Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza.

Átírás

1 Matematika Számok, műveletek A természetes számok halmaza: Számhalmazok Ha m és n természetes szám, akkor az m természetes számok halmazán. Példa: 6+x=2. n egyenlet nem feltétlenül oldható meg a Az egész számok halmaza: Ha m és n egész szám, akkor az m halmazán. Példa: 6x=2. n n n egyenlet nem mindig oldható meg az egész számok A racionális számok halmaza: {, } Ha m racionális szám, akkor az 2 =m egyenlet nem feltétlenül oldható meg a racionális számok halmazán. Példa:. Ha ugyanis az egyenlet megoldható lenne, akkor lenne olyan és olyan, hogy teljesülne. Ekkor az egyenlőség bal oldalán a áros hatványon, míg az egyenlőség jobb oldalán áratlan hatványon szere elne a rímtényezős felbontásban. Így jutottunk el közé iskolában a valós szám fogalmához: a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza. Használni fogjuk még az és az jelöléseket a ozitív valós számok, illetve a negatív valós számok halmazára. Példák

2 Egy mennyiség értékének rögzítése a mértékegység és a mérőszám megadásával történik. Példa Egy test tömege lehet 23,4 g, ahol g (gramm) a mértékegység, 23,4 a mérőszám. Az elméleti ( ontos) számításoknál a mérőszámok a valós számok halmazának elemei. A valós számok halmaza megfelel a számegyenesnek, a valós számok és a számegyenes ontjai kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők egymásnak. A valós számok halmazánál szűkebb halmaz nem lenne alkalmas bármely mennyiség pontos leírására. Ha éldául a racionális számok halmazát akarnánk csak használni, akkor nem tudnánk ontosan leírni az m oldalhosszúságú négyzet átlójának hosszát sem. (Az átló hossza, ami nem racionális szám.) A gyakorlatban azonban a valós számok halmazánál sokkal szűkebb halmaz elemeit használunk mérőszámként, hiszen az elvárt ontosság mindig véges. Ha az adatokat tizedes tört formában kezeljük, akkor kerekítünk, és a racionális számokon belül is csak egy szűk részhalmaz elemeit használjuk: azokat a számokat, melyek néhány számjeggyel leírhatók. A műszaki roblémák megoldásakor általában elegendő a 4 értékes számjegy, de nagy ontosságú számítások esetén szükség lehet akár értékes számjegyre is. Példa Ha egy gerendát megadott hosszúságúra kell levágni, és a mérőszalag, valamint a vágás mm ontosságú, akkor nincs értelme annak, hogy az előírt méretet éldául, 56 8 m-nek adjuk meg, ami ezred milliméteres ontosságot igényelne. Néhány elnevezés és megálla ítás a négy ala művelettel ka csolatban: összeadás Amiket összeadunk, azok a tagok. Például a összeadásban a, az p+x+5 és az 5 a tagok. Az összeadás eredménye az összeg. Az összeadás kommutatív művelet, azaz x+y = y+x bármely x és y szám esetén. Az összeadásnak a 0 egységeleme, azaz x+0 = x bármely x szám esetén. Több szám összegének felírására használatos a szumma jel, amennyiben a tagok egy közös ké let segítségével írhatók fel. Példa (i ) szorzás Amiket összeszorzunk, azok a tényezők. Például a szorzásban a, az px5 és az 5 a tényezők. A szorzás eredménye a szorzat. A szorzás kommutatív művelet, azaz xy = yx bármely x és y szám esetén. A szorzásnak az 1 egységeleme, azaz x1 = x bármely x szám esetén. Több szám szorzatának felírására használatos a produktum jel, amennyiben a tényezők egy közös ké let segítségével írhatók fel. Példa ( k ) 5 8

3 kivonás A kivonás az összeadásból és a szorzásból származtatható: a b a ( ) b A kivonás eredménye a különbség. A kivonás nem kommutatív művelet, általában a b b a. osztás Az osztás nem végezhető el korlátlanul: a valós számok között: 0-val való osztásnak nincs értelme. Az osztás eredménye a hányados. Az osztás nem kommutatív művelet, általában a: b b: a, avagy. A és műveleti jelek egyben a számok előjelének jelölésére is szolgálnak. A műveleti jeleket tartalmazó kifejezések leírásakor figyelni kell arra, hogy két műveleti jel nem kerülhet közvetlenül egymás mellé, zárójelet kell alkalmazni: éldául 4(-5) helyes írásmód, 4-5 nem helyes. A műveleteknek erősorrendje van, amit a kifejezések kiszámításakor figyelembe kell venni. A szorzás és az osztás magasabb rangúak, mint az összeadás és a kivonás. A szorzás és az osztás egymás közt egyenrangúak, az összeadás és a kivonás egymás közt szintén egyenrangúak. Egyenrangú műveletek végrehajtása balról jobbra történik. Ha ettől el akarunk térni, akkor zárójelet kell alkalmazni. Példa 34+5=17, de 3(4+5)=27 Tízes számrendszerben a számokat a Példa 384 = Tizedes törtek hatványainak segítségével állítjuk elő. Tört szám esetén tizedes tört alakot használunk, melyben tizedek, századok, stb. is megjelennek. Példa 384,5472 = ,1 + 40, , ,0001 A 84,547 tizedes tört egész része: 384, tört része: 0,5472 A tizedes törteket a törtrészük ala ján három cso ortba lehet sorolni: véges tizedes törtek végtelen, szakaszos tizedes törtek végtelen, nem szakaszos tizedes törtek Véges tizedes törtek: a törtrész felírható véges sok számjeggyel (a racionális számok egy része véges tizedes tört formában felírható). Példa 384,5472

4 Végtelen szakaszos tizedes törtek: Példa a törtrész nem írható fel véges sok számjeggyel, de véges sok számjegy után egy számjegycso ort ismétlődik (azok a racionális számok, melyek nem írhatók fel véges tizedes tört formában, végtelen szakaszos tizedes tört formájúak). Az ismétlődő cso ortot a számjegyei fölé tett ontokkal szoktuk jelölni. 5, , 6,,, A -re végződő végtelen szakaszos tizedes törteknek véges tizedes tört alakjuk is van. A racionális számoknak véges, vagy végtelen, szakaszos tizedes tört alakjuk van. Példa,,,4,4 Végtelen nem szakaszos tizedes törtek: Példa é azok a valós számok, melyek nem tartoznak az előző két kategória egyikébe sem. irracionális számok Az irracionális számok tizedes tört alakja végtelen, nem szakaszos. Bármely valós szám kerekítés után egész, vagy véges tizedes tört alakú. Példa A ,4963 szám különböző kerekített értékei: Példák Tizedes törtekkel végzett írásbeli műveletek: 1 7 5, , , , , , , 1-1 4, , 6 2 3, 4 6, , , 2 : = 2 3, visszaszorzás , , 2 tizedesvessző! visszaszorzás 0

5 Közönséges törtek Közönséges törtről akkor beszélünk, ha a számot egy egész szám ( ) és egy ozitív egész szám hányadosaként írjuk fel:,. p a számláló, q a nevező Ha x egy egész szám, akkor szükség esetén lehet alakban közönséges törtként is írni. Két közönséges tört összeszorzása A és az közönséges törtek szorzata vagyis a számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel kell összeszorozni. r s r s Közönséges tört szorzása egész számmal, vagy tizedes törttel A közönséges tört, és az szám szorzata, vagyis az számmal a számlálót kell megszorozni. Ezt úgy is el lehet ké zelni, hogy az számot alakú közönséges törtnek tekintjük, és alkalmazzuk a két közönséges tört összeszorzására vonatkozó szabályt. A közönséges tört reciproka, ha p. Világos, hogy egy törtnek és a reci rokának szorzata. (Reci rok minden nullától különböző valós számhoz rendelhető: az formula szerint.) Két közönséges tört osztása A és az közönséges törtek hányadosa (ha r ) : r s s r, vagyis törttel osztani úgy kell, hogy szorozni kell a reci rokával. Közönséges tört osztása egész számmal, vagy tizedes törttel A közönséges tört, és az szám hányadosa (ha ) : :, vagyis az számmal meg kell szorozni a nevezőt, vagy el kell osztani a számlálót. Ezt úgy is el lehet ké zelni, hogy az alkalmazzuk a két közönséges tört osztására vonatkozó szabályt. számot alakú közönséges törtnek tekintjük, és

6 A számításokban gyakran előfordulnak az alábbi (ún. emeletes törtekre vonatkozó) átalakítások, melyek összhangban vannak a fentiekkel: r s s r, r s s r, r r Az előbbi formulákból látható, hogy több törtvonal esetén világosan kell érzékeltetni, hogy melyik az ún. fő törtvonal. Ennek az egyenlőség jellel kell egy magasságban lenni. Közönséges törtek egyszerűsítése és bővítése Könnyen belátható, hogy, ha s. Ez a formula úgy fogalmazható meg, hogy egy közönséges tört értéke nem változik meg, ha a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a nullától különböző számmal osztjuk (egyszerűsítés), vagy szorozzuk (bővítés). Két közönséges tört összeadása azonos nevező esetén A és az közönséges törtek összege r r, vagyis azonos nevezőjű törtek esetén össze kell adni a számlálókat, a nevező változatlan. (A fenti formulát fordítva olvasva látható, hogy ha a számlálóban több tag van, akkor azokat külön-külön elosztva a nevezővel, az eredeti törtet egyszerűbbekre bonthatjuk.) Két közönséges tört összeadása különböző nevező esetén A és az közönséges törtek összege r s s s r s s r s, vagyis különböző nevezőjű törteket először úgy kell bővíteni, hogy a két nevező egyforma legyen (közös nevezőre hozás), és ez után alkalmazható az azonos nevezőjű törtek összeadása. Legegyszerűbb az eredeti nevezők szorzatát alkalmazni közös nevezőként, bár sok esetben lehet ennél kisebb közös nevezőt is találni. Példa

7 Hatvány ozitív egész kitevővel Hatvány, gyök, logaritmus Ha n ozitív egész szám, valós szám, akkor (n db szorzótényező) x: alap, n: kitevő Hatvány negatív egész kitevővel Ha n ozitív egész szám és, akkor Példa 5 5 5,, Hatvány kitevővel Ha, akkor x 0 = 1. Hatvány tört kitevővel, gyökvonás Ha egy ozitív szám, n edig egy ozitív egész szám és x n = y, akkor azt mondjuk, hogy x az y n-edik gyöke. Jelölése: y, vagy y. Példa,,, 8 8 A gyökvonás fenti értelmezésében csak a egyértelműen elvégezhető. Az ozitív számokra szorítkoztunk, ahol a gyökvonás x n = y tí usú egyenletekben (y ismert, ismeretlen) nem feltétlenül kell élnünk az, y feltételezéssel, így a megoldások száma nem feltétlenül egy. Az alábbiakban áttekintünk néhány esetet: Páros n esete: Ha y<, akkor nincs megoldás. Példa x 4 = -3 Ha y Példa x 4 Ha y, akkor egy megoldás van. megoldása:, akkor két megoldás van. Példa x 4 6 megoldásai: 1=-2, x2=2 Páratlan n esete: Egy megoldás van. Példa x 3 = -8 megoldása: -2.

8 Ha egy közönséges tört és, akkor ( ). Példa 8 ( 8) 4, 8 ( 8 ) 7 A hatványozás néhány tulajdonsága Ha x>0, y>0, továbbá n és k racionális szám, akkor ( ) ( y) y Mivel a kitevők racionális számok is lehetnek, ezek a ké letek egyben a gyökvonás tulajdonságait is megadják. ( y ) Így, ha, y, továbbá n és k ozitív egész szám, akkor y ( ) y ( y) y y y ( y ) y y A logaritmus Ha a,b és a, akkor az a b egyenlet megoldását log b vel jelöljük. Szavakkal elmondva: a ala ú logaritmus b azt a hatványkitevőt jelöli, melyre a-t kell emelni, hogy b-t kapjunk, azaz: ) A definíció következménye, hogy ha a és a, akkor log, log a. A logaritmus azonosságai: log ( y) log log y (, y, a, a ) log y log log y (, y, a, a ) log k log (, a,, )

9 Normál alak A p10 k alakú szorzat, melyben <, k edig egy egész szám normál alaknak nevezzük. p: mantissza, k: karakterisztika Minden valós számnak van normál alakja. Példa 3, = 384,5472 A k értéke adja a szám nagyságrendjét. Így l. az, hogy egy y szám nagyságrenddel nagyobb az számnál azt jelenti, hogy y kb szer akkora, mint az x. Normál alakú számok szorzása A p10 k alakú és a 10 s normál alakú számok szorzata (p10 k ) (q10 s ) = pq10 k+s, vagyis a mantisszákat össze kell szorozni, a karakterisztikákat edig össze kell adni. Példa ,410 6 = Normál alakú számok összeadása Az összeadás előtt a számokat vissza kell írni tizedes tört alakba, vagy olyan alakba, ahol a hatványkitevője azonos: Példa A 4, ,110 6 összeadás két lehetséges elvégzési módja: 1, 4, ,110 6 = = = 9, , 4, ,110 6 = 4, = 95, = 9, Középértékek Számtani közé (átlag) Az,,, számok számtani köze e (átlaga): Súlyozott számtani közé Az,,, számoknak a,,, ozitív számokkal (súlyokkal) ké zett súlyozott számtani köze e (átlaga):

10 . Ha a,,, ( ozitív) súlyok összege, akkor a fenti formula leegyszerűsödik:. Mértani közé Az,,, nemnegatív számok mértani köze e:. Harmonikus közé Az,,, ozitív számok harmonikus köze e: n Négyzetes közé Az,,, nemnegatív számok négyzetes köze e: n n n Könnyen belátható, hogy az,,, számok bármelyik köze e a legkisebb és a legnagyobb érték közé esik. Ha s eciálisan az összes szám egyenlő, akkor mindegyik köze ük egyenlő ezzel az értékkel. Ha,,, ozitív számok harmonikus, mértani, számtani és négyzetes köze ét H, M, S és N jelöli, akkor fennáll, hogy H M S N Százalékszámítás Törtrész kiszámítása: egy szám -ad részének kiszámítása:. A százalékszámítás is törtrész kiszámítását jelenti: % jelentése -ad rész. Például egy szám 35%-ának, azaz -ad részének kiszámítása:, 5. Példa Ft 35%-a: ,35 = (Ft) A százalékszámítás ala ké lete, mellyel lényegében bármely százalékszámítási feladat megoldható: százalék ala százalék láb százalék érték

11 A ké let ala ján a százalék ala, százalékláb és a százalékérték közül bármelyik kettőből a harmadik kiszámítható. Egy feladat megoldásának legfontosabb lé ése, hogy azonosítsuk, hogy a rendelkezésre álló adatok közül melyik százalék ala, százalékláb vagy a százalékérték, illetve hogy melyiket kell kiszámítani. Példa Mennyi 12-nek a 30%-a? Itt a százalékala, a százalékláb, és a százalékértéket kell kiszámítani. Válasz:,,6. Példa Hány %-a 288 a 240-nek? Itt a százalékala 4, a százalékérték 88, és a százaléklábat kell kiszámítani. Válasz: 4 88, tehát 88 a 4 -nek 120%-a. A százalékszámítás egyik gyakori alkalmazása a kamatszámítás. Ha az egy éves kamat % (vagyis a kamatláb ), akkor a bankban elhelyezett T összegre (tőkére) egy év elteltével kapott kamat T, a kamattal növelt összeg edig T T ( ) T. Ha a kamat évenként tőkésedik, akkor n év elteltével a rendelkezésre álló összeg: Példa ( ) T Ft tőke 7% éves kamat és évenkénti tőkésedés mellett 6 év elteltével (egész forintra kerekítve): ( 7 ) 5, forintot ér. Többtagú összeg hatványozása, néhány azonosság Kéttagú összeg hatványaira vonatkozó formulákat a binomiális tétel adja, melyet nem részletezünk, mivel ez a későbbi tanulmányok része lesz. Itt csak a második, a harmadik és a negyedik hatvány esetét mutatjuk be. (A binomiális tétel ismeretében nem szükséges ezeket a ké leteket fejben tartani, mivel az általános sémából könnyen levezethetők.) (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 Megjegyzésként megadjuk a háromtagú összeg második hatványára vonatkozó formulát is. (a+b+c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc A szorzattá alakításban gyakran alkalmazzuk az a n b n = (a-b)( a n-1 + a n-2 b + a n-3 b 2 + a 2 b n-3 + ab n-2 + b n-1 )

12 azonosságot, mely minden n ozitív egész szám esetén fennáll. a 2 b 2 = (a-b)(a+b) a 3 b 3 = (a-b)( a 2 +ab+b 2 ) A felsorolt azonosságok bármelyike könnyen ellenőrizhető a műveletek elvégzésével. Binomiális tétel: Ha n nemnegatív egész szám, akkor (a b) ( n k ) a b ahol n! n, ( n k )!! ( )!,!. Példa (a b) ( k ) a b ( ) a b ( ) a b ( ) a b!!! a!!! a b!!! b a ab b A Pascal háromszög Ha n nemnegatív egész szám, a háromszög n -edik sorában (a b) n együtthatói olvashatók ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( b a b a b a b a b a A háromszög soraiban a fentieknek megfelelően binomiális együtthatók vannak.

13 Függvények, egyenletek, egyenlőtlenségek Függvények Függvény két halmaz elemei közötti ka csolat. Sokan azt hiszik, hogy a függvény nem más, mint egy görbe egy síkbeli koordinátarendszerben. Példa Legyen A az emberek halmaza, B az anyák halmaza. Ha minden emberhez hozzárendeljük az anyját, akkor egy függvényt ka unk. (Próbálja meg valaki ezt a függvény ábrázolni derékszögű koordinátarendszerben!) Példa Legyen A a téglala ok halmaza, B a ozitív valós számok halmaza. Ha minden téglala hoz hozzárendeljük a területét, akkor egy függvényt ka unk. A leggyakrabban előforduló függvények számokhoz számokat rendelnek, ezekkel találkozunk leghamarabb a tanulmányaink során. Ezeket természetesen ábrázolhatjuk, sőt sokszor é en azzal a céllal adunk meg egy függvényt, hogy azzal egy görbét azonosítsunk. Egy függvény az értelmezési tartományának minden eleméhez ontosan egy elemet rendel hozzá az értékkészletének elemei közül. Az értelmezési tartomány elemeit szokás helyeknek, az értékkészletének elemeit edig értékeknek nevezni. A műszaki roblémák esetén az adott feltételekből, körülményekből következik, hogy a folyamatot leíró függvényeknek mi az értelmezési tartománya. Az értelmezési tartomány gyakran az idő. Ebben az esetben az értelmezési tartomány nyilvánvalóan a mérés időtartama. Azt, hogy egy függvény a 6 számhoz a számot rendeli így jelöljük: 62. Ha f a függvény neve, akkor ugyanezt így jelöljük: f(6)=2 A hozzárendelést megadhatjuk az összetartozó értelmezési tartománya véges sok elemet tartalmaz. árok felsorolásával, ha a függvény

14 Példa A függvényeket általában ké lettel adjuk meg. A ké let azt mutatja meg, hogy az értelmezési tartománybeli elemhez ( bemenő adat ) a függvény mely elemet rendeli az értékkészletből ( kimenő adat ). Ilyenkor azt is meg kell mondani, hogy melyik halmaz az értelmezési tartomány. Példa x x 2 + 5x, x [-1,12] vagy, ha g a függvény neve: g(x) = x 2 + 5x, x [-1,12] A g függvény néhány értéke: x (hely) -0,5 2,2 6 8, ,6 g(x) (érték) -2,25 15, , ,56 A matematikai tanulmányok minden részében köz onti szere e van a függvényeknek. Az alkalmazások többségében néhány ala vető függvény szere el. A roblémák megoldásához tudnunk kell, hogy ezek a függvények milyen tulajdonságokkal rendelkeznek. A későbbiekben megadjuk néhány ala vető függvény grafikonját. (Ezeket a ké eket nem kell memorizálni, de szükség esetén a hozzárendelési szabály ala ján fel kell tudni rajzolni.) Egyenletek, egyenlőtlenségek Egyenlet alatt egy (*) f(x)=g(x) alakú szimbólumot értünk, ahol f és g valamilyen valós függvények, s egy ilyen egyenlet megoldáshalmaza alatt mindazon valós számok halmazát értjük, amelyek beletartoznak az f és g függvények értelmezési tartományainak közös részébe és amelyekre teljesül a (*)

15 egyenlőség. Egyébként az f és g függvények értelmezési tartományainak közös részét szokás az egyenlet értelmezési tartományának nevezni. Mindez az egyenlőtlenségekkel ka csolatban is szó szerint megismételhető, ha (*)-ban az = jelet a,, <, jelek valamelyikével helyettesítjük. Ha két egyenletnek, vagy egyenlőtlenségnek ugyanaz a megoldáshalmaza, akkor azt mondjuk, hogy a két egyenlet, vagy egyenlőtlenség ekvivalens. Ha egy egyenlet, vagy egyenlőtlenség megoldáshalmazának keresése közben az egyes lé ésekben az előzővel ekvivalens egyenletet ka unk, akkor azt mondjuk, hogy ekvivalens átalakításokat végeztünk. Hatványfüggvények Az xx n tí usú függvényeket, ahol n racionális szám hatványfüggvényeknek nevezzük. A változó ( ) a hatványkifejezés ala jában van! A hatványfüggvények értelmezési tartománya az n értékétől függően lehet a valós számok halmaza, a nemnegatív valós számok halmaza, vagy \{0}. xx Függvény f(x)=ax+b (a Értelmezési tartomány x Értékkészlet f(x) Zérushely b a 0 ) Növekedés szigorúan monoton növekvő, ha a, szigorúan monoton csökkenő, ha a<0 Szélsőérték nincs

16 xx 2 xx 3 Függvény f(x)=a x 2 (a 0 ) Értelmezési tartomány Értékkészlet f( ), ha a>0 Zérushely x=0 x f( ), ha a<0 Növekedés a esetén: szigorúan monoton növekvő, ha, szigorúan monoton csökkenő, ha < a< esetén: szigorúan monoton növekvő, ha <0, szigorúan monoton csökkenő, ha >0 Szélsőérték a esetén x=0 minimumhely, a< esetén x=0 maximumhely

17 Függvény f( ) Értelmezési tartomány Értékkészlet f( ) Zérushely nincs Növekedés szigorúan monoton csökkenő, ha < szigorúan monoton csökkenő, ha Szélsőérték nincs Függvény f( ) Értelmezési tartomány Értékkészlet f( ) Zérushely x=0 Növekedés szigorúan monoton növekvő Szélsőérték x=0 minimumhely Polinomok, algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek n-ed fokú olinom Ha an,..,a0 rögzített valós számok és an, akkor P(x)=anx n +an-1x n-1 a1x + a0 módon értelmezett függvényt n-ed fokú olinomnak nevezzük. A legmagasabb fokú tag együtthatóját a olinom főegyütthatójának mondjuk. Ha az an,..,a0 együtthatók egyike sem nulla, teljes n-ed fokú hiányos n-ed fokú olinomról beszélünk. olinomról, ellenkező esetben Ha valamely x0 valós szám esetén P( 0)=0, akkor x0-at a P( ) olinom zérushelyének, vagy a P( ) egyenlet gyökének nevezzük. Ezért ha a P( ) olinomot ábrázoljuk, akkor a P( ) olinom ké e azokon az 1,...xn, helyeken metszi az x tengelyt melyekre P(x1)=0,.., P(xn)=0.

18 Példa A P(x)=5x 3-4x 2 +7x-9 polinom egy teljes harmadfokú olinom. A Q(x)=6x 4-3x 3-5 olinom egy hiányos negyedfokú olinom. Legyen adott egy P( ) olinom, illetve az általa meghatározott P( ) algebrai egyenlet. Megoldóké letnek nevezünk egy olyan ké letet, vagy eljárást, amely az egyenlet együtthatóiból a négy ala művelet, az egész kitevőjű hatványozás és a gyökvonás segítségével véges sok lé ésben származtatja az egyenlet gyökeit, vagy bizonyítja annak megoldhatatlanságát. Másod-, harmad- és negyedfokú egyenletekre vannak megoldó ké letek, ennél magasabb fokúakra azonban bizonyítottan nincsenek, ezért az ötöd- vagy magasabb fokú olinomegyenleteket csak abban az esetben tudunk megoldani, ha az egyenlet alakja s eciális. Bármely másodfokú egyenlet rendezéssel az ax 2 + bx + c=0 alakra hozható. Ezt az alakot a másodfokú egyenlet -ra rendezett, vagy 0-ra redukált alakjának nevezzük. Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek Másodfokú olinom P(x) = ax 2 + bx + c ahol a. Másodfokú olinom grafikonja arabola, mely a esetben felfelé nyílt, a< esetben lefelé nyílt. A grafikonnak az tengellyel, vagy közös ontja van, vagyis egy másodfokú olinomnak, vagy zérushelye van. Másodfokú egyenlet ax 2 + bx + c = 0 Másodfokú egyenlet megoldása nem más, mint a baloldalon lévő másodfokú olinom zérushelyeinek megkeresése. A fentiekből következik, hogy egy másodfokú egyenletnek, vagy megoldása van. Diszkrimináns: D b 4ac A másodfokú egyenletnek csak akkor van valós megoldása, ha a diszkrimináns értéke nem negatív, azaz ha b 2 4ac.

19 Megoldóké let: b 4ac D A megoldóké let a diszkrimináns értékétől függően, vagy valós megoldást (gyököt) ad: Ha D<0, akkor nincs valós megoldás. Ha D=0, akkor egy valós megoldás van. Ha D, akkor két valós megoldás van. Példa 2x x + 12 = 0 D= Gyöktényezős felbontás 4 4 Az ax 2 +bx+c másodfokú olinom gyöktényezős felbontását illetően három eset van annak megfelelően, hogy a megfelelő ax 2 +bx+c=0 egyenletnek hány gyöke van. Ha az egyenletnek egy gyöke van: x0, akkor (ekkor ún. teljes négyzet alakról beszélünk), ax 2 + bx + c = a(x- x0) 2 Ha az egyenletnek két gyöke van: x1 és x2, akkor ax 2 + bx + c = a(x- x1)(x-x2) Ha az egyenletnek nincs gyöke, akkor nincs gyöktényezős felbontás. 4 4 A gyökök és az együtthatók összefüggései, Másodfokú egyenlőtlenségek ax 2 + bx + c 0, ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c 0, ax 2 + bx + c < 0 Egy másodfokú egyenlőtlenség a megfelelő egyenlet megoldása, és a másodfokú grafikonjáról készítet vázlat ala ján könnyen megoldható. olinom

20 Az ax 2 + bx + c 0 egyenlőtlenség megoldáshalmaza a grafikon elhelyezkedésének hat különböző esetében: Az ax 2 + bx + c 0 egyenlőtlenség megoldáshalmaza a grafikon elhelyezkedésének hat különböző esetében: Magasabb fokú olinomegyenletek Magasabb fokú olinomok zérushelyeinek megkeresésére különféle módszerek vannak. Polinomegyenletek megoldásakor hasznosak lehetnek az alábbi megálla ítások: Az ax 2n +bx n +c=0 (n ) alakú egyenletek megoldása visszavezethető másodfokú egyenlet megoldására a n helyettesítéssel. (Először az ap 2 +bp+c=0 egyenletet kell megoldani, majd a p=x n egyenletet.) Az anx n +an-1x n a1x+ao egyenlet egész megoldásait az ao ( ozitív és negatív) osztói között kell keresni (természetesen ilyenek nem mindig vannak) Az anx n +an-1x n a1x+ao olinomnak akkor és csak akkor gyöke az, ha az együtthatóinak összege, azaz an+an a1+ao=0 Egy olinomnak akkor és csak akkor gyöke a -, ha a áros inde ű együtthatóinak összege egyenlő a áratlan inde ű együtthatóinak összegével Ha a P olinomnak gyöke a c szám, akkor P a következő alakba írható: P( ) ( -c)q(x), ahol Q egy a P-nél eggyel alacsonyabb fokszámú olinom. Az utóbbi megálla ítás szerint: ha egy n-edfokú olinom k db gyökét ismerjük, akkor az esetleges további gyökök keresése visszavezethető egy (n-k)-adfokú olinom gyökeinek keresésére.

21 A olinomok gyökeivel ka csolatos az ún. gyöktényezős felbontás. Minden olinom felbontható elsőfokú és valós gyökkel nem rendelkező másodfokú tényezők szorzatára: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Egy (x-c) tényező ontosan akkor szere el a P felbontásában, ha a c gyöke P-nek, azaz P(c)=0. Ezért a fenti felbontásában szere lő ( -ci) tényezőket a ci gyökökhöz tartozó gyöktényezőknek (i,...n), magát a felbontást gyöktényezős felbontásnak nevezzük. Példa Határozzuk meg a P( ) 3 -x 2 - harmadfokú olinom gyökeit, ill. a gyöktényezős felbontását! Ehhez az x 3 -x 2 - harmadfokú olinomegyenletet kell megoldani. Így a P olinom felbontása: P(x) = ( x 1 ) Q(x) = ( x 1 ) ( x 2 1 ) A Q(x) = x 2 másodfokú olinom tovább bontható, így a P gyöktényezős felbontása: P(x) = (x 1) (x 1) (x + 1) = (x 1) 2 (x + 1) A gyökök edig: x1 (kétszeres gyök), a megfelelő gyöktényező: ( 1) x2= - (egyszeres gyök), a megfelelő gyöktényező: ( + 1) E onenciális és logaritmus függvények E onenciális függvények x2 x ( )

22 Függvény f( ) a (a, Értelmezési tartomány Értékkészlet f( ) 1) Zérushely Növekedés Szélsőérték nincs <a< esetén szigorúan monoton csökkenő, a esetén szigorúan monoton növekvő nincs Logaritmus függvények xlog2x xlog0,5x Függvény f( ) log (a, Értelmezési tartomány Értékkészlet f( ) 1) Zérushely x=1 Növekedés Szélsőérték <a< esetén szigorúan monoton csökkenő, a esetén szigorúan monoton növekvő nincs

23 Az e onenciális és a logaritmus függvények ka csolata E onenciális és logaritmusos egyenletek és egyenlőtlenségek E onenciális egyenletek Az e onenciális egyenletek olyan egyenletek, melyekben az ismeretlen a kitevőben szere el. A legegyszerűbb e onenciális egyenlet: a f(x) =b alakú, ahol a, b és f valamilyen adott valós függvény. Ha a, akkor ( ), ami már nem e onenciális egyenlet. Ha a, akkor két eset van: b vagy b. Ha a és b, akkor minden olyan valós szám megoldás, amely az f értelmezési tartományához tartozik. Ha a és b, akkor nincs megoldása az egyenletnek. Másik ilyen ala tí us az a f(x) = a g(x), ahol a>0, f és g valamilyen adott valós függvények. Ha a, akkor minden olyan valós szám megoldás, amely az f és g értelmezési tartományainak közös részébe tartozik. Ha a, akkor mindkét oldal a ala ú logaritmusát véve az f( ) g( ) egyenlethez jutunk. Logaritmusos egyenletek A logaritmusos egyenlet olyan egyenlet, melyben az ismeretlen valamilyen logaritmus változójában szere el. A legegyszerűbb logaritmusos egyenlet: logaf(x)=b alakú, ahol a, a és f valamilyen adott valós függvény. Az egyenlet értelmezési tartománya az f függvény értelmezési tartományának azon része, amelyen f ozitív értékeket vesz fel. A logaritmus definícióját használva f( ) a b.

24 Másik ala tí us ( ) ( ), ahol a>0, a valamint f és g adott valós függvények. Az egyenlet értelmezési tartománya az f és g függvény értelmezési tartományai metszetének azon része, amelyen f és g is ozitív értékeket vesz fel. Az egyenlet mindkét oldalára az a ala ú logaritmus függvény inverzét, az a ala ú e onenciális függvényt alkalmazva kapjuk, hogy f(x)=g(x). E onenciális és logaritmusos egyenlőtlenségek Az e onenciális és logaritmusos egyenlőtlenségeket az e onenciális és logaritmusfüggvények szigorú monotonitását figyelembe véve (csökkenő vagy növekvő) oldjuk meg. Trigonometrikus függvények Nevezetes szögek szinusza és koszinusza Egy egységnyi hosszúságú vektort ( ozitív forgásirányban) megforgatva a vég ont koordinátái a forgatás szögének koszinuszát és szinuszát adják Nevezetes szögeknek a rajzon megjelölt szögeket nevezzük.

25 A nevezetes szögek koszinuszai és szinuszai a,,,, értékek valamelyikével egyenlők. A felsorolt értékek nagyságrendi sorrendben vannak, így könnyen azonosíthatók a rajzon, a tengelyeken megjelölt értékekkel. A rajzról bármelyik nevezetes szög koszinusza és szinusza leolvasható. Az értékeket a következő táblázat is tartalmazza: szög (fok) szög (rad) sin cos szög (fok) szög (rad) sin 4 cos

26 Szög mérése Fok: a teljes szög mértéke 6 Radián: egységnyi sugarú kör esetén radián az a (közé onti) szög, melyhez egységnyi ívhossz tartozik Összefüggés fok és radián között : 8 (rad) A szinuszfüggvény: f(x)=sin(x) Függvény f( ) sin Értelmezési tartomány Értékkészlet sin, Zérushelyek k, k Növekedés szigorúan monoton növekvő, ha szigorúan monoton csökkenő, ha [ k, k ], k [ k, k ], k Szélsőértékek a minimumok helye: k, k a minimum értéke: -1

27 a maximumok helye: k, k Paritás Periódus a maximum értéke: 1 áratlan (az értelmezési tartomány az origóra szimmetrikus, sin (-x)= -sin(x)) Nevezetes szögek tangense és kotangense Az ABC és ADE derékszögű háromszögek hasonlóak, így megfelelő oldalaik aránya egyenlő:, azaz

28 A tangens függvény: f(x)=tg(x) (cos(x) 0 ) Függvény f( ) tg Értelmezési tartomány, k, k Értékkészlet tg Zérushelyek k, k Növekedés Szélsőértékek Paritás Periódus szigorúan monoton növekvő, ha nincs ] k, k [, k áratlan (az értelmezési tartomány az origóra szimmetrikus, tg (-x)= -tg(x)) Összefüggések derékszögű háromszögben Hasonlóan a fentiekhez, két derékszőgű háromszög hasonlóságát figyelembe véve

29 derékszögű háromszögben az oldalak aránya: a c sin, b c cos, Ezek az összefüggések azt fejezik ki, hogy ha a derékszögön kívül még egy másik szög () adott a derékszögű háromszögben, akkor az oldalak aránya meghatározott. A fenti jelölésekkel, l. az a és a b oldal arányát a tg értéke adja. (Meg kell jegyezni, hogy a fenti formuláknak a szögfüggvények definiálására való alkalmazása csak a 0 / tartományban lenne értelme.) Gyakran van arra szükség ( l. a mechanikában az erőkkel való számoláskor), hogy az átfogóból számítsuk ki az oldalakat. Ez a fentiek szerint a összefüggések alkalmazását jelenti. a = csin, Összefüggés a trigonometrikus függvények között a b b = ccos sin cos tg ctg sin x = - cos tg cos x = tg x = ctg x = 1sin 2 x sin cos - sin cos sin cos sin cos tg - tg tg ctg tg ctg ctg - ctg A táblázat használata: ha éldául a cos függvénynek a tg függvénnyel való kifejezésére van szükség, akkor a cos sorban és a tg oszlo ban lévő formulát kell tekinteni: A jel arra utal, hogy az összefüggés az cos tg értékétől függően két formulával adható meg. Szögek összege, különbsége, kétszerese és fele trigonometrikus függvényeinek kifejezése az eredeti szögek trigonometrikus függvényeivel

30 x+y x y 2x x/2 sin sinxcosy + cosxsiny sinxcosy cosxsiny 2sinxcosx cos cos cosxcosy sinxsiny cosxcosy + sinxsiny cos 2 x sin 2 x cos tg ctg tg tg y tg tg y ctg ctg y ctg ctg y tg tg tg y tg y ctg ctg y ctg y ctg tg tg ctg ctg cos sin cos sin A táblázat használata: ha éldául a cos(x y) kifejezésére van szükség az és az y trigonometrikus függvényeivel, akkor a cos sorban és az y oszlo ban lévő formulát kell tekinteni: cos(x y) = cosxcosy + sinxsiny. További összefüggések sin sin y sin y cos y sin cos tg cos sin sin y cos y sin y cos cos y cos y cos y cos cos y sin y cos y Trigonometrikus függvények

31 Trigonometrikus egyenletek Jelölje trig a cos, sin tg, illetve ctg függvények bármelyikét. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenlet ( ) alakú, ahol f adott valós függvény, melynek értékkészlete részhalmaza a trig függvény értelmezési tartományának, c edig valós szám. Ennek az egyenletnek nyilván csak akkor van megoldása, ha a c szám benne van a trig függvény értékkészletében. Ha ez teljesül, a megoldásokat az adott trigonometrikus függvény eriodicitási tulajdonságát felhasználva tudjuk megadni. Koordinátageometria a síkban Pontok távolsága Az P1=(x1,y1) és a P2=(x2,y2) ontok távolsága (, ) ( ) ( )

32 Két ont által meghatározott vektor Az P1=(x1,y1) és a P2=(x2,y2) ontok által meghatározott vektor: P P (, y y ) Vektor hossza és szöge A v (v, v ) vektor hossza: v d(p, P ) v v A v (v, v ) vektor szöge (az tengely ozitív felétől ozitív forgásirányban mért szög): v tg, v amennyiben vx. Egyenes meredeksége (iránytangense) Egy (az y tengellyel nem árhuzamos) egyenesen felvéve két ontot: ( 1,y1) és ( 2,y2) az y y m tg értéket az egyenes meredekségének, vagy iránytangensének nevezzük.

33 Egyenes egyenlete Itt egyenes egyenletén az y = m(x-x0) + y0 formulát értjük. Az m, az 0 és az y0 aramétereknek közvetlen geometriai jelentése van: m: meredekség (iránytangens) (x0,y0): az egyenes egy pontja Meg kell jegyezni, hogy az y tengellyel árhuzamos egyeneseknek ilyen egyenlete nincs. Az ilyen egyenesek egyenlete c alakú, ahol c az tengellyel alkotott metszés ont. Az y = m(x-x0) + y0 formula átrendezésével ka ott egyenletek ugyanazt az egyenest határozzák meg. Egy egyenes különböző egyenletei valójában tehát csak átrendezésben térnek el egymástól. Az egyes átrendezésekben szere lő araméterek más-más geometriai tartalommal bírnak. A lehetséges átrendezések közül igen gyakran használjuk az y = mx + b formulát. Itt az m és a b araméterek jelentése: m: meredekség (iránytangens) b: metszés ont az y tengellyel Példa y=2x+3

34 Egyenes egyenletének felírása különböző adatokból Az alábbi esetek mindegyikében az egyik adat az egyenes egy ontja, ami megfelel az egyenes egyenletében szere lő ( 0,y0) ontnak, a másik adat edig a következők valamelyike: egy másik ont, egy irányvektor, egy normálvektor. Mindegyik esetben kifejezhető a meglévő adatokból a meredekség, és felírható az egyenlet.. Két ont Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek két (Feltételezzük, hogy 0 x1) ontja: ( 0,y0) és ( 1,y1)! m, így az egyenes egyenlete: y y y ( ) y 2. Egy pont és egy irányvektor Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy (vx,vy)! (Feltételezzük, hogy vx ) ontja: ( 0,y0), egy irányvektora m, így az egyenes egyenlete: v y ( ) y v Szokásos a vy x- vx y= vy x0- vx y0 alakra való átírás.

35 . Egy ont és egy normálvektor Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy ontja: ( 0,y0), egy normálvektora (A,B)! (Feltételezzük, hogy B ) m, így az egyenes egyenlete: y A B ( ) y Szokásos az Ax + By = Ax0 + By0 alakra való átírás, illetve az Ax + By+C =0 alak, ahol C=-( Ax0 + By0). S eciális helyzetű egyenesek egyenlete Kör egyenlete Az (u,v) közé ontú, R sugarú kör egyenlete: (x-u) 2 + (y-v) 2 = R 2

36 Szakasz felező ontja Az (x1;y1) és az ( 2;y2) ontokat összekötő szakasz felező ontja: ( ; ) Példa Legyen P=(2;-4), Q=(3; ). Ekkor a PQ szakasz felező ontja: 4 ( ), ( 5 ) Háromszög súly ontja Az A=(x1;y1), B=(x2;y2), C=(x3;y3) csúcs ontú háromszög súly ontja: ( ) Szakasz általános osztó ontja Legyen P1=(x1;y1), P2=(x2;y2) két ont, ezek helyvektorai legyenek rendre és. A P1P2 szakaszt m:n arányban osztó P ont helyvektora legyen, a P koordinátái ( y). Ha P1P:PP2=m:n, akkor és, y

37 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Geometria Síkgeometria I. Geometriai alapfogalmak 1. Térelemek A geometria legegyszerűbb fogalmai a térelemek. Ezeket alapfogalmaknak tekintjük, és nem definiáljuk. A térelemek és általános jelöléseik: pont: A, B, C,... P, Q,... X, Y, Z latin nagybetű egyenes: a, b, c,... p, q,... x, y, z latin kisbetű sík: S,T,.. latin nagybetű A továbbiakban támaszkodni fogunk a szemlélet ala ján magától értetődő ismereteinkre. A tér egyeneseit és síkjait is onthalmazoknak tekintjük. Igaznak fogadjuk el éldául, hogy egy egyenest bármely ontja két félegyenesre bontja, egy síkot bármely egyenese két félsíkra bontja, míg a teret bármely síkja két féltérre bontja. A tér A és B ontját összekötő szakasz az A kezdő ontú és a B ontot tartalmazó, valamint a B kezdő ontú és az A ontot tartalmazó félegyenes metszete. Térelemek kölcsönös helyzete: Két egyenest a térben metszőnek mondunk, ha van közös ontjuk és nem esnek egybe. Két egyenest a térben árhuzamosnak mondunk, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk, vagy ha egybeesnek. Két egyenest a térben kitérőnek mondunk, ha nincsenek egy síkban. Két síkot a térben metszőnek mondunk, ha van közös ontjuk és nem esnek egybe. Két síkot a térben árhuzamosnak mondunk, ha nincs közös ontjuk, vagy ha egybeesnek. Azt mondjuk, hogy a tér egy egyenese döfi a tér egy síkját, ha van közös ontjuk és az egyenes nem illeszkedik a síkra. A tér egy egyenesét és egy síkját árhuzamosnak mondjuk, ha nincs közös ontjuk. Összegezve: Két egyenes kölcsönös helyzete lehet metsző, árhuzamos vagy kitérő. Két sík kölcsönös helyzete lehet metsző vagy árhuzamos. Sík és egyenes kölcsönös helyzete lehet: - az egyenes illeszkedik a síkra, - az egyenes döfi a síkot, - az egyenes árhuzamos a síkkal.

38 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal. A szög A szög: olyan síkrész, amelyet egy ontból kiinduló két félegyenes határol.(ha külön nem jelezzük, a két félegyenes által létrehozott szögön a létrejövő szögek közül a kisebbiket értjük.) A szöget alkotó félegyenesek a szög szárai, közös kezdő ontjuk a szög csúcsa. Szögek mérése és fajtáik. A szögeket úgy is származtathatjuk, hogy a két, közös kezdőpontú, egymást fedő félegyenes közül az egyiket a kezdőpont körül elforgatjuk. Ilyenkor forgásszögről beszélünk. Ha a mozgó szár mozgása az óramutató járásával ellenkező irányú, akkor a szöget pozitívnak, ha pedig megegyező irányú, akkor a szöget negatívnak mondjuk. A szög nagyságát az elforgatás nagyságával mérjük, függetlenül a forgási iránytól. Ha a mozgó félegyenes egy teljes fordulatot megtesz, a keletkező szöget teljesszögnek nevezzük. A szögmérés mértékegysége a fok, o - a teljes szög 6 -ad része. A szögeket görög kisbetűvel jelöljük: α, β, γ, δ, A szögeket nagyság szerint a következő cso ortokba soroljuk: teljesszög : 6 o egyenesszög : β β 8 o nullszög : γ γ o hegyesszög : δ 0 o < δ < o derékszög : ε ε o tom aszög : ζ homorúszög : η 90 o < ζ < 8 o 180 o < η < 6 o teljesszög egyenesszög nullszög derékszög

39 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal hegyes szög tom aszög homorúszög A szögeket mérhetjük radiánban is: ekkor a teljes szög mértéke. Az egységnyi sugarú körben az o -hoz tartozó körívhossz: / 8 Példa Hány fokos szöget zárnak be az óramutatók és óra között minden egész órakor? Nevezetesebb szög árok: - Egyenlő szög árok Egyállású szögek : száraik áronként árhuzamosak és azonos irányúak Váltószögek : száraik áronként árhuzamosak, és ellenkező irányúak Csúcsszögek : s eciális váltószögek egy-egy száruk egy egyenest alkot Merőleges szárú szögek : száraik áronként merőlegesek egymásra a merőleges szárú szögek között vannak egyenlők és olyanok is, amelyek 8 -ra egészítik ki egymást Példa Az ábrán az szög o 4. Mekkora a többi jelölt szög?

40 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Példa Az α és β merőleges szárú szögek. Határozzuk meg a szögek nagyságát, ha a β szög harmadrésze az α-nak. Egymást kiegészítő szögpárok Pótszögeknek nevezünk két szöget, ha összegük 90. A kiegészítő szögek 180 -ra egészítik ki egymást-mellékszögek, társszögek Példa Mekkora az a szög, amelyik a mellékszögének részével egyenlő? Térelemek szöge : Két metsző egyenes a közös síkjukat négy szögtartományra bontja: általában két (egyenlő) tompaszögre és két (egyenlő) hegyesszögre. Két metsző egyenes szögén - ha külön mást nem mondunk - a hegyesszöget értjük. Ha a két egyenes a közös síkjukat négy egyenlő szögtartományra bontja, akkor azt mondjuk, hogy a két egyenes merőleges egymásra. Ekkor a keletkező szögek mértéke 90 o.

41 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Kitérő egyenesek szögén a tér egy tetszőleges P pontján átmenő, a két adott egyenessel árhuzamos két egyenes szögét értjük. e e ' S f f ' Sík és egyenes szögén az egyenes és az egyenesnek a síkra eső merőleges vetületének szögét értjük. a S a' Két sík szögén a síkokban, a metszésvonalra állított merőleges egyenesek szögét értjük. Két sík szögét adja meg a normálisaik szöge is.( a sík normálisán a síkra merőleges egyenest értjük)

42 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Egy egyenes akkor árhuzamos egy síkkal, ha van a síkban egy olyan egyenes, amely az adott egyenessel árhuzamos. Párhuzamossági tételek Két sík akkor árhuzamos egymással, ha az egyik síkban van két olyan metsző egyenes, amely a másik síkkal árhuzamos. Ha egy síkkal árhuzamos egyenesre síkot fektetünk, ez a sík az adott síkot az adott egyenessel árhuzamos egyenesben metszi. Az adott síkkal árhuzamos egyenesre illeszkedő síkoknak az adott síkkal alkotott metszésvonalai egymással is árhuzamosak. Két egymást metsző sík metszésvonalával árhuzamos harmadik sík az adott síkokat a metszésvonallal árhuzamos egyenesekben metszi. Ezek az egyenesek egymással is árhuzamosak. Két árhuzamos síkot egy harmadik sík egymással árhuzamos egyenesekben metsz.

43 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Két árhuzamos sík két, velük nem árhuzamos árhuzamos egyenesből egyenlő hosszúságú szakaszokat metsz ki. Egy ponton át egy síkkal árhuzamosan végtelen sok egyenes fektethető. Ezek egy olyan síkban fekszenek, mely az adott síkkal árhuzamos. Két térelem árhuzamosságára a továbbiakban a jelölést is használjuk. Merőlegesség 1. Egy egyenes merőleges egy síkra, ha van a síkban két olyan, különböző irányú egyenes, amelyre az adott egyenes merőleges. (Ekkor az egyenes a sík összes egyenesére merőleges.) 2. Két sík merőleges egymásra, ha legalább az egyik síkban van olyan egyenes, amely a másik síkra merőleges. Ez természetesen maga után vonja azt, hogy a másik síkban is van olyan egyenes, amely merőleges az egyikre.

44 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Egy egyenes adott pontjában, az adott egyenesre merőleges egyenesek egy síkban vannak, még edig az egyenesre merőleges síkban. Ha két egyenes ugyanarra a síkra merőleges, akkor a két egyenes egymással árhuzamos. Ha két egyenes árhuzamos egymással és közülük az egyik merőleges egy síkra, akkor a másik egyenes is merőleges erre a síkra. Ha két sík ugyanarra az egyenesre merőleges, akkor a két sík egymással árhuzamos. Merőlegességi tételek Két sík metszésvonalára merőleges sík mindkét adott síkra merőleges. Ha két egymást metsző sík merőleges egy harmadikra, akkor a metszésvonaluk is merőleges a harmadik síkra

45 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Ha három sík áronként merőleges egymásra, akkor metszésvonalaik is merőlegesek egymásra. Egy ponton át egy adott síkra végtelen sok merőleges sík állítható. Ezek metszésvonala a ponton átmenő, adott síkra merőleges egyenes. Egy általános helyzetű egyenesen keresztül, egy adott síkra merőlegesen csak egyetlen sík állítható. Térelemek távolsága Két térelem távolságán mindig a térelemek közt húzható legrövidebb szakasz hosszát értjük. 1. Két pont távolsága értelmezés szerint a két pontot összekötő szakasz hossza. 2. Pont és egyenes távolságán a pontból az adott egyenesre bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük.

46 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal 3. Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük 4. Két árhuzamos egyenes távolságán az egyik egyenes bármely pontjának másik egyenestől mérttávolságát értjük. Ez a távolság a két egyenesen bárhol mérhető. 5. Egymással árhuzamos egyenes és sík távolságán az egyenes tetszőleges pontjából, a síkra bocsájtott merőleges szakaszhosszát értjük 6. Két árhuzamos sík távolságán az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól mért távolságát értjük.

47 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal 7. Két kitérő egyenes távolságán a két egyenes pontjait összekötő szakaszok közül a legrövidebb (a mindkettőre merőleges) hosszát értjük Euklideszi ala szerkesztések Ha ábrákat készítünk, akkor két derékszögű háromszög alakú vonalzó segítségével könnyedén árhuzamos egyeneseket, illetve merőleges egyeneseket rajzolhatunk: e P e P f f Az euklideszi szerkesztés csak körző és egyélű vonalzó használatát engedi meg. Az euklideszi szerkesztés lehetőségei:

48 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal 1. Két ont összekötő egyenesét megrajzolhatjuk vonalzóval. 2. Két adott ont távolságát körzőnyílásba vehetjük. 3. Adott ont körül adott körzőnyílással kört rajzolhatunk. 4. Két metsző egyenes metszés ontját megkereshetjük. 5. Ha egy kör és egy egyenes metszi egymást, akkor mindkét metszés ontjukat megkereshetjük. 6. Ha két kör metszi egymást, akkor mindkét metszés ontjukat megkereshetjük. Szakasz felezése A B A B Szög felezése o o o 2 2 Egyenesre merőleges szerkesztése adott külső ontból P P e e A B P P m e e A B A B

49 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Egyenes adott ontjára merőleges szerkesztése e P e A P B e A P B e A P m B Szakasz felezőmerőlegese A síkon egy szakasz felezőmerőlegese az az egyenes, amely a szakasz felező ontjára illeszkedik, és merőleges a szakaszra. Tételek A sík két ontjától egyenlő távolságra lévő ontok halmaza a síkon a két ont által meghatározott szakasz felezőmerőlegese. A térben adott két onttól egyenlő távolságra lévő ontok halmaza a szakaszra merőleges, annak felező ontjára illeszkedő sík. Három adott onttól egyenlő távolságra lévő ontok halmaza a síkon egy ont (ha a három pont nem esik egy egyenesre), vagy üres halmaz (ha a három ont egy egyenesre esik). Szögfelező Definíció Egy konve szög szögfelezője a szög csúcsából kiinduló, a szögtartományban haladó azon félegyenes, amely a szöget két egyenlő nagyságú szögre bontja. Tétel Egy konvex szögtartományban a száraktól egyenlő távolságra lévő ontok halmaza a szög szögfelezője. Párhuzamos szelők tétele Ha egy szög szárait árhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok aránya egyenlő a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával. A tétel megfordítása is igaz: Ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat vág le, amelyeknek aránya mindkét száron egyenlő, akkor a két egyenes árhuzamos.

50 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal A B C D O A' B' C' D' A árhuzamos szelők tételét felhasználhatjuk adott szakasz egyenlő részekre osztásához. Példa Legyen adott egy AB szakasz. Osszuk fel ezt a szakasz :5 arányban. Külső ontból húzható érintők a körhöz k O r r 1 2 E E 2 1 e e 2 1 P A kör egy adott ontjához egyetlen érintő húzható, a körön kívül fekvő bármely ontból két érintő húzható. A két érintődarab egyenlő egymással, és a kör sugara az érintési ontban merőleges az érintőre. Adott egy k kör és egy külső P ont. Szerkesszünk egyenest, amely illeszkedik az adott ontra és érinti az adott kört F k P E A vázlatrajzról látjuk, hogy a szerkesztést Thalész tétele segítségével végezhetjük el. Azt is azonnal megálla íthatjuk, hogy egy körhöz egy külső ontból két érintőegyenes húzható, és a két érintőszakasz egyenlő hosszúságú: PE PF.

51 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Két kör közös érintőinek megszerkesztése Közös külső érintő (különböző sugarú egymást nem metsző körök esetén) A külső érintők szerkesztése: Ha a kisebb sugarú k kör r sugarát (gondolatban) csökkentjük, és a nagyobb K kör R sugarát is ugyanannyival csökkentjük, akkor a két kör közös külső érintője árhuzamos marad az eredeti közös külső érintővel. Ezért mindkét kör sugarát r-rel csökkentjük, és megszerkesztjük a (R-r) sugarú körhöz a k kör O1 közé ontjából húzott érintőket. Ezeket az érintőket eltoljuk az r abszolút értékű, az érintőkre merőleges és az O1-ből kifelé irányított vektorral. Ezek az eltolt egyenesek lesznek a két kör közös külső érintői: e1, és e2. e 1 k r O 1 O 2 R-r R e 2 K Közös belső érintő (különböző sugarú egymást nem metsző körök esetén) A belső érintők megszerkesztése: Most a kisebb k kör sugarát r-rel csökkentjük, és vele együtt a nagyobb kör sugarát r-rel növeljük. Ezután szerkesszük meg az O2 közé ontú és R+r sugarú körhöz az O1-ből induló érintőket. Ezeket toljuk el az r abszolút értékű, az érintőre merőleges és az O2-hez befelé irányított vektorral. Ezek az eltolt egyenesek lesznek a két kör közös belső érintői, e1 és e2. r e 1 r R k O O 1 F 2 K e 2 Két kör közös érintőinek a szerkesztésekor s eciális eset az, amikor a két kör azonos sugarú. Ekkor a közös külső érintők árhuzamosak az O1O2 egyenessel.

52 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal II. Síkgeometria Háromszögek A szakaszokat, így az ABC háromszög oldalait is az ábécé kisbetűivel jelöljük (a, b, c). A ontokat, így a háromszög csúcsait is az ábécé nagybetűivel jelöljük.(a, B, C). A szögek jelölésére görög betűket használunk (, β, γ). (Az A csúcsnál az szög, vele szemben az a oldal található.) A szögeket a csúcs ontjuk és a száraikon lévő egy-egy ont betűjelével is megadhatjuk. Például az szöget így is jelölhetjük: CAB szög. A háromszögek cso ortosítása: Szögeik szerint: - hegyesszögű háromszögek (minden szögük hegyesszög), - derékszögű háromszögek (egyik szögük derékszög, a többi hegyesszög), - tom aszögű háromszögek (egyik szögük tom aszög, a többi hegyesszög). Oldalaik szerint: - egyenlő oldalú háromszögek (minden oldaluk egyenlő), - egyenlőszárú háromszögek (két oldaluk egyenlő), - általános háromszögek (minden oldaluk különböző) A háromszögre vonatkozó állítások 1. A háromszög belső szögeinek összege 8. Egy háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak (egyenlőszárú háromszög). A háromszögben hosszabb oldallal szemben nagyobb szög található, mint a rövidebb oldallal szemben.

53 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Minden háromszög oldalaira teljesül a háromszög-egyenlőtlenség: 2. A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. 3. A háromszög külső szögeinek összege A háromszög bármely külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével. ( a háromszög külső szöge az adott szög mellékszöge) Háromszögek egybevágósága: Mindhárom megfelelő oldal áronként egyenlő nagyságú Két háromszög egybevágó, ha Két megfelelő oldaluk hossza, és az általuk közrefogott szögek áronként egyenlők Egy megfelelő oldaluk hossza, és két megfelelő szögük áronként egyenlő Két-két oldaluk hossza, és a nagyobbik oldallal szembe lévő szögek áronként egyenlők.

54 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Háromszögek hasonlósága: oldalaik aránya egyenlő Két háromszög hasonló, ha két oldaluk aránya, és az ezek által közrefogott szögük egyenlő két-két oldaluk aránya és e két-két oldal közül a nagyobbikkal szemközt lévő szögük egyenlő két-két szögük áronként egyenlő A háromszögek nevezetes vonalai, ontjai: A háromszög szögfelezői: A szögfelező olyan egyenes, amely felezi a háromszög belső szögét (f, fβ, fγ). A háromszög szögfelezői egy ontban metszik egymást, ez a ont a háromszögbe írható kör közé ontja (O). A szögfelezők osztásaránya: Bármely háromszögben egy belső szög szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja két részre- szögfelező tétel.

55 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal A háromszög oldalfelező merőlegesei: Az oldalfelező merőleges olyan egyenes, amely átmegy az oldal felező ontján és merőleges az oldalra (fa, fb, fc). A háromszög oldalfelező merőlegesei egy ontban metszik egymást, ez a pont a háromszög köré írható kör közé ontja(o). A háromszög magasságvonalai: A magasságvonal a háromszög csúcs ontjából a szemközti oldal egyenesére állított merőleges egyenes ( ma; mb; mc ). A háromszög magasságvonalai egy ontban metszik egymást, ez a háromszög magasság ontja. (M) A háromszög súlyvonalai: A súlyvonal a háromszög csúcsát a szemközti oldal felező ontjával összekötő szakasz. (sa, sb, sc.) A háromszög súlyvonalai egy ontban metszik egymást, ez a háromszög súly ontja (S). A súlyvonalak harmadolják egymást úgy, hogy a csúcs felé esik a súlyvonal kétharmad része.

56 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal A háromszög közé vonalai: A háromszög közé vonala két oldalának felező ontját összekötőszakasz (ka; kb ; kc). A háromszög közé vonala árhuzamos és feleakkora, mint a harmadik (nem felezett) oldal. a b c ; Számítások általános háromszögekben ma: az a oldalhoz tartozó magasság : a beírt kör sugara Kerület: K = a + b + c Terület: T a m (A ké let bármely oldallal és a hozzá tartozó magassággal érvényes.) T a b sin γ (A ké let bármely két oldallal és a közrefogott szöggel érvényes, a háromszög trigonometrikus területké letének is mondják) T s (s a) (s b) (s c) ahol, (Heron-ké let) T K

57 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Szinusz tétel a b sin sin β (A ké let bármely két oldallal és a szemközti két szöggel érvényes.) Koszinusz tétel c 2 = a 2 + b 2 2abcos (A ké let bármelyik szöggel érvényes, amennyiben a baloldalon a szöggel szemközti oldal négyzete szere el.) Derékszögű háromszögre vonatkozó tételek: (A derékszögű háromszögekre természetesen érvényesek az általános háromszögekre kimondott állítások, az alábbiakban csak a további s eciális tulajdonságokat soroljuk fel.) Pitagorasz-tétel (a koszinusz tétel s eciális esete derékszögű háromszögre): Derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével: c 2 = a 2 + b 2 a, b: befogók c: átfogó Terület: a b T 2 c 2 = a 2 + b 2 Magasságtétel: Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani köze e a befogók átfogóra eső merőleges vetületeinek, azaz itt m c c C Befogótétel: Derékszögű háromszögben bármely befogó mértani köze e az átfogónak és az adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének. a c c és b c c ahol c=c1+c2. A a b m c1 c2 c B

58 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal A Thálész-tétel Ha egy kör átmérőjének két vég ontját a körvonal bármely másik ontjával összekötjük, akkor derékszögű háromszöget ka unk. Az átmérő a derékszögű háromszög átfogója. Thalész tételének a megfordítása is igaz: Egy derékszögű háromszög köré írt kör közé ontja mindig az átfogójának felező ontja lesz. Az átfogó a kör átmérője. O A kör geometriája A kör (körvonal) a sík mindazon ontjainak mértani helye, amelyeknek távolsága egy adott onttól állandó. Az adott ont a kör közé ontja, az adott állandó a kör sugara. 3, Kerület: 2R Terület: R 2 A kör részei: szelõ átmérõ sugár körszelet körcikk kerületi szög középponti szög érintõ húr körgyûrû Emlékeztető: 8 (rad)

59 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Körcikk Ívhossz: i = R (radiánban kell számolni) Terület: T (radiánban kell számolni) Körszelet területe: T ( ) ahol R a kör sugara, h a húr hossza, m a körszelet magassága, i a körív hossza. Kerületi és közé onti szögek A körben a közé onti szög csúcsa a kör közé ontja, két szára a kör két sugara (illetve azok félegyenese). Két sugár két közé onti szöget határoz meg. Mindkét közé onti szög szárai között egy-egy körív van. Azt mondjuk: az szöghöz az i körív tartozik, vagy az ii köríven a β szög nyugszik. A kör kerületi szögének nevezzük mindazokat a konve szögeket, amelyeknek a csúcsa a kör kerületén van, a két száruk vagy egy- egy húrt tartalmaz, vagy egy húrt tartalmaz, a másik edig egy érintőre illeszkedik. A B A C D B A kerületi szög két szára között a körnek egy íve van. Gyakran azt mondjuk, hogy a kerületi szög ahhoz a körívhez tartozik, vagy azon a köríven nyugszik. (Végtelen sok kerületi szöghöz tartozhat ugyanaz a körív.)

60 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Egy adott körben egy adott körívhez (ill. húrhoz) egyetlen közé onti szög és végtelen sok kerületi szög tartozik A B Kerületi szögek tétele : Egy körben az ugyanahhoz az ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők. Közé onti és kerületi szögek tétele: Egy körben a közé onti szög kétszerese a vele azonos íven nyugvó kerületi szögnek. Azokat a konve négyszögeket, amelyeknek oldalai egy körnek húrjai, húrnégyszögeknek nevezzük. D A O C A húrnégyszögek köré kört szerkeszthetünk. Oldalfelező merőlegesei egy ontban, a köré írt kör közé ontjában metszik egymást. Húrnégyszögek tétele: Egy konve négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 8. B 8 A nevezetes négyszögek közül a négyzet, a téglala, a szimmetrikus tra éz és a derékszögű deltoid húrnégyszög.