Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA)

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA)"

Lajos Pásztor
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY ANTIDERIVÁLT FOGALMA). Definíció A differenciálszámítás egyik legfontosabb feladata az hogy f ' deriváltját vagy a függvény kiszámítsuk az f ( ) függvény df f ' d differenciálját.. Az integrálszámítás legfőbb feladata a fordított kérdés megoldása azaz annak az F( ) függvénynek a f azaz F' f megtalálása amelynek a deriváltja az adott vagy df F' d f d teljesüljön. Az integrálszámítást a geometria mechanika fizika és műszaki tárgyak tanulásánál gyakran alkalmazzuk. Definíció. Az ab F( ) függvény f függvénye az differenciálható és ( ab) esetén ( df f d. Definíció. Egy adott intervallumon hozzárendelt F C primitív ab intervallumon ha annak minden pontjában F' f ) vagy f függvényhez egy adott ( ab) { } + függvényhalmazt (a függvény primitívfüggvényeinek halmazát) ahol C egy konstans határozatlan integrálnak nevezzük és a következőképpen jelöljük f d F +C. Az jelet integrálnak olvassuk f - az integrandus - az integrálási változó és a d az differenciálja jelzi hogy melyik változó szerint keressük a primitív függvényt a C- az integrálási konstans. Integrálási szabályok. ( f d) f d f d f d

2 Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált) ahol u af d a f d a - konstans f ± f d f d ± f d ( ). f d f da A f d f d ± A A- konstans A- konstans f d F + C f ( u ) du F( u ) + C egy differenciálható függvény Általános szabályok ( ) df ( u) F ( u) + C d f u du f u du af u du a f u du ( f u ± f u ) du f ( u ) du ± f ( u ) du ahol u egy differenciálható függvény () Alapintegrálok. n+ n d + Cn n + () ed e + C () a ad + Ca lna () d ln C + (5) sin d cos + C (6) cos d sin + C

3 Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált) d cos (7) tg + C ( k + ) (8) d ctg + C kπ sin π (9) tgd ln cos + C ( k + ) (0) ctgd ln sin + C kπ () () () () a π a+ ln C a 0 d + a a arctg + C <a a a a ln C а 0 d + a + a arccotg + C > a a a a d arctg C а 0 + a a a + d ln + ± a + C > a ± a (5) chd sh + C (6) shd ch + C (7) (8) d arcsin + C < a a a a + a d + a + ln + + a + C

4 Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált) (9) a a d a + arcsin + C. a Maple utasítások > int(f); > Int(f); ahol f az integrandus - a változó Ellenőrzés J:int(F) > diff(j);.. Integrálási módszerek Több integrálási módszert fogunk rendre megismerni. Elsősorban a () (9) képleteket használjuk de gyakran szokás az egyszerű változócseréket is használni amiknek az általános képlete a következő Az f.g' d integrált gyakran jelölik még f.dg. alakban is. Ilyenkor az integrálban lévő J g' -et kell elsősorban megtalálni. d. Matematikai megoldás Az () képlet alapján: J d+ d d+ 5 d C C. 5 5 >J[]:int(^+*^-*+5);

5 Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált) 5 J : C. 5 5 Az eredmény: J + C i.e C. 5 Előnyösebb ha a következő jelölést alkalmazzuk: >J[]:Int(^+*^-*+5) int(^+*^-*+5); J : + + d Ellenőrzés: >diff(j[]); J sin.cos d Matematikai megoldás Az () képlet és egyszerű változócsere alapján. ( sin ) J sin. cos d sin d sin. sin + C. >J[]:Int(*sin()^*cos()) int(*sin()^*cos());; J : sin.cosd sin d I. 8 Matematikai megoldás A (7) képlet és egyszerű változócsere alapján 5

6 Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált) ( ) d I arcsin + C Megoldás Maple-ben. >I[]:Int(/sqrt(-8*^)) int(/sqrt(-8*^)); d I : arcsin( ) 8 I + cos d. cos Matematikai megoldás A (7) képlet és egyszerű változócsere alapján I + d d + d tg C + +. cos cos >I[]:int((+cos()^)/(cos()^)); sin I : + cos sin + cos I d sin Matematikai megoldás Az () és (8) képletek és egyszerű változócsere alapján sin cos sin I + d d d + sin sin sin + d d cotg + C sin. 6

7 Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált) >I[]:int((**sin()^+cos()^)/ sin()^); I : cotg d I arcsin Matematikai megoldás Az () és (7) képletek és egyszerű változócsere alapján I arcsin d ( arcsin ) d arcsin + C. arcsin >I[]:int(/(arcsin()^*sqrt(-^))); I : arcsin ln I5 d Matematikai megoldás A () és () képletek és egyszerű változócsere alapján 5 ln + I ln d ln dln C 7

8 Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált) ln ln + C. >I[5]:int(sqrt(ln())/); I 5 : ln I e.sined. 6 Matematikai megoldás Az (5) és () képletek és egyszerű változócsere alapján 6 I sine e d sine de cose + C >I[6]:int(ep()*sin(ep())); 6 I : cos e I7 d. 8 Matematikai megoldás A () képlet és egyszerű változócsere alapján ( ) I d d 7 8 ln + C. 8 + ( ) 8

9 Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált) >I[7]:Int(^/(^8-)) int(^/(^8-));?? I 7 : d 8. Gyakorló feladatok Számítsa ki a következő integrált: d () + () () () (5) sin d cos e d e e d ( arccos ) d 5 (6) 5+ d (7) (8) (9) d cos d sin ln d 9

10 Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált) (0) () () d ( + ) d + d () sin cos d + sin d () sin( ) (5) tgd (6) (7) + ln d + d + d arcsin d (8) + (9) (0) () + + d. + ln d.. Önellenőrző feladatok 0

11 () Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált) d + cos () e sind () () (5) d + d + 8 d.cos ( + ln ) (6) 7 ( 7 ) d (7) cosd. 5. Önellenőrző kérdések. Adja meg a határozatlan integrál definícióját.. Adja meg az alapfüggvények primitív függvényeit.. Írja fel az ön által ismert integrálási szabályokat.. Magyarázza meg az int(f) Int(f) diff(f) Maple utasításokat adjon példát a használatukra.

Hasonló dokumentumok

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,