Függvény differenciálás összefoglalás

Átírás

1 Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a húrok átmennek érintőbe. Def: húr iránytangense f f(a + ) f(a) f(a + h) f(a) f() f(a) (a) érintő iránytangense h h a a Az f deriválható a-ban, ha a fenti határérték létezik, és véges. Ekkor f (a) R az f függvény a pontbeli deriváltja (differenciálhányadosa). (Jobb és baloldali derivált ugyanígy definiálható, jobb és baloldali határérték felhasználásával.) Tétel: f () akkor és csak akkor létezik, ha a jobb és baloldali deriváltak léteznek, és ezek egyenlők. Def: Az f függvény deriválható (differenciálható) egy intervallumon, a minden pontjában differenciálható. Tétel: Ha egy függvény differenciálható egy pontban, akkor ebben a pontban folytonos is. (Tehát a deriválhatóság erősebb. Pl: függvény a pontban folytonos, de nem deriválható.) Tétel: Az f függvény _ pontbeli érintő egyenesének egyenlete: y f ( )( ) + f( ). Deriválási szabályok: Tétel: Ha f() és g() differenciálható az pontban, akkor f ± g, cf (c R), és f g is differenciálható, illetve ha g() esetén 1 és f is differenciálható valamint: g g (f() ± g()) f () ± g () (cf()) cf () (f() g()) f () g() + f() g () Tétel: Nevezetes függvények deriváltjai: ( n ) n n 1 (e ) e (a ) a ln a (a R) (ln ) 1 (log a ) 1 ln a (cos ) sin (sin ) cos (tg ) 1 cos 2 (ctg ) 1 sin 2 (arccos ) (arcsin ) 1 2 (arctg ) ( 1 g() ) g () g 2 () ( f() g() ) f () g() f() g () g 2 () (f(g())) f (g()) g () (arcctg ) (ch ) sh (sh ) ch (th ) 1 ch 2 (cth ) 1 sh 2 L Hospital szabály: Tétel (L Hospital szabály): Legyen f és g differenciálható az a egy pontozott környezetében, úgy hogy itt g(), g f () és a f() a g(). Ekkor, ha () a g () a f(). g()

2 Tétel (L Hospital szabály): Legyen f és g differenciálható az a egy pontozott környezetében, úgy hogy itt g(), g f () és a f() a g(). Ekkor, ha () a f() g () a. g() Függvényvizsgálat: Def: Az f függvény az -ban lokálisan növekvő, ha -nak van egy kis környezete, melyre igaz, hogy ha >, akkor f( ) > f(), és ha <, akkor f( ) < f(). Def: Az f függvény az -ban lokálisan csökkenő, ha -nak van egy kis környezete, melyre igaz, hogy ha >, akkor f( ) < f(), és ha <, akkor f( ) > f(). Tétel: Ha f differenciálható -ban és 1. f lokálisan nő -ban, akkor f ( ) 2. f ( ) >, akkor f lokálisan nő -ban. Tétel: Differenciálható függvény esetén lokális szélsőérték létezésének 1. Szükséges feltétele: f ( ) 2. Elégséges feltétele: a. f () és f () előjelet vált -ban b. f () és f ( ). (f ( ) > esetén lokális minimum, f ( ) < esetén lokális maimum van) Def: Az f függvény -ban konve, ha -nak van egy kis környezete, melyre igaz, hogy a környezet bármely két függvénypontját összekötve a húr a függvénygörbe felett halad. Def: Az f függvény -ban konkáv, ha -nak van egy kis környezete, melyre igaz, hogy a környezet bármely két függvénypontját összekötve a húr a függvénygörbe alatt halad. Tétel: Kétszer differenciálható függvény esetén infleiós pont szélsőérték létezésének 1. Szükséges feltétele: f () 2. Elégséges feltétele: a. f ( ) és f előjelet vált -ban b. f ( ) és f ( ) Mintapéldák: 1. A definíció segítségével határozzuk meg a derivált függvény értékét az adott pontban! a. f() 2, f (5)? f() f(a) A derivált értéke az a pontban megkapható a a a ( 5)( + 5) f() f(5) 5 5 Tehát f (5) 1. b. f() 4 + 5, f (1)? határértékkel. Tehát: f() f(a) A derivált értéke az a pontban megkapható a a határértékkel. Tehát: a f() f(1) ( )( ) ( )( ) ( 1)( ) ( 1)( ) (4 + 5) 3 2 ( 1)( ) 4 4 ( 1)( ) 4( 1) ( 1)( ) Tehát f (1) 2 3.

3 2. Milyen a és b esetén lesz a függvény a teljes számegyenesen differenciálható? 6 ha < 1 a. f() { 2 +1 a b ha különben Első körben vizsgáljuk a folytonosságot, hiszen a differenciálhatóság feltétele a folytonosság. A két darab külön-külön folytonos, hiszen a racionális törtfüggvény folytonos, kivéve a nevező nullhelyén (ami itt nincs), illetve az egyszerű polinom függvény is folytonos. Tehát csak az illesztési pontban kell vizsgálnunk a határértéket és függvényértéket: f() a b a b + + f() f(1) a 1 b a b A folytonossághoz az szükséges, hogy a fenti három megegyezzen. Tehát a b 3. Nézzük ez után a deriváltat: Tehát f () { 6 ( 2 + 1) 6 (2 + ) ( 2 + 1) 2 12 ( 2 + 1) 2 ha < 1 a a ha 1 f (1) 12 1 (1 + 1) 2 6 f + (1) a Ahhoz, hogy a függvény deriválható legyen a bal és jobboldali deriváltnak meg kell egyeznie. Tehát a 6. Ez alapján pedig 6 b 3, vagyis b 9. cos( π ) ha 1 1 b. f() { a 6 b ha különben a 6 b ha < 1 Legelőször is alakítsuk kicsit át a függvényünket: f() { cos( π ) ha 1 1 a 6 b ha > 1 Ez után vizsgáljuk a folytonosságot, hiszen a differenciálhatóság feltétele a folytonosság. A három darab külön-külön folytonos, hiszen a polinom és cos függvények folytonosak. Tehát csak az illesztési pontban kell vizsgálnunk a határértéket és függvényértéket. Először -1 pontban: f() 1 f() 1 + cos( π ) cos(( π) ( 1)) cos π a6 b a ( 1) 6 b ( 1) ( 1) 2 a b + 2 f( 1) a ( 1) 6 b ( 1) ( 1) 2 a b + 2 A folytonossághoz az szükséges, hogy a fenti három megegyezzen. Tehát a b Nézzük az 1 pontban: f() cos( π ) cos(( π) (1)) cos( π) f() a6 b a (1) 6 b (1) (1) 2 a b + 2 f(1) a (1) 6 b (1) (1) 2 a b + 2 A folytonossághoz az szükséges, hogy a fenti három megegyezzen. Tehát a b (Vizsgálhattuk volna egyszerre a +1 és -1 pontbeli határértékeket, mert a függvény mindkét ága páros függvény.)

4 Nézzük ez után a deriváltat: Tehát a 6 5 b a 5 4b ha < 1 f () { sin( π) ( π) π sin( π ) ha 1 1 6a 5 4b ha < 1 f ( 1) 6 a ( 1) 5 4b( 1) ( 1) 6a + 4b 4 f + ( 1) π sin(( π) ( 1) ) π sin(π) π Ennek a kettőnek meg kell egyeznie, ahhoz, hogy az eredeti függvény deriválható legyen, tehát 6a + 4b 4. Ugyanígy vizsgáljuk a deriváltat a +1 pontban. f (1) 6 a (1) 5 4b(1) (1) 6a 4b + 4 f + (1) π sin(( π) 1) π sin(π) π Ezeknek szintén meg kell egyeznie. Eszerint 6a 4b + 4. (Ez pont ugyanaz, mint az előző feltétel, hiszen csak egy -1 szorzó a különbség.) Tehát a és b-re a következő feltételeket kaptuk: a b és 6a 4b + 4 Ezeket kicsit átalakítva kapjuk a következő egyenletrendszert: 3a 3b 9 és 3a 2b 2. Ezeket ha ezeket kivonjuk egymásból kapjuk, hogy b 7. Tehát b 7, és eszerint a 7 3, tehát a Deriválási szabályok segítségével deriváljuk a következő függvényeket! a. ( ) 2 1 ( ) 1 ( ) ( 2 1) ( ) ( 2 1) ( 2 1) 2 ((5 ) + (3 3 ) (4) + (1) ) ( 2 1) ( ) (( 2 ) (1) ) ( 2 1) 2 ( ) ( 2 1) ( ) (2 ) ( 2 1) 2 ( ) ( 2 1) ( ) (2) ( 2 1) ( 2 1) Magyarázat a lépésekhez: *: Alkalmaztuk a tört deriváltra vonatkozó szabályt: ( f g ) f g f g g 2 **: Mindkét deriválásnál alkalmaztuk az összeg deriváltra vonatkozó szabályt: (f + g) f + g ***: Az összes eset ( n ) típusú. Illetve egy helyen alkalmaztuk, hogy : (cf) cf

5 b. (( 4 + 2) ) (( 4 + 2) ) ( 4 + 2) ( 4 + 2) ( ) (( 4 ) + (2) ) ( 4 + 2) (( ) 1 2) (4 3 + ) ( 4 + 2) (( ) 1 2) (4 3 ) ( 4 + 2) ( 1 2 ( ) 1 2 ( ) ) (4 3 ) ( 4 + 2) ( 1 2 ( ) 1 2 ((1) + (2 3 ) )) (4 3 ) ( 4 + 2) ( 1 2 ( ) 1 2 ( )) ( ) ( (62 )) (4 + 2) Magyarázat a lépésekhez: *: Alkalmaztuk a szorzat deriváltra vonatkozó szabályt: (f g) f g + f g **: Az ( 4 + 2) tagra alkalmaztuk az összeg deriváltjára vonatkozó szabályt (f + g) f + g, valamint a gyököt felírtuk 1 -dik hatványként. 2 ***: Az előbbi összeg tagjai mind ( n ) típusúak. ****: Áttértünk az (( ) 1 2) tényezőhöz. Ez egy összetett függvény. A külső függvény az 1/2, a belső pedig Ezekre alkalmaztuk: (f(g())) f (g()) g (). ***** A megmaradt derivált egy összeg deriváltja, erre megint alkalmaztuk az összeg deriválási szabályát. ****** A tagok deriváltját pedig már könnyen kapjuk az n deriváltja alapján. 7 ctg c. ( 2 5 cos 4 ) π 7 ctg (7 ctg ) (2 5 cos 4 4 ( 2 5 cos 4 ) π ) (7 ctg ) (2 5 cos π (2 5 cos (ctg ) (2 5 cos 4 (7 ctg ) ((2) (5 cos ) ( 4 ) (2 5 cos sin sin 2 (2 5 cos (7 ctg ) ( 5 (cos ) 4 π () ) (2 5 cos 4 2 (2 5 cos 4 (7 ctg ) ( 5 ( sin ) 4 π 1) (2 5 cos 4 2

6 7 (2 5 cos 4 (7 ctg ) sin 2 (5 ( sin ) 4 (2 5 cos 4 2 Magyarázat a lépésekhez: cos 28 π sin 2 (2 5 cos 4 2 (7 ctg ) + (5 sin 4 *: Alkalmaztuk a tört deriváltra vonatkozó szabályt: ( f g ) f g f g g 2 **: Az első deriválásnál alkalmazzuk, hogy: (cf) cf, a másodiknál pedig az összeg deriváltjára vonatkozó szabályt: : (f + g) f + g ***: Ez után használjuk az alap határértékeket, illetve újra a (cf) cf egyenlőséget. ****: Újfent az alap határértékeket használhatjuk. d. ( ) ( ) (e ln ) (e ln ) e ln ( ln ) e ln (() ln + (ln ) ) Magyarázat a lépésekhez: e ln (1 ln + 1 ) e ln (ln + 1) *: típusú deriválásnál érdemes alkalmazni, hogy valamely a esetén e ln a a. **: Logaritmus azonosság szerint ln α α ln ***: Ez után deriváljuk a közvetett függvényt. A külső függvény e a belső pedig ln. Ezekre alkalmazzuk a (f(g())) f (g()) g () ****: Használjuk a szorzat határértékét: (f g) f g + f g 4. Határozza meg az f() 4+3 függvény grafikonját az (ln ) pont felett érintő egyenes egyenletét! a. f() 4+3 (ln ) Az f() függvény ponthoz tartozó érintőjének egyenlete y f ( )( ) + f( ). Ez jelen esetben 1 f(1) (ln 1) f () (4 + 3) ((ln ) 3 + 1) (4 + 3) ((ln ) 3 + 1) ((ln ) 3 + 1) 2 ( + 3) ((ln ) 3 + 1) (4 + 3) (3 (ln ) ) ((ln ) 3 + 1) 2 3 ((ln )3 + 1) (4 + 3) (3 (ln ) 2 1 ) ((ln ) 3 + 1) 2 f (1) 3 ((ln 1)3 + 1) ( ) (3 (ln 1) ) ((ln 1) 3 + 1) 2 3 (()3 + 1) (4 + 3) (3 () 2 1) (() 3 + 1) Tehát az egyenes egyenlete: y 3 ( 1) + 7. Ezt átalakítva: 2y

7 b. f() 1 + sin( e 2+1 ) f() 1 + sin( e 2 +1 ) 1 + sin 1 f () (1 + sin( e 2+1 )) + (sin( e 2+1 )) + cos( e 2+1 ) ( e 2+1 ) cos( e 2+1 ) [1 e e 2+1 (2 + 1) ] cos( e 2+1 ) [e e 2+1 2] f () cos( e 2 +1 ) [e e ] cos( e) [e + ] 1 e Eszerint az érintő egyenlete: y e ( ) + 1. Ezt átalítva: y e Adjuk meg a következő határértékeket! a. 2 (1 e 2 ) cos(π ) (1 e 2 ) cos(π ) L H 2 4 b. (ln ) (tg ( π 2 )) (ln ) (tg (π 2 c. ( 1 1 e 1 ) d. ( 2 e ) sin 5 e. ( 2 ( (e 2 ) 1) cos(π ) + (1 e 2 ) sin(π ) π 2 2 e 2 cos(π ) + (1 e 2 ) sin(π ) π 2 e cos(2π) + (1 e ) sin(2π) π 2 2 )) (ln ) sin ( π 2 ) L H cos ( π 2 ) 1 1 sin (π 2 ) + ln 1 cos (π 2 ) π 2 sin ( π 2 ) π 2 (1 1 e 1 ) ( e 1 (e 1) 7 ) e 1 1 (e 1) + (e ) e 1 e 1 + e ( (1 1) π sin (π 2 ) + (ln ) cos (π 2 ) π 2 sin ( π 2 ) π π 2 1 π 2 π 2 L H (e 1) ) 1 (e (e 1) ) L H e e + e + e 1 2 L H e ) 5 L H (sin 7 ) (cos(5) 5 ) (2 L H ) e e e + 1 e + e ( 2 e ) 2 (sin 5 7 ) sin(5)

8 6. Adja meg azokat a legbővebb nyílt intervallumokat, melyeken f szigorúan monoton nő, illetve szigorún monoton csökken! a. f() 2 (+2) 2 A függvény folytonos, kivéve ott, ahol a nevező nulla, vagyis az 2 pontban. (Itt ugye a függvény nincs értelmezve.) Szélsőértéke ott lehet, ahol a függvény deriváltja. f 1 ( 2) 2( + 2) () ( + 2) 4 ( + 2) 4 6 ( + 2) 4 Ez akkor lehet, ha a számláló, vagyis, ha 6. Tehát szélsőértéke LEHET az 6 pontban, de ezt ellenőriznünk kell. Kétféleképpen tehetjük ezt meg. Vagy a második derivált előjelét vizsgáljuk az 6 pontban, vagy pedig azt, hogy az első derivált előjelet vált-e az 6 pontban. Vizsgáljuk a második deriváltat: f () 1 ( + 2)4 ( 6) 4 ( + 2) 3 1 ( + 2) 4 ( + 2)4 + 4 ( + 6)( + 2) 3 ( + 2) 4 f ( 6) ( 6 + 2)4 + 4 ( 6 + 6)( 6 + 2) 3 ( 6 + 2) 4 ( 4)4 + 4 ()( 4) 3 ( 4) Mivel ez negatív, az eredeti függvénynek -6 helyen lokális maimuma van. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha az vizsgáljuk, hogy milyen az előjele az első deriváltnak. A nevező minden esetben pozitív, így csak a számlálót kell vizsgálnunk. Ha kisebb, mint 6, akkor 6 pozitív. (tehát ott az eredeti függvény ott nő.) Ha pedig nagyobb, mint 6, akkor 6 negatív. (tehát az eredeti függvény csökken.) Vagyis az f valóban előjelet vált, tehát lokális szélsőértéke van. Mivel előtte nő, utána csökken, a szélsőérték maimum. 7. Határozza meg a következő függvény infleiós pontját! a. f() 3 2 Szélsőérték ott lehet, ahol a második derivált értéke nulla. f () f () 6 Tehát szélsőérték ott lehet, ahol 6, vagyis -nál. Azt, hogy itt valóban infleiós pont van-e úgy tudjuk eldönteni, hogy vizsgáljuk a harmadik deriváltat, ami f () 6. Ez természetesen bármilyen esetén pozitív, tehát tényleg infleiós pont van. (Másképp vizsgálhattuk volna a második derivált 6 előjelét. Ez -ban valóban előjelet vált, tehát tényleg infleiós pont van.)