Komputer algebra programok alkalmazása a differenciál- és integrálszámítás egyes fejezeteiben

Átírás

1 Europan Virtual Laboratory of Mathmatics Projct No SK/06/B/F/PP - 6 Európai Virtuális Matmatikai Laboratórium Körtsi Pétr & Emilya Vlikova Komputr algbra programok alkalmazása a diffrnciál- és intgrálszámítás gys fjztibn EVML -könyvk Miskolc 0 TÁMOP...B-0//KONV támogatásával készült jgyzt

2 Bvztés A komputr algbra programcsomagok használatának mgtanulásához gyik lgjobb módszr az ismrt matmatikai fjztk fladatainak gyakorlása. Ez a jgyzt azt a célt szolgálja hogy az lmi diffrnciál és intgrálszámítás gys fjztink a gyakorlati szmpontú áttkintésévl összhasonlítsa a lggyakrabban lőforduló alapfladatok mgoldását számítógéps szoftvr használata nélkül és párhuzamosan a szoftvrt használva. A Miskolci Egytmn a hallgatók a Mapl programcsomagot használhatják nnk gy friss 0-s változatát a Mapl 6-t. A jgyztbn az ún. matmatikai parancssorokat (Mapl commands) építttük b amik a vrziószámtól függtül akár sokkal régbbi mapl változatokban is használhatók. A jgyzt alapját Emilya Vlikova kollganővl az Európai Virtuális Matmatika Laboratórium c. projktbn és a CEEPUS projktbn végztt közös jgyztírás képzi és a j formája a Komputr algbra alapjai c. tárgy hallgatói számára készült a: TÁMOP...B-0//KONV projkt támogatásával Körtsi Pétr Miskolci Egytm és Emilya Vlikova Univrsity of Rous

3 Tartalomjgyzék. A függvény driváltja diffrnciálhányados. Határozatlan intgrál primitívkrsés. Intgrálás változócsrévl. Parciális intgrálás 60

4 . FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS.. Dfiníció Dfiníció Az f ( ) függvény 0 pontban értlmztt driváltja a f ( ) f ( ) 0 0 lim 0 határértékkl gynlő amnnyibn az létzik ( lásd Fig. 6). df A driváltat f ( 0 ) vagy.jlöli z utóbbit gyakran d 0 nvzik diffrnciálhányadosnak z az vzés a dfinícióra utal. у f() f( 0 ) f( 0 ) f M P α β Figur 6 Driválási szabályok. ( u v ) u v (Összg). ( u v ) u v (Különbség). ( а u ) а u ahol a gy konstans (Linaritás). u v u v v u (Szorzat) ( )

5 . invrz. u u v v u v v f ( g ) f g g (Láncszabály) f ahol f f y 6.. y f Elmi függvényk driváltja. ( c' ) 0 aholc - konstans. a a a aholа - konstans ( a ). ( ). a a a > 0 a. ( loga ) a 6. ( ). ( sin ) cos. ( cos ) sin. ( tg ) cos 0. ( ctg ) sin. ( arcsin ). ( arccos ) v 0 (Hányados) az f ( ) függvény

6 . ( arctg ) arcctg Drválás a Mapl-b n > diff(f);. > Diff(f);. ahol f gy- vagy többváltozós függvény a változó ami szrint driválunk. Példa. Driválja a kövtkző függvényt: 6 f. Mgoldás a Mapl-bn. >f :Diff(^(6^(^))) diff(^(6^(^))); 6 6 d f ' : d Példa. Driválja a kövtkző függvényt: f. Mgoldás a Mapl-bn. >f:sqrt(^*); > f : Diff(f)diff(f); d f': ( ) d Gyakorló fladatok. Driválja a kövtkző függvénykt: a) f b) c) 00 f sin arctg f

7 d) f ) arccos f f) f tg sin( ) ( arctg)..driválási módszrk. () ) Logaritmikus driválás: g( ) h g' ( g ) g' g ( g ) g. és () Példa. Driválja a kövtkző függvényt: / f. Matmatikai mgoldás. f ( ) ( f ). az () alapján kövtkzik hogy f ' ( ) ( ). Mgoldás a Mapl-bn. >diff((())^(/^)); ( ) Ami kvivas a ()-vl.

8 Példa. Driválja a kövtkző függvényt: f ( ) ( ) ( ) ( ) Matmatikai mgoldás. f ( f ). ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f' Mgoldás a Mapl-bn. >rstart: >f:((-)^(/)*()^*()^)/(()^* (-))^(/); > f :simplify(diff(f)); f': ( 6 00)( ) ( ) (( ) ( )) ( )( ) ) Paramétrs függv ényk driválása ϕ ( t) Az y( ): y ψ () t Függvény driváltja ψ () t y'. ϕ t () Példa. Driválja a kövtkző függvényt: { acost (). y bsint Matmatikai mgoldás. 6..

9 bsint ' bcost b y ctgt. acost ' asint a Mgoldás a Mapl-bn. () >y :diff(b*sin(t)t)/diff(a*cos(t)t); bcos() t y' :. asin t () ) Implicit függvény driváltja y y thn If F( y ) 0 whr ' ' y ' ( y 0) ' F y F. F Példa. Driválja a kövtkző függvényt: y (). a b Matmatikai mgoldás. Az () gynlt kvivas az llipszis ()-ban mgadott paramétrs alakjával és z az gynlt a kövtkző alakban is írható: y F( y) 0. a b Ki kll számítani az F(y) parciális driváltjait majd zk sgítségévl a kívánt driváltat: ' F F ' y ' b y y a b a y A továbbiakban a ()-ból és az tg t cos t Összfüggés alapján: a a tg t. Kövtkzésképpn:

10 y ' dy b ± d a a. Mgoldás a Mapl-bn. >f:^/a^y^/b^-; >y :diff(fy)/diff(f); b y' : a y Második mgoldás a Mapl-bn. >Z:d iff(^/a^y( )^/b^); d y y dt Z: a b (6) > Q:solv(Z0diff(y())); b Q: y' y a Gyakorló fladatok.. Driválja a kövtkző függvénykt: a) f b) c) d) ) ( ) ( ) ( ) f f t sint y( ): t t y cos y f) y 0 g).sin y y.sin 0 h) y ( y)

11 ( y ) i) 6 k) y a l) ( m y a y ) ) ( ) f n) ( ) f cos. tg.. Magasabb rndű diváltak Dfiníció. Az f függvény szrinti kétszrs háromszoros stb driváltja a függvény magasabb rndű driváltjai a kövtkző jlölésk szrint: df f' d d d f f'' f' ( ) f' d d d d f ''' f '' ( f ) f '' d d ( ) n ( n f ) n f d n d f f n d d ahol n... Mapl utasítások: > diff(f$n); >Diff(f$n); ahol f a változó ami szrint driválunk és n- a driválás rndj. Példa. Driválja n-szr a kövtkző függvényt: () f sin Matmatikai mgoldás

12 A driválás rdmény rndr π f' cos sin π f '' sin sin π f ''' cos sin π f 6sin sin. Ezkből kövtkztthtünk az általános str: ( n) n π () y sin ( n) ahol n... Thát a () pontban szrplő függvény n-id driváltja:: ( n) ( n ) () y ( y ) n π π cos n n π sin n π mivl cosα sinα n... Kövtkzésképpn ( n ) n sin sin n π. Mgoldás a Mapl-bn. Rndr flírható: >diff(sin(*)); >diff(sin(*)$); >diff(sin(*)$); >diff(sin(*)$); Példa. Számítsa ki a kövtkző függvény f '' második driváltját ( / ) f. Mgoldás a Mapl-bn.

13 ( >factor(diff(()^(/^)$)); ) ( ) / Példa. driváltját. Számítsa ki a kövtkző függvény f '' második y : acost. y bsint { Mgoldás a Mapl-bn. Előbb a () alapján kiszámítható:y >y :diff(b*sin(t)t)/diff(a*cos(t)t); És flírjuk továbbá: >y :diff(f t)/diff(a*cos(t)t); és azaz () t () () t b bcos a asin t y'' :. asin Matmatikai mgoldás A () összfüggés alapján: b y ctg t a y" d y' ( ) dt d dt b y". a sin t Példa. f '' Számítsa ki a kövtkző függvény második driváltját

14 a y. b Mgoldás Mapl-bn Használja a subs(mnp) utasítást amivl a P kifjzésbn az M értékt N-r csréljük: > subs(diff(y())qdiff(q)); b b y. y a y a A mgoldás kvivas a matmatikai mgoldással. b b y y b b y y. a y a y a y a y Gyakorló fladatok. ) Számítsa ki a kövtkző függvényk második driváltját: : a) f b) a( tsint) y( ): y a( cost) c) f ( ) arcsin d) y arcsin yy y. ) Igazolja hogy az y sin( ) cos( ) mgoldása a kövtkző diffrnciálgynltnk: y" y' y 0. ) függvény Számítsa ki a kövtkző függvényk n-ik driváltját: f a) 6 b ) f sin.

15 .. Függvény diffrnciálja Dfiníció. Lgyn az f ( ) függvény az 0 pontban driválható. Az f -nk a diffrnciálja df ( ) a kövtkző szorzat: f ( ) d ahol d az diffrnciálja. Dfiníció. Lgyn az f ( ) függvény az 0 pontban n-szr n driválható. Az f ( ) n-d rndű diffrnciálját ( n ) d f ( ) jlöli és rkurzívn értlmzhtő azaz az f ( ) függvény ( n ) -d rnd ű diffrnciáljának a diffrnciálja:. ( n ) n 0 n ( n ) n d f d d f d f d f d Mapl utasítással. Az f diffrnciálja: >D(f); Példa. Számítsa ki az f arcsin. függvény df d f f ''. d diffrnciáljait:. Ma tmatikai mgoldás..arcsin df f ' ( ).d d.arcsin d f ( d) arcsin. ( d). ( ) Mgoldás a Mapl-b n. >DY:D(arcsin(*)*sqrt(-*^)); 0 n

16 >DY:D(DY); >simplify(dy); Gya korló fladatok. Számítsa ki a kövtkző függvényk ( ) df d f f ''. d diffrnciáljait: a) b) f 6.arctg t f ( t) f arctg.( ) 0 6 f sin c) d) ) f sin cos f f.cos. f) g).. A driváltak alkalmazása - a L Hospital szabály A szabály nvét Guillaum d l'hôpital. században élt francia matmatikusról kapta aki zt a szabályt az Analys ds infinimnt ptits pour l'intllignc ds ligns courbs (66) című könyvébn írta l (magyarul: A kis végtk lmzés a görbék mgértésébn). A L Hospital szabály alkalmazható a kövtkző függvényk határértékink a kiszámítására f ( ) g ( f.g f ) f g g a kövtkző határozatlansági stkbn: 0 0 [ 0] 0 [ ]. Tétl. Adottak az f ( ) g( ) függvényk; - Amlyk gy olyan intrvallumon értlmzttk amlynk 0 határpontja - Driválhatók az 0 pontban

17 - Folytonosak 0 pontban vagy határértékük gyidjűlg végt.! - f ( 0) g( 0) 0 f ( 0) g( 0) ha g' 0 0. Ekkor a kövtkző két határérték gynlő fltév hogy a második létzik f f lim lim. g g 0 0 Példa. Számítsa ki a kövtkző határértékt: ( cos) lim. 0 ( cos 6 ) Ma tmatikai mgoldás sin ( cos. ) cos sincos6 lim lim lim 0 ( cos6) sin sin 6 cos 0 cos 6 sin cos6 cos lim lim lim. 0sin6 0cos 0 6 cos 6 Mgoldás a Mapl-bn. >Limit((cos(*))/(cos(6*))0) limit((cos(*))/(cos(6*))0); ( cos) lim 0 cos 6 Példa. Számítsa ki a kövtkző határértékt: lim π tg ( ). Ma tmatikai mgoldás. A lim. Ekkor Lgyn π tg

18 π tg π A lim ( ) lim tg.( ) ( ) 0 L' Hospital' s Rul ( ) lim lim π 0 ct g π ct g π. sin lim lim A π.. π π π π sin Mgoldás a Mapl-bn. >Limit((-)^(tan( Pi*/))) limit((-)^(tan( Pi*/))); ( ) tg π π. lim Példa. Számítsa ki a kövtkző határértékt: lim ( ).tg π. Matmat ikai mgoldás π lim( ).tg [ 0. ] 0 L' Hospital' s Rul ( ) lim lim π 0 ct g π ct g π lim lim sin. π π π π sin Mgoldás a Mapl-bn. >Limit((-)*tan(Pi*/))

19 limit((-)*tan(pi*/ )); lim ( ).tg π π Gyakorló fladatok. Számítsa ki a kövtkző határértékkt a l Hospital szabállyal: : a) πarctg 0 L lim 0 Mgoldás a Mapl-bn. >L[]:Limit((Pi-*arctan())/(p(/ )-) infinity)limit((pi-*arctan())/ (p(/)-)infinity); πarctg L : lim Matmatikai mgoldás f b) L 0 lim 0 0 sin g L. Mgoldás a Mapl-bn. >L[]:Limit((p()-p(-)-*)/(sin())0) limit((p()-p(-)-*)/(sin())0); L : lim 0 sin Matmatikai m goldás Flírható hogy

20 f g ( sin) cos thát 0 L. 0 A szabály ismétlt alkalmazásával: f g sin L És még gyszr f g cos L c) L lim Mgoldás a Mapl-bn. >L[]:Limit(^/p(*)infinity) limit(^/p(* )infinity); L : lim 0 Matmatikai mgoldás f g d) L L' Hospital' s Rul L lim f g е L lim lim 0 Mgoldás a Mapl-bn. 0

21 >L[]:Limit(^ 0right)limit(^0 right); L : lim 0 0 M atmatikai mgoldás E lim lim lim L E. L' Hospital' s Rul lim 0 0 / / 0 ) [ ] L lim 0 Mgoldás a Mapl-bn. >L[]:Limit(/-/( p()-)0) L imit(/-/(p()- )0); L : lim 0 M atmatikai mgoldás 0 L' Hospital' s Rul L lim lim 0 0 lim L 0 L' Hospital' s Rul..6. A driváltak további alkalmazásai

22 . Az y f függvény érintőjénk gynlt az ( f 0 ( 0) ) pontban a kövtkzőképpn írható fl: y y0 f ( 0)( 0). Ha f ( 0 ) akkor az érintő 0. y f függvény normálisának gynlt az. Az ( 0 0 ) f pontban a kövtkzőképpn írható fl: Ha y y. ( 0 0) f f 0 0 a normális. 0 Példa. Írja fl az y görb érintőjénk és normálisának gynltét az M p ontban. Mgoldás a Mapl-bn. >V:diff(^y()^); >W:solv(V0diff(y())); >subs(/sqrt()y(/sqrt())/sqrt()w); д Válasz. V y y W. д y Ma tmatikai mgoldás Az y kiszámítása után: yy 0 y y ( M ). y A krstt gynltk: yt (érintő) yn (normális). Példa. Határozza milyn szögbn mtszik gymást a kövtkző görbék y y. Mgoldás a Mapl-bn. 0

23 >solv(^); Válasz. 0 >y:diff(); Válasz. y : >y:diff(^); Válasz. y : >arctan(subs(0(y-y)/(y*y))); >arctan(subs( (y-y ) /(y* y))); >arctan(subs(-(y-y)/(y*y))); Válasz. π / arct g ( / ) arct g ( / ). Matmatikai mgoldás A görbék mtszéspontját a kövtkző gynlt mgoldásával határozhatjuk mg: ( )( ) 0 0 y y. Két stt különbözttünk mg (lásd Fig. ): ) 0 y y 0. A tgα tg β tg ( α β) tgα tg β képlt alapján y y 0 π tgα α. y 0 y ) m y y tgα α arctg. A görbék szimmtriájából kövtkzik hogy α α arctg.

24 Figur Gyakorló fladatok. ) Számítsa ki az abszcisszatngly és az y függvény pontbli érintőjénk szögét. Írja fl az adott pontban az érintő és a normális gynltét. ) Írja fl az adott pontban az érintő és a normális gynltét: a) y y az M 6 b) y az abszcisszájú pontban c) y az abszcisszájú pontban d) cost cos t π y( ): a t paramétrértékr. y sint sint ) Számítsa ki a két görb mtszéspontjában az érintőik által bzárt szögt: y y... Gyakorló fladatok

25 ) Írja fl a kövtkző függvényk driváltját: a) f sin b) ( f ) c) co s f co s f arcsin sin d) cos sin ) f f) f ( ) ( arctg) g).sin y.cosy 0 h) ( ) f i) f ( ) 6 tg cos j) f co s t t k) y( ): y t t l) m) f.arcsin f arcsin. ) Írja fl a kövtkző függvényk második driváltját: a) f ( )

26 b) arccos t y : y t t c) d) f f a a ( ). ) Igazolja hogy y sin mgoldása az y" y diffrnciálgynltnk. ) Számítsa ki a df ( ) d f ( ) diffrnciálokat: t t t a) f () t b) f ( ) c) f arctg. ) Számítsa ki a kövtkző határértékkt: Fladat Erdmény 0 a) lim 0 lim co s.ctg 0. 0 b) ( )[ ] 0 0 lim cos lim π π c) lim ctg [ ] d) [ ] ) 0 f) 0 lim g) 0 tg lim

27 h) i) sin 0 lim 0 0 arctg sin 6 sin 0 lim 0 0 lim arcsin.ctg 0. j) [ ] k) l) m) 0 / lim ( b) lim b b lim ctg ( π ) n) o) p) lim cos 0 0 lim 0 lim ) Számítsa ki az abszcisszatngly és az y függvény M ( ) pontbli érintőjénk szögét. Írja fl az adott pontban az érintő és a normális gynltét... Önlőrző kérdésk ) Driválja a kövtkző függvénykt a) y arctgy y y

28 b) y log ( ) ctg ( y ) y y sint c) y( ):. y t ) Írja fl a kövtkző függvény második driváltját: -bn f arcctg ) Írja fl a kövtkző függvényk stén ( a) f tg b) f arccos f cos. c) d f d f ) -t: ) Írja fl az érintő és a normális gynltét az cost y( ): y sin t Paramétrs görb adott t paramétrhz tartozó pontjában: t π. ) Számítsa ki a kövtkző határértékkt: a) lim b) lim 0 sin.

29 .. Önlőrző kérdésk ) Adja mg a drivált és a diffrnciál dfinícióját gy adott pontban. ) Adja mg a magasabb rndű drivált és a diffrnciál dfinícióját gy adott pontban. ) Milyn driválási módszrkt ismr? ) Ismrttss a L Hospital szabályt? Adjon rá példát. ) Magyarázza mg a kövtkző Mapl utasításokat: diff(f) Diff(F) D(F) subs(mnp)..0. A driválás gyakorlása α c alakú hatványfüggvényk flismrés és driválása α α α c c alapján. A konstansok és a hatványkitvők mgjésénk különböző formái

30 Eponnciális függvényk driválása a a c a c összfüggés alapján...

31 .. Különböző alapú logaritmus függvényk driválása a c c a log driválási szabály alapján π π. 0 lg. log. log. 6 log 6. log Szorzat függvény driválása g f g f g f driválási szabály alapján lg lg 6.

32 lg lg.. Hányadosfüggvény driválása az g g f g f g f driválási szabály alapján lg 0 lg Összttt függvényk driválása csoportosítva az alapján hogy mlyik alapfüggvény a külsőfüggvény.. A külső függvény logaritmusfüggvény g a g g a log 0...

33 ... 0 lg 6. log. log. 0 log. log 60. a) b) flhasználva a szorzat logaritmusára vonatkozó azonosságot a driválás gyszrűsödht. 6. a) b) 6. a) flhasználva a hányados logaritmusára vonatkozó azonosságot a driválás gyszrűsödht. b) 6. a) 6 6 6

34 b) típus A külső függvény ponnciális függvény g a a a g g ( )

35 . 6. A külső függvény hatványfüggvény g g g α α α Először a hatványkitvő pozitív gész Másodszor a hatványkitvő pozitív tört Harmadszor a hatványkitvő ngatív gész.

36 Ngydszrr a hatványkitvő ngatív tört

37

38 .. HATÁROZATLAN INTEGRÁL PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY ANTIDERIVÁLT FOGALMA).. Dfiníció A diffrnciálszámítás gyik lgfontosabb fladata az hogy f ' driváltját vagy a függvény kiszámítsuk az f ( ) függvény df f ' d diffrnciálját.. Az intgrálszámítás lgfőbb fladata a fordított kérdés mgoldása azaz annak az F( ) függvénynk a f azaz F' f mgtalálása amlynk a driváltja az adott vagy df F' d f d tljsüljön. Az intgrálszámítást a gomtria mchanika fizika és műszaki tárgyak tanulásánál gyakran alkalmazzuk. ab Dfiníció. Az F( ) függvény f ( ) primitív függvény az ( ab ) intrvallumon ha annak mindn pontjában diffrnciálható és ( ab) stén F' f vagy df f d. Dfiníció. Egy adott f ( ) függvényhz gy adott intrvallumon hozzárndlt F C { } ab függvényhalmazt (a függvény primitívfüggvényink halmazát) ahol C gy konstans határozatlan intgráak nvzzük és a kövtkzőképpn jlöljük f ( ) d F( ) C. Az jlt intgráak olvassuk f - az intgrandus - az intgrálási változó és a d az diffrnciálja jlzi hogy mlyik változó szrint krssük a primitív függvényt a C- az intgrálási konstans. Intgrálási szabályok. ( f d) f d f d f d

39 ahol af d a f d a - konstans f ± f d f d ± f d ( ). f d f da A f d f d ± A A- konstans A- konstans f d F C f ( u ) du F( u ) C u gy diffrnciálható függvény Általános szabályok d ( f ( u) du) f ( u) du df u F u C af u du a f u du ( f u ± f u ) du f ( u ) du ± f ( u ) du ahol u gy diffrnciálható függvény () Alapintgrálok. n n d Cn n () d C () a ad Ca a () d C () sin d cos C (6) cos d sin C

40 d cos () tg C ( k ) () d ctg C kπ sin π () tgd cos C ( k ) (0) ctgd sin C kπ () () () () a π a C a 0 d a a arctg C <a a a a C а 0 d a a arccotg C > a a a a d arctg C а 0 a a a d ± a C > a ± a () chd sh C (6) shd ch C () () d arcsin C < a a a a a d a a C

41 () a a d a arcsin C. a Mapl utasítások > int(f); > Int(f); ahol f az intgrandus - a változó Előrzés J:int(F) > diff(j);.. Intgrálási módszrk Több intgrálási módszrt fogunk rndr mgismrni. Elsősorban a () () képltkt használjuk d gyakran szokás az gyszrű változócsrékt is hasznái amiknk az általános képlt a kövtkző Az f.g' d intgrált gyakran jlölik még f.dg. alakban is. Ilynkor az intgrálban lévő Példa. Számítsa ki a kövtkző intgrált J g' -t kll lsősorban mgtalái. d. Matmatikai mgoldás Az () képlt alapján: J d d d d.. C C. Mgoldás a Mapl-bn >J[]:int(^*^-*);

42 J : C. Az rdmény: J C i.. C. Előnyösbb ha a kövtkző jlölést alkalmazzuk: >J[]:Int(^*^-*) int(^*^-*);. J : d Előrzés: >diff(j[]);. Példa. Számítsa ki a kövtkző intgrált J sin.cos d Matmatikai mgoldás Az () képlt és gyszrű változócsr alapján. ( sin ) J sin. cos d sin d sin. sin C. Mgoldás a Mapl-bn >J[]:Int(*sin()^*cos()) int(*sin()^*cos());; J : sin.cosd sin Példa. Számítsa ki a kövtkző intgrált d I. Matmatikai mgoldás A () képlt és gyszrű változócsr alapján

43 ( ) d I arcsin C Mgoldás Mapl-bn. >I[]:Int(/sqrt(-*^)) int(/sqrt(-*^)); d I : arcsin( ) Példa. Számítsa ki a kövtkző intgrált I cos d. cos Matmatikai mgoldás A () képlt és gyszrű változócsr alapján I d d d tg C. cos cos Mgoldás a Mapl-bn >I[]:int((cos()^)/(cos()^)); sin I : cos Példa. Számítsa ki a kövtkző intgrált sin cos I d sin Matmatikai mgoldás Az () és () képltk és gyszrű változócsr alapján sin cos sin I d d d sin sin sin d d cotg C sin Mgoldás a Mapl-bn.

44 >I[]:int((**sin()^cos()^)/ sin()^); I : cotg Példa. Számítsa ki a kövtkző intgrált d I arcsin Matmatikai mgoldás Az () és () képltk és gyszrű változócsr alapján I arcsin d ( arcsin ) d arcsin C. arcsin Mgoldás a Mapl-bn >I[]:int(/(arcsin()^*sqrt(-^))); I : arcsin Példa. Számítsa ki a kövtkző intgrált I d Matmatikai mgoldás A () és () képltk és gyszrű változócsr alapján ( ) I d d C

45 C. Mgoldás a Mapl-bn >I[]:int(sqrt(())/); I : Példa. Számítsa ki a kövtkző intgrált I.sin d. 6 Matmatikai mgoldás Az () és () képltk és gyszrű változócsr alapján 6 I sin d sin d cos C Mgoldás a Mapl-bn >I[6]:int(p()*sin(p())); 6 I : cos Példa. Számítsa ki a kövtkző intgrált I d. Matmatikai mgoldás A () képlt és gyszrű változócsr alapján ( ) I d d C. Mgoldás a Mapl-bn ( )

46 >I[]:Int(^/(^-)) int(^/(^-));?? I : d.. Gyakorló fladatok Számítsa ki a kövtkző intgrált: d () () () () () sin d cos d d ( arccos ) d (6) d () () () d cos d sin d

47 d (0) ( ) () d () d ( ) () sin cos d () () tgd (6) d () d () () sin sin( ) d d arcsin d (0) d. () d... Önlőrző fladatok

48 d () () cos sind () d () d () d.cos (6) ( ) d () cosd... Önlőrző kérdésk 6) Adja mg a határozatlan intgrál dfinícióját. ) Adja mg az alapfüggvényk primitív függvényit. ) Írja fl az ön által ismrt intgrálási szabályokat. ) Magyarázza mg az int(f) Int(f) diff(f) Mapl utasításokat adjon példát a használatukra.

49 . INTEGRÁLÁS HELYETTESÍTÉSSEL (Változócsr).. Intgrálás hlyttsítéssl az alapötlt Az intgrálszámitás gyik lghatékonyabb módszr a hlyttsítéss módszr. Több hasznos hlyttsítés létzik amit intgrálok kiszámitására használhatunk. A lgfontosabbak közül néhányat bmutatunk a kövtkző fjztkbn. A hlyttsitők használatának lgfőbb célja az hogy találjunk gy másik intgrált ami könnybbn mgoldható. Az alapötlt hogy kicsréljük az függt változót az f d intgrálban gy új t változóra a kövtkző gyszrű formula sgitségévl ϕ () t. Ebből kövtkzik: ( ' ) ϕ ( t ) ' t.d ϕ ' ( t ) dt és f ϕ( t). Kövtkzésképpn f d f ϕ ( t ). ϕ' t dt amit rmélhtőlg könnybbn tudunk mgoldani. Bizonyos stkbn hasznosabb a t ψ hlyttsítést hasznái. Algoritmus a f d hlyttsítéssl történő mgoldására.. lépés A problémától függőn lgalkalmasabb hlyttsítő formula mghatározása. Stp. Hlyttsitsük t-r az -t az intgrálandó függvénybn számoljuk ki d-t a hlyttsítő formula sgitségévl és határozzuk mg az új intgrált f ϕ( t ). ϕ' ( t) dt. S tp. Számoljuk ki az intgrált. Stp. Az F( t ) rdményt alakitsuk át az változónak mgfllőn. Mapl parancsok. >I:int(f); >Int(f); Az f függvény intgráljának mghatározása ahol gy változó; >with(studnt):changvar(t^i);

50 A t változó hlyttsítés l a képltbn (j stbn t ) az I intgrálban. >I:valu(%); A végrdmény kiszámitása ahogy a Mapl program használja. Példa. Számoljuk ki a kövtkző intgrált I 0 d. Ma tmatikai mgoldás. A hlyttsítés t > 0 t d tdt. Ebből tdt dt I 0 arctgt C a t t t rctg C Mgoldás a Mapl sgitségévl. >I0:int(/(*()*sqrt())); I 0 : arctg Részlts mgoldás a Mapl-bn. ) az intgrál dfiniálása a STUDENT programba: >with(studnt): >I0:Int(/( **sqrt())) ; I 0 : d ) hlyttsítsük t -l -t: >changvar(t^i0); t dt t t ) számoljuk ki az uj intgrált: >I0:valu(%) ; t.arctan( t) I 0 t ) alakitsuk vissza -r: >I0:subs(tsqrt()I0);.

51 0 I arctan P élda. Számoljuk ki a kövtkző intgrált d I. Ma tmatikai mgoldás. A hlyttsítés d dt. Ebből t t t t t t t I dt dt t t t arcsint C arcsin C. Részlts mgoldás a Mapl-b n. >rstart: with(studnt): >I :Int(/(*sqrt( ^-))): >changvar(/ti); I:valu(%); >I:subs(t/I); I : arcsin. Példa. Számoljuk ki a kövtkző intgrált d I. Matmatikai mgoldás. { } A hly ttsítés t > 0 annak érdkébn hogy szabad intgral lgyn.

52 t ( ) d dt t ( t ) t ( t ) Ebből t. I. dt dt t t t ( t ) t t dt t C C. Részlts mgoldás a Mapl-bn. >rstart:with(studnt): >I:Int(p(*)/sqrt(-p()) ); >changvar(sqrt(-p())ti); >I:valu(%); >I:subs(tsqrt(-p())I); ( / ) ( ) / I :. Példa. Számoljuk ki a kövtkző intgrált sin.cos I d. cos Matmatikai mgoldás. lyttsítés { cos t}. Ebből A h dt cos. sin d. dt I arct gt C t arctg cos C Részlts mgoldás a Mapl-bn. >rstart:with(studnt): >I:Int(*sin()*cos()/( cos()^-)); >changvar(cos^ t I); >I:valu(%); > I:subs(tcos()^I); ( ) I : arctanh cos.

53 Példa. Számoljuk ki a kövtkző intgrált sin d I. Matmatikai mgoldás. A h t. Ebből lyttsítés { } t d t dt sint. t dt I sintdt cost C t cos C. Részlts mgoldás a Mapl-bn. >rstart:with(studnt): >I:Int(sin( ^(/))/ () ^(/)); >c hangvar(^(/) ti); I:valu(%); >I:subs(t^(/)I); ( / ) I : cos... A f a b függvény intgrálása hlyttsítéssl A kövtkző tipusú intgral mgoldását mutatjuk b hlyttsítéssl: M N J d a b c M N J d. a b c Ebből b c b a b c a a a

54 a hlyttsítés d dt. b t vagy a b t és a Példa. Számoljuk ki a kövtkző intgrált I d. Ma tmatikai mgoldás. A h t. Ebből t és lyttsítés { } ( t ) t I dt dt d t t t t t C C. Részlts mgoldás a Mapl-bn. >rstart:with(studnt): >I:Int((*-) /(^-*)); >c hangvar( - ti ); I:valu(%); >I :subs(t-i) ; I : ( ( ) ) >simplify(i); I :. Példa. Számoljuk ki a kövtkző intgrált d I6. Matmatikai mgoldás. t. Ebből A hlyttsítés { } t és I dt t 6 arctg C arctg t C. Részlts mg oldás a Mapl-bn. >r start:with(studnt ): >I6:Int(/(^*));

55 >changvar(ti6); I6:valu(%); >I6:subs(tI6); I 6: arctan. Példa. Számoljuk ki a kövtkző intgrált I d. Matmatikai mgoldás. A h t. Ebből t és lyttsítés { } t t dt I dt dt t t t t d t arctgt t arctgt C arctg ( ) C. Részlts mgoldás a Mapl-bn. >rstart: with(studnt): >I :Int((*-)/(^*)) ; >simplify(changvar(ti)); >I:valu(%); >I:simplify(subs(tI)) ; I : ( ) arctg( ). Példa. Számoljuk ki a kövtkző intgrált I d. Ma tmatikai mgoldás.

56 t. Ebből A hlyttsítés t. 6 t t I dt dt t 6t 6 t dt. dt t t 6 d t t dt ( t) t 6t C t t t t t C t t C C C C. Részlts mgoldás a Mapl -bn. >rstart:with(studnt): > I:Int((-*)/(*^-*)); >I:simplify(changvar(-/tI)); >I:valu(%); >I :simplify(subs(t-/ I)); I :. Példa. Számoljuk ki a kövtkző intgrált I d. Ma tmatikai mgoldás. t. Ebből t és A hlyttsítés { } ( t ) t I dt dt d t t t t ( )

57 t C C. Részlts mgoldás a Mapl-bn. >rstart:with(studnt): > I:Int((*-)/sqrt(^-*)); >I:simplify(changvar(-tI)); >I:valu(%); >I:simplify(subs(t-I)); I : Példa. Számoljuk ki a kövtkző intgrált I0 d. 6 Matmatikai mgoldás. lyttsítés { t}. Ebből 6 ( t ) A h és t t I0 dt dt dt t t t t d( t ) arcsin C t t ( ) 6. Részlts mgoldás a Mapl-bn. >rstart:with(studnt): >I0:Int((*-)/sqrt(6*-*^)); >I0:simplify(changvar(-tI0)); > I0:valu(%); >I0:simplify(subs(t-I0)); 0 : 6 arcsin I.

58 .. Gyakorlás Oldja mg a kövtkző intgrálokat hlyttsítéssl: I d Mgoldás. I arctg C 6 d I Mgoldás. I C d I hlyttsítés a ( t ) a a Mgoldás. I ± arccos C a I d Mgoldás. I I C. d I arctg C d I6 arctg C Mgoldás. ( ) I 6 Mgoldás. I d 6

59 Mgoldás. I C 6 I d 6 Mgoldás. I arctg ( 6 ) C I d M goldás. I C I 0 d Mgoldás. I0 C I d Mgoldás. I C I d Mgoldás. I C I d Mgoldás. I C

60 .. Gyakorló tszt Oldja mg a kövtkző intgrálokat: co s d I sind I cos sind I6 cos. I I I I d d 0 d d. 0.. Gyakorló kérdésk ) Magyarázza l a hlyttsítéssl történő intgrálás módját. ) Mutasson példát a hlyttsítéssl történő intgrálásra. ) Magyarázza mg a kövtkző Mapl parancsok jtését: with(studnt) changvar(t^i) simplify(changvar(t^i)) I:valu(%)I:subs(tsqrt()I) I:simplify(subs(tsqrt()I)).

61 . PARCIÁLIS INTEGRÁLÁS.. Par ciális intgrálás. Példák Lgynk a f az [ ab ] intrvallumban. Ebből f g' d f dg f g g f ' d vagy () udv uv vdu l g f' g' függvényk folyamatosak aho u f dv g' d az intgrálandó függvény részi. Az () képlt ilyn intgrálokra vonatkozik: ) P k n d P n sinkd P n ahol P cos kd n az n alapú polinom-ja és k állandó. Az ilyn tipusú intgrálok mgoldása magába foglalja: a) az u változónak polinom-nak kll ni pl. u Pn ; b) az () képlt n alkalommal való flhasználását. n P n ) P ( d ) P n arctgd P n arcsind P n arccos d arcctgd ahol Pn ( ) az n alapú polinom-ja. A mgoldás magába foglalja: a) u f ; P n b) az () képlt flhasználását. ) a cosbd a sinbd ahol ab bármly állandó. A mgoldás magába foglalja:

62 a) u cosb vagy u sinb; b) az () képlt alkalommal való flhasználását. Mapl parancsok. Az alábbi alprogram használatával könnyű mgértni az intgrálok mgoldásának folyamatát >with(studnt): a parancs >intparts(au)); ahol А az intgrál >A:Int(f); és az u függvényt az ) ) szabályok határozzák mg. Szintén hasznos lht a simplify parancs használata az gyszrűbb végrdmény érdkébn. Példa. Számoljuk ki a kövtkző intgrált I ( 6) sind. Matmatikai mgoldás. 6 u du 6d sind dv v cos I ( 6 ) d cos u v 6 cos cos d( 6 ) u v ( 6) cos cos. 6d 6 cos sin C. Mgoldás a Mapl sgitségévl. >I[]:int((6*-)*sin(*)); v u

63 I : sin cos cos( ) Részlts mgoldás a Mapl-bn. >with(studnt): >A:Int((6*-)*sin(*)); A : 6 sin d >J:simplify(intparts(A6*-)); 6 J : cos cos d A J co s d intgral mgoldása mint általában: >J []:int(*cos(*)); J : sin A mgoldás: 6 I cos J 6 cos sin C. Példa. Számoljuk ki a kövtkző intgrált I ( ) cosd. Matmatikai mgoldás. I ( ) d ( sin ) ( ) sin sin d ( ) ( ) sin sin d ( ) sin cos C. Részlts mgoldás a Mapl-bn. >w ith( studnt): >A:Int(()*cos()); A : cos d >J:simplify(intparts(A)); J : ( ) sin sin d >J[]:int(sin());

64 J : cos A mgoldás: I sinj sin cos C. Mgoldás a Mapl sgits égévl (lőrzés). >A:int(()*cos()); Példa. Számoljuk ki a kövtkző intgrált I sind Matmatikai mgoldás. u du d dv sin d v cos I { sind { d( cos) u dv u v cos cos d cos cos. d u du d dv cos d v sin I cos { d( sin) cos sin si n d cos sin cos C. Részlts mgoldás a Mapl-bn. >with(studnt): >A:Int(^*sin()): >J:simplify(intparts(A^)); J : cos cos d u v > B:*Int(cos()*): >J[]:simplify(intparts(B)); J : sin sin d >J[]:int(*sin()): J : cos

65 A mgoldás: I cos sin cos C Példa. Számoljuk ki a kövtkző intgrált I cosd. Matmatikai mgoldás. u du d dv co s d v sin { { I cosd d sin u dv u sin sin d sin sin {{ d u du d dv sin d v co s I sin d cos u v { v \ sin cos cosd sin cos sind I sin cosi I ( sin cos) C. Részlts mgoldás a Mapl-bn. >with(studnt): >A:Int(p(-*)*cos()): >J:simplify(intpar ts(ap(-*))); J : sin sin d Ebből J : sin J. v u

66 J számitása: >B:*Int(p(-*)*sin()): >J[]:simplify(intparts(Bp(-*))); J : cos sin d Eképpn J : sin cos J. Ebből kövtkzik hogy ( J : ) ( sin cos) C. Mgoldás a Mapl sgitségévl (lőrzés). >J:int(p(-*)*cos()); Példa. Számoljuk ki a kövtkző intgrált I d. a Mgjgyzés. Ennk z intgráak a nv mivl diák bukott mg a matmatika vizsgáján miatt az intgral miatt. Matmatikai mgoldás. u du d dv d d a ( a ) ( a ) v ( a ) I { d u ( a ) v

67 d ( a ) ( a ) ( a ) arctg a a C. Részlts mgoldás a Mapl-bn. >with(studnt): > A:Int(p(-*)*cos()): > J:simplify(intparts(Ap(-*)));???.. Gyakorlás ) Számoljuk ki a kövtkző intgrálokat I6 arctg d I ( )d I d I sin d I0 sin d. I6 matmatikai mgoldása. arctg u du d d ( ) d dv v I6.arctg d d arctg

68 arctg C I6 mgoldása Mapl sgitségévl. >I[6]:int(arctan(sqrt(*-))); I 6 : arctg arctg ( ) ( ) ( ) Mgold ás a Mapl sgitségévl. >I[]:int((*^)); I : arctan >I[]:int(^*p()); I : >I[]:int(p(*)*sin(*)); I : cos sin >I[0]:int(sin(())); I 0 : cos( ) sin( ) ) Számoljuk ki a kövtkző intgrálokat I sind I d I d I d I sincos d 6 I arctg d I.arctg d

69 arctg I d arcsin I d I sind 0 I d I ( ) d... Gyakorló tszt Szá moljuk ki a kövtkző intgrálokat I arctg d I cosd I I d d. 6.. Gyakorló kérdésk ) Magyarázza l a Parciális intgrálás lénygét. ) Hogyan tudná mghatározni az u függvényt a Parciális intgráláshoz? 6) Magyarázza mg a kövtkző Mapl parancsok jtését: with(studnt): A:Int(f ); intparts(au)); simplify