FELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ

Átírás

1 BABE -BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 9. július. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL FONTOS MEGJEGYZÉS: ) Az A. részben megjelen feleletválasztós feladatok esetén egy vagy több helyes válasz lehet, melyeket a felvételiz k a vizsgalap mellé kapott speciális nyomtatványra kell bejelöljenek. Ezeknek a feladatoknak a pontozása a felvételi szabályzatában megfogalmazott parciális pontozási rendszer szerint történik. ) A B. részben megjelen feladatok esetén a teljes megoldás leírása szükséges. Ezeket a feladatokat a javítók a megadott javítókulcsnak megfelel en pontozzák.. (6 pont) Minden n N esetén legyen Ekkor az S 9 értéke A. RÉSZ S n (3n ) (3n + ). A ; B ; C ; D (6 pont) Ha log x (x + x) + log x (x + ), akkor az x lehet A ; B ; C ; D. x 3. (6 pont) Adottak az A és B mátrixok, ahol x, y, z valós számok. y z Ha AB BA O (a nullmátrix az M (R) halmazból), akkor A nem létezik ilyen B; B egyetlen ilyen B létezik; C x, y, z páros számok; D det B.. (6 pont) A (Z, +, ) gy r ben a ˆ3(x + ˆ) ˆ9 egyenletnek A pontosan megoldása van ; B minden megoldása invertálható (Z, +, )-ben ; C pontosan 3 megoldása van ; D nincs megoldása. tg x x 5. (6 pont) Legyen l lim x sin 3. Mely állítások igazak az alább felsoroltak közül? x A Az l racionális szám. B Az l határérték nem létezik. C l /3. D l. 6. (6 pont) Az f : R R függvényt az { ae f(x) x + b + e x, ha x x, ha x > képlettel értelmeztük, ahol a, b R paraméterek. Legyen x. Mely állítások igazak az alább felsoroltak közül? A Végtelen sok olyan (a, b) számpár létezik, amelyre az f folytonos az x -ban. B f deriválható x -ban (a és b ). C f folytonos x -ban a + b. D f deriválható x -ban (a és b ).

2 7. (6 pont) Az f : R R függvényt az f(x) (x x + 6)e x képlettel értelmeztük. Ekkor A f csökken a (, ] intervallumon és növekv a (, + ) intervallumon ; B inexiós pontja f-nek ; C f szigorúan növekv az R halmazon ; D f konvex az R halmazon. 8. (6 pont) Az π/ dx + sin x integrál értéke A π ; B ; C π ; D. 9. (6 pont) Az ABCD rombuszban AB és m(ĉ) 6. Ekkor az AD AB + AC BD összeg értéke A 7; B 7 3; C 3; D 7( + 3).. (6 pont) Az ABC háromszögben BC a, m(â) 3 és m( B) 5. Ekkor az ABC háromszög területe A a ( 3 ) ; B a ( + 3) ; C a ( 3 + ) B. RÉSZ. ( pont) Számítsuk ki a következ határértékeket: k (a) lim n n + k ; k (b) lim n n + k. k k ; D a 3.. ( pont) Az xoy Descartes-féle koordináta-rendszerben adottak az A(, ) és B(, 3) pontok, valamint a d: x y egyenes. (a) Bizonyítsuk be, hogy a d egyenes átmegy az [AB] szakasz felez pontján! (b) Határozzuk meg azoknak a C pontoknak a koordinátáit, amelyekre az ABC háromszög területe egyenl 3-mal, és az ABC háromszög egyik oldalfelez je a d egyenesen helyezkedik el! 3. ( pont) Adott a { } z z G z z, z C M (C) z halmaz, ahol z a z komplex szám konjugáltját jelöli. (a) Bizonyítsuk be, hogy G részcsoportja az (M (C), +) csoportnak! (b) Szerkesszünk egy injektív csoportmorzmust a (C, +) és (G, +) csoportok között! MEGJEGYZÉS: Minden feladat kötelez. Minden részvev nek pont jár hivatalból. A munkaid 3 óra.

3 Válaszok és megoldások A. RÉSZ esetén Válaszok:. C ;. A ; 3. B, C, D ;. C ; 5. A, C ; 6. A, B, C ; 7. C, D ; 8. D ; 9. A ;. B. Megoldások:. Minden k N esetén teljesül az k(k+3) 3 k k+3 összefüggés, ezért minden n N 3S n n 3n + 3n +. Innen következik, hogy S n n 3n+ minden n N esetén, vagyis S Az egyenletben megjelen logaritmusok létezési feltételeib l következik, hogy x (, ) (, ). A logaritmus tulajdonságai alapján az el bbi halmazon az egyenlet ekvivalens az log x(x + ) + + log x (x + ) egyenlettel, és innen el bb a log x (x + ), majd pedig az x x + összefüggéshez jutunk. Tehát az egyenlet egyetlen megoldása x. 3. Az AB BA O mátrix-egyenletekb l az y x z x + x + y x + z y z y + z ekvivalens egyenleteket kapjuk. Megoldva ezeket az ( egyenleteket, ) következik, hogy x, y és z az egyetlen megoldás, tehát egyedül B lehetséges.. A megadott egyenlet rendre ekvivalens a következ kkel: ˆ3(x + ˆ) ˆ9 ˆ3x + ˆ6 ˆ9 ˆ3x ˆ3 ˆ ˆ3(x ˆ) ˆ. Az utóbbi egyenl ség akkor és csak akkor teljesül, ha x ˆ {ˆ, ˆ, ˆ8}, tehát a megoldáshalmaz M {ˆ, ˆ5, ˆ9}. A kapott megoldások közül ˆ9 nem invertálható a (Z, +, ) gy r ben. 5. A l'hôpital-szabály alapján l lim x cos x 3 sin x cos x lim x cos x 3 sin x cos 3 x lim x 3 cos 3 x Írhatjuk, hogy lim f(x) a + b + f() és lim f(x). Innen következik, hogy f x x akkor és csak akkor folytonos x -ban, ha a + b, tehát végtelen sok olyan (a, b) számpár létezik, amelyre f folytonos x -ban. Ugyanakkor f deriválható az R \ {} halmazon, valamint { f (x) ae x e x, ha x <, f (x) x, ha x >. Innen következik, hogy lim f (x) a és lim f (x). Feltételezve, hogy a+b (vagyis, x x hogy f folytonos -ban), a Lagrange-féle középérték-tétel egyik következménye alapján f b ()

4 a és f j (). Ezért f akkor és csak akkor deriválható x -ban, ha a + b és a, vagyis ha a és b. 7. A feltételekb l következik, hogy f (x) (x x + )e x >, minden x R esetén, valamint f (x) x e x, minden x R esetén. 8. Elvégezve a tg x t helyettesítést a határozott integrálban, írhatjuk, hogy π/ dx + sin x + t +t + t dt dt ( + t) + t. 9. Az ABCD rombuszban m( BAD) 6 és az átlók mer legesek egymásra. Ha O jelöli az átlók metszéspontját, a skalárszorzat értelmezése alapján AD AB + AC BD AD AB cos( BAD) + AC BD cos(âod) Mivel m(ĉ) , ezért az ABC háromszögben a szinusz-tételb l következik, hogy a sin A c sin C a c c a. Az ABC háromszög területe T (ABC) a c sin B a sin(6 +5 ) a ( + ) 3 a ( + 3).

5 B. RÉSZ Megoldások és javítókulcsok:. (a) Legyen a n n k (3 pont) Írhatjuk, hogy k n + k. a n n k ahol az f : [, ] R függvényt az f(x) k/n + (k/n) σ(f, n, ξ n ), x + x képlettel értelmeztük, n a [, ] intervallumnak a n (, /n, /n,..., ) felosztása, valamint ξ n (/n, /n,..., ) P ( n ). Megjegyzés. Azok a felvételiz k, akik nem adták meg a függvényt, a felosztást és a közbees pont-rendszert, pontot kapnak a fenti 3-ból. ( pont) Mivel n /n, ha n, következik, hogy lim a n f(x) dx. Megjegyzés. Ha nem jelenik meg a megoldás során, hogy n /n, ha n, nem jár ez az pont. (3 pont) Az el bbiek alapján lim a x n dx + x. + x (b) Legyen b n k n k n. Írhatjuk, hogy + k és hasonlóan ( pont) Mivel lim ( pont) b n n k k n + n n + ( pont) b n n(n + ) n n + lim k k n(n + ) n n + n. n(n + ) n n +, n(n + ) n n + n, a fogó tétele alapján lim b n /.. (a) ( pont) Az [AB] szakasz felez pontja M(3, ). ( pont) Az M pont koordinátái teljesítik a d : 3 egyenes egyenletét. (b) ( pont) Mivel a d egyenesen helyezkedik el az ABC háromszög egyik oldalfelez je, valamint az A és B pontok koordinátái nem teljesítik a d egyenletét (vagy mivel a d átmegy az [AB] szakasz felez pontján), következik, hogy minden megfelel C pont a d egyenesen helyezkedik el. ( pont) Legyen C(c, c ). Innen következik, hogy c c c c +. ( pont) Az ABC háromszög területe 3, ahol 3 c + c. ( pont) Az el z összefüggésb l 6c +6 6 c +, vagyis c vagy c. ( pont) Összefoglalva a kapott eredményeket, a C pont koordinátái C(, ) vagy C(5, ).

6 3. (a) ( pont) Mivel Legyen A ( ( z z z z ), B (3 pont) A + B (3 pont) A ) G, ezért G. z3 z z z 3 G. Írhatjuk, hogy z + z 3 z + z z + z z z z + z 3 3 z + z z + z z + z 3 G, z z z z z z ( z ) z G. Az el bbiek alapján G részcsoportja az (M (C), +) csoportnak. Megjegyzés. Más gondolatmenetet követve, G részcsoportja a (M (C), +) csoportnak [G, A B G minden A, B G esetén] [G stabil része a (M (C), +) halmaznak és (G, +) csoport]. (b) ( pont) Legyen f : C G, f(z) ) G minden z C esetén, tehát f jólértelmezett. ( pont) f injektivitásának az ellen rzése. ( pont) Minden z, z C esetén z + z f(z + z ) z + z z + z z + z ( z z ezért f csoportmorzmus is. z z minden z C esetén. Észrevesszük, hogy z z z + z f(z ) + f(z ), Megjegyzés. Léteznek más injektív csoportmorzmusok is a (C, +) és (G, +) csoportok között, például: z z z f(z) z vagy f(z) z z.