MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely június

Átírás

1 MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP /2/a/KMR pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet és a Balassi Kiadó közrem ködésével Készítette: K hegyi ergely és Horn Dániel Szakmai felel s: K hegyi ergely 2010 június 1

2 ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék MIKROÖKONÓMIA I 4 hét Elemzési eszközök 2 rész K hegyi ergely, Horn Dániel A tananyagot készítette: K hegyi ergely Jack Hirshleifer, Amihai lazer és David Hirshleifer (2009) Mikroökonómia Budapest, Osiris Kiadó, ELTECONkönyvek (a továbbiakban: HH), illetve Kertesi ábor (szerk) (2004) Mikroökonómia el adásvázlatok kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: K) felhasználásával Optimalizálás Összes, átlagos és határmennyiségek Összes, átlagos és határmennyiségek Eladott mennyiség: Q Ár: P Bevétel: R = P Q Átlagbevétel: AR = R Q = P Q Q = P Határbevétel: MR = R Q 1 Megjegyzés A szimbólum kis, illetve egységnyi változásokat jelöl 2

3 A fels grakon az R összbevételfüggvényt ábrázolja, az alsó grakon a hozzá tartozó AR átlagbevétel- és M R határbevétel-függvényt A Q = 4 esetén például a teljes bevétel, R = 24 Az alsó grakon AR görbéjének magassága a fels grakonon kivastagított ON szakasz meredekségével egyenl, azaz AR = R/Q = 24/4 = 6, ha Q = 4 Az MR görbe magassága Q = 4 esetén egyenl a teljes bevétel görbéjének meredekségével Ezt az LN és N M meredekségek átlagával közelítjük 2 Megjegyzés FIYELEM! Összmennyiséget (mint amilyen a bevétel az ábra fels grakonján) SOHASE ábrázoljunk azonos grakonon az átlag- és határmennyiségekkel (mint amilyenek az átlagbevétel és a határbevétel az ábra alsó grakonján)! A mértékegységeik ugyanis nem azonosak Az ábra fels részében a függ leges tengely mértékegysége dollár, miközben az alsó részében termékegységre jutó dollár (dollár/termékegység) A C összköltségfüggvényéb l levezethetjük az AC átlagköltséget és M C határköltséget Annál a kibocsátási mennyiségnél, ahol az összköltségfüggvény meredeksége a legkisebb (a fels grakon K pontja), M C minimális Ahol az origóból a görbéig húzott egyenes meredeksége a legkisebb (a fels grakon L pontja), AC a minimumpontjában van Ahol AC csökken, ott MC alatta van AC-nek; ahol AC növekv, ott MC felette van AC-nek 3

4 Pl: Vándorló életmód Az y(s) hozamú gy jtögetési helyeken akkor érik el az optimális s tartózkodási id t, amikor az illet hely határhozama egyenl a teljes t id szakot gyelembe véve számolt y/t átlaghozammal, t = d + s Az egyes helyekhez tartozó átlagos id tehát nemcsak az s tartózkodási id t, hanem az egyik helyr l a másikra vándorlás d holtidejét is tartalmazza 4

5 Diszkrét mennyiségek 3 Megjegyzés Ha csak diszkrét választások lehetségesek, akkor a kibocsátási szint optimuma annál az értéknél található, ahol a lehet legsz kebb következ szakaszon a határbevétel kisebb a határköltségnél, és a lehet legsz kebb el z szakaszon a határbevétel nagyobb a határköltségnél Cikkek Átlagzetés- Határzetés-többlet száma többlet (dollár) (dollár) Matematikailag kicsit precízebben Egy változó esetén Endogén változó: x Az endogén változótól függ összmennyiség: = f(x), f : R R Átlagmennyiség: A = f(x) x f(x) Határmennyiség: M = lim x 0 x = df(x) dx = f Két változó esetén Endogén változók: x 1, x 2 Az endogén változóktól függ összmennyiség: = f(x 1, x 2 ), f : R 2 R Átlagmennyiségek: A 1 = x 1 = f(x1,x2) x 1, A 2 = x 2 = f(x1,x2) x 2, A i : R 2 R; i = 1, 2 Határmennyiségek: M 1 = f(x1,x2) x 1, M 2 = f(x1,x2) x 2 ; M i : R 2 R; i = 1, 2 n változó esetén Endogén változók: x 1, x 2,, x i,, x n Az endogén változóktól függ összmennyiség: = f(x 1, x 2,, x i,, x n ), f : R n R Átlagmennyiségek: A 1 = x 1, A 2 = x 2,, A i = x i,, A n = x n Határmennyiségek: M 1 = f x 1, M 2 = f x 2,, M i = f x i,, M n = f x n Vektorokkal kifejezve Endogén változók: x = x 1 x 2 x i x n Az endogén változótól függ összmennyiség: = f(x), f : R n R 5

6 Átlagmennyiségek: A = Határmennyiségek: M = A 1 A 2 A i A n M 1 M 2 M i M n Mennyiségek közti összefüggések = = x 1 x 2 x i x n ; A : R n R n x 1 x 2 x i x n ; M : R n R n Tegyük fel, hogy az x és y endogén változók közti öszefüggést az y = x 3 6x+x 2 függvény írja le Milyen x érték mellett maximális, illetve minimális y értéke és mekkorák ezek az értékek? Átlag és határmennyiségek közti összefüggések A határnagyság az összmennyiség függvényének a meredeksége Az átlagnagyság az origóból az összmennyiség függvényéhez húzott sugár meredeksége 1 Állítás Ha az összmennyiség növekv, a megfelel határmennyiség pozitív (yakori hiba!) Ha az összmennyiség csökken, a megfelel határmennyiség negatív Ahol az összmennyiségnek maximuma (vagy minimuma) van, a megfelel határmennyiség nulla 2 Állítás Ahol az átlagmennyiség csökken, a határmennyisegnek az átlagmennyiség alatt kell lennie Ahol az átlagmennyiség növekv, a határmennyiség az átlagmennyiség felett lesz Ahol az átlagmennyiség nem csökken es nem is növekv (minimumában vagy maximumában van), a határmennyiség egyenl az átlagmennyiséggel Tegyük fel, hogy az x és y endogén változók közti öszefüggést az y = x 3 6x+x 2 függvény írja le Milyen x érték mellett maximális, illetve minimális y értéke és mekkorák ezek az értékek, ha a függvényt csak a [0; 2] zárt intervallumon vizsgáljuk? 1 Deníció Legyen f(x) S R deriválható függvény, ahol S R n! Legyen továbbá c S bels pontja az S részhalmaznak! Ekkor c stacionárius pontja az f(x) függvénynek, ha f i(c) = 0 i = 1, 2,, n f (c) = 0 6

7 1 Tétel Legyen f(x) S R deriválható függvény, ahol S R n! Legyen továbbá c S bels pontja az S halmaznak! Ha c széls érték helye az f(x) függvénynek az S halmazon, akkor c stacionárius pontja az f(x) függvénynek 2 Tétel Legyen f(x, y) egy S R 2 halmazon értelmezett függvény, amely folytonos els - és másodrend parciális deriváltakkal rendelkezik! Legyen továbbá (x 0, y 0 ) az S halmaz egy bels pontja, amely stacionárius pontja az f(x, y) függvénynek! Ekkor f 11(x 0, y 0 ) < 0 és f 11(x 0, y 0 )f 22(x 0, y 0 ) f 2 12 (x 0, y 0 ) > 0 (x 0, y 0 ) lokális maximum hely; f 11(x 0, y 0 ) > 0 és f 11(x 0, y 0 )f 22(x 0, y 0 ) f 2 12 (x 0, y 0 ) > 0 (x 0, y 0 ) lokális minimum hely; f 11(x 0, y 0 )f 22(x 0, y 0 ) f 2 12 (x 0, y 0 ) < 0 (x 0, y 0 ) nyeregpont; f 11(x 0, y 0 )f 22(x 0, y 0 ) f 12 2 (x 0, y 0 ) = 0 (x 0, y 0 ) lehet lokális minimum vagy maximum vagy nyeregpont is Pl: Legyenek y, x 1 és x 2 endogén változók és a köztük lév kapcsolatot a írja le az y = x 2 1 6x 1 + x 2 2 4x függvény Milyen x 1 és x 2 értékek esetén vesz fel y minimum, illetve maximum értéket és mi ez az érték? 3 Tétel Tegyük fel, hogy f(x, y)-nak és g(x, y)-nak léteznek folytonos parciális deriváltjai az xy-sík egy A tartományában, valamint azt, hogy (x 0, y 0 ) az A egy bels pontja, másrészt, hogy f(x, y)-nak a g(x, y) = 0 feltétel melletti lokális széls értékhelye Tegyük fel továbbá, hogy g 1(x 0, y 0 ), g 2(x 0, y 0 ) közül legalább az egyik nem 0 Ekkor létezik pontosan egy darab olyan λ szám, hogy az (x 0, y 0 ) számpár a Lagrange-függvény stacionárius pontja L(x, y) = f(x, y) λg(x, y) 4 Tétel Legyen f(x, y) és g(x, y) R 2 R folytonosan deriválható függvény, és tegyük fel, hogy a } max(min)f(x, y) g(x, y) = 0 feladat optimális megoldásait keressük Tegyük fel továbbá, hogy (x 0, y 0 ) a feladathoz tartozó Lagrangefüggvény L(x, y) = f(x, y) λg(x, y) stacionárius pontja, valamint hogy g(x 0, y 0 ) = 0 Ekkor L(x, y) konkáv (x 0, y 0 ) a maximalizálási feldat megoldása; L(x, y) konvex (x 0, y 0 ) a minimalizálási feldat megoldása Pl: Legyenek y, x 1 és x 2 endogén változók és a köztük lév kapcsolatot a írja le az y = x 2 1 6x 1 + x 2 2 4x függvény Milyen x 1 és x 2 értékek esetén vesz fel y minimum, illetve maximum értéket és mi ez az érték az x 1 + x 2 = 100 feltétel mellett? 7