Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Átírás

1 Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

2 Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3}, B = { : 2 = 25, 3 = 2 }. Igaz-e, hogy A = φ és B = φ..2. Feladat. Adja meg elemeik felsorolásával az A = { : ( 2)( 2 9) = } halmazt..3. Feladat. Legyen A = {, y, z}, B = {, y}, C = {, y, w}. Melyik állítás igaz melyik hamis: a) B C; b) C A; c) A = C..4. Feladat. Legyen adott az alaphalmaz H = {a, b, c, d, e, f, g} és a részhalmazai: A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e, g}, C = {b, e, f, g}. Végezze el a kijelölt m veleteket: a) A C, b) B A, c) C \ B, d) B H C, e) B C..5. Feladat. Igazoljuk a de Morgan-féle azonosságot: A B = A B..6. Feladat. Igazoljuk, hogy: A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)..7. Feladat. Teljes indukcióval bizonyítsuk be: a) (2n ) = n 2 minden n természetes számra; n b) k(k + ) = n minden n természetes számra; n + k=

3 F8. Határozza meg a megoldáshalmazt: a) = 2; b) F9. Vázolja az alábbi függvények grakonját: a) f() = + 7, R; b) f() = 2 + 3, R \ {}. F. Írja fel az g f és a f g kompoziciót a következ függvények esetében: a) f() =, g() = 2 ; b) f() = 2, g() =. 2. Valós számsorozatok konvergenciája 2.. Feladat. A sorozatok határértéké deniciójá alapján számítsa ki:. lim n + 2n 3 2. lim 2n lim n 3 4. lim = n Feladat. Számítsa ki a sorozat határértékét:. a n = n2 + 3n n 2 + 5n 2 3. a n = 5(n ) 3 + (n + ) 2 (n(n + ) 2 + (n 2)(n + 3) 5. a n = 3n2 n n + 2 n 5 + n 2. a n = 2n2 + 4n + 5 n a n = 2n n 4n2 + 4n a n = n( n n + ) 7. a n = 4 n(n n 2 + ) 8. a n = n 3 n n 3 + 2n 6n 2

4 9. a n = 3n + 3n n + n. a n = 23n 27 n 3 2 3n + 2 2n+. a n = 8 n n n 4 n 2 3n + 2 2n Feladat. A közrefogási elv segítségével számítsa ki:. lim n 5n 2. lim n n lim n n! 4. lim n! n n 2.4. Feladat. Számítsa ki a (a n ) bn tipusú sorozatok határértékét!:. a n = ( 2 ) 2n 2. a n = n + ( n + 3 n ) n a n = ( n 2 ) 2n n 2 ( 3 n + 2 n 4. a n = 3 n 2 n ) 3 n Feladat. Feladatok gyakorlásra: ( (n 2 ) n+3 + 2n + 3. lim n 2 + 2n + 4n n ) + 2n 2 =? ( 2. lim n 3 + n 3 n 3 2 ) ( ) 3n 3 2n+ n 3 =? 3n + 4 ( 3. lim ( n + n + 2)( + ( n 2 ) ) n n) + n 2 =? 2 4. lim ) ( 2n n 3 4 ) ( 9n 2 + n n 2 n 2 3 ( n n lim ( 9n n 2 + n + 3 ( 6. lim n 2n 2 n + n n 6 n n + 3 n n 2 2n 2 n + 2 n ) 3n 3 4 ) 3n 4 n n 2 =? n n + 3 =? ) (2 ) 5 n+ n 4 4 n 2 n+2 n + 3

5 7. lim n n 2 2 n n + n n =? 3. Függvények határértéke 3.. Feladat. A denició alapján számítsuk ki a következ határértékeket:. lim lim + 3. lim 4. lim 5. lim 2 6. lim 2 7. lim 3 8. lim 3 9. lim 2. lim. lim ( ) Feladat.. A határérték kiszámításának a módszereivel számítsa ki a határértékeket:. lim + 2. lim lim ( 2 + ) 4. lim ( 3 3 ) 5. lim lim lim sin lim tan 4 tan 2 9. lim (sin 2) 2 2. lim cos() 2. lim lim lim ( ) lim + 5 (cos())cot() ( 3 2 ) lim sin() 6. lim lim lim

6 3.3. Feladat. Feladatok gyakorlásra sin ( 2 2 3) cos 2. lim 2. lim ( + sin 2 sin 2) sin(( 3. lim sin 2 4. lim )) =? 5. lim sin 3 + tan 4 tan 4 =? 6. lim (cot ) tan 2 =? π 4 7. lim sin 5 9 tan 3 =? 8. lim tan 2 =? 4. Függvények folytonossága 4.. Feladat. Határozza meg az alábbi függvények szakadási helyeit és azok fajtáját: { sin. f() :=, ha R \ {}, ha = ; 2. f() := { , ha R \ {2, 5}, ha = 2, = 5; 4.2. Feladat. Az α paraméter mely értékei esetén lesz mindenütt folytonos a következ függvény: { α. f() := 2 + 4, ha + 3, ha < ; 2. f() := { 2 sin 2 cos 2, ha < < π/4 2 + α, ha ; 5. Függvények deriváltja 5.. Feladat. A denició alapján számítsa ki a f() = 2,, függvény deriváltját, ott ahol létezik Feladat. Számítsa ki az alábbi függvények deriváltjait: 5

7 . f() = ; 2. f() = ; 3. f() = ; 4. f() = 3 tan ; 5 5. f() = sin 5 cos ; 6. f() = ln + 3e 5.3. Feladat. A szorzatfüggvény derivalási szabályát felhasználva határozza meg f ()-et, ha. f() = 2 cos ; 2. f() = 3 tan ; 3. f() = e ; 4. f() = (2 + 2 ) ln ; 5.4. Feladat. A hányadosfüggvény derivalási szabályát felhasználva határozza meg f ()-et, ha. f() = ; 3. f() = ln ; e 2. f() = ln ; ln 4. f() = 2 ; 5.5. Feladat. Az összetett függvény derivalási szabályát felhasználva határozza meg f ()-et, ha. f() = sin ( 3 ); 2. f() = e 4 ; 3. f() = 3 sin 2 ; 4. f() = sin 2 ; 5. f() = + ; 6. f() = 4 + 5; 7. f() = cos ; 8. f() = tan ( 3 + 3) Feladat. Határozza meg a következ függvények deriváltját:. f() =, > ; 2. f() = (ln()), > ; 3. f() = (sin ) cos ; 4. f() = (tan ) ln. 6

8 5.7. Feladat. Írja fel az f függvény grakonjának az abszcisszájú pontjához tartozó érint egyenesének és normálisának az egyenletét:. f() := sin, = π 4 ; 2. f() := 2 3, = ; 3. f() := tan ln, = ; 4. f() := 2 cos ln, = ; 5. f() := ( 2 + ) ln, = e; 6. f() := + 2, = 2 ; 7. f() := 2, = ; 8. f() := arctan 4, = ; 9. f() := cos2 + sin, = ;. f() := sin 3 +, = ;. f() := e , = ; 2. f() := (arctan ln ) 2, = e; 3. f() := arctan(2 + ), = 2 ; 6. L'Hospital-szabály 6.. Feladat. Számítsa ki a határértékeket: 7

9 2. lim 2 2 ( 3. lim ) e 5. lim 7. lim sin 2 2 ln( + 2 ) 9. lim ln lim cos(6) cos() 3. lim ( + sin )tan lim ln( + 2e ) 7. lim (e ) 2 2. lim e 3 4. lim e 2 ln e lim 4 ( ) 8. lim +. lim e 2 sin(3) e 5 e lim arctan(2) arctan(3) lim tan 2 sin 6. lim ln + 8. lim (e + ) 9. lim (cos 3) 5 7. Függvényvizsgálat 7.. Feladat. Határozza meg a függvény monotonitási intervallumokat és lokális széls értékhelyeit: 8

10 . f() = 2 ( + 2) 2 2. f() = f() = f() = f() = e f() = e f() = e ( ) 2 8. f() = ln( ) 9. f() = ln( ). f() = e (2 + ). f() = e (2 3) 2 2. f() = e Feladat. Határozza meg a függvény konveitási illetve konkávitási intervallumokat és ineiós pontjait:. f() = ln( ) 2. f() = f() = 4 4 ( + ) 2 4. f() = e (5 2) 5. f() = e ( 2 ) 7. f() = f() = ln 8. f() = ( 3) 2 ( + 2) 9. f() = 2 + ln(6 2 ). f() = 2. f() = f() =

11 8. Integrálás 8.. Feladat. Keressük az alábbi függvények primitív függvényeit: ln5 4. sin 3 cos 5. e 3 e sin 2 (4) cos(4) 8. (e 2 + ) 3 e e 3 cos(2) sin(2) 8.2. Feladat. Parciális integrálással keresse meg az alábbi függvények primitív függvényeit:. e sin(2) 3. 3 ln 4. ln 5. ln 5 6. (8 2) sin(8) 7. arcsin 8. arctan 9. e 3 sin(2). sin cos 2. ( + 2) 2 ln( + 2) 2. 2 arctan(4) 8.3. Feladat. Határozza meg az alábbi racionális függvények primitív függvényeit:

12 ( + ) 5 3. ( 2) ( 2) ( 2)( + 4) ( + )( + 3) ( + )( + 2) ( 2 + 2)( 3) 8.4. Feladat. Helyettesítéses integrálással keresse meg az alábbi függvények primitív függvényeit: e 3 + e 6. + e + e 2

13 7. e e 6 + e 3 8. e6 + 3 e sin + cos cos. 2. sin sin Feladat. Határozza meg az alábbi határozott integrálok értékét: π d 2. (3 + 4) 3 e d 4. e e 2 cos 2d d d. e d + e ln( + )d 2 2 e d 3 ln( 2 )d e 2 e 2 + e d 2