5.10. Exponenciális egyenletek A logaritmus függvény Logaritmusos egyenletek A szinusz függvény
|
|
- Lóránd Pásztor
- 9 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1
2 Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok Valós számhalmazok Hatványok Az n gyök Logaritmusok 34 3 Sorozatok, haladványok Sorozatok Számtani haladványok Mértani haladványok 48 4 Függvények A függvény fogalma Műveletek számfüggvényekkel Függvények tulajdonságai Bijektív függvények Függvény grafikus képe A tulajdonságok mértani jelentése 95 5 Sajátos függvények, egyenletek Az elsőfokú függvény Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek Másodfokú függvény Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek Természetes kitevőjű hatvány- függvények Negatív egész kitevőjű hatványfüggvények Gyökfüggvények Irracionális egyenletek Az exponenciális függvény 152
3 510 Exponenciális egyenletek A logaritmus függvény Logaritmusos egyenletek A szinusz függvény Az árkusz-szinusz függvény A koszinusz függvény Az árkusz-koszinusz függvény A tangens függvény Az árkusz-tangens függvény A kotangens függvény Az árkusz-kotangens függvény Komplex számok A komplex számok halmaza Komplex szám algebrai alakja Geometriai megfeleltetés Trigonometriai alak Komplex szám n-ed rendű gyökei Binom és bikvadratikus egyenletek Kombinatorika A kombinatorika alapszabályai Permutációk Az Sn szimmetrikus csoport Variációk Kombinációk Newton binomiális képlete Pénzügyi matematika A pénzügyi matematika elemei A matematikai statisztika elemei Valószínűségszámítás Mátrixok és determinánsok Mátrixok Determinánsok Determinánsok alkalmazásai a mértanban 291
4 94 Mátrix inverze Mátrix rangja Lineáris egyenlet-rendszerek Algebrai struktúrák Műveletek Csoportok Részcsoportok Csoportmorfizmusok Gyűrűk és testek Polinomok Polinomgyűrű Polinom algebrai alakja 346
5 1 A matematikai logika elemei 11 Az ítéletkalkulus elemei Értelmezés Ítéletnek nevezünk egy jól meghatározott dologra vonatkozó kijelentő mondatot, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis Megjegyzés Egy ítélet nem lehet egyidőben igaz is és hamis is és az sem lehetséges, hogy igaz se és hamis se legyen Értelmezés Egy ítélethez egyértelműen hozzérendelhetjük az 1 vagy 0 logikai értéket: ha az ítélet igaz, akkor logikai értéke 1, ha hamis, akkor logikai értéke 0 (itt az 1 és 0 szimbólumokat és nem számokat jelölnek) Jelölés Az ítéletek jelölésére a p,q,r, kisbetűket használjuk Példa Ítéletek: Minden négyzetben van derékszög- igaz, logikai értéke 1; Egy háromszög szögeinek mértékének összege hamis, logikai értéke 0; Az egyenlő oldalú háromszögben az oldalak kongruensek -igaz, logikai értéke 1 Nem ítéletek: x+3=10- nem lehet eldönteni, hogy igaz vagy hamis: létezik olyan x érték, amelyre igaz (x=7) és van olyan x is, amelyre hamis (például az x=1); Egy háromszögben az oldalak kongruensek- az egyenlő oldalú háromszög esetében igaz, minden más esetben hamis 1
6 Ítélet tagadása Értelmezés A p ítélet tagadása a non p ítélet (jelölés: p vagy p), amely igaz, ha p hamis és hamis, ha p igaz Logikai értéktáblázat: p p Megjegyzés A p és ( p) ítéletek logikai értéke megegyezik Szóbeli közlésben a tagadást általában a nem szóval fejezzük ki Példa A p: Kettő plusz három nagyobb négynél igaz ítélet tagadása a p: Kettő plusz három nem nagyobb négynél hamis ítélet Matematikailag ezt így írjuk le: p: 2+3>4, p: A Minden kutya fekete hamis ítélet tagadása a Van olyan kutya, amely nem fekete igaz állítás Ítéletek konjunkciója Értelmezés A p és q ítéletek konjunkciója a p és q ítélet (jelölés: p q), amely csak akkor igaz, ha Logikai érték-táblázat: mind a p, mind a q igaz (ha p q p q p és q közül legalább az egyik hamis, akkor p q hamis) Megjegyzés Szóbeli közlésben a konjunkciót álta lában az és szóval fejezzük ki 2
7 Ítéletek diszjunkciója Értelmezés A p és q ítéletek diszjunkciója a p vagy q ítélet (jelölés: p q), amely csak akkor hamis, ha mind a p, mind a q hamis Logikai érték-táblázat: (ha p és q közül legalább p q p q az egyik igaz, akkor p q igaz) Megjegyzés Szóbeli közlésben a diszjunkciót ál talában a vagy szóval fejezzük ki Értelmezés A p,q,r, egyszerű ítéletekből a,, logikai operátorok véges számú alkalmazásával alkotott új ítéleteket összetett ítéleteknek nevezzük Megjegyzés Az ítéletkalkulus azt vizsgálja, hogy egy összetett ítélet logikai értéke hogyan függ az őt alkotó egyszerű ítéletek logikai értékétől 3
8 2 Valós számok 21 Valós számhalmazok Jelölés N={0,1,2,3,} a természetes számok halmaza; Z={, 3, 2, 1,0,1,2,3,} az egész { számok halmaza; m } Q= m,n Z,n 0 a racionális számok n halmaza; R a valós számok halmaza; I=R\Q az irracionális számok halmaza; N =N\{0}, Z =Z\{0}, Q =Q\{0}, R =R\{0} Megjegyzés N Z Q R, R=Q I, Q I= Az összeadás tulajdonságai asszociativitás: (x+y)+z=x+(y+z), x,y,z R (N,Z,Q); kommutativitás: x+y=y+x, x,y R (N,Z,Q); semleges elem létezése: 0 R úgy, hogy x+0=0+x=x, x R (N,Z,Q); minden egész (racionális, valós) számnak van ellentettje: x Z (Q,R) esetén ( x) Z (Q,R) úgy, hogy x+( x)=0 19
9 A szorzás tulajdonságai asszociativitás:(x y) z=x (y z), x,y,z R (N,Z,Q); kommutativitás: x y=y x, x,y R (N,Z,Q); semleges elem létezése: 1 R úgy, hogy x 1=1 x=x, x R (N,Z,Q); minden nemnulla racionális (valós) számnak van inverze: x Q (R ) esetén 1 Q (R ) x úgy, hogy x 1 =1; x a szorzás disztributív az összeadásra nézve: x(y+z)=xy+xz, (x+y)z=xz+yz, x,y,z R Feladat Igazoljuk, hogy 2 irracionális M Tegyük fel ennek az ellenkezőjét, azaz 2 Q Ekkor léteznek az a,b N, b 0 számok úgy, hogy a a 2=, irreducibilis Az egyenlőség mindkét oldalát négyzetre emelve 2= a2 b 2 a2 =2b 2, így a 2 pá- b b ros a is páros a=2k, k N Behelyettesítve, 20
10 4k 2 =2b 2 2k 2 =b 2, azaz b 2 is páros b is a páros b=2l, l N Mivel a=2k, b=2l, az tört b egyszerüsíthető 2-vel, ez pedig ellentmond feltételezésünknek Tehát 2 nem lehet racionális Oszthatóság Értelmezés Az a egész szám osztható a b egész számmal, ha létezik egy olyan c egész szám, amelyre a= b c Jelölés ab ( a osztható b-vel) vagy b a ( b osztja a-t) Tétel (Maradékos osztás tétele) Ha a N és b N, akkor léteznek és egyértelműek a q,r N számok úgy, hogy a=bq+r és 0 r<b Tétel Ha a,b,c N, akkor ha a b és b c, akkor a c (tranzitivitás); ha a b akkor ma mb, m N ; ha a b és a c, akkor a mb+nc, m,n N Értelmezés Egy p 2 számot prímszámnak nevezünk, ha csak 1-gyel és önmagával osztható (nincs valódi osztója) 21
11 Tizedes törtek Értelmezés Egy a 0,a 1 a 2 a 3 alakú tizedes törṭ véges tizedes tört, ha a tizedesvessző után véges sok számjegy áll; tiszta szakaszos tizedes tört, ha van olyan p N, p 1, amelyre a n+p =an, n 1; vegyes szakaszos tizedes tört, ha van olyan k,p N, p 1, k 2, amelyre a n+p =an, n k Példa Véges tizedes tört: 12,003 Tiszta szakaszos tizedes tört: 13, jel = 13,(248) Vegyes szakaszos tizedes tört: 23, jel = 23,0487(271) Tétel Minden racionális szám átírható véges, tiszta szakaszos vagy vegyes szakaszos tizedes tört alakba Feladat Írjuk tizedes tört alakba a következő közönséges törteket:,, M Elosztva a számlálót a nevezővel, =137:40= 22 40
12 =3,425 (véges tizedes tört), 19 =19:21=0, = 21 0,(904761) (tiszta szakaszos tizedes tört), 433 =433:330=1, =1,3(12) 330 (vegyes szakaszos tizedes tört) Tétel Minden véges, tiszta szakaszos vagy vegyes szakaszos tizedes tört átírható közönséges tört alakba Feladat Írjuk közönséges tört alakba a következő tizedes törteket: 3,25; 1,335; 0,(36); 2,(693); 3,2(35); 1,01(2) M Véges tizedes tört átírása: 3,25=3 25 =3 1 ; 1,335= Tiszta szakaszos tizedes tört átírása: 2,(693)= = 2 77, ,(36)= 36 = Vegyes szakaszos tizedes tört átírása: 1,01(2)= =1 11,
13 3,2(35)= = Értelmezés Az x valós szám egész része az a legnagyobb egész szám, amely kisebb vagy egyenlő x-nél (jelölése: [x]): [x]=k Z k x<k+1 Értelmezés Az x valós szám törtrésze a {x}=x [x] [0,1) szám Feladat Határozzuk meg a szám egész-és törtrészét! M () () , <5 () <25 4<3 2 ()2 16<18 Tehát 4 [ <5, azaz ] =4, { = } 2 = [ 29 3 ] 2 = 24
14 = Értelmezés Az x valós szám modulusza (abszolút értéke) x, ha x 0 pozitív szám modulusza önmaga x = x, ha x<0 negatív szám modulusza a szám ellentettje Feladat Oldjuk meg a 2x x =3 egyenletet! M A modulusz { értelmezése alapján 2x 4, ha 2x 4 0 2x 4 = (2x 4), ha 2x 4<0 = { 2x 4, ha x 2 =, illetve 2x+4, ha x<2 { 5 x, ha 5 x 0 5 x = (5 x), ha 5 x<0 = { 5 x, ha x 5 = 5+x, ha x 5 Az x-nek 2-höz és 5-höz való viszonya szerint három esetet különböztetünk meg I Ha x (,2), akkor 2x 4 = 2x+4 és 5 x =5 x, így az egyenlet: 2x+4+5 x=3 x=2 (,2), tehát M 1 = II Ha x [2,5], akkor 2x 4 =2x 4 és 25
15 5 x =5 x, így az egyenlet: 2x 4+5 x=3 x=2 [2,5], tehát M 2 ={2} III Ha x (5, ), akkor 2x 4 =2x 4 és 5 x = 5+x, így az egyenlet: 2x 4 5+x= =3 x=4 (5, ), tehát M 3 = A megoldáshalmaz M =M 1 M 2 M 3 ={2} A valós számegyenes (számtengely) Értelmezés Valós számegyenesnek nevezünk egy olyan d egyenest, amelyen rögzített az O kezdőpont (origó), a pozitív irány és az egység d 1,4 A( 1,4) 0 O 1 I 2,3 A(2,3) x Ha D jelöli a d egyenes pontjainak halmazát, akkor értelmezhető az f :D R függvény: tetszőleges A D pont esetén legyen f(a) az [OA] szakasz előjeles hossza Ez a függvény bijektív, inverze a g:r D függvény: az x R szám esetén g(x)=a(x), ahol A(x) D az a pont, amelyre OA(x)=x (előjelesen) Ebben a felfogásban az x R szám modulusza úgy értelmezhető, mint az [OA(x)] szakasz hossza 26
16 4 Függvények 41 A függvény fogalma Értelmezés Legyen A és B két nem üres halmaz Azt mondjuk, hogy egy függvényt értelmeztünk az A halmazról a B halmazra, ha az A minden elemének megfeleltettük a B pontosan egy elemét Az A halmazt a függvény értelmezési tartományának vagy doméniumának, a B halmazt a függvény értékkészletének vagy kodoméniumának nevezzük Jelölés Ha f egy függvény A-ról B-re, ezt így jelöljük: f :A B Ha az A halmaz x elemének az y B elemet feleltettük meg, erre az x y f vagy az y=f(x) jelölést használjuk és azt mondjuk, hogy y az x-nek az f általi képe Példa Az A={1,2,3} és B ={5,6} halmazok közt az x f x+4 megfeleltetés nem határoz meg egy függvényt, mert 3 f 7 B Az A={1,2,4} és B =R halmazok közt az x y, ahol y 2 =x megfeleltetés nem határoz meg függvényt, mert az x=1 értéknek a B halmazból nem csak egy elem felel meg: az y 1 =1 B és y 2 = 1 B egyaránt teljesíti az y 1 2 =y2 2 =1 feltételt Az A R +, x y, ahol y 2 =x megfeleltetés egy függvény: 1 1, 52
17 2 2, 4 2 Ha A és B számhalmazok, egy f :A B függvényt számfüggvénynek nevezünk, egy x A szám esetén f(x) neve: az x behelyettesítési értéke Értelmezés Ha f :A B, C A, akkor az f C :C B, f C (x)=f(x), x C függvény az f függvénynek a C halmazra való leszűkítése Példa A g:{1,2,3} {4,5,6,7,8,9}, x x+4 g függvény értelmezési tartománya {1,2,3} és értékkészlete {4,5,6,7,8,9} A behelyettesítési értékek: g(1)=5, g(2)=6, g(3)=7, g { 1,2}:{1,2} {4,5,6,7,8,9}, g { 1,2}:1 5, 2 6 Egy függvényt három elem határoz meg: az értelmezési tartomány (A), az értékkészlet (B) és a hozzárendelési törvény Értelmezés Az f :A B és g:c D függvények egyenlők, ha e három összetevőjük megegyezik, azaz A=C, B=D és f(x)=g(x), x A Példa Az f :R R, x x f és g:r R, x g x 2 függvények egyenlők: értelmezési tartomá nyuk és értékkészletük megegyezik, x = x 2, 53
18 x R Függvények megadási módjai Az f függvény szintetikusan értelmezett, ha az értelmezési tartomány minden x eleme esetén megadjuk a hozzárendelt y B elemet- ezt a fajta megadási módot általában akkor használjuk, ha az értelmezési tartománynak kis számú eleme van: Venn-Euler diagrammal, értéktáblázattal, a függvény grafikonjával Analitikusan értelmezett egy függvény akkor, ha az x A elemnek megfelelő y=f(x) B elemet egy hozzárendelési szabály (vagy valamely egyértelmű tulajdonság) segítségével adjuk meg- ez a szabály leheṭ egy képlettel (szabállyal) értelmezett (ez a leggyakoribb), több képlettel (szabállyal) értelmezett- az értelmezési tartomány diszjunkt részhalmazain különböző képleteket alkalmazunk, rekurziós képlettel értelmezett Példa A mellékelt Venn-Euler-diagram azt az f függvényt jelöli, ahol A={2,6,3}, B ={a,b,c,d}, 2 c, f 3 c, f 6 d; f 54
19 2 6 c 3 x A táblázat azt a g g(x) függvényt jelöli, ahol A={2,3,4}, B ={2,11}, 2 11, g 3 2, g 4 11 g A G h ={(a,3),(b,4),(c,4),(d,5)} grafikon azt a h függvényt határozza meg, ahol A={a,b,c,d}, B ={3,4,5} és a 3, h b 4, h c 4, h d 5 h Az f :(0, ) R, f(x)=x 2 azt az f függvényt jelöli, amely tetszőleges a (0, ) elemnek a négyzetét felelteti meg, például f(3)=3 2 =9, f(11)=11 2 = =121, de f( 5) nem értelmezett, mert 5 (0, ) d b a 55
20 53 Másodfokú függvény Értelmezés Egy f :R R, f(x)=ax 2 + bx+c alakú függvényt, ahol a,b,c R, a 0, másodfokú függvénynek nevezünk Ha =b 2 4ac 0, az f(x)=0 egyenlet gyökei: x 1,2 = b± 2a Értelmezés Egy másodfokú függvény grafikus képét parabolának nevezzük G x 2G y (x 1) 2 G x 2 2 O x 118
21 y G ( x 2 +2) O x G G ( ( x 2 (x 1) 2 ) ) Monotonitás-táblázat x x V = b 2a + a>0, f(x) + y V = 4a + a<0, f(x) y V = 4a 119
22 Előjel-táblázat >0: x x 1 x 2 + a>0, f(x) a<0, f(x) =0: x x 1 = 2a b + a>0, f(x) a<0, f(x) 0 <0: x + a>0, f(x) a<0, f(x) Feladat Az f másodfokú függvény grafikus képe átmegy az A( 1,12), B(1,6), C(3,16) pontokon Határozzuk meg az f monotonitási intervallumait! M Legyen a keresett függvény f :R R, f(x)=ax 2 +bx+c A,B,C G f f( 1)=12, f(1)=6, f(3)=16 Az a b+c=12, a+b+c=6, 9a+3b+c=16 egyenletrendszer megoldása a=2, b= 3, c=7, így f(x)=2x 2 3x+7 Figyelembe véve, hogy a>0 és b = 3, f szigorúan ( 2a 4 csökkenő a, 3 ] intervallumon és szigorúan 4 120
23 [ 3 ) növekvő a,+ intervallumon 4 Parabola megrajzolása A parabola megrajzolásakor a következőket vesszük figyelembe: ha a>0, a parabola szárai felfele, ha a<0, akkor lefele mutatnak; a parabola szimmetriatengelye az x= 2a b függőleges egyenes; ha a>0, a függvénynek minimuma, ha a<0, akkor maximuma van; ( a parabola csúcsa a V 2a b, 4a ) pont; az Oy tengellyel való metszéspont a (0,c) pont; az Ox tengellyel való metszéspont: ha >0, két metszéspont van: (x 1,0) és (x 2,0); ha =0, a parabola érinti az ( ) Ox tengelyt a b 2a,0 pontban; ha <0, nincs metszéspont; tetszőleges x értékekre ábrázoljuk az (x,f(x)) pontokat Feladat Ábrázoljuk az f :R R, f(x)=x 2 3x+2 függvényt! 121
24 M a=1, b= 3, c=2,f(0)=2 G f Oy ={(0,2)}, =1>0, x 1 =1, x 2 =2 G f Ox={(1,0),(2,0)} y O V x ( 3 A parabola csúcsa V, 1 ) 2 4 A grafikus kép szimmetria-tengelye G f G f az x= 3 egyenes, a szárak felfele 2 mutatnak Mindezen adatokat egybevetve megrajzoljuk a grafikus képet Feladat Igazoljuk, hogy az fm(x)=mx 2 +2(m+1)x+m+2, m R parabolacsalád csúcsai az y=x+1 egyenletű egyenesen vannak! M Az fm parabola csúcsa V (x V,y V ), ahol x V = 2(m+1) = m+1, =4, 2m m y V = 4 = 1 A parabola csúcsa akkor van az 4m m y=x+1 egyenletű egyenesen, ha y V =x V +1 1 = m+1 +1 m 1= m m (m+1)+m, ami igaz 122
25 A másodfokú függvény tulajdonságai Értelmezés f :R R, f(x)=ax 2 +bx+c, a,b,c R, a 0 Képhalmaz ha a>0 Imf = [ 4a ),+, a<0 ( Imf =, 4a ] Metszéspontok G f Oy={(0,c)} a tengelyekkel ha >0, akkor G f Ox= {(x 1,0),(x 2,0)}; ha =0, akkor G f érinti az Oxtengelyt a ( 2a b ),0 pontban; ha <0, akkor G f Ox= ; Periodicitás nem periodikus Paritás ha b 0, nem páros, nem páratlan ha b=0, páros, szimmetriatengelye x=0 Folytonosság folytonos görbe Aszimptoták nincs Korlátosság ha a>0, alsó korlát: 4a, felső korlát nincs ha a<0, alsó korlát nincs, felső korlát: 4a 123
Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból
Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.
Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam
Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI
A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam
-- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...
Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés
Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
2. Halmazelmélet (megoldások)
(megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek
1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről
Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését
TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255
TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...
Matematika POKLICNA MATURA
Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve
MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.
9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok
MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára
Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka
Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék
III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1
Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika
Témakörök az osztályozó vizsgához Idegenforgalmi és Informatikus osztályok (9.A/9.B) 1. A halmazok, számhalmazok, ponthalmazok 2. Függvények 3. A számelmélet elemei. Hatványozás. 0 és negatív kitevőjű
Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,
A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:
. Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza.
Matematika Számok, műveletek A természetes számok halmaza: Számhalmazok Ha m és n természetes szám, akkor az m természetes számok halmazán. Példa: 6+x=2. n egyenlet nem feltétlenül oldható meg a Az egész
Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára
Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a
2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )
Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési
Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!
Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április
Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás
12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat
Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.
Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés
5.13. A szinusz függvény Az árkusz-szinusz függvény A koszinusz függvény Az árkusz-koszinusz függvény...
Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 5 13 Halmazok 7 14 A matematikai indukció elve 10 2 Valós számok 13 21 Valós számhalmazok 13
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak
Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.
Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani
MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11.E OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged
Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást
Intergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál
Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek
Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET
COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET 5. osztály 2015/2016. tanév Készítette: Tóth Mária 1 Tananyagbeosztás Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Témakörök:
Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam
Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az
5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész
Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.
MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY
MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.
Analízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?
hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam
HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,
Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február
Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 5 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5
1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó
MATEMATIKA. 5 8. évfolyam
MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni
MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET
MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 10. osztály Heti 3 óra Évi 111 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató Év eleji ismétlés 1. óra: Számhalmazok és számok 2. óra: Algebrai
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika
A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás
A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott
Elsőfokú egyenletek...
1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz
Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam
Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK
MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.
Hiányos másodfokú egyenletek. x 8x 0 4. A másodfokú egyenlet megoldóképlete
Hiányos másodfokú egyenletek Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 1. = 0 /:. = 8 /:. 8 0 4. 4 4 0 A másodfokú egyenlet megoldóképlete A másodfokú egyenletek általános alakja: a
NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin
A matematikai logika alapjai
A matematikai logika alapjai A logika a gondolkodás törvényeivel foglalkozó tudomány A matematikai logika a logikának az az ága, amely a formális logika vizsgálatára matematikai módszereket alkalmaz. Tárgya
Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)
Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0
I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)
MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,
Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam
Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................
MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat
Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK
A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából
A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei a 9. szakközépiskolai osztályban fizikából 2 Minimum követelmények 2 A továbbhaladás feltételei a 10. szakközépiskolai osztályban
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
MATEMATIKA A és B variáció
MATEMATIKA A és B variáció A Híd 2. programban olyan fiatalok vesznek részt, akik legalább elégséges érdemjegyet kaptak matematikából a hatodik évfolyam végén. Ezzel együtt az adatok azt mutatják, hogy
MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam
BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag
Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2.
1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2. alapján 9-12. évfolyam 2 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy
Tanmenetjavaslat 5. osztály
Tanmenetjavaslat 5. osztály 1. A természetes számok A tanmenetjavaslatokban dőlt betűvel szedtük a tananyag legjellemzőbb részét (amelyet a naplóba írunk). Kisebb betűvel jelezzük a folyamatos ismétléssel
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet
Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea
Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
Valószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
1. Halmazok, halmazműveletek, ponthalmazok
1. Halmazok, halmazműveletek, ponthalmazok A) Halmazok Halmaz, halmazhoz tartozás: alapfogalom (bizonyos tulajdonságok, pontok összessége) Egy halmazt akkor tekintünk adottnak, ha minden dologról egyértelműen
MATEMATICĂ ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR ŞI PREŞCOLAR Îndrumător de studiu Codul disciplinei: PLM3309
PREŞCOLAR (ÎN LIMBA MAGHIARĂ, LA SATU MARE) EXTENSIA UNIVERSITARĂ: SATU MARE ANUL UNIVERSITAR: 2015/2016 SEMESTRUL: I. MATEMATICĂ ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR ŞI PREŞCOLAR Îndrumător de studiu Codul disciplinei:
GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)
GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok
LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás
LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László
Matematikai programozás gyakorlatok
VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................
Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint
Egyetemi matematika az iskolában
Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris
Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0
Analízis A differenciálszámítás középértéktételei: 1) Rolle-tétel: Ha f folytonos a korlátos és zárt [a;b] intervallumon, f diffható [a;b]-n és f(a) = f(b), akkor van egy a < c < b belső pont, ahol f'(c)
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 2. forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 010/011-es tanév. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Egy sportversenyen
MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM
MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM SZERZŐK: Veppert Károlyné, Ádám Imréné, Heibl Sándorné, Rimainé Sz. Julianna, Kelemen Ildikó, Antalfiné Kutyifa Zsuzsanna, Grószné Havasi Rózsa 1 1-2. ÉVFOLYAM Gondolkodási, megismerési
Matematika 9. nyelvi előkészítő évfolyam. 1 óra/hét (37 óra) Kiselőadások tartása, interjúk készítése (matematikatörténeti
Matematika 9. nyelvi előkészítő évfolyam Témakörök Gondolkodási és megismerési módszerek Számtan, algebra Összefüggések, függvények, sorozatok Geometria, mérés Statisztika, valószínűség Év végi összefoglaló
Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1
2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz
Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek
Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok
Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =
2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög
MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
Komputer statisztika gyakorlatok
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes
Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor
Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................
Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz
MATEMATIKA 6. Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz Témák 1. Játékos feladatok Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban.
MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények
MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,