Az analízis néhány alkalmazása

Átírás

1 Az analízis néhány alkalmazása SZAKDOLGOZAT Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Szerz : Fodor Péter Szak: Matematika Bsc Szakirány: Matematikai elemz Témavezet : Sikolya Eszter, adjunktus Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi kar Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest, 010

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezet 3. Egyváltozós függvények 4.1. Hozzárendelés megadása Egyváltozós valós függvények Értelmezési tartomány, értékkészlet Grakonok Elemi függvények Dierenciálszámítás Határérték Derivált Geometriai értelmezés Mechanikai értelmezés Közgazdaságtani értelmezés Dierenciálhatóság Dierenciálási szabályok Példa szorzat és hányados deriválási szabályára közgazdaságtanban Példa dierenciálási szabályokra zikában Magasabb rend deriváltak Magasabb rend deriváltak térgörbéknél Integrálszámítás Határozatlan integrál Példa határozatlan integrálra Mechanikai példa Általános integrálási szabályok Határozott integrál Határozott integrál tulajdonságai Példa területszámításra

3 4.8. Ívhossz Forgástestek köbtartalma Forgástestek palástjának felszíne Mechanikai és egyéb zikai alkalmazások Közgazdaságtani alkalmazások Összefoglalás Irodalomjegyzék 41

4 1. Bevezet Szakdolgozatom célja bemutatni az egyik leggyakrabban alkalmazott matematikai szakterület, a matematikai analízis néhány alkalmazását. Mivel a téma teljes bemutatására nem lenne elegend egyetlen szakdolgozat, így csak néhány kiválasztott területet és alkalmazást érintek, legf képpen a két legalapvet bb analízisbeli m velet, a deriválás és az integrálás el fordulásait különböz területeken. Egyéb matematikai ágak közül geometriában, természettudományokon belül zikában, valamint más tudományok közül közgazdaságtanban mutatok be példákat. Ez a három látszólag sokban különböz tudományágban gyakran el fordulnak a matematikai analízis tételei, érzékeltetve annak széleskör felhasználhatóságát. El ször röviden ismertetem a függvényekkel való kapcsolatukat, majd rátérek a dierenciálszámítás és az integrálszámítás néhány alkalmazására. Az analízisbeli tételeket és deníciókat saját jegyzeteim, valamint Obádovics J. Gyula: Matematika, és Sydsæter-Hammond: Matematika közgazdászoknak cím könyvek alapján írtam. A geometriai részeknél saját jegyzeteim mellett Obádovics J. Gyula fentebb említett könyve és Rados Gusztáv: Analízis és geometria cím könyve volt segítségemre. El bbi szintén hasznosnak bizonyult zikai példák terén néhány más jegyzet mellett. A közgazdaságtani részeknél a Sydsæter-Hammond könyvet, valamint a MIT nyitott kurzusait vettem gyelembe. Az ábrákat saját magam készítettem. 3

5 . Egyváltozós függvények.1. Hozzárendelés megadása Állandónak azt a mennyiséget nevezzük, amelynek számértéke a vizsgálat során nem változik, változónak pedig azt, amely a vizsgálat közben különböz értékeket vehet fel. A matematikai analízis a változó mennyiségekkel és a közöttük fennálló összefüggésekkel (függvénykapcsolatokkal) foglalkozik. A változók közötti hozzárendelést különböz módokon is megadhatjuk: Táblázattal, grakonnal, vagy analitikusan (képlettel). Az analitikus módon megadott függvények közül az y = f(x) alakúakat explicit, a g(x, y) = 0 alakúakat implicit, az y = y(t), x = x(t) egyenletrendszerrel megadottakat paraméteres el állítású függvényeknek nevezzük. Egy hozzárendelés táblázattal való megadására példa az 1. táblázat, amely a háztartásoknak nyújtott forint fogyasztási hitelek szezonálisan igazított új szerz déseinek összegét ábrázolja hiteltípus szerinti bontásban 009 októbere és 010 februárja között. 1 [3] 1. táblázat. Hónap 009. okt 009. nov 009. dec 010. jan 010. feb Személyi hitel (milliárd Ft) 11,4 9,60 9,1 9,60 11,97 Grakonnal való ábrázolásra tekintsük példának a hasznossági függvényt, melyet a közgazdaságtan számos területén, leggyakrabban a mikroökonómiai fogyasztáselméletben használnak. A hasznossági függvény matematikai eszközökkel igyekszik modellezni a gazdaság egy szerepl jének bizonyos esetekben a társadalom egészének meghatározott javakhoz kapcsolódó preferenciáit. Egy n változós hasznossági függvény általános alakban így írható fel: U(x) = (x 1, x,..., x n ) Grakonnal ábrázolva n = 1 esetén: 1 Forrás: Magyar Nemzeti Bank honlapja - mnbfile&resourcename=hu0906_fogyasztasi_huf 4

6 1. ábra Képlettel való megadásra zikában rengeteg példát találunk, elég csak az egyenletes mozgás v = s t összefüggésére gondolni, ahol v jelöli a sebességet, s az utat, t az id t... Egyváltozós valós függvények Azt mondjuk, hogy y az x egyérték függvénye, ha x minden lehetséges értékéhez y-nak egy egyértelm módon meghatározott értéke tartozik. Az x lehetséges értékei alkotják a függvény értelmezési tartományát, az y értékek pedig az értékkészletét. Az x a függvény argumentuma, vagyis a független változó, az y a függvényérték, vagy függ változó. A közgazdaságtanban az x-et gyakran nevezik exogén, y-t endogénváltozónak. Az y függ változó és az x független változó közötti függvénykapcsolatot az y = f(x), y = F (x), y = g(x), y = ϕ(x) stb. vagy y = y(x) egyenlettel adjuk meg. Az x = a adott számértékhez tartozó f(a) függvényérték a függvény helyettesítési értéke az a helyen. A függvény jelölésére az f(x), F (x), g(x), ϕ(x) stb. szimbólumokat használjuk, ahol x a független változó. Fizikában gyakran el fordul, hogy az id t tekintjük változónak, amit legtöbbször t-vel jelölünk, így a függvény alakja például: f(t), F (t), stb. A periodikus mozgás például szinusz görbével írható le. Geometriai alakzatok megadásánál, transzformációknál el forduló függvényeknél a változó általában mint koordináta van értelmezve. 5

7 Közgazdaságtani példa függvényre: Tegyük fel, hogy egy termékfajta x darabjának forintban számított el állítási költsége C(x) = 50x x + x. Számítsuk ki a költséget, ha az adott termékb l rendre 9, 16, 5, valamint a darabot állítunk el. Ha abból indulunk ki, hogy a cégünk a darabot termel, akkor számítsuk ki a termelés 1 darabbal való növelésének költségét. Megoldás: 9 darab termék esetén az el állítási költséget úgy kapjuk meg, ha a C(x)-et megadó formulában az x helyére 9-et helyettesítünk: C(9) = = = Hasonlóképpen: C(16) = = = C(5) = = = C(a) = 50a a + a. a + 1 darab termék esetén az el állítási költség C(a + 1), tehát a költségnövekmény: C(a + 1) C(a) = 50(a + 1) a a (50a a + a ) = 50(a + 1) a a 50a a a = 50[(a + 1) a + 1 a a]..3. Értelmezési tartomány, értékkészlet A függvény deniálásakor az értelmezési tartományt is meg kell adni. Például a természetes alapú logaritmusfüggvény (g(x) = ln x) értelmezési tartománya a (0, ) intervallum. A fenti közgazdaságtani példában a C(x) = 50x x + x függvényt a 0, 1,,..., x max számokon értelmeztük, mivel darabszámról volt szó, és ahol x max a termékek el állítható maximális 6

8 száma, avagy x-et folytonos változónak tekintve a természetes értelmezési tartomány a [0, x max ] intervallum. Az adott értelmezési tartományon belül az f függvény által felvett f(x) értékek összességét a függvény értékkészletének nevezzük. Például a természetes alapú logaritmusfüggvény értékkészlete a valós számok, a példában szerepl C(x) = 50x x + x függvényé pedig a 0, 51,..., C(x max ) számok halmaza. A geometriai transzformációs függvények pontokhoz pontokat rendelnek, így ebben az esetben a függvény értékkészlete és értelmezési tartománya felfogható ponthalmazként is..4. Grakonok Az y = f(x) függvényt a Descartes-féle derékszög koordinátarendszerben is ábrázolhatjuk, melynek vízszintes tengelyét x-tengelynek, függ leges tengelyét y-tengelynek nevezzük. A független változó megfelel értékéhez meghatározzuk a függ változó megfelel értékét és így egy pontot kapunk. Az összes ilyen pont által meghatározott megoldáshalmaz a koordinátarendszerben egy görbét ad, aminek a neve az egyenlet grakonja. Az f függvény grakonja azon (x, f(x)) pontok összessége, ahol x a függvény argumentuma és f(x) a hozzá tartozó függvényérték, x pedig végigfut f teljes értelmezési tartományán. Az egyváltozós függvény egy olyan szabály, amely az értelmezési tartományból rendel számokat az értékkészletbeli számokhoz. Egy függvény az értelmezési tartomány bármely x pontjához nem rendelhet egynél több értéket. Ebb l következik, hogy az x-tegely bármely pontján átmen függ leges egyenes a függvény grakonját legfeljebb egy pontban metszheti. Amikor egy empirikus hozzárendelést függvénnyel próbálunk szemléltetni, mérési egységeket kell választanunk az egyes mennyiségekb l. Nem mindegy, hogy az id t órában, vagy percben, a pénzt forintban vagy euróban mérjük. Az emberek különböz mennyiségek közti kapcsolatról alkotott benyomása könnyen befolyásolható más-más mérési egységekkel. A. ábra grakonjai ugyanazt a függvényt ábrázolják, mindkét esetben az id évben, a fogyasztás milliárd $-ban van megadva. 7

9 . ábra Példa grakon transzformálására: Egy adott évben egy x forintot keres polgárnak f(x) = x jövedelemadót kell zetnie. A kormány az adók leszállítására kétféle terv közül választhat: Az els szerint a polgárok még az adó kiszámítása el tt 40 forintot levonhatnak az adóalapjukból. A másik változatban a teljes adózandó jövedelem után kell kiszámítani az adót, majd minden adózó személy 000 forinttal csökkentheti az adó értékét. A két változatot szeretnénk grakusan ábrázolni, és meghatározni azt az x jövedelmet, amelyre ezek ugyanazt az adót eredményezik. 3. ábra A T = f(x) = x adófüggvényb l indulunk ki. Az els változat szerint x az adóalap és 40 a levonás, tehát a csökkentett adóalap x 40, vagyis a bezetend adó (x 40). A T adófüggvény 8

10 grakonját 40 egységgel jobbra tolva kapjuk meg a T 1 = (x 40) grakonját. A másik esetben az eredeti T függvényt 000 egységgel kell lefelé tolnunk, így jutunk a T = x 800 függvény grakonjához. A keresett x jövedelmet az (x 40) = x 000 egyenlet megoldásával kaphatjuk meg, melyb l kijön, hogy x = Elemi függvények Elemi függvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek az elemi alapfüggvényekb l számtani m veletekkel és összetett függvények képzése útján el állíthatók. Az elemi alapfüggvények a következ k: 1. Hatványfüggvények: y = x n alakú függvények, ahol n valós szám.. Exponenciális függvények: y = a x alakú függvények, ahol a pozitív szám. 3. Logaritmusfüggvények: y = log a x alakú függvények, ahol a > 0, de a Trigonometrikus függvények: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x alakú függvények. 5. Ciklometrikus vagy arkuszfüggvények: y = arc sin x, y = arc cos x, y = arc tg x, y = arc ctg x alakú függvények. 9

11 3. Dierenciálszámítás 3.1. Határérték Az a környezetében (a-ban nem feltétlenül) értelmezett y = f(x) függvény határértéke x a esetén (azaz ha x a-hoz tart) A R, ha az x-szel a-hoz közelítve, f(x) A-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis: lim f(x) = A, x a ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre f(x) A < ε, amennyiben x a < δ. Egyoldali határértékek: Bal oldali határérték: Az a bal oldali környezetében értelmezett y = f(x) függvény bal oldali határértéke x a esetén (azaz ha x balról a-hoz tart) A, ha az x-szel balról a-hoz közelítve, f(x) a-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis: lim f(x) = A, x a ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre f(x) A < ε, amennyiben δ < x a < 0. Jobb oldali határérték: Az a jobb oldali környezetében értelmezett y = f(x) függvény jobb oldali határértéke x a + esetén (azaz ha x jobbról a-hoz tart) A, ha az x-szel jobbról a-hoz közelítve, f(x) a-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis: lim f(x) = A, x a + ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre f(x) A < ε, amennyiben 0 < x a < δ. Egy függvénynek pontosan akkor létezik a-ban határértéke, ha az ugyanitt vett jobb és bal oldali határértékek léteznek és megegyeznek. lim x a f(x) = A lim f(x) = A és lim x a f(x) = A x a+ 10

12 Kiterjesztett határértékfogalom: Az a környezetében (a-ban nem feltétlenül) értelmezett y = f(x) függvény határértéke x a esetén (azaz ha x a-hoz tart) +, ha az x-szel a-hoz közelítve, f(x) nagyobb lesz bármely K > 0 számnál. Vagyis: lim f(x) = +, x a ha bármely pozitív K számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre f(x) > K, amennyiben x a < δ. Az a környezetében (a-ban nem feltétlenül) értelmezett y = f(x) függvény határértéke x a esetén (azaz ha x a-hoz tart), ha az x-szel a-hoz közelítve, f(x) kisebb lesz bármely K < 0 számnál. Vagyis: lim f(x) =, x a ha bármely negatív K számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre f(x) < K, amennyiben x a < δ. Végtelenben vett határérték: Az y = f(x) függvény pozitív végtelenben vett határértéke A, ha minél nagyobb x-et véve, f(x) A-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis: lim f(x) = A, x + ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan pozitív K szám, amelyre f(x) A < ε, amennyiben x > K. Az y = f(x) függvény negatív végtelenben vett határértéke A, ha minél kisebb x-et véve, f(x) A-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis: lim f(x) = A, x ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan negatív K szám, amelyre f(x) A < ε, amennyiben x < K. 11

13 Közgazdaságtani példa: Az átlagos x költség a kibocsátás hiperbolikus függvénye, határértéke az x = 0 helyen +, + -ben pedig ábra 3.. Derivált Egy y = ax + b egyenlet egyenes meredekségét az a szám méri, amit az egyenes iránytangensének nevezünk. Minél nagyobb az abszolút értéke, annál meredekebb. Ha negatív, akkor az egyenes balról jobbra haladva lefelé esik, ha pozitív szám, akkor n. Egy tetsz leges függvény meredekségét úgy deniáljuk, hogy adott pontjában az érint meredekségét tekintjük. A függvény egy (x 0, f(x 0 )) pontbeli meredekségét, f (x 0 )-t a függvény x 0 -beli deriváltjának nevezzük. Ha veszünk egy másik pontot a függvény görbéjén (x + h, f(x + h)) koordinátákkal, ahol h egy tetsz legesen kicsi pozitív szám, akkor a két pontot összeköt szel meredeksége: m = f(x 0 + h) f(x 0 ), h amit az f függvény x 0 ponthoz tartozó különbségi hányadosának nevezünk, és aminek határértéke a függvény (x 0, f(x 0 )) pontban vett meredeksége, ha h 0. Ez megadható a következ képlettel is: f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h A deriváltat nem csak érint meredekségeként értelmezhetjük. Egy y = f(x) függvény adott x = x 0 pontban az f(x 0 ) értéket veszi fel. Ha x 0 h-val változik (vagyis x 0 + h-ra), 1

14 értéke f(x 0 + h) lesz, a függvényérték megváltozása így f(x 0 + h) f(x 0 ). Ha leosztunk h-val, megkapjuk az y átlagos megváltozását: f(x 0 + h) f(x 0 ) h Ez f különbségi hányadosa vagy dierenciahányadosa, melynek határértékét véve h 0 esetén ismét f deriváltját avagy dierenciálhányadosát kapjuk. Eszerint f (x 0 )-t értelmezhetjük az f x 0 pontban vett pillanatnyi megváltozásaként is. Az f (x 0 ) f(x 0 ) hányadost pedig f x 0 -beli arányos megváltozásának nevezzük. Egyéb jelölések: Ha y x függvénye, akkor a deriváltjára használható a dierenciál jelölés is: Például: dy dx = dy/dx y = 3x + 4x esetén dy dx = 6x + 4. A t (=id ) függvényében vett derivált jelölésére legtöbbször az ṡ(t) jelölést használják, leginkább zikában. Ugyanitt a mennyiség változását általában t jelöli Geometriai értelmezés 13

15 5. ábra Tekintsünk egy y = f(x), x 0 helyen deriválható függvényt. Húzzuk meg az f(x 0 ) és az f(x 1 ) pontokon átmen s szel t. A szel iránytangense: f(x 1 ) f(x 0 ) x 1 x 0. Az f(x 0 ) ponton keresztül lefektetünk egy olyan ϕ hajlásszög e egyenest, hogy tg ϕ = f (x). Ekkor a φ szög (e és s közbezárt szöge) tetsz legesen kicsi ω szögnél kisebb, ha az x 1 elég közel van x 0 -hoz, vagyis ugyanis: lim φ = 0, x 1 x 0 Forgassuk el az e egyenest az f(x 0 ) pont körül α < ω szöggel pozitív és negatív irányba, e 1, e egyenesekbe. φ 1 jelölje az (e 1, x), φ az (e, x) szögeket(azaz e 1 és e x-tengellyel bezárt szögét). tg φ < f (x 0 ) < tg φ 1. Ha x 0 és x 1 elég közel vannak, a dierenciahányadosra is fennáll az egyenl tlenség: tg φ < f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 < tg φ 1. Tehát az s szel az f(x 0 ) ponttól x tengely menti pozitív irányban (jobbra) az e 1 egyenes alatt, negatív irányban (balra) az e egyenes felett van, így: φ < α < ω. Vagyis lim x1 x 0 φ = 0 azt jelenti, hogy az e egyenes az s szel határhelyzete, ha x 1 x. Ezt a határhelyzetet a függvény grakonjának f(x 0 )-beli értint jének nevezzük. Az x 0 helyen deriválható y = f(x) függvény grakonjának x 0 helyen vett érint jének iránytangense f (x), azaz tg ϕ = f (x). 14

16 3.4. Mechanikai értelmezés Tekintsünk egy egyenesvonalú mozgást végz pontot. A pont által megtett utat jelölje s(t). A t + t id alatt s(t + t) és a t id alatt s = s(t + t) s(t) utat tesz meg. Ekkor felírhatjuk a különbségi hányadost: s t A pont v sebessége a t id pillanatban: = s(t + t) s(t) t s v(t) = lim t 0 t = lim s(t + t) s(t) t 0 t = ṡ(t). A t id közre es átlagos sebességváltozás határértéke a pillanatnyi sebességváltozás, azaz a gyorsulás. Görbe vonalú mozgás esetén a gyorsulásra vektorként tekintünk, a sebességvektor id szerinti deriváltjaként: a = v t, ahol a a gyorsulásvektor ( m ), v a sebesség ( m ), t az id (s). A t pillanatban a gyorsulást tehát s s így kaphatjuk meg: Példa: a = lim t 0 v(t + t) v8t). t A Föld gravitációja közelében, ha a közegellenállás elhanyagolható, a szabadon es testek egyenletesen gyorsulnak. Ezt az állandót nevezzük gravitációs gyorsulásnak, és g-vel jelöljük. Magyarországon az értéke körülbelül 9, 81 m s. meg: Az s = g t útképlet szabadon es test sebességét a következ képpen határozhatjuk s(t + t) = g (t + t) = g (t + t t + t ), s(t + t) s(t) v = lim t 0 t = g lim t t + δt t 0 t g = lim (t + t t + t ) g t t 0 t = g lim (t + t) = gt. t 0 Vagyis a szabadon es test sebessége a t pillanatban v = g t. = 15

17 3.5. Közgazdaságtani értelmezés Mikrogazdaságtanban T C-vel jelöljük a teljes költséget, T R-rel a teljes bevételt, valamint T π-vel a teljes protot, ami el áll a teljes bevétel és a teljes költség különbségeként (T π = T R T C). Ezek deriváltjait határköltségnek (M C), határbevételnek (M R) és határprotnak (M π) nevezzük: teljes költség változása MC = termelés változása teljes bevétel változása MR = mennyiség változása teljes prot változása Mπ = mennyiség változása Ha C(x) = x egység el állításának költsége, akkor a C (x) határköltséget így kaphatjuk meg: C C(x + h) C(x) (x) = lim. h 0 h Nagy mennyiség termék esetén h = 1 "elhanyagolhatóan kicsi", 0-ra kerekíthet. Ebb l a C (x) közelít egyenl tlenséget kapjuk. C(x + 1) C(x) 1 = C(x + 1) C(x) Példa: Egy vállalat egy termékére vonatkozó költségfüggvénye C(x) = x + 5x Miközben x 10-r l 10 + h-ra változik, a változás átlagos mértéke: C(10 + h) C(10) h = (10 + h) + 5(10 + h) + 10 ( ) h = h + h 160 h = 5h + h h = 5 + h Amennyiben h 0-hoz tart, ez az érték 5-höz közelít. Másképpen számolva pedig, C (x) = x+5, melybe 10-et helyettesítve C (10) = 5. További közgazdasági példa a deriváltra a fogyasztási határhajlandóság, amely megmutatja, hogy mennyivel n a fogyasztás, ha a jövedelem egységnyivel növekszik: a fogyasztási függvény jövedelem szerinti els deriváltja. Illetve a munka határtermelékenysége (vagy határterméke), ami azt mutatja meg, hogy mennyivel változik a termelés a munka mennyiségének egy egységgel való növekedésekor, vagyis nem más, mint a termelési függvénynek a munka mennyisége szerinti deriváltja. 16 =

18 A közgazdászok derivált helyett gyakran használnak elaszticitást. Ha f(x) 0 x-ben deriválható függvény, akkor f x pontbeli elaszticitása: van megadva. El x = x f(x) f (x). Az elaszticitást jelölése lehet még El x y vagy ε yx, ha a függvény y = f(x) formában 3.6. Dierenciálhatóság A folytonosság a dierenciálhatóság szükséges (de nem elégséges) feltétele, azonban a valóságban gyakran nem tudjuk megmérni vagy megvalósítani a független változó tetsz legesen kicsi megváltozásait. Bizonyos mennyiségeket csak adott id közönként határoznak meg, napi, havi, vagy éves adatokról is beszélhetünk, valamint gyakran egy függvényt csak egész értékeiben deniálnak. Ezekben az esetekben a függvényt egy másik, közelít függvénnyel helyettesíthetjük, amely már dierenciálható. Például a 6. ábrán a munkanélküliek száma látható Budapesten 000-t l 009-ig (ezer f ben), minden egyes évre [4]. A bal oldali grakonon csak az éves értékek vannak bejelölve, a jobb oldalon pedig ezek már egy dierenciálható függvénnyel vannak közelítve. 6. ábra - A munkanélküliek száma Budapesten (ezer f ) 3.7. Dierenciálási szabályok 1. Konstans függvény deriváltja egyenl 0-val: f(x) = A f (x) = 0, ahol A R konstans. Forrás: Központi Statisztikai Hivatal honlapja - xstadat_eves/tabl6_0_01_0i.html 17

19 . Ha y(x) = f(x) + g(x) és z(x) = f(x) g(x) akkor: y (x) = [f(x) + g(x)] = f (x) + g (x), z (x) = [f(x) g(x)] = f (x) g (x). 3. Ha f és g dierenciálható függvények x-ben, akkor y = f g is dierenciálható x-ben, és y(x) = f(x) g(x) y (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x). 4. Az 1.-b l és a.-b l következik: y(x) = A + f(x) y (x) = f (x), ahol A R konstans. 5. Az 1.-b l és a 3.-ból következik: y(x) = A f(x) y (x) = A f (x), ahol A R konstans. 6. Ha f és g dierenciálható függvények x-ben, g(x) 0, akkor y = f/g is dierenciálható x-ben, és y(x) = f(x) g(x) y (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g(x), ha g(x) Összetett függvény deriváltja: y(x) = (f(g(x))) = f (g(x)) g (x). 8. Hatvány deriválási szabálya: f(x) = x a f (x) = a x a 1, ahol a R konstans Példa szorzat és hányados deriválási szabályára közgazdaságtanban Példa szorzat deriválási szabályára: Tegyük fel, hogy egy adott áru egységnyi id alatt termelt mennyisége és ára is az id (t) függvénye. Legyen x(t) a t id pillanatban vett termelt mennyiség/nap ráta, p(t) pedig az áru t id pillanatbeli ára. 18

20 Ekkor: R(t) = p(t) x(t) a napi bevétel. Ezt lederiválva a következ t kapjuk: Ez a következ képpen értelmezhet : Ṙ = ṗ(t) x(t) + p(t) ẋ(t). Ha p(t) és x(t) is változik, akkor a bevétel változása két dologból tev dik össze: Az egyik az ár változása, amely arányos a termelt mennyiséggel: ṗ(t) x(t), a másik pedig a termelt mennyiség változása, ami az árral arányos: p(t) ẋ(t). Ha ezt elosztjuk a napi bevétellel, akkor megkapjuk a jövedelem arányos mértékét: Ṙ R = ṗ(t) x(t) + p(t) ẋ(t) p(t) x(t) = ṗ(t) p(t) + ẋ(t) x(t). Vagyis a bevétel arányos növekedési mértéke az ár arányos növekedési mértékének és a termelés mennyiségének arányos növekedési mértékének az összege. Példa hányados deriválási szabályára: Tekintsük a q darab termék el állításához szükséges T R(q) teljes bevételt. Az átlagbevételt úgy kapjuk, ha ezt elosztjuk q-val: AR(q) = T R(q). A marginális, vagy határbevétel pedig a teljes bevétel deriváltja (MR(q) = T R (q)). Ha q vesszük az átlagbevétel megváltozását (deriváltját), a következ képletet kapjuk: ( ) d T R(q) = q T R (q) T R(q) = 1 ( T R (q) T R(q) ) = 1 (MR(q) AR(q)). dq q q q q q Ebb l következik, hogy ha a termelt mennyiség pozitív (q > 0), akkor: MR(q) > AR(q) AR(q) n, MR(q) < AR(q) AR(q) csökken, MR(q) > AR(q) AR(q) maximális. Hasonlóképpen bevétel helyett költségfüggvénnyel számolva - ahol T C(q) a teljes költség, T C (q) = MC(q) a határköltség, AC(q) = T C(q) q az átlagköltség - a következ összefüggéseket kapjuk meg: MC(q) > AC(q) AC(q) n, MC(q) < AC(q) AC(q) csökken, MC(q) > AC(q) AC(q) minimális. 19

21 3.9. Példa dierenciálási szabályokra zikában Tekintsük a különböz közegben található A és B pontokat, valamint a közöttük haladó fénysugarat az alábbi ábrán: 7. ábra - Hullámtörés közeghatáron történ áthaladásnál A töréspontot (X 0 -t), valamint a beesési szöget (α b -t) és a törési szöget (α t -t) szeretnénk meghatározni. A hullám haladási ideje: = τ AB = τ AX0 + τ X0 B = s 1 + s = c 1 c a + (X 0 X A ) b + (X B X 0 ) +, c 1 c ahol c 1 a fény terjedési sebessége az els közegben és c a terjedési sebessége a második közegben. A Fermat-elv 3 kimondja, hogy a fénysugár A pontból B pontba mindig olyan úton jut el, amelyen a terjedési id minimális. Tehát ahol Deriválnunk kell tehát a dτ AB = 0. dx 0 a +(X 0 X A ) c 1 + b +(X B X 0 ) c összeget. (Megjegyzés: Széls értékekr l ebben a szakdolgozatban nincs külön fejezet, [] oldalán található b vebb 3 Arthur Schuster, An Introduction to the Theory of Optics, London: Edward Arnold, 1909; 43. oldal - Letölthet verzió: 0

22 információ a függvény minimuma és maximuma, illetve a deriválás kapcsolatáról.) Itt kerülnek el a dierenciálási szabályok. El ször a. szabályt alkalmazzuk: az összeg két tagját külön-külön kell deriválnunk, majd összeadnunk. Els ként tekintsük a +(X 0 X A ) c 1 -t. A c 1 itt konstansnak számít, mivel X 0 szerint deriválunk, így 1 c 1 -et kiemelhetjük az 5. szabály miatt. a + (X 0 X A ) összetett függvény, így a 7. szabály kerül el. A küls függvény a négyzetgyök, amit 1 -ik hatványnak is vehetünk, a 8. szabályt gyelembe véve hajtjuk véve a deriválást. A küls függvény deriváltja tehát 1 1 a. A bels függvényben +(X 0 X A ) a konstans, az 1. szabály miatt elt nik, így (X 0 X A ) -t kell deriválnunk. A négyzetre emelést elvégezve kapjuk, hogy X 0 X 0 X A + X A. Itt X A konstans, a 4. szabály szerint elt nik, a 8. szabály szerint X 0 deriváltja X 0, az 5. szabály értelmében X 0 X A -ból pedig X A lesz. Mindent összevetve azt kapjuk, hogy az összeg els tagjának deriváltja 1 c 1 1 X 0 X A. A szabályokat a +(X 0 X A ) hasonlóképpen alkalmazva a második tagra 1 c 1 X B +X 0 jön ki. τ b +(X B X 0 ) AB deriváltja tehát: dτ AB dx 0 = 1 c 1 X 0 X A a + (X 0 X A ) 1 c X B X 0 b + (X B X 0 ) = 0. Ebb l ha ismerjük v 1 -et és v -t, akkor meghatározhatjuk X 0 -t is. Valamint a két szög szinusza: sin α b = X 0 X A a + (X 0 X A ), valamint sin α t = X B X 0 b + (X B X 0 ). Megjegyzés: Ezekb l a következ összefüggést is megkapjuk (Snellius-Descartes fénytörési törvénye): sin α b sin α t = c 1 c = n 1,, ahol n 1, a két közeg relatív törésmutatója Magasabb rend deriváltak Az y = f(x) függvény deriváltjának deriváltját második deriváltnak vagy második dierenciálhányadosnak nevezik és f (x)-szel, d y -tel vagy d f(x) -tel jelölik. Ezt ismét (vagyis dx dx harmadszorra) deriválva a harmadik deriváltat kapjuk, melynek jelölése f (x), illetve d3 y d 3 f(x). A negyedik deriváltnál a jelölés: f (4) (x), d4 y dx 3 dx 4 vagy dn f(x). Az n-et a derivált rendjé- dx n nek nevezik. Az n-edik derivált jelölése tehát: f (n) (x), dn y dx n vagy d4 f(x) dx 4. dx 3 vagy A t szerinti második deriváltat legtöbbször s-sel szokás jelölni, a t szerinti harmadik deriváltat pedig... s -sel. 1

23 3.11. Magasabb rend deriváltak térgörbéknél Tekintsünk egy r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k görbét. (i, j, k az x, y z irányú egységvektorok.) Feltesszük, hogy r kétszer deriválható. A görbe sebességvektora a pálya érint jének irányába mutat, az érint vektor tehát a görbe deriváltja: ṙ. Az érint irányú egységvektor jelölése: t = ṙ ṙ Az elmozdulás id szerinti második deriváltja a gyorsulás: r. A gyorsulásvektor felbomlik egy érint irányú komponensre, amelynek tangenciális gyorsulás a neve, valamint egy mer leges komponensre, amit centripetális gyorsulásnak nevezünk. A sebesség (ṙ) és a gyorsulás ( r) meghatároz egy síkot, amelyet simulósíknak nevezünk. Ennek egységnyi hosszú normálisa (érintési pontban állított mer legese) a binormális, amely a következ képpen számítható ki: közbezárt szöge.) b = ṙ r ṙ r (Itt a vektriális szorzatot jelöli: a b = a b sin ϕ, ahol ϕ az a és b vektorok Az érint és binormális által meghatározott sík a rektikáló sík. A centripetális gyorsulás irányú vektort f normális vektornak nevezzük, a következ képpen számítható ki: n = r r = b t A t, b, n egymásra mer leges egységektorok, amelyeket kísér triédernek, vagy kísér háromélnek szoktak nevezni. Deniálhatjuk a görbe görbületét (érint irányváltozásának sebességét) is a következ képpen: g = ṙ r ṙ 3 Valamint torzióját (simulósík elfordulásának sebességét): T =... ṙ r r ṙ r

24 (Itt a skaláris szorzatot jelöli: a b = a b cos ϕ, ahol ϕ az a és b vektorok közbezárt szöge.) 3

25 4. Integrálszámítás 4.1. Határozatlan integrál Legyen f egy I véges vagy végtelen intervallumból R-be képez függvény: f : I R. Ekkor az F : I R függvényt az f primitív függvényének nevezzük I-n, ha F dierenciálható I-n és F (x) = f(x) x I-re. Egy f függvény összes primitív függvényeinek halmazát f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölése: f(x)dx. Mivel F = f esetén (F +C) is igaz, ahol C R konstans, így minden integrálható függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, amelyek csak az additív konstansban térnek el egymástól. 4.. Példa határozatlan integrálra Szeretnénk meghatározni azokat a görbéket, amelyek bármely pontjának vett érint jének iránytangense megegyezik a pont x-tengelyen felvett értékével. Ha a görbe egyenlete y = f(x), akkor az érint iránytangense f(x) deriváltja: m = y = f (x). Amit mi keresünk: y = x. ahol C konstans. Meg kell tehát adnunk y-t, itt jön képbe az integrálás m velete: y = x dx = x + C, Mivel x parabola, így a különböz értéket felvev C-k miatt (y-tengely mentén) felfelé és lefelé eltolt parabolasereget kapunk Mechanikai példa Egy pont az id vel arányosan növekv sebességgel egyenesvonalú mozgást végez. Szeretnénk meghatározni egy bizonyos id közben a pont által megtett út hosszát. 4

26 sebessége (v): Mint korábban megállapítottuk, az útfüggvény (s) id (t) szerinti deriváltja a mozgás v = ds dt. A feladat szerint a sebesség arányosan n az id vel: v = k t. Tehát s-nek t szerinti deriváltja adott, mint t függvénye. Ebb l következ en: s = kt dt = kt + C. Egy t = t 1 id pillanatban megtett út s 1 = kt 1 + C, egy t = t id pillanatban megtett út s 1 = kt + C. Vagyis a t t 1 id alatt megtett út s s 1 = k (t t 1 ) Általános integrálási szabályok 1. Homogenitás: af(x) dx = a f(x) dx, ahol a R konstans.. Additivitás: [f(x) + g(x) h(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx h(x) dx. 3. Parciális integrálás: f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx, ahol f(x) és g(x) dierenciálható függvények. 4. Helyettesítéses integrálás: f(x) dx = f[g(t)]g (t) dt. 5. Hatvány integrálása: x a dx = 1 a + 1 xa+1 + C, ha a 1 és a R. 5

27 4.5. Határozott integrál Legyen [a, b] egy R-n értelmezett zárt intervallum. Ezen intervallum felosztásának nevezzük P -t, ha: P = x i : a = x 0 < x 1 <... < x n = b, (n N), ahol x i jelöli az i-edik osztópontot, [x i 1, x i ] az i-edik intervallumot, valamint x i x i 1 az i-edik intevallum hossza, P = max 1 i n (x i x i 1 ) pedig a P felosztás nomsága. Továbbá legyen f : [a, b] R kolátos függvény, t i [x i 1, x i ] (i = 1...n) közbens értékek. Ekkor az f függvény P felosztáshoz és t = (t 1,..., t n ) közbens érték rendszerhez tartozó integrálközelít összeg : s(f, P, t) = n f(t i )(x i x i 1 ). i=1 Az f : [a, b] R korlátos függvény Riemann integrálható az [a, b] intervallumon, ha létezik olyan N R szám, amelyre bármilyen kicsi ε > 0-hoz létezik δ(ε), hogy s(f, P, t) N < ε, ha P < δ(ɛ) minden t = (t 1,..., t n ) közbens érték rendszer mellett teljesül. Ezt az N számot az f függvény [a, b]-n vett Riemann integráljának nevezzük. Jelölése: a f(x) dx Itt a az integrálás alsó, b pedig a fels határa. Ennél a képletnél már meghatározott az additív konstans, ugyanis: a f(x) dx = 0. Tegyük fel, hogy f : [a, b] R folytonos az [a, b] intervallumon és F : [a, b] R az f egy primitív függvénye [a, b]-n. Ekkor a Newton-Leibniz formula: a f(x) dx = F (b) F (a) = [F (x)] b a. 6

28 F (x) = f(x) dx esetén d[f (x)+c] dx = f(x), tehát a határozatlan integrál az x változó függvénye, de a határozott integrál nem függ az x változótól, csupán a b fels és a alsó határ függvénye. Geometriai jelentése: a határozott integrál az x tengely, a függvénygörbe, valamint az x = a és x = b egyenesek által határolt el jeles terület Határozott integrál tulajdonságai 1. Homogenitás:. Additivitás: Af(x) dx = A f(x) dx, ahol A R konstans. [f(x) + φ(x) ϕ(x)] dx = f(x) dx + 3. A határok felcserélésével az integrál el jelet vált: φ(x) dx ϕ(x) dx 4. Ha a < c < b, akkor: f(x) dx = a x=b f(x) dx. f(x) dx = 4.7. Példa területszámításra c f(x) dx + x=c f(x) dx. Szeretnénk meghatározni az x + y a b = 1 ellipszis T területét. Írjuk át a görbe egyenletét x = x(t), y = y(t) paraméteres alakra. következ helyettesítést: y = [f(x)] = y(t), dx = ẋ(t)dt: Vegyük a T = f(x)dx = t t=t 1 y(t)ẋ(t)dt. Az elipszis paraméteres egyenletrendszere x = a cos t, y = b sin t. Elegend az ellipszis negyed területét kiszámítani: dx = a sin t dt, valamint t 1 = π és t = 0. 7

29 Ebb l pedig: T = b sin( a sin t) dt = ab sin t dt = t= π t= π 0 = ab t= π 1 cos t dt = ab T = abπ. [ t ] 0 sin t π = abπ Ívhossz Egy görbe kerületét is meghatározhatjuk a következ módon: Ha az y = f(x) függvény az [a, b] intervallumon dierenciálható, és f (x) [a, b]-n folytonos, akkor a függvénygörbe L ívhossza az intervallumon: L = 1 + (y ) (x) dx. Illetve az x = x(t), y = y(t) (t [a, b]) paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbe esetén az ívhossz: L = t t=t 1 ẋ + ẏ dt. Például ki szeretnénk számolni az x + y kerületét. El ször fejezzük ki y-t: Majd deriváljuk az egyenletet: Ebb l megkapjuk ds-t: ds = 1 + x r x dx = y = r x. y x = r x. r r x dx = = r alakban megadott r sugarú kör r r x dx. Itt is elég egy negyed körívre elvégezni. Legegyszer bb azt az ívet választani, ahol y > 0 és x > 0. Itt a határok: x = 0 és x7r. Így: L 4 = r x=0 r r x dx. 8

30 Vezessük be az x = rt, dx = r dt új változót. Ekkor az új határok t = 0 és t = r r = 1 lesznek. A negyed körív hossza tehát: L 4 = 1 t=0 r 1 r r t dt = t=0 r 1 dt = r 1 t A kör teljes ívhossza ennek négyszerese: L = 4 rπ = rπ. t=0 1 1 t dt = r[arcsin t]1 0 = rπ Forgástestek köbtartalma Legyen t n egy r sugarú, m magasságú egyenes körhenger alpkörébe írt n-szög területe, a megfelel köré írt sokszög területe T n. A t n terület sokszögre szerkesztett m magasságú egyenes hasáb a henger beírt, a T n terület sokszögre szerkesztett, szintén m magasságú egyenes hasáb a henger köré írt hasáb. A beírt hasáb köbtartalma V b = mt n, a köré írt hasáb köbtartalma V k = mt n. A henger köbtartalma legyen V. Ebben az esetben mt n < V < mt n, de lim n + t n = r π, lim n + T n = r π, így V = mr π, tehát azt a jól ismert képletet kaptuk, amely szerint a henger köbtartalma az alapkör területének és a magasságnak szorzata. Ebb l következik, hogy az y = f(x) görbét x-tengely körüli (360 fokos) forgatással el állított forgástest köbtartalma x = a és x = b határok között: V = π y (x) dx. Ha a görbe x = x(t), y = y(t) (t [a, b]) paraméteres egyenletrendszerrel van megadva, akkor dx = ẋ(t) dt, ezért: V = π t t=t 1 y (t)ẋ(t) dt. Tetsz leges zárt felülettel határolt test köbtartalma is meghatározható egy adott S síkkal párhuzamos és attól x távolságra lév metszetének T (x) területének segítségével. Ha a két metsz sík távolsága S-t l a és b. A testet osszuk fel S-t l a = x 0 < x 1 <... < x i <... < x n = b távoságra lév metsz síkokkal. T (ξ i ) alapterület és (x i+1 x i ) magasságú hengerrel adható meg az i-edik 9

31 réteg köbtartalma: T (ξ i ) az x i < ξ i < x i+1 alkalmas megválasztásával. Az egész réteges test köbtartalma: n 1 T (ξ i )(x i1 x i ). i=0 Ennek határértéke a test köbtartalma: V = T (x) dx. Például számítsuk ki az x a keletkezett fél ellipszoid köbtartalmát: V = π a 0 y = b + y b ( ) b 1 x a = 1, x > 0, a, b 0 ellipszisív elforgatásával 1 x a, ebb l: dx = πb [ x x3 3a Forgástestek palástjának felszíne ] a 0 = ab π. 3 Egy y = f(x) (a x b) egyenlettel megadott görbe x-tengely körüli elforgatásával keletkezett forgástest felszíne az ábrán látható csonkakúpok palástjainak felszínének összege: 7. ábra Egy csonkakúp palástfelszíne: πy(x) + πy(x + x F = x + y = ( y ) = π[y(x) + y(x + δx)] 1 + δx. x 30

32 Mivel df dx = πy 1 + (y ) (x) dx, így a teljes test felszínét a következ képpen kaphatjuk meg: = lim x 0 F x F = π y(x) 1 + (y ) (x) dx. Ha az x = x(t), y = y(t) paraméteres egyenlettel adtuk meg a görbét, akkor ds = ẋ + ẏ dt. Ekkor tehát: t F = π y(t) ẋ + ẏ dt. t=t 1 Például az r sugarú gömb felszíne: Forgassuk el az x + y = r kört az x-tengely körül, így megkapjuk a gömböt. Ebb l y = r x, y = x r x, ds = 1 + x r dx = r x r x. A határok x 1 = r, x = r. Vagyis a felszín: F = π r r dx r r x r x = πr x= r x= r dx = πr[x] r r = πr(r) = 4r π Mechanikai és egyéb zikai alkalmazások Fizikában, azon belül mechanikában nagyon sok helyen találkohatunk integrállal. Ezek közül néhány példa: 1. Homogén síkrész els rend vagy sztatikai nyomatéka x-tengelyre: M x = 1 illetve y-tengelyre: M y = y (x) dx, xy(x) dx. Homogén lemez súlypontjának koordinátái: x s = xy(x) dx y(x) dx, y s = 1 y (x) dx. y(x) dx 31

33 Például határozzuk meg az x = a cos t, y = b sin t ellipszis x-tengely feletti fél lapjának a súlypontját. A homogén síkrészre vonatkozó képletek átírhatóak paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbék esetére: M x = 1 alapján abπ, így: 1 ab 0 y (x) dx = 1 t=π t t=t 1 y (t)ẋ(t) dt = 1 0 t=π (1 cos t) sin t dt = 1 ab [ cos t + cos3 t 3 b sin t( a sin t) dt = ] 0 π = 3 ab. Az ellipszis félterülete 4.7 Példa területszámításra cím részben kijött eredmény y s = ab 3 abπ = 4b 3π és x s = 0 az y-tengelyre való szimmetria miatt.. Homogén görbeív els rend vagy sztatikai nyomatéka x-tengelyre: M x = valamint y-tengelyre: M y = Az ívsúlypont koordinátái: y(x) 1 + (y ) (x) dx, x 1 + (y ) (x) dx. x s = x 1 + (y ) (x) dx 1 + (y ) (x)dx, y s = y(x) 1 + y (x) dx 1 + (y ) (x) dx. Például határozzuk meg az y = ch x láncgörbe x 1 = 0 és x = 1 közötti ívének súlypontját. = 1 x=0 M x = ch x + 1 M y = y(x) 1 + (y ) (x) dx = dx = 1 [ sh x 1 x=0 ] 1 + x = 1 [ ] sh x 1 + (y ) (x) dx = 1 x=0 3 ch x 1 + sh x dx = = sh x=0 ch x dx = 3, x 1 + sh x dx = x ch x dx = x=0 1, 4067.

34 1 = [x sh x] 1 0 shx dx = [x sh x ch x] 1 0 = sh 1 ch 1 + ch 0 = e , 631. x=0 L = 1 + (y ) (x) dx = 1 x=0 1 + sh x dx = 1 0 ch x dx = [sh x] 1 0 = sh 1 1, 175. x s = M y L 0, 631 1, 175 0, 5379 és y s = M x L 1, , , A homogén forgástest els rend vagy sztatikai nyomatéka az (y, z) síkra, ha az x-tengely a forgástengely: M yz = π xy (x) dx. A forgástengelyen lév súlypont y-tengelyt l vett távolsága: x s = xy (x) dx y (x) dx. Például forgassuk el az x a + y b meg a keletkezett fél ellipszoid súlypontját. ( ) y = b 1 x. a = 1, x > 0 ellipszisívet az x-tengely körül, majd határozzuk A határok: x = 0 és x = a, ebb l: a ) M yz = π xy (x) dx = πb x (1 x x=0 a dx = πb [ x ] a x4 4a 0 = πb a. 4 A a 4.9 Forgástestek köbtartalma cím részben kijött képlet alapján a fél ellipszoid köbtartalma: V = ab π 3. x s = M yz V πba = 4 ab π 3 = 3 8 a. 33

35 4. Homogén forgásfelület els rend vagy sztatikai nyomatéka az (y, z) síkra, ha az x-tengely a forgástengely: M yz = π xy(x) 1 + (y ) (x) dx. A forgástengelyen lév súlypont y-tengelyt l vett távolsága: x s = xy(x) 1 + (y ) (x) dx y(x) 1 + (y ) (x) dx. Például forgassuk el az y = x parabola (0 x ) ívét az x-tengely körül, majd határozzuk meg a keletkezett forgási paraboloidfelület súlypontját. y = 1 x, ds = 1 + (y ) dx = x dx. M yz = π xy(x) 1 + (y ) (x) dx = π x x x=0 4x Helyettesítéssel: x = t, dx = t dt. dx = π x x + 1 x=0 4 dx. A határok: x = 0 esetén t = 1, x = esetén t = = 3. Vagyis: 3 ( 3 M yz = π t 1 ) [ t t 5 dt = 4π t= t3 1 ] 3 1 4π 1, 417, valamint a 4.10 Forgástestek palástjának felszíne cím részben kijött képlet alapján: 1 F = π x1 + x=0 4x ( dx = π x + 1 ) 1 x=0 4 [ ( dx = π x + 1 ) ] 3 π, 1667, így: x s = M yz F 4π 1, 417, 4834 = 1, π, 1667,

36 5. Folyadékba merített függ leges lemez egyik oldalára ható nyomóer kiszámítása: A γ fajsúlyú folyadékba merített függ leges lemez felszínt l x távolságra lev y x felületelemére γ xy x elemi nyomóer hat. A lemez egyik oldalára ható összes P nyomóer a következ képlettel számítható ki: P = lim n n γx i y i x i = γ i=1 a xy dx. 8. ábra Például tekintsünk egy 3 méter hosszú, 9 méter átmér j, vízszintesen elhelyezett, a feléig vízzel töltött csövet. Szeretnénk meghatározni a víz nyomását a cs tengelyére mer leges zárólapokra (a cs végeit zárják le). Válasszuk a koordinátarendszert a következ módon: 9. ábra Eszerint a zárólapok egyenlete x + y = 9, vagyis y = 9 x, valamint γ = 1000, 35

37 a határok pedig a = 0 és b = 3. Egy zárólapra ható nyomóer : P 1 = x=0 x 9 x dx = [ ] 3 (9 x ) 3 = = 9000, 0 3 a két zárólapra együttesen P = 9000 = kilopascal Közgazdaságtani alkalmazások 1. Valutatartalék Ha F (t) jelöli egy ország devizakészletét a t id pontban és F dierenciálható, az id egység alatti deviza-változás f(t) = F (t). Ha f(t) > 0, akkor a t id pontban nettó devizaáramlás történik az országba, ha f(t) < 0, akkor pedig devizakiáramlás. A devizakészletekben [t 0, t 1 ] id intervallumban történt változás a következ képpen is megadható: Tekintsük az alábbi példát: F (t 1 ) F (t 0 ) = t1 t=t 0 f(t) dt. 10. ábra Az ábrán a t 0 és t pontok között nettó devizabeáramlás, t és t között, nettó devizakiáramlás történik.. Jövedelemeloszlás Jelölje F (r) azoknak a személyeknek az arányát, akik legfeljebb r dollárnyi jövedelemmel rendelkeznek. Vagyis n f s népesség esetén n F (r) az r dollárnyi jövedelm ek száma. 36

38 Legyen r 0 a legalacsonyabb és r 1 a legmagasabb jövedelem. Ekkor az F függvényt szeretnénk meghatározni az [r 0, r 1 ] intervallumban. F itt a meghatározás alapján nem feltétlenül dierenciálható, illetve folytonos. Viszont megfelel en nagy közösség esetén található egy olyan folytonosan deriválható F, ami jó becslést ad a jövedelemeloszlásra. Legyen tehát F deriváltja f, vagyis: f(r) = F (r) minden r (r 0, r 1 ) esetén. A derivált deníciója szerint f(r) r F (r + r) F (r) bármely kicsi r esetén, tehát f(r) r körülbelül azon egyének aránya, akiknek r és r + r közötti a jövedelmük. nevezzük. f-et jövedelems r ségfüggvénynek, F -et pedig a hozzá tartozó eloszlásfüggvénynek Feltesszük, hogy f egy adott népesség folytonos jövedelemeloszlási függvénye, amelynek értékkészlete az [r 0, r 1 ] intervallum. r 0 a b r 1 esetén f(r) dr azon személyek r=a aránya, akiknek a jövedelme az [a, b] intervallumba esik. Következésképpen n f(r) dr pedig r=a azon személyek száma, akiknek a jövedelme az [a, b] intervallumba esik. Szeretnénk azoknak a személyeknek az összjövedelmét meghatározni, akik a és b közötti keresettel rendelkeznek. Jelölje M(r) azoknak az összjövedelmét, akik legfeljebb r dollárt keresnek. Tekintsük az [r, r + r] intervallumot, amelybe körülbelül nf(r) r egyén jövedelme esik bele és ez a jövedelem r, így az összjövedelmük M(r + r) M(r) nrf(r) r. Vagyis: M(r + r) M(r) r nrf(r). Ha r 0, akkor M (r) = nrf(r). Így n rf(r) dr = M(b) M(a), vagyis r=a n rf(r) dr azoknak a személyeknek az összjövedelme, akiknek az egyéni jövedelmük [a, b] r=a intervallumba esik. Az összjövedelem és az [a, b] jövedelemintervallumba tartozó személyek közötti arány ezen személyek átlagjövedelme (m). Vagyis: m = r=a r=a rf(r) dr. f(r) dr A valódi jövedelemeloszlást jól közelíti például a Pareto-eloszlás. dollár jövedelm személyek aránya itt: f(r) = Br β, A legfeljebb r 37

39 ahol B és β konstans és β empirikus becslése, 4 < β <, 6. Ha r 0-hoz közeli, akkor ez nem értelmes β 1-re, mert f(r) dr ha r 0. r=a 3. Jövedelemelosztás befolyásolása Feltesszük, hogy egy társadalom tagjainak egy olyan árut árulnak, aminek a kereslete csak a p ártól és az egyén r jövedelmét l függ. p ár esetén D(p, r) az r jövedelm egyén folytonos keresleti függvénye, valamint a r b, a jövedelemelosztás f(r). Ebben az esetben szeretnénk meghatározni a p áron kínált áru összkeresletét. Legyen T (r) azoknak az összes kereslete, akik legfeljebb r jövedelemmel rendelkeznek. Az [r, r + r] intervallumba körülbelül nf(r) r egyén jövedelme esik, akiknek jövedelme nagyjából D(p, r), ezért összkeresletük nd(p, r)f(r) r. Ez viszont T (r + r) t(r). Vagyis mivel T (r + r) T (r) nd(p, r)f(r) r, így T (r + r) T (r) r nd(p, r)f(r). Ha r 0, akkor T (r) = nd(p, r)f(r). A határozott integrál deníciójából: T (b) T (a) = n D(p, r)f(r) dr. r=a T (b) T (a) a népesség ezen áru iránti (p-t l függ ) összkereslete. x(p)-vel jelölve tehát a teljes kereslet: x(p) = r=a nd(p, r)f(r)dr. 4. Folyamatos jövedelemáramlás diszkontált jelenértéke Tekintsük a bevételt folyamatosnak a t = 0 id pont és a t = T id pont között. t-ben f(t) dollár/év sebességgel. A kamatot r kamatláb mellett folyamatosan t késítjük. Legyen P (t) a [0, t] id intervallumban történ kizetések össz-jelenértéke, vagyis P (T ) pénzmennyiséget kell befektetnünk t = 0-ban, hogy az f(t) jövedelemáram folyamatos befektetését fedezze a [0, T ] intervallumban. Tetsz leges dt szám esetén a [t, t + dt] intervallumban befolyt pénz jelenértéke P (t + dt) P (t). Elég kicsi dt-nél ennek a pénznek a jelenértéke nagyjából f(t) dt, diszkontált 38

40 jelenértéke (P DV - angolul Present Discounted Value) pedig körülbelül f(t)e rt dt. P (t + dt) P (t) f(t)e rt dt, illetve Tehát P (t + dt) P (t) dt f(t) rt. Ha dt 0, akkor P (t) = f(t)e rt. A határozott integrál deníciójából: P (T ) P (0) = T t=0 f(t)e rt dt. Viszont P (0) = 0, így a [0, T ] intervallumbeli, f(t) dollár/év sebesség, folyamatos jövedelemáramlás diszkontált jelenértéke t = 0 id pontban rögzített r kamatlábú folyamatos kamatt késítés mellett: P DV = T t=0 f(t)e rt dt. Ez az egyenlet a [0, T ] id intervallumbeli f(t) jövedelemáram értékét adja meg t = 0- ban. t = T -ben a kamat r kamatláb folyamatos t késítése mellett e rt T t=0 f(t)e rt dt. Az e rt T konstans, így bevihetjük az integrálba: t=0 f(t)er(t t) dt. Ezt nevezzük a jövedelemáramlás diszkontált jöv értékének (F DV - angolul Future Discounted Value). Vagyis: F DV = T t=0 f(t)e r(t t) dt. Az [s, T ] id intervallumban eszközölt folyamatos jövedelemáramlás diszkontált értéke (DV - angolul Discounted Value) t = s id pontban, rögzített r kamatláb esetén, folyamatos kamatt késítés mellett: DV = T t=s f(t)e r(t s) dt. Például határozuk meg az 5 éven keresztül évi 000 dollár jövedelem P DV -jét és F DV -jét évente t késített r = 5% = 0.05 kamat mellett: 5 [ )] 5 P DV = 000e 0.05t dt = 000 ( e 0.05t 0.05 t=0 F DV = e P DV e = (1 e 0.5 )

41 5. Összefoglalás Szakdolgozatom néhány példát mutatott az analízis más tudományágakban való felhasználására, ugyanakkor érdemes megjegyezni, hogy ez csak egy kis szelete volt az ismert alkalmazásoknak. Analízissel kapcsolatban fontos még szót ejteni a függvények maximumés minimumhelyeinek vizsgálatáról, a deriválás és integrálás legtöbb természettudományi és mérnöki eljárásban való el fordulásáról, valamint a parciális dierenciálegyenletekr l. Egy kis ízelít t láthattunk vektoranalízisb l is, ami a geometria és az analízis kapcsolatáról tanúskodik, valamint zikából, ahol mechanikán, h tanon és a szakdolgozatban említett más témákon kívül még rengeteg helyen el fordulnak analízisbeli tételek alkalmazásai a természeti jelenségek leírásában. A gazdasági felhasználások pedig rámutatnak, hogy gyakorlati haszna is lehet ezen tudásnak, akár mindennapjainkban is segíthet döntések meghozatalában. 40

42 6. Irodalomjegyzék [1] Arthur Schuster, An Introduction to the Theory of Optics, London: Edward Arnold, Letölthet verzió: [] Központi Statisztikai Hivatal honlapja xstadat_eves/tabl6_0_01_0i.html [3] Magyar Nemzeti Bank honlapja hu0906_fogyasztasi_huf [4] MIT Open Courses - Course Principles of Microeconomics Fall Lecture 3 [5] Obádovics J. Gyula: Matematika, Kilencedik kiadás, M szaki Könyvkiadó, Budapest, 1974 [6] Dr. Rados Gusztáv: Analizis és geometria, Franklin-társulat, Budapest, 1919 [7] Sydsæter-Hammond: Matematika közgazdászoknak, Aula Kiadó Kft., 1998 [8] Tóth András Kísérleti Fizika jegyzete 007, Budapesti M szaki Egyetem - "Hullámok visszaver dése és törése" 41

43 Köszönetnyilvánítás Köszönöm Sikolya Eszternek, hogy még az utolsó pillanatokban is id t szánt rám és hasznos tanácsokkal látott el dolgozatomat illet en. Továbbá köszönöm mindenkinek, hogy türelemmel és megértéssel voltak, amíg én a szakdolgozatomat írtam. 4