Matematika A1a Analízis

Átírás

1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK 1

2 Tartalom

3 A differenciálhatóság fogalma Pontbeli differenciálhatóság Jobb és bal oldali differenciálhatóság Folytonosság és differenciálhatóság Deriváltfüggvény Differenciálási szabályok Összeg, szorzat, hányados Összetett függvény differenciálása Implicit függvény deriváltja Inverz függvény deriváltja Darboux-tétel Összefoglalás 2

4 A differenciálhatóság fogalma

5 A differenciálhatóság fogalma Pontbeli differenciálhatóság

6 Pontbeli differenciálhatóság D Differenciálhatóság A valós f függvény a c D f pontban differenciálható, ha létezik az f(x) f(c) m = lim x c x c véges határérték. Ekvivalens alak x = c + h helyettesítéssel: f(x) f(c) f(c + h) f(c) m = lim = lim x c x c h 0 h Az m számot az f függvény c-beli differenciálhányadosának vagy c-beli deriváltjának nevezzük és f (c)-vel jelöljük (így kifejezve, hogy m függ f-től és a c helytől is). 3

7 Az előző határérték épp az f grafikonjához húzott (c, f(c))-pontbeli érintő meredeksége. c x x x x 4

8 f y f (c) + ε m = f (c) f (c) ε f(x) f(c) ε > 0 δ > 0 c δ c x c + δ [ 0 < x c < δ x f(x) f(c) x c ] f (c) < ε 5

9 P Az f(x) = e x függvény grafikonjához c = 0-ban húzott érintő meredeksége az e definíciója szerint 1,vagyis f itt differenciálható és a derivált értéke 1. e h e 0 lim h 0 h e h 1 = lim = 1. h 0 h K Az e x függvény tetsz. c R-ben differenciálható, és a derivált értéke e c. e c+h e c lim h 0 h e c (e h 1) = lim = e c e h 1 lim = e c h 0 h h 0 h 6

10 y y 3 x 3 x e x 2 x 2 x x x 7

11 Á Állítás Ha az f függvény differenciálható a c pontban és differenciálhányadosa itt m, akkor érintőjének egyenlete y = f(c) + m(x c). P Írjuk fel az f(x) = x 2 függvény (1, 1) pontbeli érintőjének egyenletét! M Az érintő meredeksége (iránytangense) a differenciálhányados c = 1-ben: f(x) f(1) x 2 1 m = lim = lim x 1 x 1 x 1 x 1 = lim (x + 1) = 2. x 1 Így az érintő egyenlete: y = 1 + 2(x 1), azaz y = 2x 1. 8

12 A differenciálhatóság fogalma Jobb és bal oldali differenciálhatóság

13 Jobb és bal oldali differenciálhatóság D Értelemszerűen módosítva a definíciót: Definíció A valós f függvény a c D f pontban differenciálható jobbról (balról), ha létezik az f(x) f(c) f(c + h) f(c) m = lim = lim x c + x c h 0 + h f(x) f(c) f(c + h) f(c) (m = lim = lim ) x c x c h 0 h véges határérték. Az m számot az f c-beli jobb (bal) oldali differenciálhányadosának vagy c-beli jobb (bal) oldali deriváltjának nevezzük. 9

14 P M P M f(x) = x bal és jobb oldali deriváltja? h 0 h lim = lim = 1 = jobb oldali derivált 1 h 0 + h h 0 + h h 0 h lim = lim = 1 = bal oldali derivált 1 h 0 h h 0 h Mivel a két egyoldali derivált a 0-ban különböző, f nem deriválható a 0-ban. f(x) = x jobb oldali határértéke a c = 0 helyen: h 0 1 lim = lim =, h 0 + h h 0 + h nincs véges határérték, a függvény nem differenciálható jobbról a 0-ban. 10

15 A differenciálhatóság fogalma Folytonosság és differenciálhatóság

16 Folytonosság és differenciálhatóság T Differenciálható függvény folytonos Ha f differenciálható c-ben, akkor ott folytonos is. B lim x c ( f(x) f(c) (f(x) f(c)) = lim x c x c ) (x c) = m 0 = 0, ha m az f differenciálhányadosa c-ben. Így lim f(x) = f(c). x c m Az állítás megfordítása nem igaz: pl. f(x) = x a c = 0 pontban folytonos, de nem diffható. 11

17 A differenciálhatóság fogalma Deriváltfüggvény

18 Deriváltfüggvény D Definíció Az f deriváltfüggvénye az f : x lim h 0 f(x + h) f(x) h függvény, mely f differenciálhatósági helyein van értelmezve. D A deriváltfüggvényre egy másik szokásos jelölés: Magasabbrendű deriváltak f = (f ), f = (f ), f (n) = (f (n 1) ) df dx. 12

19 P (e x ) = e x P (a) = 0 (konstansfüggvény deriváltja 0) P (x n ) = nx n 1, ha n pozitív egész szám, ugyanis c R esetén: x n c n lim x c x c = lim (x c)(x n 1 + x n 2 c xc n 2 + c n 1 ) = x c x c = lim x c (x n 1 + x n 2 c xc n 2 + c n 1 ) = nc n 1 13

20 P sin x = cos x, ugyanis c R esetén sin(c + h) sin(c) sin c cos h + cos c sin h sin(c) lim = lim = h 0 h h 0 h cos c sin h sin c(1 cos h) = lim = h 0 h = lim(cos c) sin h cos h (sin c)1 = (cos c) 1 (sin c) 0 = cos c, h 0 h h ugyanis 1 cos h (1 cos h)(1 + cos h) 1 cos 2 h lim = lim = lim h 0 h h 0 h(1 + cos h) h 0 h(1 + cos h) = lim h 0 sin 2 h h(1 + cos h) = lim sin h h 0 h (sin h) cos h = = 0 14

21 Differenciálási szabályok

22 Differenciálási szabályok Összeg, szorzat, hányados

23 Differenciálási szabályok T Tétel Legyenek f és g c-ben differenciálható függvények, a R konstans. 1. (af) (c) = af (c) 2. (f + g) (c) = f (c) + g (c) 3. (fg) (c) = f (c)g(c) + f(c)g (c) ( ) f 4. (c) = f (c)g(c) f(c)g (c) g g 2, speciálisan (c) ( ) 1 (c) = g (c) g g 2, ha g(c) 0 (c) 15

24 B B P 2. (f + g) (f(x) + g(x)) (f(c) + g(c)) (c) = lim x c x c ( ) f(x) f(c) g(x) g(c) = lim + = f (c) + g (c) x c x c x c 3. (fg) f(x)g(x) f(c)g(c) (c) = lim x c x c f(x)g(x) f(c)g(x) + f(c)g(x) f(c)g(c) = lim x c x c ( ) f(x) f(c) g(x) g(c) = lim g(x) + f(c) x c x c x c = f (c)g(c) + f(c)g (c) (x n ) = nx n 1, akkor is ha n negatív egész szám, ugyanis legyen n = m N ( ) 1 (x n ) = x m = (xm ) mxm 1 (x m ) 2 = x 2m = mx m 1 = nx n 1 16

25 Differenciálási szabályok Összetett függvény differenciálása

26 T Láncszabály Ha g differenciálható c-ben, és f differenciálható g(c)-ben, akkor f g differenciálható c-ben, és (f g) (c) = f (g(c))g (c) B (f g) f(g(x)) f(g(c)) (c) = lim x c x c ( f(g(x)) f(g(c)) = lim x c g(x) g(c) g(x) g(c) x c f(g(x)) f(g(c)) g(x) g(c) = lim lim x c g(x) g(c) x c x c f(y) f(g(c)) g(x) g(c) = lim lim = f (g(c))g (c) y g(c) y g(c) x c x c ) 17

27 m A tételbeli képlet a függvényekre a (f g) = (f g) g alakot ölti (minden olyan helyen, ahol a jobb oldal értelmezve van, ott a bal is). m Három függvény kompozíciója esetén: (f g h) = (f g h) (g h) h (f(g(h(x)))) = f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) m Régies jelölések a differenciálhányados mint differenciálok hányadosa stílusában: dy y = f(u), u = g(x), jelölésekkel: dx = dy du du dx dy y = f(u), u = g(w), w = h(x) jelölésekkel: dx = dy du du dw dw dx 18

28 A fő kérdés mindig: melyik a külső függvény? P (sin 2 x) =? Külső függvény: f(x) = x 2 f (x) = 2x Belső függvény g(x) = sin x g (x) = cos x (sin 2 x) = 2(sin x) cos x P (sin x 2 ) =? Külső függvény f(x) = sin x f (x) = cos x Belső függvény: g(x) = x 2 g (x) = 2x (sin x 2 ) = cos x 2 2x 19

29 P (sin 2 x 3 ) =? M Külső függvény f(x) = x 2 f (x) = 2x Belső függvény: g(x) = sin x 3 (sin 2 x 3 ) = 2 sin x 3 (sin x 3 ) P (sin x 3 ) =? Külső függvény f(x) = sin x f (x) = cos x Belső függvény: g(x) = x 3 g (x) = 3x 2 (sin x 3 ) = cos x 3 3x 2 Tehát: (sin 2 x 3 ) = 2 sin x 3 cos x 3 3x 2 20

30 ( ( π ) ) P cos x = sin x, hiszen cos x = sin 2 x = = cos( π 2 x) ( π 2 x) = cos( π 2 x) = sin x P tg x = 1 ( ) sin x cos 2 x, hiszen = sin x cos x sin x cos x cos x cos 2 = x cos x cos x + sin x sin x = cos 2 = 1 x cos 2 x P ctg x = 1 ( ) cos x sin 2 x, hiszen = cos x sin x cos x sin x sin x sin 2 = x sin x sin x cos x cos x = sin 2 = 1 x sin 2 x 21

31 P (a x ) = a x ln a, ahol a > 0, hiszen (a x ) = (e x ln a ) = e x ln a (x ln a) = e x ln a ln a = a x ln a ( e P (sh x) x e x ) ( e x e x ( 1)) = = = ex + e x ( e P (ch x) x + e x ) e x e x = = = sh x 2 2 ( sh x ) ( ch P (th x) 2 x sh 2 x) = = ch x ch 2 = 1 x ch 2 x ( ch x ) ( sh P (cth x) 2 x ch 2 x) = = sh x sh 2 = 1 x sh 2 x = ch x 22

32 Differenciálási szabályok Implicit függvény deriváltja

33 D Implicit függvény F(x, y) = 0, melyről föltesszük, hogy F(x 0, y 0 ) = 0, és az (x 0, y 0 ) pont egy kis környezetében y kifejezhető x függvényeként, azaz van olyan f függvény és ε > 0, hogy x (x 0 ε, x 0 + ε) esetén F(x, y) = 0 y = f(x). Tekintsük a h(x) = F(x, f(x)) függvényt. x (x 0 ε, x 0 + ε) esetén h(x) = F(x, f(x)) = 0 = vagyis x 0 -ban a deriváltja is 0 lesz. = Ebből az összefüggésből pedig ki lehet fejezni f (x 0 )-t. f(x)-re szokás ilyenkor az y(x) jelölést is használni. 23

34 P Mennyi az y 2 = x 3 x görbe érintőjének meredeksége a (2, 6) pontban? F(x, y) = y 2 x 3 + x y = y(x) és tekintsük a deriváltat x 0 = 2-ben: 0 = d dx x=2 F(x, y(x)) = d dx (y(x)2 x 3 + x) x=2 = 2y(x)y (x) 3x x=2 0 = 2y(2)y (2) y (2) = y(2) = m Mivel a differenciálás lineáris művelet, ezért az egyenletet nem szükséges a deriválás előtt átrendezni. 24

35 Differenciálási szabályok Inverz függvény deriváltja

36 T Inverz függvény deriváltja Ha f differenciálható az I intervallumon, és a derivált sehol sem 0, akkor az f függvény g inverze is differenciálható, és g = 1 f g. m x = f(g(x)) implicit deriváltja 1 = f (g(x))g (x) g 1 (x) = f (g(x)) m Ha a I, és b = f(a), akkor g 1 (b) = f (g(b)) = 1 f (a). 25

37 m Az f inverz függvényére általánosan elterjedt jelölés az f 1. Ez más, mint az f reciproka! Vigyázzunk e két dologra is használt jelöléssel! m A hasonlóság a két fogalom között: f 1 mint reciprok: f f 1 = 1, ahol 1 az szorzás egységeleme, melyet c-vel szorozva c-t kapunk! f 1 mint inverz: f f 1 = id, ahol id : x x a kompozíció egyégeleme, melyre bármely g függvény esetén g id = id g = g. m E jelöléssel exp 1 = ln, ahol exp : x e x. m A zsebszámológépeken használt sin 1 jelölés helyett mi az arcsin jelölést használjuk. 26

38 y e x = exp x ln x x 27

39 P (ln x) = 1 x, x > 0 g(x) = ln x az f(x) = e x függvény inverze, és f (x) = e x, így (ln x) = g (x) = 1 f (g(x)) = 1 e ln x = 1 x ( ln x ) P (log a x) 1 = = ln a x ln a P Ha a R, akkor az x a 1 függvény értelmezési tartományának minden pontjában (x a ) = ax a 1, hiszen (x a ) = (e a ln x ) = e a ln x (a ln x) = x a a 1 x = axa 1. 28

40 P (arcsin x) 1 =, x ( 1, 1) 1 x 2 g(x) = arcsin x az f(x) = sin x [ π 2, π 2 ] függvény inverze, és f (x) = cos x, így (arcsin x) = g (x) = 1 = 1 sin 2 (arcsin x) 1 f (g(x)) = 1 cos(arcsin x) = 1 1 x 2, mert cos(arcsin x) > 0 a ( π 2, π 2 )-n. P (arccos x) 1 =, x ( 1, 1), ugyanis 1 x 2 arccos x = π 2 arcsin x 29

41 P (arctg x) = x 2, x R g(x) = arctg x az f(x) = tg x ( π 2, π 2 ) függvény inverze, és f (x) = (tg x) = 1 cos 2 x = cos2 x + sin 2 x cos 2 = 1 + tg 2 x, így x (arctg x) = g (x) = 1 f (g(x)) = 1 1 cos 2 (arctg x) tg 2 (arctg x) = x 2 P (arcctg x) = x 2, x R, ugyanis arcctg x = π 2 arctg x Á arcsin x + arccos x = π 2, arctg x + arcctg x = π 2 arccos x = arcctg x 1 x x arcsin x arctg x 1 30

42 Hasonlóan kiszámítható az area függvények deriváltja: P (arsh x) = x 2, x R P (arch x) 1 =, x (1, + ) x 2 1 P (arth x) = 1, x ( 1, 1) 1 x2 P (arcth x) = 1, x (, 1) (1, + ) 1 x2 31

43 y y arth x arcth x x 1 1 x 2 x 32

44 f(x) f (x) a a R 0 x a a R ax a 1 sin x cos x cos x sin x tg x x π 2 + kπ, k Z 1 cos 2 x ctg x x kπ, k Z 1 sin 2 x e x e x a x a > 0 a x ln a sh x ch x ch x sh x 1 th x ch 2 x cth x x 0 1 sh 2 x 33

45 f(x) ln x x > 0 log a x x > 0 arcsin x x ( 1, 1) f (x) 1 x 1 x ln a 1 1 x 2 arccos x x ( 1, 1) 1 1 x 2 arctg x x 2 arcctg x x 2 arsh x arch x x (1, ) arth x x ( 1, 1) arcth x x (, 1) (1, ) 1 x x x x 2 34

46 Darboux-tétel

47 D Definíció f differenciálható (deriválható) egy (a, b) nyílt intervallumon, ha annak minden pontjában differenciálható. f differenciálható az [a, b] zárt intervallumon, ha (a, b)-n differenciálható, továbbá a-ban jobbról, b-ben balról differenciálható. T Darboux-tétel Ha a és b olyan intervallum pontjai, melyen f differenciálható, akkor f az f (a) és f (b) között minden értéket fölvesz, azaz f Darboux-tulajdonságú. m A Bolzano Darboux-tételben bizonyítottuk, hogy a folytonos függvények Darboux-tulajdonságúak. Bár az előbbi tétel szerint intervallumon differenciálható függvények deriváltfüggvénye is Darboux-tulajdonságú, a következő példa mutatja, hogy f nem feltétlenül folytonos. 35

48 x 2 sin( 1 x P f(x) = ) ha x 0 0 ha x = 0 M x 0 : f (x) = (x 2 sin(x 1 )) x = 0 : = 2x sin(x 1 ) + x 2 cos(x 1 )( x 2 ) = 2x sin( 1 x ) cos( 1 x ) f h 2 sin( 1 h (0) = lim ) 0 h 0 h 0 = lim h 0 h sin( 1 h ) = 0 y x 2 x 2 sin( 1 x ) x x 2 f nem folytonos a 0-ban, mert nem létezik ott határértéke 36

49 Összefoglalás

50 Összefoglalás Differenciálhatóság fogalma, deriváltfüggvény Differenciálhatóság és folytonosság kapcsolata Differenciálási szabályok (összeg, különbség, szorzat, hányados, összetett, implicit, inverz függvény) Elemi függvények és inverzeik deriváltjai Darboux-tétel 37