- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

Átírás

1 1. Számtani műveletek 1. Összeadás = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak az összeg nem változik. a+(b+c) = (a+b)+c Ellenőrzése: - tagokat más sorrendben adom össze - az összegből kivonjuk az egyik összeadandó tagot 2. Kivonás 32 8 = 24 kisebbítendő kivonandó különbség Ellenőrzése: - különbséghez hozzáadjuk a kivonandót, így kisebbítendőt kapjuk eredményül - kisebbítendőből kivonjuk a különbséget, így a kivonandót kapjuk eredményül 3. Szorzás 15 * 3 = 45 tényezők szorzat Szorzáskor a szorzat nem változik, ha a tényezőket felcseréljük. Szorzáskor a szorzat nem változik, ha a tényezőket átcsoportosítjuk. Ellenőrzése: - felcseréljük a tényezőket és elvégezzük a szorzást - szorzatot elosztjuk a szorzóval és a szorzandót kapjuk 4. Osztás 35 : 7 = 5 osztandó osztó hányados Ellenőrzése: - hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 2. Műveletek sorrendje Ha nincs zárójel a műveletsorban: 1. Ha csak összeadás és kivonás szerepel, akkor balról jobbra haladva végezzük el a műveleteket. 2. Ha csak szorzás és osztás szerepel, akkor balról jobbra haladva végezzük el a műveleteket. 3. Ha mind a négy alapművelet szerepel, akkor először a szorzást, osztást végezzük el, majd az összeadást, kivonást. Ha zárójel is szerepel a műveletsorban: 1. Zárójelben lévő műveleteket végezzük el először a már tanult sorrendiség szerint, majd ezután következik a többi művelet. 2. Több egymásba lévő zárójel esetén a legbelső zárójelben lévő műveleteket végezzük el, és haladunk kifelé. Zárójelek: - kerek ( ) - szögletes [ ] - kapcsos { } 3. Nulla Értelmezése: két egyenlő szám különbsége. A pozitív és negatív számokat választja szét (ő egyikbe se tartozik bele). Műveletek a nullával: Bármely számhoz nullát adunk, akkor az összeg maga a szám. Pl.: = 3 Nullához bármilyen számot adunk, akkor az összeg maga a szám. Pl.: = 3 Bármely számból nullát kivonunk, akkor a különbség maga a szám. Pl.: 3-0 = 3 Nullából bármilyen számot kivonunk, akkor a különbség a szám ellentettje. Pl.: 0-3 = - 3 A nullát egy tetszőleges számmal megszorozzuk, akkor a szorzat nulla. Pl.: 3 * 0 = 0 Nullát bármely számmal szorozzuk, akkor a szorzat nulla. Pl.: 0 *3 = 0 Nullát bármely számmal osztjuk, akkor a hányados nulla. Pl.: 0 : 3 = 0 Nullával való osztásnak nincs értelme!

2 4. Számhalmazok Természetes számok: (naturális) N A számlálás tevékenységéből származó, végtelen sok számot tartalmazó számhalmaz. N={0,1,2,3 } előállítása: az egység ismételt hozzáadásával Egész számok: (zahlen) Z Olyan számok melyek felírhatók 2 N szám különbségeként. Z={,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 } Racionális számok: (quotiens) Q Azon számok, melyek felírhatók 2 Z szám hányadosaként, és ahol a nevező nem egyenlő O-val Ide tartoznak: + törtek, - törtek, véges tizedestörtek, végtelen szakaszos tizedestörtek. 5. Az előjeles számok Értelmezése A matematikában az ellentétes mennyiségeket a + (plusz), - (mínusz) jelekkel különböztetjük meg. Azokat a számokat, amik előtt + jel áll pozitív számoknak, amik előtt jel áll negatív számoknak nevezzük. Fontos: - a + előjelet nem mindig írjuk ki, így ha egy 0-tól különböző szám előtt nincs előjel, akkor az pozitív szám - a 0 se nem pozitív, se nem negatív szám, páros szám! - az előjel azt is megmutatja, hogy a szám a számegyenesen a nullához képest hol helyezkedik el Ellentett Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyhez a számot hozzáadva nullát kapunk. (példák!) A nulla ellentettje nulla. Abszolútérték Megmutatja egy szám nullától való távolságát a számegyenesen. (példák!) - nem negatív szám abszolútértéke maga a szám - negatív szám abszolútértéke a szám ellentettje Összevonás Az összeadás és a kivonás műveletét közös néven összevonásnak nevezzük. Előjeles számok szorzása, osztása a. két azonos előjelű számot úgy szorzunk vagy osztunk, hogy a tényezők abszolútértékének szorzatát vagy hányadosát + előjellel látjuk el. 6. Törtek b. két különböző előjelű számot úgy szorzunk vagy osztunk, hogy a tényezők abszolútértékének szorzatát vagy hányadosát előjellel látjuk el. Tört értelmezése: Egy egészet = részekre osztjuk Egy tört - kisebb, mint 1 ha a számláló < nevező - egyenlő, 1-gyel ha a számláló = nevező - nagyobb, mint 1 ha a számláló > nevező, ezeket a törteket áltörtnek nevezzük és felírhatók vegyes szám alakba. Törtek egyszerűsítése: A számlálót és a nevezőt, ugyanazzal a 0-tól különböző egész számmal elosztjuk. Törtek bővítése: A számlálót és nevezőt ugyanazzal a 0-tól különböző egész számmal szorozzuk. Törtek összehasonlítása: 1. Azonos nevezőjű törteknél az a nagyobb tört, amelyiknek a számlálója nagyobb (példa) 2. Azonos számlálójú törteknél az a nagyobb, amelynek a nevezője kisebb. (példa) 3. Különböző számlálójú és nevezőjű törtek esetén egyszerűsítéssel vagy bővítéssel, azonos nevezőjű törtekké alakítjuk azokat

3 7. Műveletek törtekkel (egy-egy példa segítségével kell elmondani, hogyan végzi el a műveletet, ha nem tud magától példát írni, akkor adunk mi) Törtek összeadása és kivonása Közös nevezőjű törtek esetén a számlálókat összeadjuk vagy kivonjuk, a közös nevezőt változatlanul leírjuk. pl.: = Különböző nevezőjű törtek esetén a törteket általában bővítéssel közös nevezőre hozzuk (közös nevező : a legkisebb közös többszörös ) * 4 3* = + = = Tört szorzása egész számmal a tört számlálóját szorozzuk az egész számmal és a nevezőt változatlanul leírjuk, vagy a tört nevezőjét osztjuk az egész számmal (ha osztható) és a számlálót változatlanul leírjuk. 3 3* * 2 = = * 3 = Számok reciproka ~ egy szám reciprokán azt a számot értjük, mellyel az eredeti számot megszorozva, a szorzat értéke 1. pl.: * = 1 5 * = Általában egy szám reciprokát úgy kapjuk meg, hogy az 1-et elosztjuk a számmal. A 0-nak nincs reciproka. Tört osztása egész számmal a tört nevezőjét szorozzuk az egész számmal, és a számlálót változatlanul leírjuk, vagy a tört számlálóját elosztjuk az egész számmal (ha osztható) és a nevezőt változatlanul leírjuk. pl.: 6 6 : : 3 = = : 3 = = * 3 15 Tört, egész szám osztása törttel törttel úgy osztunk, hogy az osztandót az osztó reciprokával szorozzuk, majd a lehetséges egyszerűsítéseket elvégezzük. pl.: 8. Tizedestörtek Olyan tört, melynek a nevezője 10 vagy annak valamely hatványa (10, 100, 1000, ) Közönséges törtből tizedes tört előállítása: - A számlálót elosztjuk a nevezővel - A törtet addig bővítjük, míg a nevező 10 vagy annak valamely hatványa nem lesz Műveletek tizedestörtekkel Tizedestörtek összeadása és kivonása a számban úgy írjuk egymás alá, hogy a megfelelő helyiértékek egymás alá kerüljenek, s amikor a tizedes vesszőhöz érünk, az összegben és a különbségben is kitesszük a tizedesvesszőt. Tizedestörtek szorzása A szorzást úgy végezzük el mint egész számok esetén, majd a szorzatból annyi tizedesjegyet vágunk le amennyi a két tényezőbe van együttvéve. Tizedestörtek osztása A kifejezést addig növeljük 10-zel, 100-zal..stb. míg az osztó egész szám lesz, majd elvégezzük az osztást, mint egész számok esetében. pl.: 52,56 : 4,5 = 525,6 : 45= 5256 : 450 =

4 9. Oszthatóság Egy szám osztója a másiknak, ha meg van benne maradéktalanul. Oszthatósági Szabályok (a szabályok mellé elég, ha egy-egy példát mond, hogy érzékeltesse érti a szabályt) 1-gyel és önmagával minden egész szám osztható. 2-vel osztható a szám, ha az egyesek helyén álló szám osztható 2-vel(páros szám). 3-mal akkor osztható a szám, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal. 13: = nem osztható 3-mal, így a 13 sem. 51: = osztható 3-mal, így az 51 is. 4-gyel akkor osztható szám, ha a 2 utolsó számjegyéből képzett szám osztható 4-gyel : 4 28 osztható 4-gyel, így a szám is 514 : 4 14 nem osztható 4-gyel, így a szám sem 5-tel akkor osztható a szám, ha az utolsó számjegye 0 vagy 5. 8-cal akkor osztható szám, ha a 3utolsó jegyéből képzett szám osztható 8-cal : osztható 8-cal, így a szám is. 9-cel akkor osztható szám, ha számjegyeinek öszege osztható 9-cel. 783 : = osztható 9-cel, így a 783 is : = nem osztható 9-cel, így a 2624 sem. 10-zel akkor osztható a szám, ha az utolsó számjegye 0. Összetett szabályok: (az előző szabályokból mindig két szabályra hivatkozunk) 6-tal akkor osztható egy szám, ha osztható 2-vel és 3-mal is. 12-vel akkor osztható egy szám, ha osztható 3-mal és 4-gyel is. 15-tel akkor osztható egy szám, ha osztható 3-mal és 5-tel is. 10. Prímek és a prímtényezős felbontás Azokat az 1-nél nagyobb pozitív egész számokat, melyeknek 1-en és önmagukon kívül más pozitív osztójuk nincs PRÍMSZÁMOKNAK vagy törzsszámoknak nevezzük. Prímszámok: 2;3;5;7;11;13;17, 19, 23 Azoknak az 1-nél nagyobb pozitív egész számoknak, melyeknek kettőnél több osztója van (vannak valódi osztóik) ÖSSZETETT számoknak nevezzük. Összetett számok: 4;6;8;9;10;12 Az 1 nem prím és nem is összetett szám Közös osztók, legnagyobb közös osztó: - több szám közös osztói azok a számok amelyek az adott számok mindegyikének osztói. Keressük meg a 60 és a 72 közös osztóit: 60 osztói: 1;2;3;4;5;6;10; 12 ;15;20;30 72 osztói:1;2;3;4;6; 12 ;18;24;36;72 közös osztók: 1;2;3;4;6; 12 a legnagyobb közös - két vagy több szám legnagyobb közös osztója (lnko): az adott számok mindegyikének osztója, az összes közös osztó közül a legnagyobb * kiszámíthatjuk, hogy a prímtényezős felbontásból az azonos alapú hatványokat a legkisebb kitevővel véve összeszorozzuk. ha két számnak nincs közös prímtényezője, akkor a legnagyobb közös osztójuk 1 relatív prím. pl.: (5;9) = 1 * használata a törtek egyszerűsítésénél Közös többszörösök, legkisebb közös többszörös - két számnak(vagy többnek) végtelen sok közös többszöröse van. Pl.: a 6 többszörösei: 0;6;12;18;24;30;36;42;48; A 8 többszörösei: 0;8;16;24;32;40;48; A 6 és a 8 pozitív közös többszörösei: 24;48;72; A legkisebb közös többszörös a 24 - két vagy több szám legkisebb közös többszöröse [lkkt]: az adott számok mindegyikének többszöröse, a közös többszörösök közül a legkisebb * kiszámíthatjuk, hogy a prímtényezős felbontásból az összes előforduló prímtényezőt a legnagyobb kitevővel véve összeszorozzuk. * használata törtek összevonásakor

5 11. Geometriai fogalmak Pont két egyenes találkozása, ábécé nagybetűivel jelöljük Egyenes végtelen ponthalmaz (egyenes vonal), ábécé kisbetűivel jelöljük Félegyenes az egyenest bármely pontja két félegyenesre bontja, a tetszőleges pont mindkét félegyenes kezdőpontja, iránya ismert Szakasz az egyenes két pontja által határolt véges rész (irány és nagyság) Konvex domború, egy vágással pontosan két darabra esik a síkidom, bármely két pontját összekötő szakasz teljes egészében a síkidomban van. Konkáv homorú, egy vágással kettőnél több darabra eshet, létezik két olyan pont melyet, ha összekötünk, akkor a szakasz egy része a síkidomon kívülre esik. Két egyenes kölcsönös helyzete Merőleges merőleges két egyenes, ha a síkot négy egybevágó síknegyedre darabolja, azaz derékszöget zárnak be Metsző metszi egymást két egyenes, ha csak egy közös pontjuk van Párhuzamos párhuzamos két egyenes, ha nincs közös pontjuk vagy végtelen közös pontjuk van 12. Szögek Szög: - a síkot egy pontból kiinduló 2 félegyenes 2 szögtartományra bontja. - ha másként nem rendelkezünk a 2 szögtartomány közül mindig a kisebbet tekintjük. Szögfajták: Nullszög Hegyesszög Egyenes szög Homorú szög Derékszög Tompaszög Teljes szög Adott szög jelölése: - görög ábécé betűivel - szög csúcsának megadásával - három nagybetűvel 13. Síkidomok Síkidom: a sík záródó vonallal határolt része Konvex: - domború - egy síkidom bármely két pontját összekötő szakasz minden pontja a síkidomban van. - minden háromszög konvex, - sokszög esetén minden szöge egyenesszögnél kisebb, - egy vágással két darabra esik a síkidom. Konkáv: homorú, ami nem konvex. Sokszög: olyan síkidom, melyet szakaszok határolnak Csúcs: két szomszédos oldal találkozása Oldal: két szomszédos csúcsot összekötő szakasz Átló: két nem szomszédos csúcsot összekötő szakasz

6 14. Háromszög Olyan síkidom, amelynek 3 csúcs, 3 oldala, 3 szöge van. - belső szögeinek összege 180 o - külső szögeinek összege 360 o Csoportosításuk: 1. Oldalai szerint a. általános háromszög b. egyenlő szárú háromszög c. egyenlő oldalú vagy szabályos háromszög 2. Szögei szerint a. hegyesszögű háromszög b. derékszögű háromszög c. tompaszögű háromszög Elnevezések a háromszögre vonatkozólag: magasság: csúcsból a szemközti oldalra bocsátott merőleges szakasz hossza 15. Négyszögek Olyan síkidom, amelynek 4 oldala, 4 csúcsa, 4 szöge, 2 átlója van. - belső szögeinek összege 360 o - külső szögeinek összege 360 o Trapéz Olyan négyszög, melynek van párhuzamos oldalpárja. derékszögű trapéz amelynek van derékszöge egyenlőszárú trapéz (húrtrapéz) amelynek szárai egyenlő hosszúak - van két egyenlő oldala, ezeket szárnak hívjuk - a párhuzamos oldalakat alapnak hívjuk - az alapon fekvő szögek egyenlőek - az átlói egyenlő hosszúak Paralelogramma Olyan négyszög, melynek két-két szemközti oldala párhuzamos. - két-két szemközti oldala egyenlő - szemközti szögei egyenlőek - szomszédos szögeinek összege 180 o - átlói felezik egymást - középpontosan szimmetrikus alakzat Deltoid Olyan négyszög, melynek van olyan átlója, amely a négyszög szimmetriatengelye. - két-két szomszédos oldala egyenlő - átlói merőlegesek egymásra - szimmetria átlója felezi a másik átlót - van két szemközti szöge, ami egyenlő Rombusz Olyan négyszög, melyek minden oldala egyenlő - átlói merőlegesen felezik egymást - szemközti szögei egyenlőek - szomszédos szögeinek összege 180 o - tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus

7 16. Négyszögek Olyan síkidom, amelynek 4 oldala, 4 csúcsa, 4 szöge, 2 átlója van. - egy átló két háromszögre bontja a négyszöget - belső szögeinek összege 360 o - külső szögeinek összege 360 o Kerület: a síkidom oldalainak együttes hosszúsága. Terület: hány egységnégyzettel fedhető le a síkidom. Téglalap Olyan négyszög, amelynek minden szöge egyenlő - két-két szemközti oldala egyenlő és párhuzamos - átlói felezik egymást és egyenlő hosszúak - tengelyesen szimmetrikus K = 2*(a+b) T = a*b Négyzet Olyan négyszög, amelynek minden oldala és minden szöge egyenlő - átlói merőlegesek egymásra - átlói felezik egymást - átlói egyenlő hosszúak - tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus K = 4*a T = a*a 17. Kör (ábra alapján el tudja mondani a definíciókat) Kör (körvonal): egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban. Körlemez (körlap): körvonal által határolt sík rész. Sugár: a kör középpontját a körvonal bármely pontjával összekötő szakasz. Jele: r (rádiusz) Húr: a körvonal bármely két pontját összekötő szakasz. Átmérő: a leghosszabb húr, amely átmegy a körközépponton. Jele: d Szelő: a körvonal két pontján átmenő egyenes. Érintő: olyan egyenes, amelynek egy közös pontja van a körvonallal. 18. Mérés, Mértékegységek, Mennyiségek. Mérés összehasonlítást jelent, méréskor egységet választunk és meghatározzuk, hogy ennek hányszorosa a mérendő mennyiség. A mérés eredményét mennyiségnek nevezzük, amely mérőszámból és mértékegységből áll. Alapegységek: hosszúság méter m tömeg kilogramm kg idő másodperc s űrtartalom liter l A mértékegységek többszöröseit és törtrészeit előtaggal fejezzük ki. tízszeres deka tized deci d százszoros hekto század centi c ezerszeres kilo ezred milli m Hosszúság Terület Tömeg Idő Térfogat Űrtartalom

8 19. Tengelyes tükrözés tulajdonságai 1. Pont képe pont. Tengely felezi a pont és képét összekötő szakaszt. 2. Tengelyen lévő pontok képe önmaga. 3. Pont és képe egyenlő távolságra van a tengelytől távolságtartás 4. Egyenes képe egyenes. Párhuzamos egyenes képe párhuzamos az egyenessel és a tengellyel is. 5. Tengelyt metsző egyenes és képe ugyanabban a pontban metszi a tengelyt, egyenes és tükörképe ugyanakkora szöget zár be a tengellyel - szögtartás 6. Tengellyel párhuzamos egyenes képe párhuzamos a tengellyel és az egyenessel is párhuzamosság tartás 7. Tengelyre merőleges egyenes képe is merőleges a tengelyre és a két egyenes egybeesik merőlegesség tartás 8. Kör képe kör. 9. Tengelyes tükrözés során a körüljárás iránya ellentétesre változik.