MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

Átírás

1 MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 -

2 Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY (Mozaik, 013) feladataira épül. Kidolgozott gyakorló feladatok az adott oldalszámon találhatóak! Az elméleti anyag értelmezéséhez a Tankönyv és a Négyjegyű Függvénytáblázat (Konsept-h könyvkiadó) megfelelő oldalai kellenek. Jelölés: tk- Mozaikos tankönyv, fgy- Mozaikos feladatgyűjtemény, fvt- Függvénytáblázat Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok 1 óra I. Kombinatorika, halmazok 1 óra II. Algebra és számelmélet 6 óra III. Függvények 1 óra IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek 19 óra V. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek30 óra VI. Egybevágósági transzformációk 0 óra VII. Statisztika 7 óra Év végi ismétlés 8 óra összesen: 144 óra Az ábrák túlnyomó része az interneten megtalálható! Néhány ajánlott oldal (amely folyamatosan bővülni fog): file:///c:/users/j%c3%b3zsef/downloads/emelt_matek_temakorok_014.pdf óra Év eleji szervezési feladatok - -

3 I. Kombinatorika, halmazok (1 óra) 1. LOGIKA, ÖSSZESZÁMLÁLÁS Elméleti anyag. óra Mit jelent a matematika nyelvén? tk: oldal kijelentés, tagadás, fvt: oldal ha-akkor értelmezése Gyakorló feladatok tk: 14/1,3,5 tk:19/1,3,7,8,1,13,14,15,16 fgy: 1004, 1005, 1010, 1011, 101, tk:15-0. oldal 3. óra Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok fvt: 1-13 összeszámolás, permutáció fogalma Elméleti összefoglaló: Logika: Nem igaz, hogy van olyan= mindre nem igaz Nem igaz, hogy minden= van olyan, aki/ami nem Kombinatorika: A matematika azon elmeléti területe, amely egy véges halmaz elemeinek csoportosításával, kiválasztásával vagy sorrendberakásával foglalkozik. 1) Permutáció a) Ismétlés nélküli permutáció: -n darab különböző elem egy lehetséges sorrendjét az n elem egy ismétlés nélküli permutációjának nevezzük. - n faktoriális alatt értjük a pozitív egész számok 1-től n-ig terjedő szorzatát. A 0 és az 1 faktoriálist 1-nek értelmezzük. 0! = 1, 1! = 1 Jele: n! Tétel: n darab elem összes ismétlés nélküli permutációinak száma: P= n *(n -1)* (n - )... *1 = n!. HALMAZOK Tk/ Fvt Elméleti anyag Gyakorló feladatok

4 4-5. óra Halmazok tk: 1-5. oldal fv.t :8-10. oldal 6-7.óra Halmazműveletek tk: oldal fv.t: oldal 8.óra Halmazok elemszáma, logikai szita tk: oldal óra Műveletek számhalmazokkal tk: oldal fv.t: oldal fv.t: oldal halmaz, halmaz eleme, üres halmaz, halmazok megadásai módjai, halmazok egyenlősége, részhalmaz, valódi részhalmaz, véges és végtelen halmaz tk: 5/4,5,7,9 alaphalmaz, komplementerhalmaz halmazok metszete, uniója, különbsége, diszjunkt halmazok tk :30/1,3,4,6,7 Halmazok elemszáma, Logikai szita értelmezése két vagy három halmaznál számegyenes, a számegyenes intervallumai fgy:1017, 103, 105,106, 107, 103 fgy: 1035,1037,1038, 1040,104,1044, 1050, 1051, 1099, 1100 tk:34/1,,3,5,6,7 fgy:1058, 1060, 1061,1065, 1068, 1071, 1074 tk:36/1,,3,4,5,8 fgy:1078, 1081, 1085,1105 Elméleti összefoglaló: Halmaz: közös tulajdonságú elemek összessége; jelölés: ábécé nagybetűivel (A, B, C, ) Halmaz eleme: a halmaz egy eleme; jelölés: ábécé kisbetűivel (a, b, c, ) Eleme: egy adott elemet tartalmaz az adott halmaz; jelölés: a A Nem eleme: egy adott elemet nem tartalmaz a halmaz; jelölés: b A Üres halmaz: elem nélküli halmaz; olyan halmaz, melynek egyetlen eleme sincs jelölés: Alaphalmaz (univerzum): az a halmaz, amelynek minden vizsgált halmaz része; jelölés: H vagy U Halmaz számossága: a benne lévő halmazelemek száma; jelölés: A Halmaz megadása: elemeinek felsorolásával: A := { 1,, 10, 18, } az elemek közös tulajdonságának megadásával: A := { Páros számok } Halmazműveletek: Halmazok egyenlősége: két halmaz egyenlő, ha az egyik halmaz minden eleme a másik halmaznak is eleme; jelölés: A = B Részhalmaz: egy adott halmaz minden eleme egy másik halmaznak is eleme; jelölés: A B Valódi részhalmaz: egy halmaz részhalmaza egy másik halmaznak, de nem egyenlőek jelölés: A B Metszet: mindazon elemek halmaza, amely a két halmaz közös elemeiből áll, vagyis olyan elemekből, melyek mind az egyik, mind a másik halmaznak elemei; jelölés: - 4 -

5 A B Tulajdonságok: - kommutatív: A B B A - asszociatív: A ( B C ) ( A B) C - A A A - A - A I A Egyesítés (unió): két halmaz elemeinek összessége, vagyis olyan elemekből áll, melyek vagy az egyik, vagy a másik halmaznak elemei, de legalább az egyiknek. jelölés: A B Tulajdonságok: - kommutatív: A B B A - asszociatív: A ( B C ) ( A B ) C - A A A - A A - A I I Különbség: eleme az A halmaznak, de nem eleme a B halmaznak; jelölés: A \ B Kiegészítő halmaz (komplementer): mindazon elemek összessége, melyek nem elemei egy adott A halmaznak (de a halmazuniverzumnak elemei); jelölés: Ā = H \ A Diszjunkt halmazok: olyan halmazok, amelynek nincs közös része (A B = ) Logikai szita két halmaz esetén: A B = A + B - A B Logikai szita három halmaz esetén: A B C = A + B + C - A B - A C - B C + A B C Számegyenes: Olyan egyenes, melyen kijelölünk egy irányt és két pontot, amelyekhez számokat rendelünk. Így meghatározzuk a 0 és az 1 helyét. Számegyenes egy része az intervallum, amely lehet nyílt, zárt vagy félig nyílt 3.GRÁFOK - 5 -

6 Elméleti anyag 11.óra Gráfok tk: oldal Gráf pontjai, élei, fokszám, egyszerű gráf Gyakorló feladatok Tk: 41/1,5,7, 10, 11 Elméleti összefoglaló: Gráfelmélet: A gráf pontokból (csúcsokból) es élekből álló halmaz, ahol az élek csúcsokat kötnek össze. Gráfok megadása: síkbeli ábrával, szomszédsági mátrixszal, felsorolással Két csúcs szomszédos, ha vezet köztük él. A mátrixban bármely két csúcs közti élek számát jelöljük. Def.: hurokél: olyan él, melynek kezdő és végpontja azonos többszörös él: ha két csúcs közt egynél több él vezet izolált csúcs: olyan csúcs, melyből nem indul él egyszerű gráf: olyan gráf, mely nem tartalmaz hurokélt es többszörös élt sem. irányított gráf: olyan gráf, melyben különbséget teszünk az élek kezdő- illetve végpontjai közt, nyíllal jelöljük az irányt csúcs fokszáma: a belőle kiinduló élek száma Tétel: 1. Bármely (véges) gráfban a csúcsok fokszámainak összege az élek számának kétszerese. Minden (véges) gráfban a páratlan fokú csúcsok száma mindig páros. Példák gráfokra: - 6 -

7 II. Algebra és számelmélet (6 óra) 1. Betűk használata a matematikában Elméleti anyag Gyakorló feladatok 14. óra Betűk használata tk: oldal fv.t: 8. oldal betűs kifejezések értelmezése, algebrai kifejezés, egyváltozós és többváltozós algebrai kifejezés, egész, tört algebrai kifejezés, egytagú, többtagú algebrai kifejezés, helyettesítési érték Elméleti összefoglaló: tk: 47/3, 4, 5, 7, 9 fgy: 1107, 1109, 1110, 1111, 111

8 Egy-egy matematikai probléma felírása esetén sokszor használunk betűket. Ezeket a problémától függően nevezhetjük változónak, vagy ismeretlennek. Jelölhetjük x-el, a-val. Algebrai kifejezés: ha a négy alapműveletet számokra vagy betűkre véges sokszor alkalmazzuk. 7x5y+x3y+1 Egyváltozós kifejezésről beszélünk, ha abban csak egy betű szerepel. 3x4 A több különböző betűt tartalmazó kifejezést többváltozósnak nevezzük. 3x4y Ha az algebrai kifejezésben a változók helyére konkrét számokat helyettesítünk az alaphalmazból, akkor a műveletek elvégzése után egy számot, a kifejezés helyettesítési értékét kapjuk. Algebrai egész kifejezésről beszélünk, ha az algebrai kifejezésben nincs tört vagy az előforduló tört x 3 nevezőjében nincs változó. Algebrai törtkifejezésről beszélünk, ha az algebrai kifejezésben előforduló tört nevezőjében van x 3 változó. x Egy algebrai tört értelmezési tartományán a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát értjük, amelynek elemeit a változó helyére írva a kifejezésben szereplő műveletek elvégezhetőek. Egytagú algebrai kifejezésről beszélünk, ha a kifejezésben a számok és a betűk a szorzás műveletével vannak összekapcsolva. 3x4y Többtagú algebrai egész kifejezésnek vagy polinomnak nevezzük az egytagú algebrai egész kifejezések összegét. 7x5y+x3y+1. Hatványozás. A hatványozás alapazonosságai Elméleti anyag Gyakorló feladatok óra. Hatványozás tk: oldal fv. t: 1-.oldal hatványozás definíciója, hatványozás azonosságai, negatív kitevőjű hatvány értelmezése Tk: 51/1,, 3 54/ 1,, 4, 5 Fgy: 1114, 1116, 1117, 1119, Elméleti összefoglaló: Egész kitevőjű hatványok: n Pozitív egész kitevőjű hatvány definíciója szerint a jelenti azt az n tényezős szorzatot, n amelynek minden tényezője a. a a a a b a; b R, n Z n db Az a-t hatványalapnak, n-t hatványkitevőnek, b-t hatványértéknek nevezzük. Nulla kitevőjű hatvány: minden 0-tól különböző valós szám nulladik hatványa

9 a 0 1, a R, a 0 00 nincs értelmezve, 0 bármely pozitív egész kitevőjű hatványa 0. Negatív egész kitevőjű hatvány: Minden 0-tól különböző valós szám negatív egész kitevőjű hatványa a szám ellentett kitevőjű hatványának reciprokával egyenlő. 1 a R, a 0, n Z a n n, a 1 1 bármely hatványa 1, minden valós szám első hatványa önmaga. a 1 Azonosságok: m n m n Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk a a a m; n Z, a R am a m n n a Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy a kitevőket kivonjuk egymásból m; n Z, m n, a R, a 0 Szorzatot úgy hatványozunk, hogy a tényezőket külön-külön a megfelelő kitevőre emeljük. a b n a n b n n, a; b R Z Hányadost úgy hatványozunk, hogy a számlálót és a nevezőt külön-külön a megfelelő kitevőre n n a a bn b emeljük. n Z, a; b R, b 0 Hatványt úgy hatványozunk, hogy a kitevőket összeszorozzuk. a n m a n m, n; m Z a R 3. A számok normálalakja Elméleti anyag Gyakorló feladatok 19. óra A számok normálalakja tk: oldal normálalak tk: 57/ 1,, 4 fv.t: 18. oldal fgy: 111, 11, 116, 118, 1193 Elméleti összefoglaló: A nagyon nagy és nagyon kis számok egyszerűbb leírását segíti a számok normálalakja. Ezzel az alakkal műveleteket is végezhetünk. Egy szám normálalakja egy szorzat, melynek két tényezője van. Az első tényező 1 és 10 közé esik, a második tényező 10 megfelelő hatványa. Egy x valós szám esetén a x=n 10k alakot a szám normál alakjának nevezzük, ahol 1 N <10 és k є Z. Ezáltal ezeket az óriási vagy kicsi számokat sokkal könnyebb lesz kezelni és velük műveleteket végezni

10 Példák: = 3* = 4,05*10 0,006 = 6*10-3 0,0000 = *10-5 A Föld tömege: t. Ez normálalakban: 6*101 t A proton tömege: 0, gramm. Ez normálalakban: 1,67*10-4 gramm. 4. Egész kifejezések (polinomok) Elméleti anyag Gyakorló feladatok 0-1. óra Egész kifejezések tk: oldal fv.t: 8. oldal Polinomok tk: 59/, 3, 4, 5 fokszáma, egynemű és többnemű fgy: 1130, 1131 polinomok Elméleti összefoglaló: Egytagú egész kifejezés fokszáma a változó(k) kitevőinek összege. x3y polinom fokszáma 4. A többtagú polinom fokszáma a legnagyobb fokszámú tag fokszáma. 7 x3y² +xy+1 polinom fokszáma: 5. Két egytagú algebrai kifejezés egynemű, ha legfeljebb együtthatóikban különböznek egymástól. Az egynemű tagokat össze lehet vonni. x3y + 8x3y = 10x3y 5. Nevezetes szorzatok -3. óra Nevezetes szorzatok tk: oldal fv.t: 8. oldal Elméleti anyag Négyzetre és köbre emelés Gyakorló feladatok Tk: 64/1,,3,4,5 Fgy: 1131, 113, 1135 Elméleti összefoglaló: Nevezetes azonosságok: (a+b)²=a²+ab+b² (a-b)²=a²-ab+b²

11 (a+b)(a-b)=a²-b² (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) 6. A szorzattá alakítás módszerei 4-5. óra A szorzattá alakítás módszerei tk: oldal 7. fv.t:8. oldal Gyakorló feladatok tk: 65/6, 67/ 1,,3,4 fgy:1133, 1136, 1138, 1140, 1141 Műveletek algebrai törtekkel 6-7. óra Műveletek algebrai törtekkel tk: oldal 8. Elméleti anyag - Kiemelés - Kiemelés csoportosítás sal - Nevezetes azonosságok alkalmazása fv.t:8. oldal Elméleti anyag Gyakorló feladatok Algebrai törtek tk: 73/ 1,, 3 egyszerűsítése, szorzása, fgy: 1147, osztása, 1148, 1149, összeadása Oszthatóság Elméleti anyag óra Oszthatóság, az oszthatóság tulajdonságai tk: oldal osztója, osztható, oszthatóság tulajdonságai, oszthatósági szabályok prímszám, összetett szám számelmélet alaptétele relatív prímek fv.t:19-1. oldal Gyakorló feladatok tk: 79/ 4, 5, 8, 9 fgy: 1155,1156, 1157, 1161

12 óra Legnagyobb közös osztó Legkisebb közös többszörös tk.:80-8. oldal fv.t:19. oldal legnagyobb tk: közös osztó 8/1,,3,5,6,9 legkisebb közös többszörös fgy:1163, 1164, 1167, 1177 Elméleti összefoglaló: Legyenek a és b egész számok. Azt mondjuk, hogy b osztója a-nak, ha létezik olyan c egész, amire a = b * c. a, b, c Z. Jelölés: b a Osztó: azokat a számokat, amelyekkel egy a szám osztható, az a szám osztóinak nevezzük. Minden számnak legalább két osztója van, 1 és önmaga. 10 osztói: 1,, 5, 10 Osztható: akkor osztható egy a szám egy b számmal, ha a hányadosuk egész szám, és a maradék nulla. 10 osztható 5-el, mert a hányadosuk kettő, a maradék nulla. Prímszámnak, törzsszámnak nevezzük azokat a termeszétes számokat, amelynek pontosan két osztójuk van a természetes számok között (maga a szám es az 1). Prímszámok:,3,5,7,11,13,17,.. Az egynél nagyobb termeszétes számot összetett számnak nevezzük, ha kettőnél több osztója van. Összetett szám: 4, 6, 8, 9, 1, 15, 0, 100 Az 1 es a 0 nem prím, és nem összetett szám. A számelmélet alaptétele: Minden 1-nél nagyobb természetes szám (a sorrendtől eltekintve) egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára. Oszthatósági szabályok: Egy szám akkor osztható -vel: ha az utolsó számjegye -vel osztható, vagyis az utolsó számjegye 0; ; 4; 6; 8. 3-mal: ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal. 4-gyel: ha az utolsó számjegyéből alkotott szám osztható 4-gyel. 5-tel: ha az utolsó számjegye 5-tel osztható, vagyis az utolsó számjegye 0 vagy 5. 6-tal: ha a szám osztható -vel és 3-mal is. 8-cal: ha az utolsó 3 számjegyéből alkotott szám osztható 8-cal. 9-cel: ha a számjegyek összege osztható 9-cel. 10-zel: ha az utolsó számjegye nulla. 5-tel: ha az utolsó számjegyéből alkotott szám osztható 5-tel. 100-zal: ha az utolsó számjegye nulla. Két pozitív egész szám legnagyobb közös osztója a közös osztóik közül a legnagyobb

13 Ha a legnagyobb közös osztó 1, akkor a két számot relatív prímnek nevezzük. Jele: (a, b). Kiszámítása: Az eredeti számokat prímtényezőkre bontjuk, majd a közös prímtényezőket összeszorozzuk az előforduló legkisebb hatványon. Két pozitív egész szám legkisebb közös többszörösén azt a legkisebb pozitív egész számot értjük, amely az adott számok mindegyikével osztható. Jele: [a, b]. Kiszámítása: Az eredeti számokat prímtényezőkre bontjuk, majd az előforduló prímtényezőket összeszorozzuk az előforduló legnagyobb hatványon. 9. Számrendszerek Elméleti anyag óra. Számrendszerek tk: oldal Számrendszerek, átírás más számrendszerre, egyszerűbb műveletek Gyakorló feladatok tk: 86/ 1,, 3, 7 fgy: 1168, 1169, 1170, 1188 a, Elméleti összefoglaló: Tízes (decimális) számrendszer: A tízes számrendszerben a számokat a tíz hatványaival írjuk fel. Kettes (bináris) számrendszer: A kettes számrendszerbeli számok a 0 es az 1 számjegyekből állnak. Elméleti anyag Gyakorló feladatok óra. Összefoglalás, rendszerezés Témazáró dolgozat, dolgozatjavítás III. Függvények (1 óra) Elméleti anyag Gyakorló feladatok

14 40. óra A derékszögű koordinátarendszer, ponthalmazok tk: oldal óra Lineáris függvény és menetének leírása tk: 9-95.oldal fv.t: 6-66.oldal fv.t: 6-66.oldal óra. Az abszolútértékfüggvény és menetének leírása Az abszolútértékfüggvény transzformációi tk: oldal óra. A másodfokú függvény és menetének leírása A másodfokú függvény transzformációi óra A négyzetgyökfüggvény és menetének leírása A négyzetgyökfüggvény transzformációi óra Lineáris törtfüggvények, a fordított arányosság tk: óra óra A függvénytranszformációk rendszerezése, alkalmazása óra Összefoglalás, témazáró dolgozat, hiánypótlás tk: oldal fv.t: 6-66.oldal fv.t: 6-66.oldal tk: oldal fv.t: 6-66.oldal tk: oldal Derékszögű koordináta rendszer, abcissza, ordináta, síknegyedek Függvény fogalma, értelmezési tartomány, értékkészlet, helyettesítési érték, zérushely, elsőfokú függvény, egyenes arányosság Abszolút érték, az abszolút érték függvény definíciója és transzformációi, szélsőérték, monotonitás tk: 91/ 1,, 3, 4, 5 Másodfokú függvény definíciója, transzformációi, Páros függvény Négyzetgyök definíciója, a négyzetgyök függvény tulajdonságai, Fordított arányosság, a lineáris törtfüggvények értelmezése és definíciója, Páratlan függvény A függvénytranszformációk rendszerezése, alkalmazása tk: 105/1, Elméleti összefoglaló: fgy: 1194, 1195, 1196 tk: 95/ 1,, 3, 4, 5 fgy: 1198, 1199, 100, 101, 10, 103 tk: 101/1,,4 fgy: 105, 107, 111 fgy: 113, 115, 119,, 11, 1 tk: 109/1,3 fgy: 18, 19 tk:115/ 1, 3 fgy: 140, 141, 149, fgy:155, 157, 158, 163, 166

15 Derékszögű koordináta-rendszer: Két, egymásra merőleges egyenes, amelyek metszéspontja a nulla számértéknél van. Ez a metszéspont az origó. A vízszintes számegyenest x tengelynek (abszcissza tengely), a függőleges számegyenest y tengelynek (ordináta tengely) nevezzük. Egy tetszőleges pont helyét egy rendezett számpárral adhatjuk meg. Az első szám az x tengelyen való irányt, a második szám az y tengelyen való irányt jelenti az origótól. P (x, y) A koordináta rendszer a síkot 4 részre osztja: I. síknegyed: mindkét koordináta pozitív P(;3) II. síknegyed: első koordináta negatív, második koordináta pozitív. P(- ;3) III. síknegyed: mindkét koordináta negatív. P(- ;- 3) IV. síknegyed: első koordináta pozitív, második koordináta negatív. P(; - 3) Legyen A és B két nem üres halmaz. Azt mondjuk, hogy megadunk egy A halmazon értelmezett B-beli értéket felvevő függvényt, ha A minden eleméhez hozzárendeljük a B egy és pontosan egy elemét.. Értelmezési tartománynak nevezzük az A halmazt. Jele Df. Értékkészlet a B halmaz azon elemeibõl álló halmaz, amelyek a hozzárendelésnél előfordulnak. (vagyis az f(x) értékek). Jele az Rf. Ha x Df, (tehát az x eleme az értelmezési tartománynak) akkor az x helyen felvett függvényértéket f(x)-vel jelöljük, ez a helyettesítési érték. A függvény megadásához szükséges: értelmezési tartomány értékkészlet hozzárendelés szabálya A hozzárendelést megadhatjuk: Táblázattal Képlettel Szöveggel Grafikonnal Elempárok felsorolásával Az értelmezési tartomány és az értékkészlet összetartozó értékpárjait ábrázolhatjuk derékszögű koordináta-rendszerben, a rendezett számpárok egy-egy pontot határoznak meg. Ezek halmazát a függvény képének, grafikonjának nevezzük

16 Függvénytulajdonságok: Zérushely: Az f függvény zérushelyének nevezzük az értelmezési tartományának azon elemeit, amelyekre f(x)=0. Monotonitás: Az f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában szigorúan monoton növekvő, ha az intervallum bármely x1 < x értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll f ( x1 ) f ( x ). Az f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában szigorúan monoton csökkenő, ha az intervallum bármely x < x értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll f ( x1 ) f ( x ). 1 Szélsőérték: Az f függvénynek abszolút minimuma van az értelmezési tartományának x értékénél, ha a függvény az ott felvett f(x) értékénél sehol sem vesz fel kisebb értéket. Az f függvénynek abszolút maximuma van az értelmezési tartományának x értékénél, ha a függvény az ott felvett f(x) értékénél sehol sem vesz fel nagyobb értéket. Paritás: Az f függvényt párosnak nevezzük, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén x is eleme az értelmezési tartománynak és igaz, hogy f( x) = f(x). Páros függvény grafikonja tengelyesen szimmetrikus az y tengelyre. Az f függvényt páratlannak nevezzük, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén x is eleme az értelmezési tartománynak és igaz, hogy f( x) = f(x). Páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. Függvénytípusok: 1. Lineáris függvény: képe egyenes. Hozzárendelés:: y=mx+b, x mx+b, f(x)=mx+b m, b R m : a függvény meredeksége, azaz megmutatja, hogy ha az x tengely mentén 1-et lépünk jobbra, akkor mennyit kell lépnünk az y tengely mentén (felfelé vagy lefelé). b : tengelymetszet megmutatja, hogy a függvény hol metszi az y tengelyt. Ha az m=0 akkor a függvény nulladfokú függvény (konstans függvény), képe az x tengellyel párhuzamos egyenes. y=b Ha m 0 és b=0, akkor egyenes arányosság függvényről beszélünk, képe origón áthaladó egyenes. y=mx Egyenes arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó, akkor azt mondjuk, hogy az a két mennyiség egyenesen arányos. Ha az egyik mennyiség valahányszorosára változik, akkor a másik mennyiség is ugyanennyiszeresére változik. ( pl a kenyér tömege és ára közötti összefüggés) Példák lineáris függvényre:

17 . Abszolútérték függvény: Abszolút érték: Azt fejezi ki, hogy egy szám a számegyenesen milyen távol van a nullától. A nem negatív számok abszolút értéke egyenlő a számmal, a negatív számok abszolút értéke egyenlő a számok ellentettjével. 0 abszolút értéke egyenlő 0-val

18 f(x) = x képe V alakú. Értelmezési tartomány: x R Értékkészlet: y >0, y R Zérushelye: x = 0 Szélsőértéke: minimum: y=0; x=0 Menete: Szigorúan monoton csökken, ha x<0. Szigorúan monoton nő, ha x>0. Paritás: páros függvény 3. másodfokú függvény: képe parabola Hozzárendelési szabály: f(x)=x. Értelmezési tartomány: x R, Értékkészlet: y >0, y R Zérushelye: x = 0 Szélsőértéke: minimum: y=0; x=0 Menete: Szigorúan monoton csökken, ha x<0. Szigorúan monoton nő, ha x>0. Paritás: páros függvény 4. fordított arányosság függvény: Fordított arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek a szorzata 0-tól különböző állandó, akkor azt mondjuk, hogy az a két mennyiség fordítottan arányos. (autóúton a sebesség és az idő)

19 képe hiperbola képlete y=1/x f(x)=c/x, ahol x, c, f(x) R, és x 0, c 0, f(x) 0. A függvény grafikonját hiperbolának nevezzük.. Értelmezési tartomány: x R, de x nem lehet 0 Értékkészlet: y R, de y nem lehet 0 Zérushelye: nincs Szélsőértéke: nincs Menete: Szigorúan monoton csökken, Paritás: páros függvény 5. négyzetgyök függvény: képlete y= Egy nemnegatív valós szám négyzetgyöke az a nemnegatív valós szám, amelynek a négyzete az eredeti szám., 196 = 14, 59 = 3 f: R R, f(x)= 196 nincs értelmezve függvényt négyzetgyök függvénynek hívjuk

20 Értelmezési tartomány: x 0, x R, Értékkészlet: y 0, y R Zérushelye: x = 0 Szélsőértéke: minimum: y=0; x=0 Menete: Szigorúan monoton nő Paritás: nincs Inverz függvény: Nemnegatív valós számok halmazán a másodfokú függvény Függvénytranszformációk 1. Eltolás az y tengely mentén: g( x ) = f( x ) + c A g függvény grafikonját megkapjuk, ha az f függvény grafikonját az y tengely mentén önmagával párhuzamosan eltoljuk c egységgel, ha c > 0 akkor pozitív irányba, ha pedig c < 0, akkor negatív irányba. Az értelmezési tartomány nem változik. A mellékelt ábrán c =.. Eltolás az x tengely mentén: g( x ) = f( x - a ) A g függvény képét úgy kapjuk meg, hogy f grafikonját az x tengely mentén a-val eltoljuk, haa>0, akkor pozitív irányba, ha pedig a < 0, akkor negatív irányba. Az eltolás után az értékkészlet változatlan marad, de az értelmezési tartomány megváltozhat. A mellékelt ábrán a=. 3. Tükrözés az x tengelyre: g( x ) = - f( x ) A g függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözzük az f képét az x tengelyre. Az értelmezési tartomány és a zérushelyek nem változnak

21 4. Tükrözés az y tengelyre: g( x ) = f( - x ) A g függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözzük az f képét az y tengelyre. A tükrözés az értelmezési tartományt megváltoztathatja, de az értékkészletet nem. 5. Nyújtás (zsugorítás) az y tengellyel párhuzamosan: g( x ) = c f( x ) A g függvény képét megkapjuk, ha az f grafikonját y tengely irányában c-szeresére megnyújtjuk, ha c > 1, illetve összenyomjuk, ha 0 < c < 1. A transzformáció az értelmezési tartományt nem változtatja meg, de a függvényértékek c-szeresére változnak. A zérushelyeket nem változtatja meg. A mellékelt ábrán c=1/. 6. Nyújtás (zsugorítás) az x tengellyel párhuzamosan: g( x ) = f( ax ) A g(x) = f(ax) függvény grafikonját az f függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy az f képét az xtengely irányában 1/a- szeresére megnyújtjuk, ha 0 < a < 1, illetve összenyomjuk, ha a > 1. A transzformáció az értékkészletet nem változtatja meg. Az eredeti görbe és az y tengely metszéspontja helyben marad. A mellékelt ábrán a =. 7. A g függvény grafikonja az f grafikonjából úgy állítható elő, hogy ott ahol az f értéke pozitív, azt a görbe darabot változatlanul hagyjuk, azt a részt pedig ahol az f értéke negatív, azt tükrözzük az xtengelyre

22 8. f grafikonjából g úgy állítható elő, hogy az x 0 értékekhez tartozó részt tükrözzük az ytengelyre, az x < 0 értékekhez tartozó görberészt elhagyjuk. IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek (19 óra) 1. A sík és tér elemei 61.óra Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete tk.:18. oldal fv.t 41-4.oldal Elméleti anyag -Két egyenes kölcsönös helyzete -Két sík kölcsönös helyzete -Egyenes és sík kölcsönös helyzete Elméleti összefoglaló: Geometria alapfogalmai (nem definiáljuk): - pont - egyenes - sík - tér - illeszkedés - - Gyakorló feladatok fgy: 183, 184, 186

23 - Két egyenes metsző, ha van közös pontjuk - Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk - Két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban - Két sík metsző, ha pontosan egy közös egyenesük van. - Két sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk - Egy egyenes illeszkedik egy síkra, ha az egyenes minden pontja a síknak is pontja. - Egy egyenes metsz egy síkot, ha pontosan egy közös pontjuk van - Egy egyenes és egy sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk. Egyenesek, szögek, távolság tk.: oldal 6.óra Néhány alapvető geometriai fogalom Elméleti anyag Gyakorló feladatok - Egyenes, tk. 131/ 1,, 7, 8, 9, 10 Félegyenes, Szögfajták, fgy: 188, 189, 190, Szögpárok, 19, 193, Távolság, 194, 1300 Elméleti összefoglaló: - Egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja - Egy egyenes két pontja meghatároz egy szakaszt - A síkot egy egyenese két félsíkra bontja - A teret egy sík két féltérre bontja - Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen síkrészt szögtartománynak, szögnek nevezzük - Ha a síkban egy félegyenest a kezdőpontja körül valamilyen irányban elforgatunk, akkor a félegyenes kezdő- és véghelyzete mint szárak által meghatározott szöget forgásszögnek nevezzük - A forgásszög pozitív, ha az óramutató járásával ellentétes irányban forgatunk, negatív, ha az óramutató járásával megegyező irányban forgatunk. Szögfajták: - 3 -

24 Szögpárok: - - Ha két szög csúcsa közös, és száraik páronként egymás meghosszabbításai, akkor csúcsszögeknek nevezzük őket. A csúcsszögek egyenlők Ha két szög egy-egy szára közös, a másik kettő pedig egy egyenest alkot, akkor mellékszögeknek nevezzük őket. A mellékszögek összege 180º. Ha két szög összege 180º, akkor kiegészítő szögeknek nevezzük őket Ha két szög összege 90º, akkor pótszögeknek nevezzük őket. Ha két szárai páronként egyező irányúak, akkor egyállású szögeknek, ha páronként ellentétes irányúak, akkor váltószögeknek nevezzük őket - 4 -

25 Távolság: - Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre bocsájtott merőleges talppontjának és a tekintett pontnak a távolsága Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egy tetszőleges pontjának a másik egyenestől vett távolsága. Két metsző egyenes távolsága 0 Pont és sík távolsága a pontból a síkra bocsátott merőleges talppontjának és a tekintett pontnak a távolsága Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól vett távolsága Két metsző sík távolsága A háromszögek Tk/ Fvt tk.: oldal óra A háromszögek fv.t. :33, 39oldal geometriája Elméleti anyag - A háromszögek csoportosítása - A háromszögek szögei közötti összefüggések - Összefüggés a háromszög oldalai és szögei között Gyakorló feladatok tk. 138./1,, 3, 4, 5, 6,8 fgy: 1309, 1311,131, 1314, 1316, 131, 13

26 Elméleti összefoglaló: 1. A háromszögek csoportosítása szögei szerint: a) hegyesszögű, ha minden szöge hegyesszög, b) derékszögű, ha van derékszöge. (befogó, átfogó) c.) tompaszögű, ha van tompaszöge. Egy háromszögnek legfeljebb egy derékszöge lehet. Egy háromszögnek legfeljebb egy tompaszöge lehet.. A háromszögek csoportosítása oldalai szerint: a) egyenlő szárú b) egyenlő oldalú c) általános Egy háromszöget egyenlőszárúnak nevezünk, ha van két egyenlő oldala. (szárak, alap) Egy háromszöget egyenlő oldalú, vagy szabályos háromszögnek nevezzük, ha minden oldala egyenlő. A szabályos háromszög tulajdonságai: A szabályos háromszögnek három szimmetriatengelye van. A szabályos háromszög minden szöge 60 -os. A szabályos háromszög magasságpontja, súlypontja, beírt és köré írt körének középpontja egybeesik, és ez a szimmetriatengelyek metszéspontja. A szabályos háromszög forgásszimmetrikus. Egy háromszöget egyértelműen meghatározza: a) három oldala, b) két oldala és az általuk közbezárt szög, c) egy oldala és a rajta fekvő két szög, d) két oldala és a nagyobbikkal szemben fekvő szög. Ezekből az adatokból egyértelműen szerkeszthetünk háromszöget. A háromszögek szögei: Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180. Bizonyítás: P Q C B A Jelöljük a háromszög szögeit α, β, γ-val

27 Húzzunk a háromszög C csúcsán át párhuzamost az AB oldallal. Ekkor a PCA = α és QCB = β, (váltószögek), így 180 = α + β + γ Definíció: A háromszög külső szöge: belső szögeinek mellékszögei. Az α, β, γ belső szögek melletti külső szögeket α, β, γ -vel jelöljük. Tétel 1: A háromszög bármely külső szöge nagyobb, mint egy nem mellette fekvő belső szög. Tétel : (külsőszög-tétel) A háromszög valamelyik külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő belső szögek összegével. Szögek és oldalak közötti összefüggések: Tétel 1: Egy háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek fekszenek, és megfordítva: egyenlő szögekkel szemben egyenlő oldalak fekszenek. Tétel : Ha egy háromszögnek van két különböző oldala, akkor a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik. Tétel 3: Ha egy háromszögben van két különböző szög, akkor a nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal fekszik. Oldalak összefüggései: Tétel 1: (A háromszög-egyenlőtlenség) Egy háromszög bármelyik két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. Pl. AC + CB > AB ( bármely két oldalra fel lehet írni az összefüggést) D C b A a a c B Egy háromszög bármely két oldala különbségének abszolút értéke kisebb, mint a harmadik oldal.. 3.Pitagorasz tétel - 7 -

28 Tk/ Fvt óra Pitagorasz tétel tk.: oldal Elméleti anyag - Összefüggés a derékszögű háromszög oldalai között - Pitagorasz tétel, - Pitagorasz élete fv.t 38. oldal Gyakorló feladatok tk. 138/11 fgy:138,139,1331,1333, 1334, 1335, 1340 Elméleti összefoglaló: A Pitagorasz-tétel és megfordítása 1. Tétel: A derékszögű háromszög befogóinak négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével.. Tétel: Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög olyan derékszögű háromszög, amelynek átfogója ez utóbbi oldal. Összefoglalva: Egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha két rövidebb oldalának négyzetösszege egyenlő a leghosszabb oldal négyzetével. a a a b ab b ab b a a b c b b a b a 4.A négyszögek óra A négyszögek tk.: oldal fv.t: oldal Elméleti Gyakorló feladatok anyag - Konvex, tk. 14/1,, 3, 4, 6, konkáv 7,9, 10 négyszögek, - speciális fgy: 1344, 1349, négyszögek 1350, 1351, 1356, 1358, 1359,

29 Elméleti összefoglaló: Csoportosítás: Az oldalak párhuzamossága szerint: 1. Két-két párhuzamos oldaluk van. Ez a paralelogrammák. A téglalap, a rombusz és a négyzet is.. Két párhuzamos oldaluk van. Ezek a trapézok. Ide sorolható a paralelogramma, a négyzet, a téglalap is a rombusz is. 3. Nincs párhuzamos oldaluk. Az oldalak egyenlősége szerint: 1. Minden oldaluk egyenlő: rombuszok, és ezen belül a négyzetek.. Két-két szemközti oldaluk egyenlők. Ezek a paralelogrammák, (köztük a négyzet és a rombusz) 3. Szomszédos oldalaik egyenlők. Ezek a deltoidok.(köztük a négyzet a téglalap és a rombusz is) 4. Két vagy három egyenlő oldala van. A speciális négyszögek közül a trapézok között fordulhat ilyen elő. 5. Nincs egyenlő oldaluk. Az általános négyszögeken kívül a trapéz lehet ilyen. A négyszög olyan sokszög, amelynek négy oldala és négy csúcsa van. Speciális négyszögek: 1. Trapéz A trapéz olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja (azaz van két párhuzamos oldala). Nincs szimmetriatengelye. Átlók: Átlóinak nincs semmilyen speciális tulajdonsága. Speciális: szimmetrikus trapéz Szimmetriatulajdonságok: Tengelyesen szimmetrikus. Egy szimmetriatengelye van, amely a párhuzamos oldalakat merőlegesen felezi.. Átlók: Átlói egyenlő hosszúságúak

30 . Paralelogramma A paralelogramma olyan négyszög, amelynek két párhuzamos oldalpárja van (két-két szemközti oldala párhuzamos). Középpontosan szimmetrikus, tengelyesen nem feltétlenül. Szimmetria középpontja a két átló metszéspontja. Az általános paralelogramma nem tengelyesen szimmetrikus Átlói felezik egymást. De nem egyforma hosszúak, csak ha a paralelogramma egyúttal rombusz is. 3. Deltoid A deltoid olyan négyszög, amelynek két-két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú. Tengelyesen szimmetrikus. Egy szimmetriatengelye van. (Négyzetnek, rombusznak kettő) Átlói merőlegesek egymásra, és az egyik felezi a másikat. Szimmetria középpontja nincsen. Lehet konvex és konkáv is 4. Rombusz A rombusz olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszúságú. Tengelyesen szimmetrikus. Két szimmetriatengelye van, a szemközti csúcsokat összekötő egyenesek (átlói). Középpontosan szimmetrikus. Szimmetria középpontja a két átló metszéspontja. Átlói felezik egymást és merőlegesek egymásra.(de nem biztos, hogy egyforma hosszúak.)

31 5. Téglalap A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge derékszög. A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge egyenlő nagyságú. Tengelyesen szimmetrikus, két szimmetriatengelye van, az oldalak felezési pontjait köti össze (négyzetnek 4 van) Átlói egyforma hosszúak és felezik egymást. 6. Négyzet A négyzet olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszú és minden Szöge egyenlő nagyságú, vagyis derékszög. Tengelyesen szimmetrikus. Négy szimmetriatengelye van: (a szemközti oldalak felezőpontján átmenő és a szemközti csúcsokat összekötő egyenesek) Középpontosan szimmetrikus. Szimmetria középpontja az átlók metszéspontja. Forgásszimmetrikus: Átlói egyenlő hosszúak, egymásra merőlegesek és felezik egymást. 5.Sokszögek óra. A sokszögek Tk.: oldal fv.t oldal Elméleti anyag - Konvex és konkáv sokszögek - Átlók száma, - belső és külső szögeinek összege Gyakorló feladatok tk.144/1,,3,4,5,6,7, 8,9, 1 fgy: 1365, 1367, 1368, 1374, 1375 Elméleti összefoglaló: Egy sokszög konvex, ha minden szöge konvex (kisebb 180 -nál), és konkáv, ha van egy konkáv szöge, amely nagyobb 180 -nál. Vagyis, egy konvex sokszögnek, ha bármely két pontját összekötjük, a két pontot összekötő szakaszt

32 is tartalmazzák. Tétel n(n 3) Egy n oldalú konvex sokszög összes átlóinak száma :. Bizonyítás Egy n oldalú konvex sokszög egy csúcsából önmagába és a két szomszédos csúcsba nem húzható átló, így minden csúcsából (n-3) átló húzható. Ha így összeszámoljuk az összes átlót, az n (n-3) átló, de így minden átlót kétszer számoltunk, így valójában az átlók száma ennek a szorzatnak a fele. Tétel Egy n oldalú konvex sokszög belső szögeinek az összege (n ) 180 Bizonyítás A sokszög egyik csúcsából kiinduló (n- 3) átló (n-) darab háromszögre bontja a sokszöget. A háromszögek belső szögeinek az összege éppen a sokszög belső szögeinek az összegét adja. Az állítás konkáv sokszögekre is igaz, nem csak konvexekre. Tétel Egy n oldalú konvex sokszög külső szögeinek az összege 360. Bizonyítás A sokszög egy külső szöge 180 -ra egészíti ki a hozzátartozó belső szöget. Tehát minden csúcsban a belső és a külső szög összege 180, vagyis az összes belső és összes külső szög összege n 180. A külső szögek összege így n 180 (n ) vagyis éppen 360 Definíció Egy sokszög szabályos, ha minden oldala egyenlő hosszú és minden szöge egyenlő nagyságú. Tétel: (n ) 180 n Szabályos sokszög egy belső szögének nagysága:. A szabályos sokszögek köré mindig írható kör. Ennek a körnek a középpontját egyben a sokszög középpontjának is nevezzük. A középpontot a csúcsokkal összekötő sugarak a szabályos n-szöget n darab egybevágó egyenlő szárú háromszögre (középponti háromszög) vágják szét

33 A szabályos sokszögeknek mindig létezik beírt köre is, vagyis olyan kör, amely minden oldalt érinti

34 6.Ponthalmazok tk.: oldal 71.óra Nevezetes ponthalmazok fv.t 36. oldal a síkban és a térben Elméleti anyag - Felezőmerőleges, - szögfelező, - kör, gömb, kör részei, - Szerkesztés számítógépes programmal Elméleti összefoglaló: Egy adott ponttól: Körvonal: O=Adott pont (középpont), r= adott távolság (sugár) lévő pontok halmaza a síkban. O= középpont P= körvonal pontja r= sugár= OP távolság, r Gyakorló feladatok tk. 148/, 3, 4, fgy:1379,1380,1381, 1387,139,1393

35 Zárt körlap: Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík O pontjától adott r távolságnál nem nagyobb távolságra vannak. Nyílt körlap: Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík O pontjától adott r távolságnál kisebb távolságra vannak. Gömb: Azon pontok halmaza a térben, amely egy adott ponttól, (ez a középpont) adott távolságra vannak (ez a sugár) Két különböző ponttól egyenlő távolságban lévő pontok: szakasz felezőmerőlegese: azon pontok halmaza a síkon, amely két adott ponttól egyenlő távolságra vannak

36 Három különböző ponttól egyenlő távolságban lévő pontok: a) három pont egy egyenesre esik-nincs ilyen pont b) 3 pont háromszöget határoz meg: Szögfelező: Azon pontok halmaza a síkban amelyek egy adott szög szárától egyenlő távolságra va A szög csúcsából kiinduló félegyenes, mely a szöget két egyenlő nagyságú szögre bontja. 7.Háromszögek beírt köre tk.: oldal 7.óra A háromszög fv.t 34. oldal beírt köre Elméleti anyag - Háromszögek belső és külső szögfelezői, - szerkesztés, - tétel Gyakorló feladatok tk. 150/1,, 4 fgy: 140, 1405 b, 1407, 1409, 1413 Elméleti összefoglaló: Definíció: A háromszög belső szögeinek felezőit a háromszög szögfelezőinek nevezzük. A háromszög külső szögeinek szögfelezőit külső szögfelezőknek mondjuk

37 Minden háromszögnek három szögfelezője és három külső szögfelezője van. Tétel: A háromszög szögfelező egyenesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög beírható kör középpontja. Vagyis minden háromszögbe írható olyan kör, amely érinti a háromszög oldalait. Ez a pont mindig a háromszögön belül van. 8.A háromszögek körülírt köre Elméleti anyag 73.óra A háromszög körülírt köre tk.: oldal - Háromszögek oldalfelező merőlegesei, - szerkesztés, - tétel fv.t: 33.oldal Gyakorló feladatok tk. 15/ fgy:1405a,1409, Elméleti összefoglaló: Definíció: A háromszög oldalfelező merőlegesei az oldalak felezőpontjaiba állított merőleges egyenesek. Az oldalfelező merőlegesek pontjai egyenlő távolságra vannak a szakasz két végpontjától. A háromszögbe eső részt nevezzük oldalfelező merőleges szakaszának. Tétel: A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, és ez a pont egyenlő távol van a háromszög mindhárom csúcsától

38 Ez a pont hegyesszögű háromszögnél a háromszögön belül, derékszögű háromszögnél az átfogó felezési pontján, tompaszögű háromszögnél a háromszögön kívül helyezkedik el. Létezik olyan kör, amelynek középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja és áthalad a háromszög mindhárom csúcsán. Ezt a kört a háromszög köré írható körének nevezzük 9.Thalesz tétele tk.: oldal óra Thalész tétele és fv.t 36. oldal alkalmazása Elméleti anyag -Thalesz tétele, - megfordítás, - Thalesz kör, - Thalesz élete Gyakorló feladatok tk.156/1,,3,8 fgy:1417, 146, 1431 Elméleti összefoglaló: Thalesz-tétel: Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. (A kör átmérője a derékszögű háromszög átfogója.) Bizonyítás: az O középpontú kör átmérőjére rajzolt ABC háromszög A-nál lévő szögét α-val, a B-nél levő szögét β-val jelöljük. Az OC sugár meghúzásával az AOC és a BOC egyenlő szárú háromszögeket kapjuk. A belső szögek összege: α+ β + (α + β) = 180, α+ β = 90. Tehát az ABC háromszög derékszögű. A Thalesz-tétel megfordítása: Ha egy szakasz valamely C pontból derékszögben látszik, akkor az AB átmérőjű körnek egyik pontja

39 a C pont. Összefoglalva: A síkon azon pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott AB szakasz derékszög alatt látszik, az AB átmérőjű kör, kivéve az AB szakasz két végpontját. ( vagyis A és B pontot). 10. Érintőnégyszögek tk.: oldal 76.óra Érintőnégyszögek fv.t 36. oldal Elméleti anyag - Érintőnégyszögek - Érintősokszögek, tétel Gyakorló feladatok tk. 138/11 fgy: 1436, 1438, 1441, 144, Elméleti összefoglaló: Azokat a négyszögeket, amelyeknek van beírt körük, érintőnégyszögeknek nevezzük. Tétel 1: Az érintőnégyszögek két-két szemközti oldalának összege egyenlő. Tétel :Ha egy konvex négyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlő, akkor érintőnégyszög. Együtt: Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlő. Egy sokszöget érintősokszögnek nevezünk, ha van beírt köre. 11. összefoglalás, számonkérés

40 77-79.óra Összefoglalás, rendszerezés Témazáró dolgozat hiánypótlás tk.: oldal Elméleti anyag Gyakorló feladatok fgy V. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek (30 óra) 1. Egyenletmegoldás 80.óra Az egyenlet, tk.: oldal azonosság fogalma tk: oldal 81-8.óra Egyenletek grafikus megoldása 83.óra Egyenletek tk: oldal értelmezési tartományának, értékkészletének vizsgálata 84.óra Egyenlet tk: óra megoldása szorzattá alakítással tk: óra óra A mérlegelv Elméleti anyag Alaphalmaz, értelmezési tartomány, kijelentés, állítás, Egyenletek megoldása függvények segítségével Értelmezési tartomány vagy értékkészlet vizsgálata az egyenlet megoldása során Szorzattá alakítás Gyakorló feladatok tk. 16/1,, 3, 4 fgy: 1475, 1478 tk. 165/1, 1479, 1480 tk: 168/1,,3 fgy: 1483, 1485 tk: 17/ fgy: 1487, 1489 Mérlegelv, hamis gyök tk: 176/ 1, fgy: 149, 1495,

41 88. óra Számonkérés Elméleti összefoglaló: Az egyenleteket azonosságoknak is hívjuk. Minden egyenlethez hozzátartozik egy alaphalmaz, melyen a megoldásokat keressük. Ha az alaphalmazt előre nem adjuk meg, akkor a valós számok halmaza az alaphalmaz. De lehet a megoldást keresni az egész számok vagy a pozitív számok halmazán is. A szöveges feladatok megoldásánál nagy segítség lehet, ha sikerül felírnunk egy hozzá kapcsolódó egyenletet. Ilyenkor mindig a feladatra adandó választ nevezzük el ismeretlennek (leggyakrabban xnek). Egyenletek megoldási módszerei: Grafikus módszer: Az egyenletet értelmezhetjük függvényként. Ekkor f(x) = g(x) egyenlet két oldalán szereplő függvényt ábrázoljuk koordináta-rendszerben és meghatározzuk a két grafikon közös pontjait. A közös pontok első koordinátái (x) adják az egyenlet megoldásait. Ellenőrzésként mindkét oldalba behelyettesítve a megkapott értéket ugyanazt az eredményt kell kapnunk. Hátránya, hogy nem mindig olvasható le pontosan a pont. Az értelmezési tartomány vizsgálata: Érdemes megadni azt a legbővebb halmazt, amelyen az egyenlet értelmezhető, hiszen ilyenkor gyakran sokkal könnyebben eljuthatunk a megoldáshoz! Az egyenletben szereplő kifejezések, függvények értékkészletének vizsgálata: Az értékkészlet vizsgálatával kiderülhet, hogy az egyenletnek nem lehet megoldása vagy csak néhány érték jöhet számításba. A két oldalon hasonlítsuk össze az értékészletet! Szorzattá alakítás: Az f(x) = 0 alakú egyenlet bal oldalát tényezőkre bontjuk. Egy szorzat csak akkor lehet 0, ha valamelyik tényezője 0. Ennek az elvnek a felhasználásával az eredeti egyenlet megoldását néhány alacsonyabb fokú, egyszerűbb egyenlet megoldására vezetjük vissza A mérlegelv : Az egyenlet úgy működik, mint egy mérleg, ha egyensúlyban van! Mindkét oldalához hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk ugyanannyit, közben az egyenlőség megmarad. Az egyenlet mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a 0-tól különböző számmal is. A 0-val való osztásra és szorzásra nagyon figyelni kell, hiszen hamis gyököket is kaphatunk illetve eltűnhetnek gyökeink!!! Fontos az ellenőrzés itt is!

42 Új ismeretlen bevezetése: Ezzel a módszerrel megkönnyíthetjük az egyenlet megoldását. Bevezetünk egy új változót, majd a megoldás végén visszahelyettesítünk. Ezzel akár magasabb fokú egyenletből is csinálhatunk elsőfokú egyenletet,. Egyenlőtlenségek óra. Egyenlőtlenségek Tk/ Fvt tk.: oldal Elméleti anyag Gyakorló feladatok tk. 181/1,, 3, 4 Egyenlőtlenség ek megoldási fgy: módszerei, a megoldás ábrázolása számegyenesen 1497, 1498, 1499, 1500, 156 Elméleti összefoglaló: Az egyenletekhez hasonlóan többféle módszerrel oldhatjuk meg az egyenlőtlenséget. A megoldásnál arra figyelj, hogy mindig ábrázold számegyenesen a megoldáshalmazt! Válasz ki legalább egy jó megoldást, amivel ellenőrízz is! Megoldási módszerek: Grafikus módszer Az egyenlőtlenség két oldalát függvénynek tekintjük: f(x) g(x) Az f és g függvények értelmezési tartományának közös részéhez tartozó x értékeket keressük,amelyekre a két függvény helyettesítési értéke között az adott reláció fennáll. Tehát mindkét oldalt ábrázoljuk, majd eldöntjük a függvények melyik ága halad a másik felett, hiszen ott lesz nagyobb a helyettesítési érték..itt is meg kell határozni a közös pontot, ahol a két oldal egymással egyenlő! A mérlegelv - Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadjuk, illetve kivonjuk ugyanazt a számot, ismeretlent tartalmazó kifejezést, a relációjel iránya nem változik meg. - Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk, illetve osztjuk ugyanazzal a pozitív számmal, ismeretlennel, akkor az egyenlőtlenség iránya nem változik meg. - Ha az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk, illetve osztjuk ugyanazzal a negatív számmal, ismeretlennel, akkor az egyenlőtlenség iránya megfordul. - Egyenlőtlenséget 0-val vagy olyan kifejezéssel amely értéke nulla nem szorzunk, nem osztunk. 3. Abszolút értékes egyenletek - 4 -

43 91-9.óra. Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek tk.: oldal Elméleti anyag Abszolút érték definíciója, az egyenletek megoldási módjai, Gyakorló feladatok tk. 187/1,, 3, 5 fgy: 1505,1506, 1507, 1561 Elméleti összefoglaló: Egy szám abszolút értékén a számegyenesen a számnak a nullától mért távolságát értjük. Ezért minden szám abszolút értéke vagy pozitív, vagy 0. x ha x 0 x x ha x 0 Megoldási módszere: A definíció alapján felbontjuk az abszolút értéket, számegyenesen ábrázoljuk az intervallumokat. Ennél az egyenlettípusnál nagyon fontos az ellenőrzés! Figyeljünk arra, hogy az egyenletnek több megoldási is lehet! 4. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer tk.: oldal óra. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek Elméleti anyag - grafikus megoldás - behelyettesítő módszer - egyenlő együtthatók módszere Gyakorló feladatok tk. 03/1,, 3, fgy:1547,1548,1549 Elméleti összefoglaló: Behelyettesítő módszer: - Az egyik ismeretlent kifejezzük az egyik egyenletből. Ez lehet akár az x akár az y attól függően, hogy melyikkel tudunk könnyebben dolgozni. - Az így kapott kifejezést behelyettesítjük másik egyenletbe. Ekkor már csak egy ismeretlenünk marad! - Megoldjuk az egyenletet, ezzel megkapjuk az egyik ismeretlent

44 - Ezt az értéket visszahelyettesítjük a másik egyenletbe, így megkapjuk a hiányzó ismeretlent is! Egyenlő együtthatók módszere: Ennél a módszernél az a cél, hogy a két egyenletet összeadva vagy egymásból kivonva egy ismeretlen maradjon egy egyenlettel. Ehhez az egyenletek ismeretleneit úgy kell szoroznunk, hogy mindkét egyenletben ugyanannyi legyen belőlük. Ezután a két egyenletet összevonva eltűnik az egyenlő együtthatós ismeretlen. Grafikus megoldás: Megoldhatunk egyenletrendszert is a függvény ábrázolási módszerrel. Ehhez mindkét egyenletből fejezzük ki x-et, majd a két függvényt ábrázoljuk. Ahol a két függvény egymást metszi ott lesz a közös pont. Ennek a pontnak mindkét koordinátáját olvassuk le! 5. Szöveges feladatok óra Egyenletekkel, egyenletrendszerekke l megoldható szöveges feladatok tk.: oldal oldal, 13. oldal Elméleti anyag Szöveges feladatok megoldásának lépései Gyakorló feladatok tk. 193//1,, 3, 4, 5, 6 198/ 1,, 3, 4, 5, 6 08/ 1,,3,4 fgy: , Elméleti összefoglaló: Szöveges feladatok megoldási módszere: Olvasd végig a szöveget, akár többször is. Próbáld értelmezni ami le van írva! Az adatokat írd ki a füzetedbe, mindent amire a megoldáshoz szükséged lehet. Figyelj arra, hogy felesleges adatokat ne használj! Nevezd el ismeretlennek azt amit a feladat kérdez. Ez fontos, hiszen a végén a szöveg szerint fogsz ellenőrizni és válaszolni is! Írd fel az egyenletet-egyenlőtlenséget-egyenletrendszert a szövegnek megfelelően. Ezt oldd is meg! Szövegesen válaszolj mindig arra a ha logikusan végig gondolod magadtól is rájöhetsz mennyire reális a válaszod! Szöveges feladatok megoldása: - Értelmezzük a feladatot - Megválasztjuk a feladat szövege alapján az ismeretlent - Felírjuk az egyenletet - Megoldjuk - A szöveg alapján ellenőrzünk - Válaszolunk a feladatban megfogalmazott kérdésre

45 Szöveges feladatok néhány típusa: - Helyiértékes Életkoros Mozgásos Keveréses Munkavégzéses Százalékszámításos 6. összefoglalás, számonkérés óra. Összefoglalás, témazáró dolgozat, hiánypótlás tk.: oldal Elméleti anyag Gyakorló feladatok fgy: VI. Egybevágósági transzformációk (0 óra) 1.A geometriai transzformáció Elméleti anyag 110.óra. A geometriai transzformáció tk.: oldal Geometriai transzformáció, csoportosítás Egybevágósági geometriai transzformáció Gyakorló feladatok Elméleti összefoglaló: Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz, vagyis ponthoz pontot rendel hozzá

46 Ha a transzformáció a P ponthoz a P pontot rendeli, akkor a P pontot a P pont képének nevezzük. Értelmezési tartománya a sík vagy a tér pontjainak halmaza Értelmezési tartománya és értékkészlete megegyezik Kölcsönösen egyértelműek Identitás: Olyan geometriai transzformáció, amely minden ponthoz önmagát rendeli. Vagyis P pont képe éppen önmaga. Tulajdonságok: fixpontja az a pont, amelynek a képe önmaga. fixegyenese az az egyenes, amelynek a képe önmaga Ha egy egyenes képe önmaga, de nem minden pontja fixpont, akkor invariáns egyenesnek nevezzük szimmetrikus, ha a P pont képe P és P képe is a P pont távolságtartó, ha bármely szakasz képe vele azonos hosszúságú szakasz aránytartó, ha két szakasz hosszának aránya egyenlő a képszakaszok hosszának arányával szögtartó, ha bármely szög képe vele azonos nagyságú szög irányítástartó, ha bármely síkidom és a képének a körüljárása azonos ( az óramutató járásával tudjuk megállapítani) irányításváltó, ha bármely síkidom és a képének a körüljárása ellentétes. Ha egy geometriai transzformáció távolságtartó, akkor egybevágósági transzformációnak nevezzük. Vagyis bármely szakasz képe az eredetivel egyenlő hosszúságú. Minden síkbeli egybevágósági transzformáció előállítható legfeljebb három tengelyes tükrözés egymás utáni alkalmazásával. Minden térbeli egybevágósági transzformáció előállítható legfeljebb négy síkra való tükrözés egymás utáni alkalmazásával. Ha egy geometriai transzformáció aránytartó, akkor hasonlósági transzformációnak nevezzük. 1.Tengelyes tükrözés a síkban Elméleti anyag óra. Tengelyes tükrözés a síkban tk.:18-4. oldal Tengelyes tükrözés a síkban és tulajdonságai Tengelyesen szimmetrikus alakzatok Gyakorló feladatok tk: 0/1, 3, 4, 6, 11 4/1, fgy: 1474, 1576, 1584, 1588, 1597 Elméleti összefoglaló: A tengelyes tükrözésnél adott a síkban egy egyenes, ez a tükrözés tengelye. t egyenes a tengely Az adott egyenesre (t) vonatkozó tengelyes tükrözésnél minden a t egyenesre illeszkedő pont képe önmaga. (ha A t ) akkor A képe önmaga Ha egy P pont nem illeszkedik a tükrözés tengelyére, akkor a P pont tükörképe az a P' pont, amelyre a tengely a PP' szakasz felezőmerőlegese. A tengelyes tükrözés kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a sík pontjai között

47 Tulajdonságai: - A tengelyre nem illeszkedő P pont és P tükörképe olyan szakaszt határoz meg, amelynek a tengely a szakaszfelező merőlegese. - A tengely bármely pontjának képe önmaga. A tengely pontjai tehát fix pontok. Más fix pontja nincs - A tengely fix alakzat - A tengelyre merőleges egyenes képe szintén önmaga de nem pontonként fix. - A tengellyel párhuzamos egyenes képe párhuzamos a tengellyel. A két egyenesnek a tengely a felező egyenese - A tengelyt metsző egyenes és képe a tengelyen metszi egymást és ugyanakkora szöget zárnak be a tengellyel.. - Bármely alakzat képe egybevágó az eredeti alakzattal. - A tengelyes tükrözés a körüljárás irányát megváltoztatja. - A tengelyes tükrözés szakasz és szögtartó. Egy síkbeli alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan egyenes a síkban, amelyre az alakzatot tükrözve a képe önmaga. Pl.: négyzet, téglalap, rombusz, kör, egyenlő szárú háromszög, szabályos sokszögek stb. - tengelyesen szimmetrikus háromszög: egyenlő szárú háromszög ( 1 tengely), egyenlő oldalú háromszög ( 3 tengely); - tengelyesen szimmetrikus négyszög: szimmetrikus trapéz, deltoid, téglalap, rombusz, négyzet A tengelyek száma lehet 1, vagy 4. - tengelyesen szimmetrikus sokszög: pl szabályos sokszögek, annyi tengellyel ahány oldalú a sokszög - kör: végtelen sok szimmetriatengelye van

48 3. Középpontos tükrözés Elméleti anyag Gyakorló feladatok

49 óra. Középpontos tükrözés a síkban tk.:5-35. oldal fv.t: 34, 35, 36. oldal -Középpontos tükrözés a síkban tulajdonságai -Középpontosan szimmetrikus alakzatok Alkalmazások: -Thalesz tétel megfordítása, -paralelogramma, háromszög, trapéz középvonalai, tételek, -Háromszög magasságvonalai, tétel -Háromszög súlyvonalai, tétel tk: 7/ 1,, 3, 4, 8 30/ 1,, 3, 6, 7 35/ 1,, 4, 5, 7, 8 fgy: Elméleti összefoglaló: A középpontos tükrözésnél adott a síkban egy pont, ez a tükrözés középpontja. O pont képe önmaga. Minden más P ponthoz azt a P' rendeli, amelyre az O pont a PP' szakasz felezési pontja. A középpontos tükrözés kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a sík pontjai között. Tulajdonságok: - Egyetlen fix pont van, a forgatás középpontja, az O pont - Pont és képe által meghatározott szakasz felezőpontja a középpont. - Egyenes, félegyenes, szakasz párhuzamos a képével. - Az összes olyan egyenes amely keresztül megy az O ponton invariáns egyenes, nem pontonként fix. - A középpontos tükrözés szakasztartó - A középpontos tükrözés szögtartó - A középpontos tükrözés irányítástartó - A középpontos tükrözés a pont körüli forgatás egy speciális esete, amikor a forgatás szöge éppen 180 Középpontosan szimmetrikus egy alakzat, ha van olyan középpontos tükrözés, amely az alakzatot önmagába viszi át. Pl.: rombusz, paralelogramma, kör, négyzet, szabályos sokszög stb. - Középpontosan szimmetrikus háromszög nincsen - Középpontosan szimmetrikus négyszög: paralelogramma, rombusz, téglalap, négyzet; - páros oldalszámú szabályos sokszögek; - kör Alkalmazás: Thalesz tétel megfordítása: Ha egy AB szakasz valamely C pontból derékszögben látszik, akkor az AB átmérőjű körnek egyik pontja a C pont. Vagyis a C pont rajta van az AB átmérőjű körön

50 A derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja. Az átfogó a kör átmérője. A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük. A háromszögek középvonala párhuzamos a szemközti oldallal és fele olyan hosszú Minden négyszögnek két középvonala van. A négyszög középvonalai felezve metszik egymást. A trapéz középvonala párhuzamos az alapokkal és hossza az alapok számtani közepe. Paralelogramma középvonala párhuzamos a szemközti oldallal és ugyanolyan hosszú. Háromszög magasságvonalai: A háromszög magasságvonalának a csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest nevezzük. A háromszög egyik csúcsa és a szemközti oldal egyenese között a háromszög magasságának nevezzük. Talppont: ahol a magasságvonal metszi az oldalt. Tétel: A háromszög három magasságvonala egy pontban metszi egymást. Háromszög súlyvonalai: A háromszög súlyvonalának az egyik csúcspontot és a szemközti oldal felezőpontját összekötő szakaszt nevezzük. A háromszögnek három súlyvonala van. Tétel: A háromszög három súlyvonala egy pontban metszi egymást. Ezt a pontot a háromszög súlypontjának nevezzük, ez a súlyvonalakat :1 arányban osztja két részre. 4. Pont körüli forgatás Elméleti anyag Gyakorló feladatok

51 óra Pont körüli forgatás tk.: oldal - pont körüli forgatás értelmezése és tulajdonságai, - középponti szög, radián, - körív hossza, körcikk területe -forgásszimmetrikus alakzat tk: 38/1,, 5, 6, 7 43/1,, 3, 4, 6, 7 45/ 1,, 3 fgy:1663, , 1673 Elméleti összefoglaló: Adott a síkban egy O pont,ez a forgatás középpontja, és adott egy előjeles szög, amely a forgatás mértékét és irányát adja meg ( α ). Az O ponthoz önmagát rendeli, minden más P ponthoz azt a képpontot P' pontot rendeli, amelyre OP=OP' és a POP' szög megegyezik a forgatás szögével (POP'= α). A pont körüli forgatás kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a sík pontjai között Az órajárással ellentétes irányt pozitívnak, az óramutató járásával egyező irányt negatívnak nevezzük. Tulajdonságai: - Az O pont fix pont (helyben marad), ha az α 0, 360 vagy annak többszöröse nincs más fix pont - Ha a forgatás szöge 360 egész többszöröse, akkor minden pont fix pont, a transzformáció helyben marad (identikus transzformáció) - Bármely alakzat egybevágó forgatással kapott képével. - A forgatás nem változtatja meg a körüljárás irányát, irányítástartó - A forgatás szakasztartó és szögtartó. - Ha 0 -kal, vagy 360 -kal forgatunk, az alakzat helyben marad. -A pont körüli forgatás egy speciális esete a középpontos tükrözés, amikor a forgatás szöge 180 fok, vagy annak egész többszöröse. Forgásszimmetrikus alakzatok: Egy síkbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha van olyan pont a síkban, amely körül az alakzatot elforgatva önmagát kapjuk ( Az elforgatás szöge különbözik 360 egész többszörösétől) - kör, - négyzet, - téglalap, - rombusz - szabályos háromszög - szabályos sokszög Alkalmazás: - Középponti szög: Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a szöget a kör középponti szögének nevezzük

52 Egy körben az ív hossza és a hozzá tartozó középponti szög nagysága egyenesen arányos. - Radián: 1 radián nagyságú az r sugarú kör azon középponti szöge, amelyhez tartozó ív hossza r, azaz megegyezik a kör sugarával. Egy körben egy körcikk területe és a hozzá tartozó középponti szög nagysága egyenesen arányos. Ív kiszámolása: i = = Körcikk területének képlete: T = T= 5. Vektorok 1-14.óra Párhuzamos eltolás tk.: oldal fv.t: oldal Elméleti anyag Párhuzamos eltolás és tulajdonságai, Vektor, műveletek vektorokkal, vektorok a koordinátarendszerben Gyakorló feladatok tk: 50/, 4, 57 55/1,, 3, 4, 5, fgy:1699,1700, ,1703,1704,1705, 1707, 708,1716, Elméleti összefoglaló: Vektor: irányított szakasz. Iránya és nagysága van Nullvektor: Hossza nulla, iránya tetszőleges Két vektor egyenlő, ha ugyanazt a párhuzamos eltolást adják meg. Egyirányúak és egyenlő hosszúak. Vektor abszolút értéke, az irányított szakasz hossza. Két vektor párhuzamos, ha az őket meghatározó irányított szakaszok is párhuzamosak. Két vektor egyirányú, ha párhuzamos és egy irányba mutatnak Két vektor ellentétes irányú, ha párhuzamosak, de nem egyirányúak Két vektor ellentett, ha egyenlő hosszúak, párhuzamosak és ellentétes irányúak Eltolás: Adjuk meg az eltolást v= vektorral. Ekkor transzformáció a tér vagy sík bármely A pontjához azt a B pontot rendeli, amelyre a Tulajdonságai: =v

53 - Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés - A helyben maradás olyan eltolás, amelynek vektora nullvektor, ekkor minden pont fixpont - Ha az eltolás vektora nem nullvektor, akkor ennél a geometriai transzformációnál nincs fix pont - Bármely alakzat egybevágó eltolással kapott képével. Alakzattartó - Az eltolás nem változtatja meg a körüljárás irányát. Körüljárástartó - Az eltolás szakasz és szögtartó. - Bármely egyenes, félegyenes, szakasz párhuzamos a képével. - Helyben maradó pont nincs az eltolásnál. - Az eltolás irányával párhuzamos bármely egyenes invariáns egyenes, egyébként más invariáns alakzat nincs is, ha nem nullvektorral toljuk el. Műveletek vektorokkal: 1. Vektorok összege Adott két vektor, a és b. Összegüket kétféleképpen is megszerkeszthetjük - paralelogramma módszer: a két vektort közös kezdőpontba toljuk és a közös kezdőpontból a paralelogramma szemközti csúcsába mutat az összegvektor. - Összefűzés módszere: a vektorokat egymás után tologatjuk. Az első vektor kezdőpontjából az utolsó végpontjába mutat az összegvektor Tulajdonságai: Kommutatív (felcserélhető) : Asszociatív (zárójelezhető) : Bármely vektorhoz a nullvektort hozzáadjuk visszakapjuk az eredeti vektort: Egy a vektorhoz megadható olyan -a vektor, hogy a két vektor összege nullvektor. ( a)-t a ellentettjének nevezzük: a + ( -a) = 0.. Helyvektorok esetén az összeadásvektor koordinátáit a vektorok megfelelő koordinátáinak összege adja. Azaz a( a1, a ) és b (b1, b ) helyvektorok összege: a + b = (a1 + b1 ) i + (a + b) j. vektorok különbsége Az különbségvektorán azt a vektort értjük, amelyet a + (-b) szerkesztéssel kapjuk, amelyet úgy kapunk, hogy a-hoz hozzáadjuk b ellentettjét. A különbség vektor b végpontjából az a végpontjába mutató vektor az. Vektorok különbsége

54 Tulajdonságai: A kivonás nem kommutatív, és nem asszociatív művelet. Tehát nem lehet felcserélni a tagokat és nem lehet tetszőlegesen kitenni a zárójeleket sem. Ha nullvektort vonunk ki egy a vektorból, a vektort kapjuk: Ha a nullvektorból vonjuk ki az a vektort, akkor az a vektor ellentettjéhez jutunk: Ha egy vektorból önmagát vonjuk ki 0 vektort kapunk: Helyvektorok különbségének koordinátáit a vektorok megfelelő koordinátáinak különbsége adja. Azaz a( a1, a ) és b (b1, b ) helyvektorok különbsége : a - b = (a1 - b1 ) i + (a - b) j 3. Vektor szorzása számmal: Adott egy a vektor és egy Ha vagy Ha és valós szám. Az a vektor -szorosa:, akkor, akkor tehát a nullvektort kapjuk hosszúságú vektort kapunk, melynek iránya: o esetén a-val megegyező, o esetén a-val ellentétes. Egy vektornak egy valós számmal való szorzata a vektor hosszának növekedését vagy csökkenését jelenti. Ha nagyobb, mint 1, a vektor hossza növekedik, ha nullánál nagyobb de egynél kisebb valós szám, a vektor hossza csökken. Tulajdonságai: Bármely vektor -val vett szorzata nullvektort eredményez:. A nullvektornak bármely számmal vett szorzata nullvektor:

55 Egy helyvektor skalárszorosának koordinátáit a vektor koordinátáinak adott skalárral való szorzásával kapjuk. Azaz a( a1, a ) helyvektor esetén: a= a1 i + a j 6. Egybevágóság Elméleti anyag 15.óra Alakzatok egybevágósága Tk oldal Alakzatok egybevágósága, Háromszögek egybevágóságának alapesetei, Négyszögek egybevágósága Gyakorló feladatok tk: 58/, 3, 4, 8 fgy:173,174, 175, 176, Elméleti összefoglaló: Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció-sorozat, amely egyiket a másikba viszi. Jelölése A B - Minden alakzat egybevágó önmagával - Az egybevágóság kommutatív művelet, tehát, ha A B, akkor B A - Minden A, B és C alakzatra, ha A B és B C akkor A C Háromszögek egybevágóságának alapesetei: Két háromszög akkor és csak akkor egybevágó, ha - megfelelő oldalaik páronként egyenlőek. - két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az általuk bezárt szög egyenlő. - egy-egy oldaluk hossza és az oldalakon fekvő két szögük egyenlő. - két-két oldaluk hossza páronként egyenlő és a hosszabb oldallal szemben lévő szögek egyenlőek. Sokszögek egybevágósága: - Megfelelő oldalaik hossza és megfelelő átlóik hossza páronként egyenlő - Megfelelő oldalaik hossza egyenlő és megfelelő szögeik páronként egyenlők. 7.összefoglalás, számonkérés Elméleti anyag Gyakorló feladatok

56 16-19.óra Összefoglalás, témazáró dolgozat, hiánypótlás tk.: oldal fgy: VII. Statisztika (7 óra) óra. Az adatok ábrázolása tk: oldal óra Az adatok jellemzése tk: oldal fv.t: oldal fv.t: oldal Elméleti anyag Adatok ábrázolása, diagram típusok, gyakoriság, gyakorisági táblázat módusz, átlag, medián, terjedelem, tapasztalati szórás Gyakorló feladatok tk: 6/1, 4,6 fgy:176, 1763, 1764, 1766, 1767, 1769, tk: 69/, 3, 4, 5, 7, 9, 1, 13, 15 fgy: 1773, 1777, 1778, 1780, 178, 1783, 1789, 1790, 1795, 1803, óra számonkérés Elméleti összefoglaló: A statisztika elemzéséhez összegyűjtött adatokat adatsokaságnak, mintának is szoktuk nevezni. Az adatokat összegyűjthetjük táblázatban, vagy ábrázolhatjuk grafikonon, illetve diagramon, (görbéken vagy vonaldiagramon, oszlopdiagramon, kördiagramon vagy hisztogramon)

57 A diagramok az adatok gyors áttekintését teszik lehetővé. Statisztikai sokaság azoknak a dolgoknak, egyedeknek a csoportja, amelyekről adatokat gyűjtünk. Ezek közül kiválasztunk egy mintát vagyis az egyedek csoportjának egy részhalmazát és azt vesszük a sokaságnak. Reprezentatív minta (például: közvélemény kutatásoknál használják). Véletlenszerű mintavétel: minden egyed ugyanolyan valószínűséggel kerül be a mintába (pl.: lottóhúzás). Minta: A statisztikai sokaságból kiválasztott olyan rész, amelyektől adatokat kapunk. Gyakoriság: Az egyes adatok előfordulásának száma Gyakorisági táblázat: Táblázatba foglaljuk mely adatunk hányszor fordult elő. Relatív gyakoriság: Az egészhez viszonyított adat. Ha egy adatsorban 10-ből pl háromszor fordul elő, akkor a relatív gyakorisága 0,3-57 -

58 Szóródásmutatók: Minta terjedelme: Az adatok között előforduló legnagyobb és legkisebb érték különbsége a minta terjedelme. Szórás: Minta szórása az átlagtól való eltérések négyzetének átlagából vont négyzetgyök. Statisztikai közepek: Számtani közép: Ha az adatok összegét elosztjuk az adatok számával, akkor a minta számtani közepét, vagy átlagát kapjuk. Módusz: Az adatsokaságban a leggyakrabban előforduló adatot módusznak nevezzük. Medián: - Páratlan számú adatoknál: a középső adat. - Páros számú adatoknál: a két középső adat átlaga. Év végi ismétlés (8 óra) Ismétlő feladatok, számonkérés (egy témakör-egy óra) Ha pedig nincs a közeledben könyv vagy feladatgyűjtemény itt találhatsz példákat amiket gyakorolhatsz. A feladatgyűjtemény az interneten is megtalálható: MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervallumok 1. Töltsd ki a szerepeljen! táblázatot! Minden sorban egy-egy intervallum háromféle megadása

59 . Add meg a fenti módon háromféleképpen a következő intervallumokat! A nagybetűk az előző feladat intervallumait jelölik. a) A B e) A C i) D E j) G \ H b) A B f) C B k) A J c) A \ B g) A D d) B \ A l) G J h) D \ A

60 II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Algebrai kifejezés, változó, együttható 3. Hány változósak a következő változókat és együtthatókat! feladat kifejezés a) a b) 7 ab c) 5 xy d) 3c 4d e) 6cd f) zy g) b 8 h) y i) j) k) l) m) n) o) algebrai kifejezések? változók száma df 3 5 pqr 7 4k 3 3a 10 9tm u 3 ac Adjuk változók felsorolása meg a bennük együttható szereplő

61 Helyettesítési érték kiszámolása 4. Számoljuk ki a következő kifejezések értékét, ha x, 6x x ; b) 3 y y ; a) 1 xy ; x y x y f) x y y ; 1 1 y g) x y x ; e) c) y x ; d) x y xy ; 3 y 1! 5. Számoljuk ki a következő kifejezés értékét, ha a a h) x 3y yx 1, b 3! 3 b 3a ; ab 1 b d) b 7 a 3a b b; 1 3 b) a b 3 ab ; c) a) 0 d 0,5, e 5! 6. Számoljuk ki a következő kifejezés értékét, ha c 0, cd e c e a) ; 5 d b) dc e c d c) e 1 d e ; c A hatványozás azonosságainak használata Azonos alapú hatványok Szorzat, hányados hatványozása a n a k a n k ab n a n b n an a n k k a a n k n an a bn b a nk 7. Hozzuk a lehető legegyszerűbb alakra a következő kifejezést! (Minden betű legfeljebb egyszer szerepeljen benne, és ne legyen benne negatív kitevő!) a b ba 3 a) ab 4 ; b) ab b 3 a 4 b 7 a b ab 3 3 Negatív kitevőjű hatvány a n 1 an 8. Számoljuk ki a következő kifejezések értékét! 3 ; b) 5 ; 1 c) 7 ; a) 3 4 ; 1 e) 0,1 ; d) f) ; 3

62 g) 1 1 A számok normál alakja 9. Töltsd ki az alábbi táblázatot! Egymás mellett ugyanannak a számnak a kétféle alakja szerepeljen! helyiértékes alak normál alak helyiértékes alak normál alak, , , 3 10, ,05 3, , ,01 1, ,155 7, ,007 5, , , , , , ,5001 Egész kifejezések (polinomok) Nevezetes azonosságok használata a b a b a ab b a ab b Két tag különbségének négyzete egyenlő: az első tag négyzete, m í n u s z a két tag kétszeres szorzata, p l u s z a második tag négyzete. Két tag összegének négyzete egyenlő: az első tag négyzete, p l u s z a két tag kétszeres szorzata, p l u s z a második tag négyzete

63 10. A megfelelő nevezetes azonosságok alapján végezzük el a műveleteket! x y ; b) c d ; c) x 5 ; d) x y e) e f ; a 3 ; f) a 7 ; g) 4 b ; h) x 1 i) c d ; j) e 3 f ; k) a) l) m) n) 5 y 4 x ; 3g 4 ; 8 p 5q ; x 1 ; o) 6 a c p) 3 ; y 1 ; 1 x ; b q) r) 3 s) a b a b a b 11. A megfelelő nevezetes azonosság alapján végezzük el a műveleteket! x y x y ; b) p q p q c) c d c d ; d) a 3 a 3 ; e) 5 d 5 d ; f) 6e f 6e f ; g) 3 x 3 x ; y 1 y 1 ; 7 7 a b a b k) ; a c a c l) ; b c b d x5 x 5 6 z 6 z m) y y a) a j) 1 a3 1 ; i) 4 z 5 y 4 z 5 y h) 3 1. Végezzük el a műveleteket! a b ab ; b) x y x y ; c) 5 a b a b ; d) 3 c d 6 d c ; e) y 1 y 1 ; f) b c b c ; d 1 d 3 ; h) 5 x 1 x ; i) y b y b y b ; j) c c 1 c c a) g) 13. Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! kiemeléssel: a) 5c 5d ; b) 3 y 15 x ;

64 6a 1 ; x 4 y 6z ; e) 10 x 100 xy ; f) abc abd bcd ; a a ; h) x x x x x ; i) 9b 18b c) d) g) nevezetes azonosság alapján: a b a b a b 5a 16b ; q) 100d 81c ; 4 r) x 36 9 s) a b 49 y x y ; k) x 5 ; l) c 5 ; m) 9 a ; n) 100 x ; o) y 3c ; j) p) 14. Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezést! a) b) c) d) e) f) 15 a ; 10 a 4a 4b ; a b 6d 1 ; d 4 x ; 4 x y 9 ; y 6 g) h) i) j) k) b c ; 4b 4c 36a 49b ; 1a 14b x 8 3 y 15 y 5 x 16 1 b ; b 100 b 0 x ; 6x 6 y x y 4 5a 3 3a 6 a 4 a 4 III. FÜGGVÉNYEK Ábrázold a következő függvényeket! (Az elsőfokú kivételével függvénytranszformációk segítségével.) Jellemezd őket! (Add meg értelmezési tartományukat, értékkészletüket, zérushelyüket, szélsőértékük helyét és értékét, valamint jellemezd menetüket /monotonitásukat/! Az elsőfokú függvénynél pontosan számold ki a zérushelyet!) Lineáris függvények Elsőfokú lineáris függvények 15. Ábrázold és jellemezd a következő elsőfokú függvényeket! a) b) f x x (alapfüggvény); f x x ; f x 1 x 5; 3 f) f x x 6 ; g) f x x 3 ; h) f x 5 x ; e) f x x 4 3 c) ; 5 f x x 1 4 d) ;

65 i) j) k) l) m) 3 f x x 4 ; f x x f x x 5 ; f x x 7 ; f x x 3 f x 4 x 3 ; f x x 3 ; f x x 5 ; f x 3 x 6 ; f x 4 x ; f x 0,5 x 1 n) o) p) q) r) s) Lineáris függvények Nulladfokú (konstans, más néven állandó) lineáris függvények 16. Ábrázold és jellemezd a következő nulladfokú függvényeket! 3 a) f x 3 ; c) f x ; b) f x ; d) f x 0 Abszolútérték-függvények 17. Ábrázold és jellemezd a következő abszolútérték-függvényeket! a) b) f x x (alapfüggvény); f x x 4 ; l) f x x ; m) f x 3 x ; c) f x x 3 ; n) f x x ; d) f x x 5 ; o) f x x ; p) f x 3 x 5 ; e) f) f x x 6 ; f x x ; g) f x x 4 h) f x x 3 ; i) f x x 5 ; k) f x x 5 1 f x s) f x x 3 4 ; 1 x 3; r) f x x 7 6 ; f x x 4 1 ; j) q) f x x 1 t) Másodfokú függvények 18. Ábrázold és jellemezd a következő másodfokú függvényeket! a) b) c) d) e) f) f x x (alapfüggvény); f x x ; f x x 9 ; g) f x x 5 1 ; h) f x x 6 ; f x x 7 ; 1 j) f x x 4 ; k) f x x i) f x x 3 ; f x x 3 ; f x x 5 4 Négyzetgyökfüggvények

66 19. Ábrázold és jellemezd a következő négyzetgyökfüggvényeket! a) b) c) d) e) f) f x x (alapfüggvény); g) f x x 3 ; h) f x x 1 ; i) f x x 5 j) f x x 6 ; k) f x x 5 ; f x x 1 ; f x x 1 ; f x x 3 ; f x x 3 ; f x 3 x 4 1 Lineáris (elsőfokú) törtfüggvények 0. Ábrázold és jellemezd a következő lineáris törtfüggvényeket! f x a) 1 x (alapfüggvény); f x b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) 1 4 x ; 1 f x 5 x ; 1 f x x 6 ; 1 f x x 7 ; 1 f x 3 x 4 ; 1 f x 6 x 5 ; 1 f x 7 x f x x; 1 f x x; f x x;

67 IV. GEOMETRIA (Háromszögek, négyszögek, sokszögek) A következő négy feladatokhoz tudni kell: a háromszög nevezetes vonalainak definícióit, a háromszög kerületének, területének, beírható köre sugarának kiszámítási módját, valamint a Thalész- és a Pitagorasztételt. 1. Egy derékszögű háromszög két befogója a=3 cm, b=4 cm. Számítsuk ki a háromszög átfogóját, magasságait, középvonalait, kerületét, területét, súlyvonalait, köré, ill. beírható körének sugarát!. Egy derékszögű háromszög egyik befogója a=10 cm, átfogója=14 cm. Számítsuk ki a háromszög másik befogóját, magasságait, középvonalait, kerületét, területét, súlyvonalait, köré, ill. beírható körének sugarát! 3. Egy derékszögű háromszög a befogójához tartozó középvonala ka=5 cm, az a befogóhoz tartozó magassága pedig ma=7 cm. Számítsuk ki a háromszög oldalait, többi magasságát, többi középvonalát, kerületét, területét, súlyvonalait, köré, ill. beírható körének sugarát! 4. Egy derékszögű háromszög b befogója cm, az a oldalához tartozó súlyvonala sa=3 cm. Számítsuk ki a háromszög oldalait, többi magasságát, többi középvonalát, kerületét, területét, súlyvonalait, köré, ill. beírható körének sugarát! V. EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Egyenletmegoldás mérlegelvvel (egyenletrendezéssel) 5. Oldd meg a következő egyenleteket mérlegelvvel (egyenletrendezéssel)! a) 3 x 0 b) c) d) e) f) 1 4 x 0 3 5x 1 0 3x 0 x 5 x 1 x 1 x 67

68 68 x 7 8 3x 6 h) 8 x 5 4 x 6 4 x 9 i) 6 x 3 3 x 4 x 4 x 1 j) 0,4 x 1,8 1,5 x 1 4 x 0,8 3,8 g) x x x l) 3 x x 1 x 3 x 1 x 7 m) 4 x x 3 3 x 3 4 x 8 1 n) 3 x 1 x 5 3 x 1 x 4 o) x 3 x 4 1 x x 0 p) 3 4 x 3 x 44 q) x x x 1 r) 3 x x 11 s) x x x t) u) x 0 4 x x v) w) x x x x x) x x 1 x x x y) x x x z) x x x x 4 5x aa) ; x 3x 1 bb) x 1; 3 3x 7 x 1 x 5 x 1 cc) 1; 4 8 x 1 x 1 dd) x 5; 4 9 x 3 x x x 1 ee) x k) Egyenletmegoldás szorzattá alakítással 6. Oldd meg a következő egyenleteket szorzattá alakítással!

69 a) b) c) d) e) 7 x 14 x 0 ; 3x 3 9 x 0 ; 5 x x x 0 ; 7 x 5 x 7 x x 1 7 x x 3 0 ; 8 x 16 x 8 x 16 x 1 8 x 16 0 Egyenlőtlenségek 7. Oldd meg mérlegelvvel! x x 44 ; 9 6x 4 5x b) 6 x ; 5 3 x 1 x 1 c) 0; x x 3 d) 1 ; x 3 e) x 10 1 x 3 ; 3 a) 8. Oldd meg a következő szorzatos egyenlőtlenségeket! a) 7 x x 1 0 ; x 4 5 x 0 ; c) 6 x 15 3 x 0 ; d) x 1 x 6 0 ; b) 9. Oldd meg a következő törtes egyenlőtlenségeket! a) b) c) d) e) x 1 0; x 3 6 x 36 0; 7 x x 1 0; x 9 6 x 0; 8 x x 5 0; 6x 30. Oldd meg a következő abszolút értékes egyenleteket! a) b) c) 5x 5 4 ; x 6 10 x 7x 1 ; ; 69

70 Egyenlettel megoldható szöveges feladatok A téglalap egyik oldala 9 egységgel hosszabb, másik oldala 6 egységgel rövidebb, mint egy négyzet oldala. A téglalap és négyzet területe egyenlő. Mekkora a négyzet oldala? 3. Egy híd cölöpének 1 4 része a földben, 5 része a vízben van,,8m hosszúságú része pedig kiáll a vízből. Milyen hosszúságú a cölöp? Ft-ot egyenlő számú 5 és 10 Ft-osokban szeretnénk kifizetni. Hány db 5 és 10 Ft-osra van szükség? 34. Két természetes szám összege másik. Melyik ez a két szám? 144. Az egyik háromszor akkora, mint a 35. Két természetes szám összege 847. Ha az egyik végére egy 0-t írunk, a másik számot kapjuk. Melyik ez a két szám? 36. Gondoljatok egy számot! Szorozzátok meg -vel, a szorzathoz adjatok hozzá 50-et, a kapott számot osszátok el -vel, és a hányadosból vegyétek el a gondolt számot! Igaz-e, hogy az eredmény mindig 5 lesz? 37. Egy iskolai ünnepély rendezésével Ft bevételt szeretnénk biztosítani, ezért háromféle jegyet készítünk Ft árkülönbséggel. A legolcsóbb jegyből 00-at, a közepes árú jegyből 150-et, a legdrágább jegyből 65-öt. Mennyi legyen a legolcsóbb jegy ára? 38. Egy apának, az anyának és a lányának az életkora összesen 85 év. Az apa 5 évvel idősebb, a lány 5 évvel fiatalabb az anyánál. Hány évesek különkülön? 39. Melyik az a szám, aminek a 3 1 része 5-tel nagyobb, mint az része? Három testvér életkorának összege 15 év. A legidősebb 6 évvel idősebb a legfiatalabbnál. Mennyi idősek a testvérek, ha egyenlő időközönként születtek? 41. Elolvastam egy könyv híján a könyv 1 -részét és még 0 oldalt, hátra van még 8 oldal 4 része. Hány oldalas a könyv? 3 4. Egy osztály 30 tanulója matematikadolgozatának értékelésekor kiderült, hogy a négyes dolgozatok száma kétszerese az ötösökének. Kettes érdemjegy eggyel több lett, mint ötös. Hármas négyszer annyi van, mint kettes, és csak egy tanuló írt elégtelen dolgozatot. Mennyi az ötös, négyes, hármas, kettes dolgozatok száma?