Mekkora a valószínűsége, hogy közöttük: a) pontosan két személy színtévesztő? (3 pont) b) legalább két személy színtévesztő? (8 pont) A kért valószínűség értékét ezred pontossággal adja meg! Ebben az intézetben 8 férfi és 9 nő dolgozik főállásban. Egy megbeszélés előtt, amikor csak ez a 7 főállású kutató jelent meg, a különböző nemű kutatók között 45 kézfogás történt. Tudjuk, hogy minden nő pontosan 5 férfival fogott kezet, és nincs két nő, aki pontosan ugyanazzal az öttel. c) Lehetséges-e, hogy volt két olyan férfi, aki senkivel sem fogott kezet? (5 pont) a) Annak a valószínűsége, hogy a 8 vizsgált személy közül pontosan kettő színtévesztő a binomiális modell alapján: P 8 0,04 0,96 6 ( pont) P 0,035 b) Az az eset, hogy a 8 vizsgált személy közül legalább színtévesztő van, azt jelenti, hogy vagy több a színtévesztők száma Egyszerűbb a kérdezett esemény komplementerének valószínűségét kiszámolni, tehát azt,hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy legfeljebb színtévesztő van a 8 ember között. 8 A pontosan 0 színtévesztő valószínűsége: P0 0,96 0,74 A pontosan színtévesztő valószínűsége: 8 0,04 0,96 7 0,405 P P0 P 0,96 Tehát P (színtévesztők száma legfeljebb ): ( pont) Ekkor a komplementer esemény valószínűsége: 0,038 Tehát 0,038 a valószínűsége annak, hogy legfeljebb két személy színtévesztő a kiválasztott nyolc személyből.

7 c) Ha lehetséges lenne, akkor összesen 6 férfival fogtak volna kezet a nők Ezeket a férfi ötösöket féleképpen lehet kiválasztani Mivel 9 nő van, ezért a feltétel szerint kellene legalább 9 különböző férfi ötös Nem lehetséges, hogy volt két olyan férfi is, aki senkivel sem fogott kezet, mert ellentmondásra jutottunk. Összesen: 6 pont 7) A világhírű GAMMA együttes magyarországi koncertkörútja során öt vidéki városban lépett fel. Az alábbi táblázat tartalmazza a körút néhány üzleti adatát. város fizető nézők bevétel a jegyeladásból egy jegy ára (Ft) száma (ezer Ft) Debrecen Győr Kecskemét Miskolc Pécs a) A koncertturné során melyik városban adták el a legtöbb jegyet? (3 pont) b) Mennyi volt az összes eladott jegy átlagos ára? (4 pont) Bea elment Budapesten a GAMMA együttes koncertjére, és becslése szerint ember hallgatta a zenét. Peti Prágában volt az együttes koncertjén, ahol a nézők számát főre becsülte. A GAMMA együttes menedzsere, aki ismerte a tényleges nézőszámokat, elárulta, hogy: - Budapesten a tényleges nézőszám nem tér el 0%-nál többel a Bea által adott becsléstől - Peti becslése nem tér el 0%-nál többel a tényleges prágai nézőszámtól c) Mekkora a budapesti nézőszám és a prágai nézőszám közötti eltérés lehetséges legnagyobb értéke, a kerekítés szabályainak megfelelően ezer főre kerekítve? (6 pont) d) A fenti adatok ismeretében előfordulhatott-e, hogy Budapesten és Prágában ugyanannyi ember volt a GAMMA együttes koncertjén? (3 pont) a) A kitöltött táblázat: város fizető nézők száma egy jegy ára (Ft) bevétel a jegyeladásból (ezer Ft) Debrecen Győr Kecskemét Miskolc Pécs Kecskeméten 390, Pécsett 850 fizető néző volt ( pont) A legtöbb fizető néző Kecskeméten volt

8 b) Az öt városban összesen fizető néző volt Miskolcon a jegyeladásból 4955 ezer Ft bevétel származott Az öt városban az összes bevétel 7976 ezer Ft volt Az átlagos jegyár Ft volt c) Bea becslése fő, ennek 0%-a 5000 fő. Ha a tényleges nézőszám Budapesten b, akkor Peti becslése fő, ennek 0%-a 6000 fő. Ha a tényleges nézőszám Prágában p, ennek a 0%-a 0,p, akkor 0, , ( pont) Innen p A legnagyobb eltérés akkor van a két nézőszám között, ha fő A nézőszámok közötti lehetséges legnagyobb eltérés ezresekre kerekített értéke ezer fő d) A b-re kapott és p-re kapott reláció miatt az azonos b és p értékeket a és az intervallumok közös egész elemei adják Tehát, ha mindkét nézőszám ugyanazon eleme az 8) b p p Ekkor az eltérés ;55000 b p 54546;66666 p b és 54546;55000 intervallumnak Mindezekből következik, hogy lehetséges, hogy a két fővárosban azonos számú néző hallgatta a GAMMA együttest. Összesen: 6 pont a) Ábrázolja függvény-transzformációk segítségével a intervallumon az x x x 3 3;4 hozzárendelési szabállyal megadott függvényt! (6 pont) b) Legyen az f, a g és a h függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza, hozzárendelési szabályuk: ; x 3 g x f x x x 3,. Képezzünk egyszeresen összetett függvényeket a szokásos módon. h x Például: x g f x g f x x x x x Készítse el a fenti példának megfelelően- az f, g és h függvényekből pontosan két különböző felhasználásával képezhető egyszeresen összetett függvényeket! Sorolja fel valamennyit! (6 pont) c) Keressen példát olyan p és t, a valós számok halmazán értelmezett függvényre, amelyre p t x t p x! Adja meg a p és t függvény hozzárendelési szabályát! (4 pont)

9 a) x x x x 3, ha 0 x x x 3, ha 0 x x x x x 4, ha 0 4, ha 0 A grafikon két összetevőjének ábrázolása transzformációval ( pont) A függvény képe a megadott intervallumon ( pont) b) Összetett függvényhez a 3 függvény közül -t kell kiválasztani a sorrendre való tekintettel, ezt 6-féleképpen tehetjük meg. g f x g f x x x 3 3 x - x- 6 (megadva) A függvények: f g x f g x x 3 x 3 3 x - 8 x+ h f x h f x x - x - 3 f h x f h x x x 3 x - x - 3 g h x g h x x -3 h gx h g x c) Egy egyszerű példa: p x x c és konstans) x -3 p t x x c c x t px x c c x Tehát p t x t p x t x x c (ahol c nullától különböző Összesen: 6 pont 9) Az ABCDA B C D téglatestben úgy jelöljük a csúcsokat, hogy az ABCD alaplappal egybevágó lapon az A csúcsot az A-val, a B csúcsot a B-vel, a C csúcsot a C-vel, a D csúcsot a D-vel kösse össze él. Tudjuk, hogy DAD szög 45 -os, a BAB szög 60 -os. a) Mekkora a B AD szög koszinusza? (6 pont) b) Mekkora az AB A D tetraéder térfogata, ha a téglatest legrövidebb éle 0? (4 pont) c) Mekkora az AA D és az AB D síkok hajlásszöge? (6 pont)

10 a) Jó ábra az adatok feltüntetésével ( pont) Jelöljük a téglatest AD élének hosszát a-val. Mivel a D DA háromszög egyenlőszárú derékszögű háromszög: és A téglatest 8 db éle a hosszúságú, Az ABB derékszögű háromszög oldalai rendre: a a BB ' a; AB ; AB ' 3 3 DA DD ' a AD ' a A téglatest A B élére illeszkedő két lapja egybevágó, ezért AB ' B ' D ' tehát az AB D háromszög egyenlőszárú A keresett az alapon fekvő egyik szög, ennek koszinuszát például koszinusz függvénnyel a B FA derékszögű háromszögből (F pont az AD alap felezőpontja) vagy az AB D háromszögből koszinusz-tétellel számíthatjuk ki BA ' D ' 6 cos 0,64 4 b) Mivel a AB A D tetraédert úgy kaptuk, hogy a téglatest A csúcsába befutó három egymásra merőleges élének végpontjait összekötöttük ezzel az A csúccsal, a tetraéder térfogatát megkaphatjuk, ha AA D lapot tekintjük a tetraéder alaplapjának és erre a lapra merőleges A B élt a tetraéder magasságának AA ' A ' D ' a TAA ' D ' ; a m A ' B ', innen 3 3 TAA ' D ' A ' B ' a a a 3 V A téglatest legrövidebb éle AB a A ' B ' 0 3 a, innen a 0 3 Ezt az értéket a térfogat képletébe a helyére behelyettesítve kapjuk, hogy V ,

11 c) Az AA D és az AB D síkok hajlásszögét az AD metszésvonaluk egy pontjába állított merőlegesek szöge adja meg. Az AB A D tetraéder AD élére illeszkedő két lapja egyenlőszárú háromszög a közös AD lapon, ezért a metszésvonalakon F pont legyen az AD él felezőpontja. Ekkor A B A F háromszög A -ben derékszögű, mert az A B él a tetraéder magassága, ezért merőleges az AA D alaplap minden egyenesére, így A F-re is. AB ' ' a 3 ; A' FB ' Az AA D egyenlőszárú derékszögű háromszögben az A F magasság az AD átfogó felével egyenlő, vagyis AF ' a ' ' 3 tg AB 0,865 AF ' a 3 Innen AD ' a a 39,3 ( pont) Összesen: 6 pont